2025高考數(shù)學(xué)解答題專(zhuān)練：圓錐曲線的綜合應(yīng)用（10大題型）含答案及解析

斛答題，，圓布曲俵的徐金瘙用

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題型一最值問(wèn)題.......................................................................1

題型二參數(shù)范圍問(wèn)題...................................................................3

題型三定值問(wèn)題.......................................................................4

題型四過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.....................................................................6

題型五定直線問(wèn)題.....................................................................7

題型六動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題...................................................................9

題型七角度關(guān)系證明問(wèn)題..............................................................11

題型八向量共線問(wèn)題..................................................................12

題型九存在性問(wèn)題探究...............................................................14

題型十“非對(duì)稱”韋達(dá)定理.............................................................16

必刷大題..............................................................................18

題型一

o大題典例

1.(24-25高三上?福建福州?月考)已知橢圓「:4+g=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,3),右焦點(diǎn)為斤(2,0)

a

(1)求橢圓「的方程；

(2)若直線Z與『交于C兩點(diǎn),且直線AB與AC的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)M與尸的最小距

離.

S變式訓(xùn)練???

2.(24-25高三上?貴州黔東南?開(kāi)學(xué)考試)已知雙曲線G：與—耳=l(o>0,6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物

a?bz

線a：靖=的的焦點(diǎn)尸重合，且G被&的準(zhǔn)線i截得的弦長(zhǎng)為苧.

⑴求a的方程；

(2)若過(guò)斤的直線與G的上支交于4,8兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|出+5司的取值范圍.

3.(24—25高三上?四川成都?期中)已知拋物線E：靖=2pc(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),直線=+m與

E的交點(diǎn)為A,B,且直線PA與PB傾斜角互補(bǔ).

(1)求拋物線在點(diǎn)P(L2)處的切線方程；

⑵求卜的值；

(3)若m<3,求APAB面積的最大值.

題型二參數(shù)范圍問(wèn)題?M

s大題典例

4.(23-24高三下?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓。:苧+y2=l.

(1)若橢圓。的左右焦點(diǎn)分別為為。的上頂點(diǎn)，求APE用的周長(zhǎng)；

(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)河(0,2)的直線I與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)4、B,且乙4OB為銳角(其中O為坐標(biāo)原

點(diǎn)),求直線I的斜率k的取值范圍.

s變式訓(xùn)練

5.(23-24高三下?江蘇蘇州?月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)“到定點(diǎn)F(V3,0)的距離和它

到定直線x=軍的距離之比為平，記M的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

(2)已知點(diǎn)4(0,1)，不過(guò)A的直線，與。交于P,Q兩點(diǎn)，直線人尸，尸Q,AQ的斜率依次成等比數(shù)列，

求人至此距離的取值范圍.

6.(24-25高三上?湖南?開(kāi)學(xué)考試)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為點(diǎn)。(g⑵在拋物線C

上，且尸|=2.

(1)求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)拋物線的準(zhǔn)線與rc軸交于點(diǎn)K,過(guò)K的直線I交拋物線。于兩點(diǎn)，且反方=AKN,AG(1,2],

點(diǎn)G為線段的垂直平分線與刀軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG的取值范圍.

題型三定值問(wèn)題

S大題典例

7.(24-25高三上?貴州畢節(jié)?期中)已知橢圓+《=l(a>b>0)的焦距為4,Q(V3,1)為橢圓C

a2b-

上一點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線Z:力=3P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到F的距離為小，點(diǎn)P到I的距

離為n,若空為定值,求此定值及t的值.

n

S變式訓(xùn)練???

8.(24-25高三上?湖北武漢?開(kāi)學(xué)考試)已知曲線。上的點(diǎn)到點(diǎn)F(-1,O)的距離比到直線T=3的距離

小2,0為坐標(biāo)原點(diǎn).直線Z過(guò)定點(diǎn)A(O,1).

(1)直線Z與曲線。僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線I的方程；

(2)曲線。與直線Z交于兩點(diǎn)，試分別判斷直線(W,ON的斜率之和、斜率之積是否為定值？并

說(shuō)明理由.

