2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：集合與常用邏輯用語 專項訓(xùn)練（含解析）

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第一講-集合與常用邏輯用語-專項訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對集合的考查，重點是2022?新高考□卷，

集合間的基本運算，主要考查1

集合的交、并、補運算，常與2023?新高考□卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的運算

次不等式解法、分式不等式解2024?新高考□卷，

法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)1

合.2022?新高考口卷，

2.高考對常用邏輯用語的考查1

重點關(guān)注如下兩點：2023?新高考□卷，

根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

（1）集合與充分必要條件相2

結(jié)合問題的解題方法；2023?新高考□卷，

充分必要條件的判定

（2）全稱命題與存在命題的7

否定和以全稱命題與存在命題全稱、存在量詞命題真假的2024?新高考口卷，

為條件，求參數(shù)的范圍問題.判斷2

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依舊考查了集合的交集運算，常用邏輯

用語在新高考口卷中考查了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考

“考無定題”，以前常考的現(xiàn)在不一定考了，抓住知識點和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合

和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：（1）集合的基本運算和充要條件；（2）集合與簡單的不

等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計2025年高考還是主要考查集合的基本運算。

三：試題精講

1.(2024新高考口卷-I)已知集合4={尤|-5</<5},3={_3,-1,0,2,3},則=

()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{一3,-1,0}D.{—1,0,2)

2.（2024新高考□卷2）已知命題p：VxeR,1尤+1|>1；命題q：3x>0,丁=%,則

（）

A.。和q都是真命題B.F和q都是真命題

c.0和r都是真命題D.刃和r都是真命題

高考真題練

1.（2022新高考口卷T）若集合M={x]?<4},N={x|3x21},則/cN=（）

A.{x|0Wx<2}B.C.{x|3<x<16}D.j<x<161

2.（2023新高考□卷-1）已知集合Af={—2,-l,0,l,2},^={^|^2-x-6>o},則McN=

（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.（2022新高考□卷T）已知集合4={-1,1,2,4},2=卜卜-1區(qū)1},則（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.（2023新高考□卷2）設(shè)集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若AgB,則。=

（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

5.（2023新高考口卷—7）記S,為數(shù)列{%}的前“項和，設(shè)甲：{%}為等差數(shù)列；乙：

{2}為等差數(shù)列，則（）

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

知識點總結(jié)

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學(xué)

對象外，還可以是其他對象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該

集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能

重復(fù)出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作a^A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合3中

的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集,記作A=3

（或5"），讀作"A包含于3”（或“3包含A”）.

（2）真子集：對于兩個集合A與3,若且存在beB，但方任人，則集合A是

集合6的真子集，記作AUB（或3￡A）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”?

（3）相等：對于兩個集合A與3，如果A[3，同時3=A，那么集合A與3相等，

記作A=3?

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本運算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，

記作Ac3,即AcB={x|xeA且xe8}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與3的并集，

記作即AuB={x|尤eA或xeB}.

（3）補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作C^A,即

CuA={x\x&U,且Y任A）.

四、集合的運算性質(zhì)

（1）Ap|A=A>AO0=0，4「3=3口4，AnBcA，AcB=B.

（2）A\JA=A，A\J0=A，=ACAUB-

（3）AC\（CuA）=0,A\J（CuA）=U，CU（CUA）=A.

（4）Ar^B=A<^>A<JB=BA^B'^BcAc%8=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2".1個，非空子集有

2"_]個，非空真子集有才_2個.

（2）空集是任何集合a的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AaBoAnBuAoAUBMoQBuQA.

(4)Q(An8)=(QA)U(QB),Q(AUB)=(CVA)A(QB).

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若夕,則q”為真(記作0=“)，則p是4的充分條件；同時4是p的必要條

件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若且44p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若q且q=>0,則p是q的必要不充分條件；

(3)若且qnp,則P是q的的充要條件(也說p和q等價)；

(4)若q且44P>則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M

中的任意一個x,有p(x)成立"可用符號簡記為“VreM,p(x)”，讀作“對任意x屬于

M,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個“在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題

“存在M中的一個飛,使p(x0)成立"可用符號簡記為0cMp(%)”，讀作“存在〃中

元素飛,使雙毛)成立,’(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:X/xeAf,P(x)的否定為土0cM,~^p(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0eM,p(x0)的否定為VxeM，r?(x).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一.

【常用邏輯用語常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x)},B={x\q(x)}.

