2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專練：三角形中的導(dǎo)角模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型

專題03三角形中的導(dǎo)角模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字

模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型

圖1圖2

8字模型（基礎(chǔ)型）

條件：如圖1,AD,相交于點(diǎn)O,連接A3、CD；結(jié)論：@ZA+ZB=ZC+ZD；?AB+CD<AD+BCo

8字模型（加角平分線）

條件：如圖2,線段AP平分NBA。，線段“平分N3C￡）；結(jié)論：2/P=/B+/D

例1.（2021?河北?統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與8。的交點(diǎn)為C,且—A,NB,

NE保持不變.為了舒適，需調(diào)整/O的大小，使/跖0=110。，則圖中/O應(yīng)_________（填"增加"或"減

少"）度.

【答案】減少10

【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到國EDF與回。、團(tuán)￡、團(tuán)DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計算即可判斷.

【詳解】解：0&4+06=50°+60°=110°,EH4CB=180°-110°=70°,fflDCE=70°,

如圖，連接CF并延長，E0DF/W=0D+0DCF=2O0+[3DCF,EEF/W=EE+0fCF=3O°+EECF,

EEIEFC>=I30F/W+EIEF/W=20°+I3DCF+30°+EIECF=50°+I3DCE=50°+70°=120°,

要使EIEFD=110。，貝物EFD減少了10。，若只調(diào)整回。的大小，由

^EFD^DFM+^EFM=SD+BDCF+^E+^ECF=^D+SE+^ECD=^D+30°+70°^D+1000,

因此應(yīng)將回。減少10度；故答案為：①減少；010.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的

關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含

了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

例2.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，^0A+0B+0C+0D+[3￡+0F+0G+0//+0X_

【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：她+班=取〃，SC+^\D=SMLJ,SH+SK=^GIJ,0￡+EF

=BGML,然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案.

【詳解】解：如圖所示:

G

A

BJLC

由三角形的外角的性質(zhì)可知：SA+BB=WL,SC+BD=SMLJ,SH+^K=SGIJ,SE+SF=SGML,

^EA+^B+^C+SD+QE+SF+SG+^H+SK=SIJL+^MLJ+SGML+^G+SGIJ=(5-2)x180°=3x180°=

540°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將

所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵

例3.(2023?山東德州?八年級?？茧A段練習(xí))如圖1,已知線段AB,8相交于點(diǎn)。連接AC,8。，則我們

把形如這樣的圖形稱為"8字型

⑴求證：ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)如圖2,若/C43和/3DC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,且與CRAB分別相交于點(diǎn)”、N.

①若/3=100。,/。=120。，求/尸的度數(shù)；

②若角平分線中角的關(guān)系改為“NC4尸=^ZCAB,ZCDP=g/CDB”,試探究NP與NB,ZC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見解析(2)①110。；@ZP=1(ZB+2ZC)

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；

(2)①根據(jù)角平分線的定義得到NC4P=Za4P,/BDP=/CDP,再根據(jù)"8字形”得到

NCAP+NC=NCDP+NP,NBAP+NP=NBDP+NB,兩等式相減得到/C—/P=NP—,即

1119

ZP=-(ZB+ZC),即可求解.?^CAP=-ZCAB,ZCDP=^CDB,可得/BAP=§4BAC,

ZBDP=-ZBDC,再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可得2(NC—NP)=NP-N3,即可求解.

【詳解】(1)證明：在AAOC中，ZA+ZC=1800-ZAOC,

在中，ZB+ZD=180°-ZBOD,

SZAOC^ZBOD,[3ZA+/C=/B+/O；

(2)解:①回/C4B和的平分線AP和￡)尸相交于點(diǎn)尸，0ZCAP=ZBAP,ZBDP=ZCDP,

EINC4P+NC=NCDP+NP①，ZBAP+NP=NBDP+NB②,

由①一②，得：ZC-ZP=ZP-ZS,EPZP=1(ZC+ZB),

團(tuán)ZB=100°,ZC=120°,0ZP=1(1OO°+120°)=110°；

②團(tuán)ZCAP=|ZCAB,ZCDP=|ZCDB,0NBAP=|ABAC,ZBDP=|ZBDC,

SZCAP+ZC=ZCDP+ZP,ZBAP+ZPZBDP+ZB,

iii222

0ZC-ZP=-ZBDC--ABAC=-(ZBDC-ABAC),ZP-ZB=-ZBDC--ABAC=1(ZBDC-ABAC),

02(ZC-ZP)=ZP-ZB,0ZP=1(ZB+2ZC)),故答案為：ZP=1(ZB+2ZC).