9.(24-25高三上?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線—冬=l(a>0,b>0)的焦距為8,右焦點(diǎn)為

尸，直線/："=4立與雙曲線在一、三象限的交點(diǎn)分別為P,Q,且尸PLFQ.

(1)求雙曲線。的方程及APQF的面積；

(2)直線沙=而+zt(RWO)與雙曲線。交于兩點(diǎn),若直線PA、PB與工軸分別交于點(diǎn)A,B，且

|B4i|=|P8j.證明：R為定值.

題型四過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題?M

s大題典例

10.（24-25高三上?河南駐馬店?開(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)⑵0），并且與圓“Q+2）2+娟=4外切，設(shè)

動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C.

⑴直線EQ與圓E相切于點(diǎn)Q，求網(wǎng)QI的值；

（2）求曲線。的方程；

（3）過(guò)點(diǎn)￡的直線。與曲線。交于E,尸兩點(diǎn)，設(shè)直線l-x=^，點(diǎn)。（一1,0），直線ED交，于點(diǎn)M,證明

直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

o變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?湖北襄陽(yáng)?月考）已知拋物線E:y[=2px?>0）與雙曲線春—,=1的漸近線在第

O4

一象限的交點(diǎn)為Q,且Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)朋r（—3,0）的直線Z與拋物線E相交于4,8兩點(diǎn)，B關(guān)于立軸的對(duì)稱點(diǎn)為?，求證:直線AB'

必過(guò)定點(diǎn).

12.（24-25高三上?天津北辰?期中）已知橢圓C：4+￡=l（a>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸,其短軸長(zhǎng)是焦

azbz

距的四倍，點(diǎn)A為橢圓上任意一點(diǎn),且|AF1的最大值為3.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線I：u=+m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線宓=4相交于點(diǎn)Q.問(wèn)：c軸上

是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)河的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理

由.

題型五定直線問(wèn)題

金大題典例

13.（24—25高三上?北京?月考）已知橢圓C：W+《=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E、月，一個(gè)焦點(diǎn)

為F（J^,O）,P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）.已知AP居用的面積的最大值為2.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1,0）且斜率不為0的直線，與橢圓C相交于兩點(diǎn),橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A1，

4，4雙與4N相交于點(diǎn)Q,求證:點(diǎn)Q在某條定直線上.

9變式訓(xùn)練???

14.(23—24高三下.湖南長(zhǎng)沙.三模)已知拋物線C:婿=2pc(p>0),過(guò)點(diǎn)。(0,2)的直線Z與。交于不同的

兩點(diǎn)當(dāng)直線Z的傾斜角為135。時(shí)，|人引=4沏.

(1)求。的方程；

(2)在線段48上取異于點(diǎn)48的點(diǎn)況且滿足藝=口，試問(wèn)是否存在一條定直線，使得點(diǎn)E恒

\DB\\EB\

在這條定直線上？若存在，求出該直線;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(24—25高三上?上海?期中)已知雙曲線。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，E,用是。的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)為(

-2V^",0),離心率為V5.

(1)求。的方程；

(2)雙曲線。上存在一點(diǎn)P,使得NEPE=120°,求三角形PE月的面積；

(3)記。的左、右頂點(diǎn)分別為4,4，過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點(diǎn),河在第二象限，

直線MA,與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上.

題型六動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題???

o大題典例

16.（23-24高三下?湖南益陽(yáng)?一模）已知兩點(diǎn)4—2,0）,3（2,0）及一動(dòng)點(diǎn)P,直線上4,PB的斜率滿足kPA

%=—/，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為C.過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線2與。交于河，N兩點(diǎn)，直線AM,BN交于■點(diǎn)、Q.

（1）求。的方程；

（2）求的面積的最大值；

（3）求點(diǎn)Q的軌跡方程.

s變式訓(xùn)練

17.（23-24高三下?江西撫州?月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線及:尤-y2=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)

m

4（2,1）,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，。為M上一動(dòng)點(diǎn)，且。異于兩點(diǎn).