(1)若A=則p是4的充分條件(pnq),4是p的必要條件；若4雕，則p是

q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件，即〃=><?且“4p;

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=大”.

(2)若3=4,則p是4的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=3,則p與4互為充要條件.

名校模擬練

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“玉>0,尤2+》-1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+.r-l>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.3x<0,x2+%—1>0D.3.x<0,x2+x—1<0

2.(2024?湖南長沙?三模)已知集合M={x||x[”2},N={x|lnx<l},則McN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024?河北衡水三模)已知集合4={1,2,3,4,5},B-1<Ig(x-l)<,則

AQB=()

A.j.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.卜生

4.（2024?陜西?三模）已知集合4={兄-14*42},3={尤|一%2+3%>0},則（）

A.RB.（0,2]C.[-1,0）D.[-1,3）

5.（2024?安徽?三模）已知集合4={+5"。},3={小>-2},則圖中所示的陰影部

分的集合可以表示為（）

A.[x\-2<x<i^B.{x1-2VxVl}

C.{%|-5<x<-2)D.{x卜5Vx<-2}

6.（2024?湖南長沙三模）已知直線/:fcc-y+同=0,fflO:x2+/=l,則“（<1”是

“直線/上存在點尸，使點尸在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2024?湖北荊州三模）已知集合&=舊2元-VW。},B=其中R是實數(shù)集，集

合C=則3cC=（）

A.（f0]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

8.（2024?北京?三模）已知集合&=卜卬<1},若。公心則?？赡苁牵ǎ?/p>

A.-B.1C.2D.3

e

9.（2024?河北衡水?三模）已知函數(shù)/（?=（2*+“27卜inx,貝廣病=1”是“函數(shù)/⑴是

奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

10.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,夕是兩個不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且

=/則“血是“〃"/月且根//0”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.（2024?北京?三模）已知&={尤隧2（尤-1）41},B=|x||x-3|>21,則4（8=（）

A.空集B.或x>5}

C.{x|xV3或x>5且xHl}D.以上者K不對

12.（2024?四川三模）已知集合&={。,3,5},B={x|x（x-2）=0）,則4口3=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024?重慶?三模）已知集合4={無€叫/-%-2<0},2={引y=2，,xeA},則

AC\B=（）

A.（一L4）B.生］C,加D.,,"

14.（2024?北京?三模）"AABC為銳角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2024?上海?三模）設(shè)lva<>,集合4={1,。,可，集合

B=^t\t=xy+^,x,yeA,x^y^,對于集合8有下列兩個結(jié)論：口存在。和6,使得集合

8中恰有5個元素；□存在a和6,使得集合3中恰有4個元素.則下列判斷正確的是

（）

A.□□都正確B.□；□都錯誤C.口錯誤，□正確D.□正確，□錯誤

二、多選題

16.（2024?江西南昌?三模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若{尤|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,則°的取值范圍是a<-3

B.若{x|尤+3>0}c{尤|尤-a<O}=0,則a的取值范圍是aV-3

C.若{x|x+3>（）2{x|x-a<0}=R,貝。的取值范圍是aN-3

D.若{x|x+3>O}u{x|x-a<O}=R,則°的取值范圍是a>-3

17.（2024?遼寧?三模）已知max{占,…,王}表示國,馬，…,無“這”個數(shù)中最大的數(shù).能說

明命題“Va,6,c,dwR,max{a,6}+max{c,d}2max{a,6,c,d}”是假命題的對應(yīng)的一組

整數(shù)a,b,c,d值的選項有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,-1,-2,-3D.5,3,0,-1

18.（2024?重慶?三模）命題“存在x>0,使得,n?+2x_i>o”為真命題的一個充分不必

要條件是（）

A.m>-2B.m>-lC.m>0D.m>\

19.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知。，人>0,則使得“a>夕’成立的一個充分條件可

以是（）

A.—<yB.|a-21>|￡>—21C.a^b-ab2>a—b

ab

D.ln（a2+l）>ln（Z72+l）

20.（2024?安徽安慶三模）已知集合4=3€2--2%-8<0},集合

8={x|9工>3"：〃7wR,xeR},若AcB有且僅有3個不同元素，則實數(shù)，"的值可以為

（）

A.0B.1C.2D.3

三、填空題

21.（2024?湖南長沙?三模）已知集合4={1,2,4},3={“,〃},若=則

d—

22.（2024?上海?三模）已知集合A={0,1,2},B={x|x3-3x<1},貝1140臺=

23.（2024?湖南衡陽?三模）已知集合4={。,々+1},集合8={xeN|x2-x_2V0},若

B,則〃=.

