2024年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練：圓中的重要模型之圓冪定理模型（原卷版+解析）

專題33圓中的重要模型之圓然定理模型

圓基定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀由德國數(shù)學家施泰納CSteiner）或者法國數(shù)學家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圓塞定理的用法：可以利用圓塞定理求解與圓有關的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

條件：在圓。中，弦A8與弦C￡）交于點E,點E在圓。內。

結論：CAEBDET—=_PEC?EDEB?EAo

EBED

例1.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）如圖，點A,C,D,5在（。上，AC=BC,ZACB=90°.若CQ=4,

tanZCBD=1,則AD的長是

例2.（2023?山東濟寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形A3C內接于團O,點。為AC上的動點（點A、C

除外），2。的延長線交回。于點￡,連接CE.（1）求證△CEDsABAD；（2）當8=2X0時，求CE的長.

例3.（2023?江西宜春?統(tǒng)考模擬預測）閱讀與思考：九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等）,

（2）小剛又看到一道課后習題，如圖2,48是。的弦，P是AB上一點，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,

圖2

模型2.雙割線模型

C

條件：如圖，割線CH與弦CF交圓0于點E和點Go

結論：_CEG_CHFb—=—!?EC1FCGC2HC

CHCF

例1.（2023?遼寧葫蘆島?一模）已知：如圖，PAB,尸CD是回0的割線，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

貝ljPD=cm.

例2.（2023?四川成都?九年級?？茧A段練習）如圖，PAB為。的割線，且R4=A3=3,PO交,。于點C,

若PC=2,則。的半徑的長為.

例3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離.當直線與圓有

兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關的定理.比如，割線定

理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理"證

明一"，請補充完整.

已知：如圖①，過。。外一點尸作。的兩條割線，一條交（。于A、B點,另一條交：。于C、。點.

求證：PAPB=PCPD.

證明一：連接AD、BC,回—A和/C為所對的圓周角，0.

又回NP=NP,0,0.BPPAPB=PC-PD.

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD,即可得到學習過的圓內接四邊形ABDC.那么或許割線定理也

可以用圓內接四邊形的性質來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

證明二：連接AC、BD,

模型3.切割線模型

條件：如圖，C8是圓。的切線，CA是圓。的割線。

結論：CBDCABP—=—PCB2=CD2CA

CACB

例1.（2023?江蘇南通?中考模擬）如圖，已知上4是，。的切線，A為切點，PC與＜。相交于8.C兩點,

PB=2cm,BC=8cm,則P4的長等于（）

A.4cmB.16cmC.20cmD.2#cm

例2.（2023?河南鄭州?一模）復習鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作.它是歐洲數(shù)學的基礎，總結了平面

幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓基定

理（切割線定理）內容如下：

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整,

并寫出證明過程.

己知：如圖，A是回0外一點，.求證：.

例3.（2022?河南駐馬店?校考二模）在數(shù)學課上，當老師講到直線與圓的位置關系時，張明同學突發(fā)奇想,

特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》,

這本書是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作.它是歐洲數(shù)學的基礎，總結了平面幾何五大公設，

被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定理（切割線定理）

內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例

中項.（比例中項的定義：如果。、b、c三個量成連比例即。2=Z?:c,則b叫做a和c的比例中項）

⑴為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整，

并寫出證明過程.已知：如圖，A是圓。外一點，A3是圓。的切線，直線ACD為圓。的割線.

求證：證明：.

（2）已知AC=2,CD=4,則A3的長度是.

模型4.弦切角模型

A

D

B

條件：如圖，CB是圓。的切線，A8是圓。的直徑。

結論：1）CBDCAB^—=—1?CB2=CD2CA；

CACB

2）CBDBADP—=—bBD1=AD2CD；3）BADC4BP—=—PBA2=AD?AC

ADBDCABA°

例1.（2023?河南二門峽?統(tǒng)考二模）小銳同學是一個數(shù)學學習愛好者，他在一本數(shù)學課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關的角一弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學的知識研究弦切角的有關性質.