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計算，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用"8字形”求解.

例4.（2023春?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

（1）如圖1,線段AD,BC交于點(diǎn)E,連接AB,CD,判斷AD+BC與AB+CD的大小關(guān)系，并說明理由;

（2汝口圖2,0c平分NA03,尸為0c上任意一點(diǎn)，在。4,OB上截取OE=O尸，連接PE,P尸.求證：PE=尸產(chǎn)；

⑶如圖3,在“1BC中，AB>AC,P為角平分線AD上異于端點(diǎn)的一動點(diǎn)，求證：PB-POBD-CD.

【答案】（1）AD+8c>山?+8；理由見詳解⑵證明見詳解⑶證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，AE+BE>AB,CE+ED>CD,兩式相加即可得出結(jié)

論；（2）根據(jù)SAS證△OE/NZXOEP即可得出結(jié)論；

（3）在A5上取一點(diǎn)E,使AE=AC,連接DE交3P于點(diǎn)尸，證AAPE均APC,即PC=PE,同理證CD=OE,

然后同理（1）得PB+CD>PC+BD,變形不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：AD+BOAB+CD,理由如下：

AE+BE>AB,CE+ED>CD,

:.AE+BE+CE+ED>AB+CD,HPAD+BOAB+CD-

(2)證明：平分NA03,:.ZEOP=ZFOP,

OE=OF

在AOEP和△。尸尸中，＜NEOP=NFOP,:.^OEP^OFP(SAS),.-,PE=PF；

OP=OP

(3)證明：在AB上取一點(diǎn)E,使A￡=AC,連接OE交BP于點(diǎn)尸，

A

?.?AD是，84c的角平分線，4P=NC4P,

AE=AC

在VAPE和中，<NEAP=NCAP,:.AAPE^AAPC（SAS）,:.PE=PC,同理可證OE=DC,

AP=AP

-：EF+PF>EP,BF+FD>BD,EF+PF+BF+FD>EP+BD,BPPB+DE>EP+BD,

:.PB+CD>PC+BD,:.PB-PC>BD-CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是

解題的關(guān)鍵.

例5.（2023春,江蘇蘇州?七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個或幾個定理，或者能

夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形.這些圖形以基本概念、基本事實(shí)、定理、常用的數(shù)學(xué)結(jié)論和基本規(guī)律為

基礎(chǔ)，圖形簡單又具有代表性.在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問

題.我們將圖1①所示的圖形稱為"8字形在這個"8字形”中，存在結(jié)論/4+/3=NC+/D.

我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形".在這個“飛鏢形”中，存在結(jié)論NAOC=NA+NC+NP.

D

A

⑴直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：

如圖2,AP,CP分別平分254D、ZBCD,說明：ZP=1（ZB+Z￡＞）.

⑵將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：

①如圖3,直線AP平分4AD的外角/E4D,CP平分N3C。的外角4CE,若NB=30。，ND=20。，求

—P的度數(shù).②在圖4中，”平分154。的外角/E4D,CP平分ZBCD的外角4CE,猜想—P與-3、

的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）.③在圖5中，相平分CP平分N3CZ）的外角4CE,

猜想上尸與-3、/O的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）.

圖2

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得4=N2,Z3=Z4,再根據(jù)題干的結(jié)論列出

ZP+Z3=Z2+ZABC,ZP+Zl=Z4+ZADC,相力口得至ij2NP+N2+N3=Nl+N4+ZABC+Z/WC,繼而

得到2/P=NA3C+NADC,即可證明結(jié)論;

