2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用之拋物線(xiàn)型問(wèn)題16題（專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）（學(xué)生版）

類(lèi)型四拋物線(xiàn)型問(wèn)題(專(zhuān)題訓(xùn)練)

1.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)一次足球訓(xùn)練中，小明從球門(mén)正前方8m的A處射門(mén)，

球射向球門(mén)的路線(xiàn)呈拋物線(xiàn).當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面

3m.已知球門(mén)高08為2.44m,現(xiàn)以。為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(mén)(忽略其他因素).

(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門(mén)路線(xiàn)的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向

正后方移動(dòng)多少米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處？

2.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線(xiàn)型，如圖所示，線(xiàn)段OE表示水平的路面，以。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線(xiàn)為x軸，以過(guò)點(diǎn)0垂直于x軸的直線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.根

據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m,該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m.

L/X/)

匕x/m

(1)求滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)A、B處分別安裝照

明燈.已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m,求點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

3.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題)某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī).通過(guò)實(shí)驗(yàn),

收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離無(wú)（單位：m）以、飛行高度y（單位：m）隨飛

行時(shí)間f（單位：s）變化的數(shù)據(jù)如下表.

飛行時(shí)間〃S02468

飛行水平距離x/m010203040

飛行高度y/m022405464

探究發(fā)現(xiàn)：》與乙V與/之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)來(lái)描述.直接寫(xiě)出x關(guān)于

，的函數(shù)解析式和>關(guān)于f的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）.

問(wèn)題解決：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線(xiàn)上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航

模飛機(jī).根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問(wèn)題.

U）若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線(xiàn)的高度為0m,求飛機(jī)落到安全線(xiàn)時(shí)飛行的水平距離；

（2）在安全線(xiàn)上設(shè)置回收區(qū)域〃N,4W=125m,MN=5m.若飛機(jī)落到MN內(nèi)（不包括端點(diǎn)

M,N）,求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線(xiàn)的高度的變化范圍.

4.甲秀樓是貴陽(yáng)市一張靚麗的名片.如圖①，甲秀樓的橋拱截面OA4可視為拋物線(xiàn)的一部

分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬。4=8m,橋拱頂點(diǎn)8到水面的距離是4m.

(1)按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距。點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水

位剛好在OA處.有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)

觸碰到橋拱，請(qǐng)說(shuō)明理由(假設(shè)船底與水面齊平)；

(3)如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線(xiàn)＞="2+法+c(a=0),該拋物線(xiàn)在x軸下方部分

與橋拱054在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象.將新函數(shù)圖象向右平移機(jī)(加＞0)個(gè)

單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在8VXV9時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，

求機(jī)的取值范圍.

5.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲.某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)

題，請(qǐng)解答這道題.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1機(jī)長(zhǎng).嘉嘉在點(diǎn)A(6,l)處將沙包(看成點(diǎn))

拋出，并運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)為拋物線(xiàn)6：丫=。5-3）2+2的一部分，淇淇恰在點(diǎn)8（0,c）處接住，然后

1M

跳起將沙包回傳，其運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)為拋物線(xiàn)C2:y=-弓/++c+i的一部分.

OO

（1）寫(xiě)出G的最高點(diǎn)坐標(biāo)，并求。，c的值;

（2）若嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點(diǎn)A水平距離不超過(guò)1m的范圍內(nèi)可以接到沙包,

求符合條件的n的整數(shù)值.

6.2022年北京冬奧會(huì)即將召開(kāi)，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情.如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)

練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線(xiàn)為x軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線(xiàn)的垂線(xiàn)為y軸，

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建立平面直角坐標(biāo)系.圖中的拋物線(xiàn)Cy=--x2+-x+l近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山

1：126

坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)。正上方4米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線(xiàn)C2：y=-1x2+6尤+c運(yùn)

O

動(dòng).

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)，離水平線(xiàn)的高度為8米，求拋物線(xiàn)C?的

函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線(xiàn)的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎

直距離為1米？

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)3米時(shí)，求〃的取值范圍.

7.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知

識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線(xiàn)路的分析.

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA=3m,C4=2m,

擊球點(diǎn)尸在y軸上.若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離Mm)近似滿(mǎn)足一次函

數(shù)關(guān)系y=-0.4%+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離Mm)近似滿(mǎn)足二

次函數(shù)關(guān)系y=a(%-iy+3.2.

y-

y=a(x-\)2-\-32

y=-0.4x+2.8B

___________________I.

"^|AC*

⑴求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值.

(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過(guò)網(wǎng).要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近,

請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式.