（1）如圖，直線A3與回。相切于C點，D,E為回。上不同于C的兩點，連接CE,DE,CD.請你寫出

圖中的兩個弦切角；（不添加新的字母和線段）

（2）小銳目測NDCB和/DEC可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結論，你能幫小銳用幾何推理的方

法證明結論的正確性嗎？

已知：如圖，直線與回。相切于C點，D,E為圓上不同于C的兩點，連接CE,DE,CD.

求證：=（3）如果我們把上述結論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理.

例2.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考三模）人類會作圓并且真正了解圓的性質是在2000多年前，由我國的墨子給出

圓的概念：”圓，一中同長也.”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比古希臘數(shù)學

家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.與圓有關的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我們把頂點

在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對

的圓周角度數(shù).

(1)如圖1,A3是C。的切線.點C,。在。上.求證：ZADC=ZCAB；(2)如圖2,CE是：.。的切線.連

接AE交于點D,AB為。的直徑.若CELAO,BC=2,。的半徑為5,求DE的長.

例3.(2023?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期中)定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切

角.如圖1,AC為。的切線，點A為切點，AB為。內一條弦，即為弦切角.

⑴古希臘數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5

個公設和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明.第三卷中命題32一弦切角定

理的內容是:"弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù).”

如下給出了弦切角定理不完整的"已知"和"求證"，請補充完整，并寫出"證明”過程.

已知：如圖2,AC為。的切線，點A為切點，AB為。內一條弦，點。在(。上，連接。4,OB,BD,

AD.求證：ZBAC=ZBDA.證明：

(2)如圖3,A3為O的切線，A為切點，點C是。上一動點，過點C作CD，AS于點。，8交O于E,

連接OE,OC,AE.若AD=10,AE=2后,求弦CE的長.

模型5.托勒密定理模型

B

D

^*****-^

c

條件：如圖，AB.CO是圓。的兩條弦；結論：AB1CDAD2BCAC?BD

例L（2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應任務：托勒密（P勿/esy）（公元90年?

公元168年），希臘著名的天文學家，他的著作《天文學大成》被后人稱為"偉大的數(shù)學書”，托勒密有時把

它叫作《數(shù)學文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

已知：如圖1,四邊形ABCD內接于（O.求證：ABCD+BCAD=ACBD

下面是該結論的證明過程：證明：如圖2,作=交BD于點、E.

AHBE

國A￡>==（依據(jù)1）回△ABESAACD（依據(jù)2）0-=—^ABCD=ACBE

ACCD

團AB=AB回^ACB-ZADE

團ZBAE=NOW團NBAE+NE4C=NCW+NE4C即NBA。=回△ABC

⑦ADBC=ACED⑦ABCD+ADBC=AC（BE+ED）

?ABCD+ADBC=ACBD

任務：（1）上述證明過程中的"依據(jù)1""依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：,依據(jù)2：.

3

（2）如圖3,四邊形ABCD內接于O,AC為。的直徑，AD=5,tan/AC3=：,點。為&c的中點,

4

求的長.

例2.（2023?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內接四邊形的對角

如圖①，四邊形ABC。是。的內接四邊形，若AB=3O,NABO=40。，則/BCD=_。.

【問題創(chuàng)新】圓內接四邊形的邊會有特殊性質嗎？

如圖②，某數(shù)學興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB-CD+BC-DA=AC-BD

證明：如圖③，作/54E=NC4D,交BD于點、E.

回ZBAE=ZCAD,ZABD=ZACD,回AABE^AACD,

團瞿=煞即=（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

AC

【應用遷移】如圖④，已知等邊AAFC外接圓。，點尸為8c上一點，且PB=如,PC=1,求的長.

課后專項訓練

1.（2023山東九年級課時練習）如圖AB與圓O相切于4。是圓。內一點，與圓相交于C.已知8c

=OC=3,OD=2,AB=6,則圓的半徑為.