(2)①如圖所示，分作/BADN3CD的角平分線交于根據(jù)(1)的結(jié)論得到/”=；(/B+/D)=25。,

再由角平分線的定義和平角的定義證明NPC"=90。，/上4H=90。，再根據(jù)題干的結(jié)論可推出

/P=/H=25。；②如圖所示，分作/R4D,/BCD的角平分線交于〃，由(1)的結(jié)論可知

Z//=1(ZB+ZD),,同理可得/PCH=90。，ZPAH=90°,則由四邊形內(nèi)角和定理可得

ZP=180°-1(ZJB+ZD)；③由題干的結(jié)論可得/尸=/3+/氏4尸+/3cP,由角平分線的定義得到

ZBAP=-ZBAO,ZBCP=-ZBCE,再求出NBCP=90。一!/3。，由題干的結(jié)論可知

222

ZB+ZBAO=NO+ZBCD,由此可得ZP=ZB+ZBAP+ZBCP=90°+|(ZB+ZD).

【詳解】(1)解：回AP、CP分別平分/54D、NBCD,

0Z1=Z2,Z3=Z4,0Z2+Z3=Z1+Z4,

由題干的結(jié)論得：ZP+Z3=Z2+ZABC,0P+Z1=Z4+ZADC,

02ZP+Z1+Z3=Z2+Z4+ZABC+ZADC,S2ZPZABC+ZADC,

0ZP=1(ZABC+ZADC),gpZP=1(ZB+ZD)；

(2)解：①如圖所示，分作4CD的角平分線交于8，

由(1)的結(jié)論可知=+/￡>)=25。，

SPC,HC分別平分NBCE,/BCD,國/BCP=L/BCE,ZBCH^-ZBCD,

22

0ZBCD+NBCE=180°0ZBCP+ZBCH=-ZBCD+-ZBCE=90°,

22

0ZPCH=90°,同理可得/R4H=90。，由題干的結(jié)論可得NP+NR4H=NH+NPCH,

0ZP=ZH=25°；

②如圖所示，分作/&4D,/BCD的角平分線交于”，

由（1）的結(jié)論可知/+同理可得/PCH=90。，/R4H=90。,

ElZP=360°-ZPAH-ZPCH-ZH=180°-1(ZB+Z￡>)；

③由題干的結(jié)論可得=+

回AP平分4AD,CP平分N3CD的外角/BCE,

S\ZBAP=-ZBAO,ZBCP=-ZBCE,

22

0ZBCE=180°-ZBCD,SZBCP=90°--ZBCD,

2

由題干的結(jié)論可知N3+NBAO=ZD+ZBCD,0NBAO=ZD+/BCD-ZB,

^\ZP=ZB+ZBAP+ZBCP^ZB+-ZBAO+90°--ZBCD

22

ZB+-ZD+-ZBCD--ZB+90°--ZBCD=90°+-(ZB+Z￡>).

22222V'

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識圖并運(yùn)用好"8"字

形的結(jié)論，然后列出兩個等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀.

模型2、“A”字模型

結(jié)論：①/3+/4=ND+NE；②/l+/2=/A+180。。

例1.(2023?浙江?八年級假期作業(yè))如圖是某建筑工地上的人字架，若4=120。，那么/3-/2的度數(shù)

【分析】根據(jù)平角的定義求出/4,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：如圖

Q?3?2?4,.-.Z3-Z2=Z4=60o,故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基

例2.(2023?綿陽市?八年級假期作業(yè))如圖，AABC中，ZA=65°,直線。E交AB于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,

則/3DE+NCED=().

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N4DE+N4ED,根據(jù)平角的概念計算即可.

【詳解】解：vZA=65°,.?.ZAD￡+ZA￡D=180o-65o=115°,

ZBDE+ZCED=360°-115°=245°,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180。是解題的關(guān)鍵.

例3.(2022?福建泉州?九年級校考期中)如圖，AABCSAADE,若ZA=6(T,NABC=45°,那么NE=()

A.75°B.105°C.60°D.45°

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出ao,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【詳解】解：0AABC^AAD￡,EEABC=0￡)=45O,

0EL4=6O°,EHE=180°—0A—團(tuán)。=180°—60°-45°=75°.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023秋?廣西?八年級專題練習(xí)）如圖所示，/D4E的兩邊上各有一點(diǎn)8,C,連接3C,求證

Z.DBC+NECB=180°+ZA.

【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可.

【詳解】解：3c和/EC5是AABC的外角，ZDBC=ZA+ZACB,ZECB=ZA+ZABC.