24.（2024?湖南邵陽?三模）A=^eN|log2（x-3）<2）,5=jx||^|<oj,貝lj

AQB=.

25.（2024?安徽三模）已知集合4={42,-1},3={引y=/,xeA},若AuB的所有元素

之和為12,則實數(shù)2=.

26.（2024?山東聊城?三模）已知集合4={1,5,/},3={1,3+2。},且Au8=A,則實數(shù)。

的值為.

27.（2024?重慶?三模）已知集合4=卜|尤2-5x+6=。},8={尤［-1<X<5,XCN},則滿足

AcCOS的集合C的個數(shù)為.

28.（2024?天津?三模）己知全集。=口?^|》<7},集合A={1,2,3,6},集合

3={xeZ|W<5},則@4）口2=，A\JB=

29.（2024?山東泰安?三模）已知集合A=無一<0,B={x|log2x>?）若

3三（條力，則。的取值范圍是.

30.（2024嚀夏銀川三模）已知命題p：關(guān)于x的方程犬-辦+4=0有實根；命題q：

關(guān)于》的函數(shù)〉=143（2爐+辦+3）在［3,+8）上單調(diào)遞增，若“p或q”是真命題，“。且q”

是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是

參考答案與詳細解析

:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對集合的考查，重點是2022?新高考口卷，

集合間的基本運算，主要考查1

集合的交、并、補運算，常與2023?新高考□卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的運算

次不等式解法、分式不等式解2024?新高考口卷，

法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)1

合.2022?新高考口卷，

2.高考對常用邏輯用語的考查1

重點關(guān)注如下兩點：2023?新高考口卷，

根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

（1）集合與充分必要條件相2

結(jié)合問題的解題方法；2023?新高考□卷，

充分必要條件的判定

（2）全稱命題與存在命題的7

否定和以全稱命題與存在命題全稱、存在量詞命題真假的2024?新高考口卷，

為條件，求參數(shù)的范圍問題.判斷2

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依舊考查了集合的交集運算，常用邏輯

用語在新高考口卷中考查了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考

“考無定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住知識點和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合

和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：（1）集合的基本運算和充要條件；（2）集合與簡單的不

等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計2025年高考還是主要考查集合的基本運算。

三：試題精講

1.(2024新高考□卷—1)已知集合4={尤|-5</<5},8={_3,-1,0,2,3},貝=

()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2)

【答案】A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因為A={x|-為<x(出},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈為<2,

從而49={-1，0}.

故選：A.

2.(2024新高考口卷2)已知命題p：VxeR,I無+1|>1；命題q：3x>0,x3=x,則

()

A.p和q都是真命題B.父和q都是真命題

c.p和r都是真命題D.f和r都是真命題

【答案】B

【分析】對于兩個命題而言，可分別取x=T、*=1,再結(jié)合命題及其否定的真假性相

反即可得解.

【詳解】對于P而言，取x=T,則有舊+[=。<1,故P是假命題，刃是真命題，

對于4而言，取x=l,則有無3=]3=]=無，故q是真命題，F(xiàn)是假命題，

綜上，力和q都是真命題.

故選：B.

高考真題練

1.(2022新高考口卷T)若集合M={x]?<4},N={x\3x>l},則McN=()

A.{x|0W尤<2}C.{x|3<x<16}D.sx—<x<16

【答案】D

【分析】求出集合M,N后可求McN.

【詳解】M={x\Q<x<X6],N={x\x>^i,故McN={x《4x<16

故選：D

2.(2023新高考口卷-1)已知集合河={—2,-1,0,1,2},N={x\^-x-6>o\,則McN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一：因為汩卜卜2一.6訓(xùn)=(-8,-2]33,+8),而,={—2,—1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因為M={-2,-l,0,l,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式Q—>620,只有-2使不

等式成立，所以McN={-2}.

故選：c.

3.(2022新高考□卷T)已知集合4={-1,L2,4},2=,卜-1|41},則()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合B后可求Ac瓦

【詳解】［方法一卜直接法

因為3={x|0Wx42},故AHB={L2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

尸-1代入集合2=國尤-1區(qū)1},可得2V1,不滿足，排除A、D；

x=4代入集合2=卜卜-1區(qū)1},可得3<1,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；

方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解.