A

2.（2022秋?浙江寧波?九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，過大圓上一點A作小圓的割線，交小圓于8、

4.（2023?重慶九年級期末）如圖，從圓外一點尸引圓的切線叢,點A為切點，割線尸￡>3交（。于點。、8.已

4.（2023?浙江杭州?模擬預測）如圖，過點尸引圓的兩條割線RW和PCD,分別交圓于點A3和C,。，連

PAprPAPC-PAPD

結AC,8,則在下列各比例式中，=②右=,；③年二而，成立的有（把

rDrL）rL）rDACDD

你認為成立的比例式的序號都填上）.

5.（2023?浙江紹興?模擬預測）四邊形ABDC內接于圓，對角線交點為E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

都是整數(shù)，則跳:的值為.

B

D

AE

6.（2023?廣東珠海?統(tǒng)考一模）如圖，。為正,ABC的外接圓，尸為劣弧8C上任一點，CP的延長線和

的延長線交于點。.⑴求/3PC;（2）求證：AC'=CPCD.

7.（2023?廣東汕頭,?？家荒＃┤鐖D，A3是，。的直徑，點C,。在（。上，AD平分—C鉆，過點。作AC

的垂線交AC的延長線于點E,交A3的延長線于點F,連接

⑴求證：所是：O的切線；⑵求證：AB■（AB-AE）=AC-BF（3）^AB=10,AC^6,求AD的長.

8.（2023?云南昆明?統(tǒng)考一模）如圖，尸是以。為圓心的兩個同心圓外一點，過尸點的兩條直線分別與大圓

。交于A、8、C、。四個點，其中一條直線交小圓。于/點，尸為線段CD的中點，NP=ZADP,CEYPA,

AF?

垂足為E.⑴求證:PD為小圓。的切線；⑵若須二彳，AB=10,求大圓。的半徑.

CE3

B

P

CFD

9.(2023?廣東揭陽?統(tǒng)考一模)歐幾里德，古希臘著名數(shù)學家.被稱為“幾何之父".他最著名的著作《幾何

原本》是歐洲數(shù)學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上最成功的教科書.他在第三

卷中提出這樣一個命題："由已知點作直線切于已知圓”.

圖1圖2

如圖1,設點P是已知點，圓。是已知圓，對于上述命題，我們可以進行如下尺規(guī)作圖：

①連接OP,作線段OP的中點A；②以A為圓心，以AO為半徑作圓A,與圓。交于兩點Q和R；

③連接尸。、PR,貝PR是圓。的切線.⑴按照上述作圖步驟在圖1中補全圖形；

(2)為了說明上述作圖的正確性，需要對其證明，請寫出證明"尸2、依是圓。的切線”的過程；

⑶如圖2,連接。。并延長交圓。于點8,連接BR,已知以=2,PQ=2非,求圓。的半徑.

10.(2023?山東聊城?九年級統(tǒng)考期中)頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如

圖①所示：出切回。于點A,A3是回。的一條弦，回以3就是回。的一個弦切角.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等于它

夾弧所對的圓周角.根據(jù)下面的"已知"和"求證"，寫出"證明"過程，并回答后面的問題.

(1)如圖1,是回。的切線，A為切點，AC為直徑，EIB4B夾弧所對的圓周角為EIC.求證：(2)

如圖2,是團。的切線，A為切點，回徹8夾弧所對的圓周角為SD.求證：0B4B=0Z).

(3)如圖3,為半回。的直徑，。為圓心，C,。為半回。上兩點，過點C作半團O的切線CE交AO的延

長線于點E,若CE0AD,且BC=1,A8=3,求。E的長.

11.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，為回。的直徑，且肱V=15,MC與ND為圓內的一組平行

弦，弦交MC于點”.點A在Me上，點8在押c上，ZOND+ZAHM=90°.