又?.?ZA+ZABC+ZACB=180。，,ZDBC+NECB=ZA+ZACB+ZABC+ZA=180o+ZA.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

例5.（2023?廣東八年級課時練習(xí)）如圖，已知在AABC中，ZA=40°,現(xiàn)將一塊直角三角板放在AABC上,

使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)8,C,直角頂點(diǎn)。落在AASC的內(nèi)部，則乙4BD+NACD=（）.

A.90°B.60°C.50°D.40°

【答案】C

【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得0ABC+EIAC8+0AZ8O。，iPEL4BC+EL4CB=18O-0A=14O",再說明

SDBC+SDCB^90°,進(jìn)而完成解答.

【詳解】解：團(tuán)在0A8C中，EA=4O°00ABC+E1ACB=18O-[3A=14OO

國在EIOBC中，EIB￡）C=9OofflDBC+0￡）CB=18O<>-9Oo=9Oo0ZABD+ZACD=40°-90°=50°故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵.

例6.（2023秋?河南信陽?八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1,AABC為直角三角形，ZA=90°,若沿圖中虛線

剪去—A,貝i」Nl+N2=；

AA

：決

、、、2

BC

圖1圖2圖3

(2)如圖2,在44BC中，ZA=40°,剪去NA后成為四邊形，則/1+/2=;

(3)如圖2,根據(jù)(1)和(2)的求解過程，請歸納N1+N2與NA的關(guān)系是；

(4)若沒有剪去NA,而是將NA折成如圖3的形狀，試探究4+N2與NA的關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)270°；(2)220°；(3)Zl+Z2=180°+ZA；(4)N1+N2=2NA,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。，三角形的外角和定理，則N1=NA+NAFE,Z2=ZA+ZAEF,

ZAFE+ZAEF^90°,即可；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。，三角形的外角和定理，貝IJN1=NA￡F+NA,Z2=ZAFE+ZA,

ZAFE+ZAEF^140°,即可；

(3)根據(jù)(1)和(2)可知，Z1+Z2=2ZA+ZAFE+ZAEF,根據(jù)/A+NAFE+/A￡F=180。，即可；

(4)根據(jù)折疊的性質(zhì)，貝LAFE也APEE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，則

Zl+2ZAfE=180°,Z2+2ZAEF=180°,ZA+ZAFE+ZAEF=180°,再根據(jù)等量代換，即可.

【詳解】(1)A4BC為直角三角形，NA=90。，0ZAFE+ZAEF=90°,

^\Z1=ZA+ZAFE,N2=ZA+ZAEF,0Z1+Z2=2ZA+ZAFE+ZA￡F,

0Z1+Z2=2x90°+90°=270°,故答案為：270°.

：\E

'、、2

AF、、

(2)0ZA=4O°,^ZAFE+ZAEF=140°,

SZ1=ZAEF+ZA,Z2=ZAFE+ZA,0Z1+Z2=2ZA+ZAPE+ZA￡F,

0Zl+Z2=2x4O°+14O°=22O°,故答案為：220°.

(3)由(1)和(2)得，Z1+Z.2^2ZA+ZAFE+ZAEF,

0ZA+ZAFE+ZA￡F=18O°,^\ZL+Z2=ZA+ZA+ZAFE+ZAEF,0Z1+Z2=ZA+18OO.

（4）N1+N2=2NA,理由見下：由題意得，&AFE纖PFE,SZAFE=ZPFE,ZAEF=ZPEF,

0Z1+2ZAFE=18O°,Z2+2ZAEF=180°,EZ1+Z2+2（ZAFE+ZAEF）=360°,

0ZA+ZAFE+ZAEF=180°,回ZAFE+ZAE尸=180°—ZA,

0Z1+Z2+2（18O°-ZA）=36O°,0Z1+Z2-2ZA=O,0Z1+Z2=2ZA.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形的外角

和定理.

例7.(2022秋?河北邯鄲,八年級統(tǒng)考期中)利用"模型"解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果.

幾何模型：如圖(1),我們稱它為"A"型圖案，易證明：fflEDF=fflA+EB+HC；

應(yīng)用上面模型解決問題：

⑴如圖（2）,"五角星"形，求NA+N4+NA+NA+NA=?