4.(2023新高考□卷2)設(shè)集合A={0,-。},B={l,a-2,2a-2\,若則。=

().

2

A.2B.1C.；D.-1

3

【答案】B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為4。星則有：

若＞2=0,解得°=2,此時4={0,-2},3={1,。,2},不符合題意;

若2a-2=0,解得a=l,此時A=｛0,-L｝,B=符合題意;

綜上所述：a=l.

故選：B.

5.(2023新高考口卷-7)記5,為數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和，設(shè)甲：｛q｝為等差數(shù)列；乙：

｛邑｝為等差數(shù)列，則()

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與

第n項的關(guān)系推理判斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項為由,公差為(

i?“("-1),S”n-l,ddS“+]S“=d

貝m(ijS=nci^H----------d,—=qH-------d=一”+q

n"2n222)n+1n2

因此｛2｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：｛2｝為等差數(shù)列，即“■■區(qū)/必用-。;1電=〃。一:"為常數(shù),設(shè)為乙

nn+1nn(n+Y)n(n+l)

即""廣："=，,則S“=〃a“+i_/?〃(〃+1),有S“_1=(〃-1)。"-人〃(〃-1),〃*2,

w(w+l)

兩式相減得：a”=%+i-("-1)?！?2”?,即%+[-a“=2f,對”=1也成立,

因此｛4｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項%,公差為d,即

Cn(n-l)

="%+--—d,

則&=q+紇=9+因此｛2｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

反之，乙：｛%為等差數(shù)列，即辿-&=。,&=廿+5-1)。，

nn+1nn

即Sn=ns1+n(n-1)D,S,」=(〃-1)^+(〃-1)(〃-2)D,

當(dāng)2時，上兩式相減得：S“-S“T=H+2(〃T)。，當(dāng)”=1時，上式成立，

于是%=4+25-1)。，又%-%=%+2九［q+2("-1)。］=2D為常數(shù)，

因此｛4｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

知識點總結(jié)

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學(xué)

對象外，還可以是其他對象.

2、集合元素的特征

(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該

集合中的元素.

(2)互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能

重復(fù)出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作。eA）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合3中

的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集，記作A=3

（或BqA）,讀作“A包含于3”（或“3包含屋）.

（2）真子集：對于兩個集合A與3，若AgB，且存在beB，但6任&，則集合A是

集合3的真子集，記作At）2（或.讀作“A真包含于3”或“3真包含A

（3）相等：對于兩個集合A與3,如果4=8，同時3=4,那么集合A與3相等，

記作4=3?

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本運算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，

記作Ac5,即AcB={x|元eAJLxeB}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與3的并集，

記作即Au8={x|xwA或xe8}.

（3）補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集

合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作C%,即

CuA=[x\xGU,SJCeA}.

四、集合的運算性質(zhì)

(1)4八4=4，AD0=0，AAB=gr|A，Ac3=A，AcB=B.

⑵A\JA=A>A\J0=A>AUB=3UA，A=AD3，B=ADB.

(3)AH(CvA)=0,AU(QA)=U，CU(CUA)=A.

(4)AryB=A<^>A<jB=B<^A^B<^>'j^Bc^AoAc%8=0

【集合常用結(jié)論】

(1)若有限集A中有"個元素，則A的子集有2,個，真子集有2"-1個，非空子集有

2〃_1個，非空真子集有2"一2個.

(2)空集是任何集合a的子集，是任何非空集合8的真子集.

(3)A^B^AC\B=A^A\JB=B^CVBCQA.

(4)C0(An8)=(QA)U(Q8)，Q(AUB)=(CVA)Q(QB)?

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p,則二'為真(記作0=4),則p是夕的充分條件；同時夕是p的必要條

件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若°=>q且44p,則p是q的充分不必要條件；

(2)若q且q=>0,則p是q的必要不充分條件；

(3)若p=>q且q=>0,則p是q的的充要條件(也說p和q等價)；

(4)若4且44p，則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量

詞，并用符號“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M

中的任意一個X,有p(元)成立“可用符號簡記為“讀作”對任意x屬于

M,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存

在量詞，并用符號表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題

“存在"中的一個％,使p(x0)成立"可用符號簡記為“可wMP(x。)”，讀作“存在M中

元素%,使p(x0)成立“(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:VxeAf,p(x)的否定r?為加wM,~^p(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0eM,p(x0)的否定為VxeMrXx).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一.