B

\N

⑴求證：（2）求證：AC=BC.⑶在回。中，沿弦ND所在的直線作劣弧N。的軸對稱圖

3

形，使其交直徑"N于點G.若sinNCMN=§求NG的長.

12.（2022?湖南長沙,統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于O,對角線AC,3D相交于點E,點尸

在邊AD上，連接EF.⑴求證：AABEs4DCE；

.（直接將結果填寫在相應的橫線上）

⑶①記四邊形A3CD,的面積依次為5,&,5，若滿足石=質+￡,試判斷，AABE,ACDE

的形狀，并說明理由.②當￡>C=C2，AB=7〃，AO=n,CD=p時，試用含相，n,p的式子表示AE-CE.

13.（2023春?北京通州,九年級統(tǒng)考開學考試）在與圓有關的比例線段探究學習中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種

不同情況，并完成了情況一的證明.請你選擇情況二或者情況三中的一種情況進行證明.AB,C,D為CO

上的點，直線AB,8相交于點尸.

證明

情況一點尸在回0內時，連接AC,BD（如圖1）：

情況二點尸在回。外時情況三當點A和點8重合時

ZA=ZD,ZAPC=ZDPB⑦△APCS/\DPB

ApCP（如圖2）：（如圖3）

團一=—,^APBP=CPDP

DPBP

14.（2023?遼寧大連,模擬預測）如圖1,ABC內接于O,點￡＞為圓外4B上方一點，連接AO,若NC=Z￡L4D.

⑴求證：AD是。的切線；（2）如圖2,連接.若tanNABO=g,AC=66,比=8,求,O的半徑.（注:

本題不允許使用弦切角定理）

15.（2023秋?山西呂梁?九年級?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應的任務.

米勒定理

米勒（1436-1476）是德國的數(shù)學家，是歐洲最有影響的數(shù)學家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角

學在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作.下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程

已知：如圖1,上4與。相切于點A,PB與。相交于點8,C.

求證：Pd=PBPC.

證明：如圖2,連接AC,OA,OC.

回24為。的切線，0Z1+Z2=9O°.

0（M=（9C,回/2=/3.

0ZO+Z2+Z3=18O°,0/0+2/2=180°.

0AC=AC,0?°2?3，132/3+2/2=180°,

任務：（1）請完成剩余的證明過程（2）應用：如圖3,RI是。的切線，PC經(jīng)過。的圓心。，且尸3=03=2,

割線「?！杲唬?。于點。，E,PE=5,求尸￡）的長.

16.（2023?江蘇?九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務：

弗朗索瓦?韋達，法國杰出數(shù)學家.第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘幕，帶

來了代數(shù)學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父".他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，

切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）.

如圖是。外一點，PC是。的切線，P4是O的一條割線，與。的另一個交點為B,則PC?=2473.

證明：如圖2,連接AC、BC,過點C作O的直徑8,連接AD.

EIPC是：。的切線，0PC±CD,0ZPCD=9O°,BPZPCB+ZBCD=90°.........

任務：（1）請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分.

⑵如圖3,R4與二。相切于點A,連接P。并延長與。交于點8、C,ZP=ZBAD,8c=8,AP=3BP,

連接CO.①CO與AP的位置關系是.②求8。的長.

17.（2022?山西?三模）閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成相應的任務.

人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關系時，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個關系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線

長是這點到割線與圓交點構成的兩條線段長的比例中項.這個幾何關系也叫圓的切割線定理.喜歡探究的

小明嘗試給出了該定理的如下證明：

已知：如圖1,尸為回。外一點，切線以與圓相切于點4割線P2C與圓相交于點8,C.

求證：PA2=PBPC.證明：如圖2,連接AB,AC,BO,AO.

團%切國。于點A,SPA±AO,即/R43+NQ45=90°.

004=05,SZOAB=ZOBA.

ElZOAB+ZOBA+ZO=180°,02ZtMB+ZO=18O°.........