分析：圖中是"A"型圖，于是N&D4s=/4+/4+幺，所以NA+N4+N4+N4+NA=

⑵如圖（3）,"七角星"形，^ZAl+ZA2+ZA3+ZA4+ZA5+ZA6+ZA7；

⑶如圖（4）,"八角星"形，可以求得：ZAl+ZA2+ZA3+ZA4+ZA5+ZA6+ZAJ+ZAg=

【答案】(1)180°(2)180°(3)360°

【分析】(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案;

(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案.

(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個角轉(zhuǎn)化到一個四邊形中可得答案.

【詳解】([)解：如圖，

由三角形外角的性質(zhì)可得，ZADAZIZA

ZI=ZA+ZA4,^25=+3,SZA2DA5=ZAI+ZA4+ZA3,

o

0ZA￡)4+Z4+Z4=180°,ElZAt+ZA2+ZA3+ZA4+ZA5=180,故答案為：180°；

(2)如圖，由(1)得，Z1=ZAI+ZA4+ZA5,Z2=ZA,+ZA3+ZA6,

0Z1+Z2+ZA7=180°,13ZA+N4+Z4+NA4+NA+NA+N4=180°.

(3)如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，Z3=ZA+ZA4,N2=N4+/3,Z1=ZA3+ZA6,N3+N4=N4

;/1+/2+/4+幺=360。二4+/4+幺+幺+幺+幺+/4+幺=360°,故答案為：360°.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

模型3、三角板模型

【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?/p>

圖①中：ZA=30°,ZC=60°,圖②中：ZA=ZC=45°,

圖①圖②

例1.（2023?山西呂梁?聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖：和RtVDCE是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜

邊A8、Z）E在同一直線上，其中/ACB=/OCE=90。，ZC4B=30°,/CED=45。，則/ACD的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：團(tuán)由題意得NC4S=30。，ZCDE=ZCED=45°,

0ZACD=ZCDE-ZCAB=45°-30°=15°,故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一

個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.

例2.（2023春?安徽?九年級專題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中/ASC=〃=90。，NA=60。，

ZDCB=45°,若AC,如相交于點(diǎn)E,則的大小為（）

C.95°D.75°

【答案】B

【分析】在ABEC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出/3EC的度數(shù)，再結(jié)合對頂角相等，即可得出一血＞

的度數(shù).

【詳解】解:在ABEC中，/EBC=45。,NECB=30°,

0ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-45°-30°=105°,51ZAED=ZBEC=105°.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對頂角，牢記"三角形內(nèi)角和是180?！奔?對頂角相等"是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?陜西咸陽?校考一模）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)C在F。的延長線上，點(diǎn)C、

尸分別為直角頂點(diǎn)，且NA=60。，NE=45。,若AB"CF,則的度數(shù)是（）

1。一

FDC

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】由尸，利用"兩直線平行，內(nèi)錯角相等"可求出48二=30。，再利用三角形的外角性質(zhì)，即

可求出/C3O的度數(shù).

【詳解】解：0AB"CF,0ZBCD=ZASC=30°.

0ZBDF是△BCD的外角，EZ.CBD=ZEDF-/BCD=45°—30°=15°.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記”三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

內(nèi)角的和"及"兩直線平行，內(nèi)錯角相等"是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放其中含45。角的直角三角板的直角頂點(diǎn)在另一

個一三角板的斜邊上，若/1=18。，則N2的度數(shù)是（）

A.18°B.23°C.28°D.33°

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，由題意得：/A=45。，ZB=30°,

,45°B

2

-.?Zl=18°,.-.Z3=Z1+ZA=63O,.?.Z2=Z3-ZB=33°.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

例4.（2023春?陜西渭南?七年級統(tǒng)考期中）如圖，GA//FD,一副直角三角板A3C和。ER如圖擺放，

/EDF=60°,ZBAC^45°,若BC〃DE,則下列結(jié)論：①/G4B=30。；⑦AB〃EF；③NA￡?=120。；

④EC平分NDEF,正確的有.（填序號）

【答案】①②④

【分析】如圖，由題意得：ZB=ZDEF=90°,Zl=ABAC=45°,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

Z3=AEDF=60°,Z2=Z1=45°,進(jìn)而可求出NAERNEEC,即可判斷③④；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、

平行線的性質(zhì)和角的和差求出/G4fi=30。，即可判斷①；求出NB=NEHC=90。,進(jìn)而可判斷②.