8.如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣在x軸上，且AB=8

dm,外輪廓線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分，對(duì)稱(chēng)軸為丫軸，高度OC=8dm.現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切

割：

(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積;

(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；

(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題)乒乓球被譽(yù)為中國(guó)國(guó)球.2023年的世界乒乓球標(biāo)賽中，

中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績(jī)的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開(kāi)

的.如圖，是乒乓球臺(tái)的截面示意圖，一位運(yùn)動(dòng)員從球臺(tái)邊緣正上方以擊球高度為28.75

cm的高度,將乒乓球向正前方擊打到對(duì)面球臺(tái)，乒乓球的運(yùn)行路線(xiàn)近似是拋物線(xiàn)的一部分.

OCB

圖①圖②

乒乓球到球臺(tái)的豎直高度記為V（單位：cm）,乒乓球運(yùn)行的水平距離記為x（單位：cm）.測(cè)

得如下數(shù)據(jù)：

水平距離x/cm0105090130170230

豎直高度y/cm28.7533454945330

（1）在平面直角坐標(biāo)系無(wú)S中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，V）,并畫(huà)出表示乒乓球運(yùn)

行軌跡形狀的大致圖象；

j/cm

60

50

40

30

20

10

°102030405060708090100110120130140150160170180190200210220230240"cm

（2）①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是cm,當(dāng)乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)

上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是cm；

②求滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)解析式；

（3）技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度。4,乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒

乓球既能過(guò)網(wǎng)，又能落在對(duì)面球臺(tái)上，需要計(jì)算出。4的取值范圍，以利于有針對(duì)性的訓(xùn)

練.如圖②.乒乓球臺(tái)長(zhǎng)為274cm,球網(wǎng)高8為15.25cm.現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰

好過(guò)網(wǎng)的擊球離度。4的值約為L(zhǎng)27cm.請(qǐng)你計(jì)算出乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處

時(shí)，擊球高度。4的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）.

10.跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線(xiàn)是拋

物線(xiàn)的一部分（如圖中實(shí)線(xiàn)部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線(xiàn)部分所示）上，著陸

坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過(guò)K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高.2022

年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度。4為66m,基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為

75m,高度為/zm(h為定值).設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度y(m)與水平距離x(m)之

間的函數(shù)關(guān)系為丁=公2+匕%+或。工0).

1Q

⑵①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)〃=-而乃二木，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；

②若a=一5時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過(guò)K點(diǎn)，則b的取值范圍為;

(3)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m,試判斷他的落地點(diǎn)能否超

過(guò)K點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

11.(2023.廣東深圳.統(tǒng)考中考真題)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，

它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆

上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以

看作矩形A3CD和拋物線(xiàn)A￡D構(gòu)成，其中AB=3m,BC=4m,取中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作

線(xiàn)段8C的垂直平分線(xiàn)OE交拋物線(xiàn)AED于點(diǎn)E,若以。點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，OE

為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

⑴如圖，拋物線(xiàn)AED的頂點(diǎn)儀0,4),求拋物線(xiàn)的解析式;

⑵如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT,

SMNR,若FL=M?=0.75m,求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)；

(3)如圖，在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)透過(guò)A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為BK,求

BK的長(zhǎng).

12.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)拱橋景觀(guān)燈的懸掛方案？

素材1

圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線(xiàn)形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m,拱頂離水面

5m.據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲L8m達(dá)到最高.

5iw

圖I

素材2

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距

離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為L(zhǎng)6m；為了美觀(guān)，要求

在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿(mǎn)后成軸對(duì)稱(chēng)分布.

問(wèn)題解決

任務(wù)1

確定橋拱形狀

在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.

任務(wù)2

探究懸掛范圍

在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值

范圍.

任務(wù)3

擬定設(shè)計(jì)方案

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸

掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

13.如今我國(guó)的大棚(如圖1)種植技術(shù)已十分成熟.小明家的菜地上有一個(gè)長(zhǎng)為16米的蔬

菜大棚，其橫截面頂部為拋物線(xiàn)型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端

固定在離地面高2米的墻體8處，現(xiàn)對(duì)其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.已知大

棚上某處離地面的高度y(米)與其離墻體A的水平距離無(wú)(米)之間的關(guān)系滿(mǎn)足

y=~x2+bx+c,現(xiàn)測(cè)得A,8兩墻體之間的水平距離為6米.

(1)直接寫(xiě)出6,。的值；

(2)求大棚的最高處到地面的距離；

(3)小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為《37米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以

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搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？

14.如圖1是一座拋物線(xiàn)型拱橋側(cè)面示意圖.水面寬AB與橋長(zhǎng)CD均為24m,在距離D點(diǎn)6

米的E處，測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5m,以橋拱頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面

直角坐標(biāo)系.

(1)求橋拱項(xiàng)部0離水面的距離.

(2)如圖2,橋面上方有3