任務：⑴請幫助小明補充完成以上證明過程.(2)如圖，割線POE與圓交于點D,E,且PB=BC=4,PD=5,

連接BE,過點C向下作C尸〃BE交PE的延長線于點凡求EF的長.

18.(2023?河南周口??？既?閱讀與思考

整，并給出證明.

己知：如圖，A是?。外一點，過點A的直線交C。于點8,C,.求證：AE2=

19.（2023?廣東九年級期中）探究問題:

A

D

圖。

圖E

⑴閱讀理解：①如圖4在一ABC所在平面上存在一點尸，若它到_ABC三個頂點的距離之和最小，則稱點

尸為,ABC的費馬點，此時上4+尸3+尸。的值為，ABC的費馬距離.

②如圖B,若四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓上，則有AB-CD+3c.zMnACZD,此為托勒密定理.

知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C,已知點P為等邊外接圓的BC上任意一

點.求證：PB+PC=PA；②根據(jù)（2）①的結論，我們有如下探尋一ABC（其中ZBAC,4BC,Z4cB均小

于120。）的費馬點和費馬距離的方法：

第一步：如圖。，在J1BC的外部以BC為一邊作等邊△BCD及其外接圓；

第二步：在8c上任取一點P'，連接PAP'B,P'C,P'。.易知尸N+HB+P'C=PA+（PB+P'C）=PA+

第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖。中找出ABC的費馬點P,則線段的長度即為ABC的費

馬距離.（2）知識應用：今年以來某市持續(xù)干旱，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難的問題，為解決老百姓的

飲水問題，解放軍某部來到該市某地打井取水.已知三村莊A、B、C構成了如圖E所示的「.ABC（其中

NA、NB、ZC,均小于120。），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長

度最小，求輸水管總長度的最小值.

20.（2023?山西臨汾?九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應任務

托勒密，古希臘天問學家、地理學家和光學家，而他在數(shù)學方面也有重大貢獻，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一

個定理，圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線的乘積.下面是該定理的證明過程（部分）

已知：如圖①四邊形A3CD是（O的內接四邊形；求證：ADBC+ABCD=ACBD

證明：以C頂點，CB為一邊作NBCE交BD于點、E,使得NBCE=ZACD

AnAr

5LSZCAD=ZCBE0VACD:NBCE0——SADBC=ACBE,

BEBC

又ZADC=/BEC,ZADC+ZABC=180°,NBEC+NDEC=180°,

SZABC=ZCED^ZCAB=ZCDE

4D

團八48。ADEC,0—=—0

DEDC

0

任務：⑴請將“托勒密”定理的證明過程補充完整；⑵當圓內接四邊形A3C。是矩形時，托勒密定理就是我

們非常熟知的一個定理:.（3）如圖②若NADB=NBDC=60。，試探究線段AD,8之間

的數(shù)量關系，并利用托勒密定理證明這個結論.

圖①

21.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，解答問題：

克羅狄斯?托勒密（約90年一168年），是希臘數(shù)學家，天文學家，地理學家和占星家.在數(shù)學方面，他還

論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理.

托勒密定理：圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.

如圖，正五邊形4BCAE內接于，。，AB=2,則對角線5D的長為.

專題33圓中的重要模型之圓幕定理模型

圓累定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀由德國數(shù)學家施泰納(Steiner)或者法國數(shù)學家普朗克雷

(Poncelet)提出的。圓塞定理的用法：可以利用圓幕定理求解與圓有關的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

A

條件：在圓。中，弦與弦C￡)交于點E,點E在圓。內。

結論：CAEBDEK—=—PEC1EDEB?EA。

EBED

例L(2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模)如圖，點A,C,D,8在(。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=4,

tanZCBD=1,則AD的長是.

【答案】8及

【分析】如圖，連接AB,設AD,BC交于點E,根據(jù)題意可得A3是。的直徑，ZADB=90°,設AC=〃z,

證明根據(jù)相似三角形的性質以及正切的定義，分別表示出AE,即，根據(jù)Rt^ABC,勾股

定理求得m=46，根據(jù)AD=AE+ED即可求解.