【詳解】解：如圖，由題意得：/3=/。￡尸=90。,/1=/瓦1。=45。，=60°,SZDFE=30°,

aBC〃DE,回N3=NED尸=6O°,N2=N1=45。，

0ZDCE=180°-60°-45°=75°,ZAED=180°-Z2=135°,故結(jié)論③錯誤；

0ZFEC=90°-ZCED=45°,旦NFEC=NCED=45。,EIEC平分NDEF,故結(jié)論④正確；

BGA//FD,BlZGAC=ZDCE=75°,EZGAB=ZG4C-Z.BAC=75°-45°=30°,故結(jié)論①正確;

0ZEHC=Z3+Z,DFE=90°,0NB=NEHC,SAB//EF,故結(jié)論②正確；故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握

三角形的相關(guān)知識和平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例5.（2023春?湖南衡陽?七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，NC=NDFE=90。,ZS=30°,NE=45。,

點(diǎn)廠在BC上，點(diǎn)A在。R上，且AF平分/C4B,現(xiàn)將三角板DEE繞點(diǎn)/以每秒5。的速度順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)

⑴當(dāng)/=秒時，DE〃AB；當(dāng)，=秒時，DE.LAB-,

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，。尸與A8的交點(diǎn)記為P,如圖2,若AAFP有兩個內(nèi)角相等，求/的值；

⑶當(dāng)邊OE與邊AB、3c分別交于點(diǎn)A/、N時，如圖3,連接4E,設(shè)/區(qū)鉆=無。，ZAED=y°,NDFB=z。,

試問x+y+z是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）3；21⑵當(dāng)f為6或15或24時，AAFP有兩個內(nèi)角相等

⑶是定值，x+y+z=105,理由見解析

【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時間；

（2）畫出圖形，分類討論，?ZPAF=ZPFA；（2）ZPAF=ZAPF；@^PFA=^APF,求出旋轉(zhuǎn)角，再求

出f值；（3）找出與NB4E,NAED,ZDFB,有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，當(dāng)。時，ZEDF=ZSPF=45°

???AF平分/胡C,ZS4c=60°,:.ZBAF^30°,

15°

又為△釬尸的一個外角，ZPFA=ZBPF-ZBAF=45°-30°=15°,：.t=—=3；

如圖，當(dāng)時，ADPB=180°-90°-45°=45°,:.ZAPF=ZDPB=^5°,

105°

.-ZBAF=30°,ZAFP=180°-ZAPF-ZBAF=180°-45°-30°=105°,:.t=—=21.故答案為：3；21.

(2)①如圖，當(dāng)NR4F=NPE4時，

vZPAF=30°,:.ZPFA=30°,.\t=6；

②如圖，當(dāng)=時,?.?NR4F=30°,ZPAF+ZPFA+ZAPF=180°,

ZAFP=-(180°-30°)=75°,.」=15；

③如圖，當(dāng)ZR4F=ZAPF時，ZAFP=180°-ZR4F-ZAPF=180°-30°-30°=120°,:.t=24,

綜上所述：當(dāng)f為6或15或24時，△回?有兩個內(nèi)角相等.

（3）x+y+z是為定值105,理由如下：

是的一個外角，/MZVB是△DRV的一個外角，

:.ZBMN=ZBAE+ZAED=x0+y°,ZMNB=ZDFB+ZD=z°+45°,

XZ.BMN+ZMNB+ZB=180°,ZB=30°,/.x°+y°+z°+45°+30°=180°,

x°+y°+z°=105°,/.％+y+z=105.

【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時間為背景，考查了學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求

等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個角之間的關(guān)系

是關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?廣東江門?八年級?？计谥校┤缦聢D，N1+/2+/3+/4+/5+N6的度數(shù)為（）

A.540°B.500°C.460°D.420°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得4+/2=140。，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得

/3+/4=/1+/2=140。，同理可得/5+/6=N3+N4=140°,據(jù)止匕即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

IBZA=40o,0Zl+Z2=180°-40°=140°,

0Z1+Z7=18O°,Z2+Z8=180°,ElZl+Z2+Z7+Z8=360o

0Z7+Z8+Z3+Z4=36O°0Z3+Z4=Z1+Z2=14O°,

同理可得：Z5+Z6=Z3+Z4=140°,0Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=14O°x3=42O°,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于360。是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形A3C。中，ZC=90°,若沿圖中虛線剪去ZC,則

N1+N2等于（）

A.90°B.135°C.270°D.315°

【答案】C

【分析】運(yùn)用內(nèi)外角之間的關(guān)系可得Nl+N2=270°.