【常用邏輯用語常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x)},8={x|g(x)}.

(1)若A=B,則p是夕的充分條件(0=4),q是p的必要條件；若則p是

4的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件，即p=q且4乙p;

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小二大”.

(2)若則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=3,則p與q互為充要條件.

名校模擬練

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“土>0戶2+了_1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.3X<0,X2+X-1>0D.3^<0,x2+x-1<0

【答案】B

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

即命題”即>0,x2+x-l>?！钡姆穸椤癡x>0,x2+x-l<0,5.

故選：B.

2.(2024?湖南長沙?三模)已知集合M={x|國,,2},N={x|lnx<l},則McN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡N,根據(jù)交集運算求解即可.

【詳解】因為M千2,2],N=(O,e),

所以MnN=(O,2].

故選：D.

3.(2024?河北衡水?三模)已知集合人={1,2,3,4,5},B=L|-1<Ig(x-l)<4,貝I」

A[}B=()

A.|x[^<x<51B.{2,3,4}C.{2,3}

D.x[<x<3

【答案】B

【分析】求得8=卜年"4加+“，可求AcB.

【詳解】B=1x|-l<lg(x-l)<|j=|x|^<x<Vi0+lj

又4={1,2,3,4,5},故488={2,3,4},

故選：B.

4.(2024?陜西?三模)已知集合4={乂-14*42},8=卜|一/+3%>0},則473=()

A.RB.(0,2]C.[-1,0)D.[-1,3)

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合凡再根據(jù)集合并集定義計算即可.

【詳解】由-爐+3*>0,解得0<x<3,所以集合3={x[0<x<3},

所以Au8={尤|-14元<3},所以AuB=[T3）.

故選：D.

5.（2024?安徽?三模）已知集合人={+56<1},B={x\x>-2},則圖中所示的陰影部

分的集合可以表示為（）

A.{%|-2<%<1}B.{x|-2<x<l

C.{%|-5<x<-2}D.{尤卜5Vx<

【答案】C

【分析】圖中所示的陰影部分的集合為4BeA,結(jié)合集合的運算即可得解.

【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合的元素為A,

而A={x|—5WxV1},8={x|x＞—2},貝瑜8={x|xV-2},

＜^BnA={%|-5＜%＜-2],

故所求集合為

故選：C.

6.（2024?湖南長沙?三模）已知直線/:fcc-y+恒=0,fflO:x2+/=l,則“左＜1”是

“直線/上存在點尸，使點尸在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由直線與圓相交可求得-則通過判斷-1〈左＜1與左＜1的關(guān)系可得答

案.

【詳解】由直線/上存在點尸，使點尸在圓。內(nèi)，得直線/與圓。相交，即

VF+1

解得即林

因為后＜1不一定能得至（J-1〈左＜1,而一1〈左＜1可推出上＜1,

所以“人＜1”是“直線/上存在點P,使點P在圓。內(nèi)”的必要不充分條件.

故選：B

7.（2024?湖北荊州?三模）已知集合力=何2>/40},B=^A,其中R是實數(shù)集，集

合。=（一力』，則3cC=（）

A.（f0]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補集定義與交集定義計算即可得.

【詳解】由2x-fV0可得x4?；騲?2,則B='A={x[0<x<2},

又。=（一力』，故BcC=（O,l].

故選：B.

8.（2024?北京?三模）已知集合4={珅1?<1},若。范人則?？赡苁牵ǎ?/p>

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解對數(shù)不等式化簡集合A,進而求出。的取值集合即得.

【詳解】由lnx<l,得0cx<e,則A={x[0<x<e},4A={x|xW?；?e},

由a走A,得ae”，顯然選項ABC不滿足，D滿足.

故選：D

9.（2024?河北衡水三模）已知函數(shù)/。）=（2"+〃"2r卜inx,貝產(chǎn)療=/，是“函數(shù)了⑺是

奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，可求得〃2=1,可得結(jié)論.

【詳解】若函數(shù)了⑺是奇函數(shù)，

貝(J/"(x)+/(—x)=(2"+底2-*卜也》一(2一“+wj-2")sinx=(I—"z)(2"—2-，sinx=0恒成立，即

m=l,

而〃，=1,得%=±1.

故“m2=1”是“函數(shù)/⑺是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

10.(2024?內(nèi)蒙古?三模)設(shè)a,夕是兩個不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且

［。尸=/則“加〃/“是“///且機//￡”的()

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件

的判定方法，即可求解.