【詳解】解：如圖，連接設A2BC交于點￡,

c

D

DE1

0ZACB=90°AAB是1O的直徑,ZADB=90°,.tanZCBD=-

3DB~39

在Rt^DEB中,BE=yjDE2+DB2=-JlODE，

CD=CD，**,?BD=ZACD,「tanACAD=:CE1

AC3

2.,DE^BE=^,

設AC=m則CE=—m,AC=BC,EB=-m,m

331030

Rt-ACE中，AE=ylAC2+CE2=m，

/.AD=AE+ED=^^-m+—m=-4i0m,DB=DB，:.NECD=NEAB，

3035

1

CDCE3m1「

又NCED=ZAEB,CED^AEB,—=—==CD=4,/.AB=4^10,

3

AC=BC=m,AB=42m,41m=4A/10,解得機=4百，

:.AD=三回m=］屈x4亞=8也,故答案為：8也.

【點睛】本題考查了90。圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質

與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵.

例2.（2023,山東濟寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內接于團O,點。為AC上的動點（點A、C

除外），8。的延長線交回0于點E,連接CE.（1）求證△CEDSABAD；⑵當zx?=2AZ）時，求CE的長.

【答案】⑴見解析（2）CE=]4

【分析】（1）根據(jù)同弧所對圓周角相等可得NA=4,再由對頂角相等得N&M=/CDE,故可證明緒論;

（2）根據(jù)"=2隹》可得4。=2,口）=4,由40￡064840可得出2￡>§0石=8,連接4￡,可證明

AABD^AEBA，得出=出為8￡=%52+2￡）§8瓦代入相關數(shù)據(jù)可求出2。=2近，從而可求出緒論.

【詳解】（1）EIBC所對的圓周角是NANE,SZA=ZE,又NBDA=NCDE,國△CE4LBAD；

（2）EEABC是等邊三角形，^\AC=AB=BC=6

SDC=2AD,國AC=3AD,回AO=2,DC=4,

ADBDAB2BD??“

團AGED?ABAD,回——=——=——,團——=——，團5?！辏?o8;

DECDCEDE4

連接AE,如圖，^AB=BC,^AB=BC^BAC=ZBEA,

又田ABD=NEBA,BIBIABD-AEBA,51—=一,

BEAB

0AB2=BD.BE=BD\BD+DE）=BD2+BDDE,

062=B￡>2+8,?BD=2幣（負值舍去）0—=—,解得，CE=—y/l

CE47

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形和判定與性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

例3.（2023?江西宜春?統(tǒng)考模擬預測）閱讀與思考：九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等）,

下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應的任務.

圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等.

已知：如圖1,。的兩弦ARCD相交于點P.求證：APBP=CPDP.

證明：如圖1,連接AC,BD.

EINC=ZB,ZA=ZE>.0AAPC^ADPS,（根據(jù)）

Ap

團——=@,⑦AP?BP=CPDP,

DP

團兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.

PA=Acm,OP-5cm,

CP

【答案】（1）有兩個角對應相等的兩個三角形相似；—；（2）7cm

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質求解即可；（2）延長0尸交圓。于點。，延長尸。交圓。于點E

設圓。的半徑為rem,則尸P=（5+r）cm,PD=（r-5）cm,根據(jù)（1）中結論代入求解即可.

【詳解】（1）連接AGBD.回NC=N3,ZA=ZD.

0AAPC-ADPB，（有兩個角對應相等的兩個三角形相似）

4p「p

0—=—,^APBP=CPDP,回兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等.

CP

故答案為：有兩個角對應相等的兩個三角形相似;

BP

（2）延長。尸交圓。于點。，延長尸。交圓。于點尸,

設圓0的半徑為rem,則PF=(5+r)cm,P￡>=(r-5)cm,

根據(jù)(1)中結論得ABBP=DPFP，即為4x(lO-4)=(r+5)0?-5),

解得：r=7或r=-7(不符合題意，舍去)，。的半徑為7cm.