【詳解】解：回三角形的內(nèi)角和等于180。，團(tuán)可得/I和/2的鄰補(bǔ)角之和等于90。，

fflZ1+Z2=2x180°-90°=270°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和等于180。,解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握

這些知識點(diǎn).

3.（2023?福建福州?七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板。E尸放置在銳角0ABe上，使得該三角板的

兩條直角邊。E、。/恰好分別經(jīng)過點(diǎn)2、C,若朋BC+EIA02=120。，則0ABD+0ACD的值為（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得0ABC+fflAC8=12O。，0JDBC4-EDCB=9O°,進(jìn)而可求出0ABO+0ACD的

度數(shù).

【詳解】解：在△ABC中，EL4BC+0ACB=12OO,

在ADBC中，EBDC=90°,00DBC+EZ）CB=180°-90°=90°,

0EL4B￡>+0ACD=12O--90°=30°.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180%此題難度不大.

4.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）如圖，已知在RtA4BC中，ZC=90°,若沿圖中虛線剪去/C,貝U/1+N2

的度數(shù)是（）.

A.270°B.240°C.180°D.90°

【答案】A

【分析】利用四邊形內(nèi)角和為360。和直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：團(tuán)在Rt^ABC中，/C=90°,0ZA+ZB=9O°,

fflZl+Z2+ZA+ZB=360°,回/l+N2=360°-(ZA+/3)=270°故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵在于根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。和直角

三角形的性質(zhì)求解.

5.(2022秋?河南商丘?八年級統(tǒng)考階段練習(xí))如圖所示,五條線段首尾相連形成的圖形中ZA=90。，ZB=45°，

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】B

【分析】利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角之和求出？1?A?B135?,?2?D?E,

由NC=30。，求出N3=180。—30。=150。，再由外角和是360。即可求出答案.

【詳解】解：如圖，?.?/A=90。，ZB=45°,\?1?AIB135?,

?.?/C=30°,.?./3=180°-30°=150°,

v?l?2?3360?,\?2360?285?75?,

?.??2?D?E,\?D?E75?.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

6.(2023秋?湖北武漢?八年級校聯(lián)考期中)如圖，在由線段AB,CD,DF,BEC4組成的平面圖形中，〃=28。,

則NA+/B+NC+//的度數(shù)為().

B

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】C

【分析】如圖標(biāo)記行，2,?3,然后利用三角形的外角性質(zhì)得==Z2=ZA+ZC,再

利用N2,N3互為鄰補(bǔ)角，即可得答案.

【詳解】解：如下圖標(biāo)記彳子，2,?3,VZ1=ZB+ZF=ZD+Z3,

?.?ZZ)=28O,.-.Z3=ZB+ZF-28O,又?.?N2=ZA+NC,.-.Z2+Z3=ZA+ZC+ZB+ZF-28O,

vZ2+Z3=180°.-.180o=ZA+ZC+ZB+ZF-28o,ZA+ZC+ZB+ZF=180°+28°=208°,故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角

的意義是解答此題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則N1的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】由外角定理知，Z2=Z1+Z3,將已知角代入求解即可.

【詳解】解：如圖，Z2=60°,/3=45。，回/2=/1+/3,0?1?2?360?45?15?,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角定理，觀察圖形，由角的位置關(guān)系導(dǎo)出角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.（2023秋,海南?？?九年級校考期末）將一個直角三角板ABC與一個直尺按如圖所示的方式擺放，若

DE〃BF,ZC=30°,ZAFB=70°,則/CDE的度數(shù)為（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】D

【分析】根據(jù)//由8=70。，得到NCFB=NCED=110。，結(jié)合/C=30。得到/CDE得度數(shù).