【詳解】當(dāng)機〃/時，〃可能在a內(nèi)或者夕內(nèi)，故不能推出機〃〃且"〃3,所以充分性

不成立；

當(dāng)機〃，且1時，設(shè)存在直線〃ua,nu/3,旦,

因為機/力，所以“〃￡,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知〃〃/,

所以機///,即必要性成立，故"是“5//且初/<z”的必要不充分條件.

故選：C.

11.(2024?北京?三模)已知4={尤隧《一1)<1},B={x||x-3|>2},則40臺=()

A.空集B.{x|xV3或x>5}

C.{x|xW3或X>5且XH1}D.以上者E不對

【答案】A

【分析】先求出集合A,2,再由交集的定義求解即可.

【詳解】4={司1。82(苫-1)41。822}={尤|0<》一1〈2}={尤[1<尤43},

B=^x\x—?>>2或x-3<-2}={引尤<1或%>5},

所以Ac3=0.

故選:A

12.(2024?四川?三模)已知集合4={0,3,5},B={x|x(x-2)=0),則加3=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】將集合B化簡，然后結(jié)合交集的運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意3={#(*-2)=0}={0,2},所以4。3={0,3,5泊{0,2}={0}.

故選：B.

13.(2024?重慶?三模)已知集合4=卜€(wěn)嗎/__￥_2<0},3={引y=2，,xeA},貝lj

AAB=()

A.(T4)B,Q,l]C,目D.g,"

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域得集合B,然

后利用交集運算求解即可.

2

【詳解】A={xGR|x-x-2<0}={xGR|(x-2)(x+l)<0}={xeR|-l<x<2}=(-l,2),

貝!|B={y|y=2",xe（_l,2）}=<jy］；<y<4:=1g,4j,

所以A「3=（q,2）.

故選：D

14.（2024?北京?三模）"AABC為銳角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可

得解.

【詳解】充分性：

因為AASC為銳角三角形，

所以A+B>5，即—8>0,

所以sinA>sin一呂）=cosB,

同理可得sin3>cosC,sinC>cosA,

故充分性得證；

必要性：

因為sinA>cos3,所以sinA>sin,-g1,

因為0<3<兀,所以三苫-2苫，

若A*,則4+8囁

若AV],則所以A+2>5,

綜上，A+B,，

JTTT

同理B+C>5，A+C>5，

所以AMC為銳角三角形，

必要性得證，

綜上所述，為充分必要條件.

故選：c.

15.（2024?上海?三模）設(shè)1<。<6,集合A={l,a,6},集合

B=^t\t=xy+^,x,yeA,x^y^,對于集合8有下列兩個結(jié)論：口存在a和6,使得集合

3中恰有5個元素；□存在a和b,使得集合3中恰有4個元素.則下列判斷正確的是

()

A.□□都正確B.□□都錯誤C.□錯誤，□正確D.□正確，□錯誤

【答案】A

【分析】由題意可知2av2b,Q~\—<Z?H—<db—vab—,對于□舉例分析判斷即可,

abba

對于口，若b,貝！16+1=2后，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存性定理

ab

2b=ab+-

[b

可確定出6,從而可進行判斷.

【詳解】當(dāng)尤=l,y=a時，t=xy+2=Q+a=2Q,

x

當(dāng)％=l,y=Z?時，t=xy+—=b+b=2b

x9

當(dāng)％=a,y=l時，t=xy+—=a+—,

xa

y匕

x=a,y=b,t—xyH——ab—,

xa

當(dāng)％=〃,y=l時，t=xy+—=b+—,

xb

、“7y1a

當(dāng)％=/7,y=Q時，t=xy+—=ab+—

xb9

氏|大J1va<b,月f以2Q<2b,QH—<bT—<ab—<ab—,

abba

當(dāng)a=',b=\/3時，2a=3,2b=2A/3,6/+—=—+—=—=^3+-4==4A,

2a236bJ33

加"三號，=1后ab+/"+上當(dāng)=26,

所以8=9,2后層百A的,有5個元素，所以口正確,

2a=b+—

b則46=I":得Z?+g=2指

若,|,,

?b

2b=ab+—

b

ii__i_

2

令/0)=彳+—2?(%>1),貝！|f\x)=1T-x(x>l),

XX

i21--

令g(x)=l——--X