【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交

弦定理是解題關鍵.

模型2.雙割線模型

條件：如圖，割線CH與弦CF交圓。于點E和點G。

結論：CEGCHFP—=—PEC2FCGC2HC

CHCF

例1.(2023?遼寧葫蘆島?一模)已知：如圖，PAB.PCD是回。的割線，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

則尸Z)=cm.

例2.(2023?四川成都?九年級?？茧A段練習)如圖，PAB為。的割線，且R4=AB=3,PO交。于點C,

若PC=2,則。的半徑的長為.

【分析】延長尸O交圓于點。，連接AC、BD,由圓內接四邊形內對角互補性質可得/B+NA8=180。,

PAPC

結合鄰補角互補可得/ACP=/3，繼而證明二R4csp/后，由相似三角形對應邊成比例解得而=前,

由此計算PD=9,最后根據(jù)線段的和差解題即可.

【詳解】如圖，延長尸。交圓于點。，連接AC、BD,

四邊形ABDC為圓內接四邊形，EZB+ZACD=180°.

0AACD+AACP=180°,BZACP=ZB,0ZP=ZP,SAPAC^,.PDB,

PAPC

0——=一，0PDx2=3x6,PD=9,

PDPB

7

SCD+PC=PD,0CD=9—2=7,回半徑為一，故答案為:

2

【點睛】本題考查圓的內接四邊形、相似三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關

知識是解題關鍵.

例3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離.當直線與圓有

兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關的定理.比如，割線定

理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理"證

明一”，請補充完整.

己知：如圖①，過，:，。外一點尸作。的兩條割線，一條交,。于A、B點,另一條交。于C、。點.

求證：PAPB=PCPD.

證明一：連接AD、BC,

國NA和NC為所對的圓周角，0.

X0ZP=ZP,m,0.

即PAPB=PCPD.

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD,即可得到學習過的圓內接四邊形ABDC.那么或許割線定理也

可以用圓內接四邊形的性質來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

證明二：連接AC、BD,

APDP

【答案】證明一：ZA=ZC,AADPB..CBP證明二見解析

^P~~BP

【分析】（1）證明zM//回@尸即可得到結論;

（2）根據(jù)圓內接四邊形的性質可得/尸BD=/ACD,進一步證明△ACP回ADBP

【詳解】解：證明一：連接AD、BC,

回，A和NC為BO所對的圓周角，0ZA=ZC.

APDP

又團NP=NP,@AADP%CBP,回一二—.WflPAPB=PCPD.

CPBP

Apr）p

故答案為：ZA=ZC,AADP回一CBP,——=——，

CPBP

證明二：連接AC、BD,

團四邊形ABDC為圓內接四邊形，EINARD+/ACD=180。，

又國ZABD+NPBD=180°,0ZPBD=ZACD,

APCP

又回"=々，0AACP0DBF,0—=—,BPPAPB=PCPD.

DPBP

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵.

模型3.切割線模型

C

條件：如圖，CB是圓。的切線，CA是圓。的割線。

結論：CBDCABP—=—1>CB2=CD2CA

CACB

例1.（2023?江蘇南通?中考模擬）如圖，已知叢是。的切線，A為切點，PC與O相交于8.。兩點,

PB^2cm,BC=8cm,則PA的長等于（）

B

A.4cmB.16cmC.20cmD.2際cm

【答案】D

【分析】根據(jù)已知得到PC的長，再根據(jù)切割線定理即可求得RL的長

【詳解】解：回尸3=2cm,BC=8cm,0PC=lOcm,

SPA2=PB'PC=20,0PA=2^,故選Z）.

【點睛】本題是對圓知識的綜合考查，熟練掌握圓及相似三角形的性質是解決本題的關鍵.

例2.（2023,河南鄭州?一模）復習鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.