【詳解】回ZAfB=70°,DE〃BF,0ZCFB=ZCED=180°-70°=110°,

0ZC=3O°,fflZCDE=180°-110°-30°=40°,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，補(bǔ)角，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9（2022春?廣東揭陽?八年級校考期末）探索歸納：

（1）如圖1,已知AABC為直角三角形，fflA=90°,若沿圖中虛線剪去EA,則回1+回2=°.

（2）如圖2,已知AABC中，她=40。，剪去0A后成四邊形，則01+回2=

（3）如圖2,根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想團(tuán)1+回2與她的關(guān)系是.

【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360。和直角三角形的性質(zhì)求解;

(2)根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解；

(3)根據(jù)(1)(2)可以直接寫出結(jié)果.

【詳解】解：(1)回四邊形的內(nèi)角和為360。，直角三角形中兩個銳角和為90。，

001+02=360°-(HB+fflC)=360°-90°=270°,EB1+EI2等于270°,故答案為：270°；

(2)01+02=360°-(EB+EIC)=360°-(18O--0A)=180°+&4=180°+40°=2200,故答案是：220°；

(3)團(tuán)1+團(tuán)2與EA的關(guān)系是：01+E2=18O°+EA；

證明：01+02=360°-(0B+0C)=360°-(180°-EIA)=180°+EA；故答案為：180°+EIA.

【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)

角和定理是解題的關(guān)鍵

10.(2022?安徽,八年級?？计谥?如圖，若NCGE=125。，貝U/A+/B+NC+/O+NE+NP=.

【答案】250。/250度

【分析】按圖先進(jìn)行標(biāo)注，根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出N￡MG=/O+NC,ZHGN=/C+/D+/E,

ZAHG=ZB+55°,ZANG=55°+ZF,ZA+ZAHG+ZHGN+ZANG=360°,進(jìn)行求解即可得出最

后結(jié)果.

【詳解】解：如圖，進(jìn)行標(biāo)注，

?.?/EMG是△MDC的一個外角，:./EMG=ND+NC,

是JWEG的一個外角，:"HGN=NE+NEMG,ZHGN=ZC+ZD+ZE,

?.?NAHG是ABaG的一個外角，:.ZAHG=NB+/BGH,

ZBGH=180°-ZCGE=180°-125°=55°,:.ZAHG=ZB+55°

ZANG是VNGF的一個外角，ZANG=ZNGF+NF=180°-125°+ZF=55°+NF,

vZA+ZAHG+/HGN+ZANG=360°ZA+ZB+55°+ZC+ZD+ZE+ZF+55°=360°

.?.ZA+ZB+NC+ZD+/E+/E=360?！?5?！?5。=250。，故答案為：250°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，圓周角及鄰補(bǔ)角的應(yīng)用，熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?四川綿陽?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知/1=60。，NC+〃+/E+/B+/A+N8=

【答案】240。/240度

【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果.

【詳解】連接CG,ZA+AB=ZACG+ZBGC,

^}ZA+ZB+ZACF+ZF=ZACG+ZBGC+ZACF+ZF=ZACG+ZACF+ZBGC+ZF

=180°-NFGB=18O°-Z1=120°

又"+/E=180°—/l=120°,0ZACF+ZD+ZE+ZF+ZA+ZB=12O0x2=24O°.故答案為：240°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)

以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2023春?重慶黔江?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2,其中

ZACS=30°,/ZME=45。，ZBAC=ZD=90°.固定三角板ABC,將三角板AZ汨繞點(diǎn)A按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角/。1￡=￡（0。＜。＜180。）.

D

DD

，/\口固定三角板45C

順時針方向旋轉(zhuǎn)

三角板/DE

B

圖1

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)“為一度時，AD//BC-,當(dāng)《為_度時，AD1BC.

（2）當(dāng)0。</<45。時，連接班），利用圖3探究/BDE+/C4E+/DBC值的大小變化情況，并說明理由.

【答案】（1）15,105（2）不變，理由見解析

【分析】（1）如圖1，記OE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)歹，DE與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G,由AD〃3C,可得

ZDAF=ZC=30°,再利用角的和差關(guān)系可得答案；如圖2,記與BC的交點(diǎn)為尸，求解

ZDAC=180°-ZAFC-ZC=180°-90°-30°=60°,由角的和差關(guān)系可