割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作.它是歐洲數(shù)學的基礎，總結了平面

幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定

理（切割線定理）內容如下：

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整,

并寫出證明過程.

己知：如圖，A是回。外一點，.

求證：.

【答案】是囪。的切線，直線AC。為回。的割線，AB2=AC?AD,見解析

【分析】按照題設要求，寫出"已知"和"求證"，然后證明EABOfflAOB,即可求解.

【詳解】解：（已知：如圖，A是回。外一點，）是回。的切線，直線AC。為回。的割線.

求證：AB2=AC?AD.

故答案為：是國。的切線，直線ACC為回。的割線，AB2^AC?AD,

證明：連接2。，連接2。并延長交回。于點E,連接CE,

0AB是國。的切線，EHA8C+I3CBE=9O°,EIBE是圓的直徑，fflBC￡=90°=E￡+0CBE,

0EL4BC=0E,而團E=EICZ）B,00ABC=0BZ）C,

A3AC

^\BAC=^\DAB^\ABC^\ADB團——=——,^\AB2=A^AD.

ffADAB

【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定及性質，作出輔助線是解決本題的關鍵.

例3.（2022?河南駐馬店??？级＃┰跀?shù)學課上，當老師講到直線與圓的位置關系時，張明同學突發(fā)奇想,

特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》,

這本書是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作.它是歐洲數(shù)學的基礎，總結了平面幾何五大公設，

被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓塞定理（切割線定理）

內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例

中項.（比例中項的定義：如果b、c三個量成連比例即。:6=6:c,則6叫做。和c的比例中項）

（1）為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補充完整，

并寫出證明過程.已知：如圖，A是圓。外一點，AB是圓。的切線，直線ACD為圓。的割線.

求證：_______________

證明：

（2）已知AC=2,CD=4,則A3的長度是.

【答案】（DAB?=AC.AD,證明見解析⑵2石

【分析】（1）根據(jù)比例中項的定義寫出“求證"，連接BO并延長交,：。于點E,連接先根據(jù)

圓的切線的性質可得BELAB,再根據(jù)圓周角定理可得NBCE=90°,ZE=ZADB,從而可得？ABC?ADB,

然后根據(jù)相似三角形的判定證出ABCAD3,根據(jù)相似三角形的性質即可得證；

（2）先根據(jù)線段和差求出AD=6,再根據(jù)（1）的結論即可得.

【詳解】（1）求證：AB2=ACAD.

證明：如圖，連接2。并延長交,。于點E,連接BC/ACE,

.至是。。的切線，:.BE±AB,ZABC+ZEBC=90°,

由圓周角定理得：NBCE=90°,NE=NADB,

:.ZADB+NEBC=NE+NEBC=90°,:.ZABC=ZADB,

ZABC=ZADB

在-ABC和ADB中,

ABAC=ZDAB

ABAC

ABCADB,AB2=ACAD.

AD-AB

(2)解：AC=2,CD=4,:.AD=AC+CD^6,

由(1)已證：AB2=ACAD,.-.AB2=2x6=12,

解得48=2百或A8=-26<0（不符題意，舍去），故答案為：20

【點睛】本題考查了圓的切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質，熟練掌握圓的切線的性質

和圓周角定理是解題關鍵.

模型4.弦切角模型

條件：如圖，C8是圓。的切線，A8是圓。的直徑。

結論：1）CBDCABP—=_PCB?=CD2CA；

CACB

2)CBDBADP—=—PBD2=AD2CD；3)BADCABP—=—1?BA2=AD?AC

ADBDCABA

例L（2023?河南三門峽,統(tǒng)考二模）小銳同學是一個數(shù)學學習愛好者，他在一本數(shù)學課外讀物上看到一個課

本上沒有的與圓相關的角一弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學的知識研究弦切角的有關性質.

E

（1）如圖，直線AB與回。相切于C點，D,E為回。上不同于C的兩點，連接