⑴求M■的離心率；

（2）若/^BCT的重心為A,點(diǎn)。（8,4）,求\DT\的最小值；

（3）若ABCT的垂心為4求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.

18.(23-24高三下?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))圖1為一種衛(wèi)星信號(hào)接收器,該接收器的曲面與其軸截面的交線

為拋物線的一部分，已知該接收器的口徑=4《，深度2,信號(hào)處理中心尸位于拋物線的焦

點(diǎn)處，以頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線。尸為X軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系立。夕.

⑴求該拋物線的方程；

(2)設(shè)Q是該拋物線的準(zhǔn)線與比軸的交點(diǎn)，直線Z過(guò)點(diǎn)Q,且與拋物線交于H,S兩點(diǎn),若線段RS上有

一點(diǎn)P,滿足無(wú)=需，求點(diǎn)P的軌跡方程.

???

題型七角度關(guān)系證明問(wèn)題

念大題典例

19.(24-25高三上?云南昆明?開(kāi)學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(—2,0),6(2,0),動(dòng)點(diǎn)河滿

足直線4W與直線的斜率之積為-言，設(shè)點(diǎn)河的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

(2)已知點(diǎn)尸(1,0)，直線/立=4與力軸交于點(diǎn)。，直線AMr與I交于點(diǎn)N,證明：AMFD=24NFD.

o變式訓(xùn)練

20.(23-24高三下.山西運(yùn)城.三模)已知雙曲線C-.x2-^~=l的左、右焦點(diǎn)分別為E，鳥(niǎo)，點(diǎn)［為。的左

頂點(diǎn)，點(diǎn)P為。右支上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，NRPB的平分線PM交x軸于M

(1)過(guò)右焦點(diǎn)用作ENLPM于N,求|ON|；

(2)求證：NP&4=2^PAF2.

21.（23-24高三下.廣西.二模）已知拋物線,過(guò)點(diǎn)成0,2）作直線交拋物線。于4B兩點(diǎn)，過(guò)4

B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.

（1）證明：P在定直線上；

（2）若尸為拋物線。的焦點(diǎn)，證明：=

題型八向量共線問(wèn)題

s大題典例

22.（24—25高三上?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在夕軸上，離心率e=^，橢

圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1—e,直線Z與0軸交于點(diǎn)P（O,m）（小工0）,與橢圓C交于相異兩點(diǎn)

4且51+加范=4種.

（1）求橢圓方程；

（2）求nz的取值范圍.

o變式訓(xùn)練

23.(23-24高三下.山西太原.三模)已知雙曲線。耳—鼻=l(a>0,fe>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A與

azd

點(diǎn)。(3,2)在。上,且直線AD與口。的斜率之和為方.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線與C交于M,N兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，直線MA與直線x=l交于點(diǎn)Q,求

證：B,N,Q三點(diǎn)共線.

24.已知拋物線r：y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,2),直線I與拋物線P有兩個(gè)不同的交點(diǎn)直線PA交y

軸于加r，直線交0軸于N.

(1)若直線I過(guò)點(diǎn)Q(0,1),求直線I的斜率k的取值范圍；

⑵若直線，過(guò)拋物線『的焦點(diǎn)交V軸于點(diǎn)。，山=痛反屈=〃屈，求4+〃的值；

⑶若直線，過(guò)點(diǎn)Q(0,l),設(shè)0(0,0),臣方=/19,而=”前,求:+工的值.

A〃

題型九存在性問(wèn)題探究

念大題典例

25.（23-24高三下?上海?三模）已知橢圓。：4+斗=1,3鳥(niǎo)分別為左、右焦點(diǎn)，直線Z過(guò)鳥(niǎo)交橢圓于

o4

A、B兩點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)乙％48=90°,且點(diǎn)A在立軸上方時(shí)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若直線交沙軸于河，直線欲交y軸于N,是否存在直線I，使得S.AB=S△磔亞？若存在，求出

直線Z的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

o變式訓(xùn)練

26.（24—25高三上?上海?月考）已知雙曲線。:與—%=l（a>0,b>0）的離心率e=2,左頂點(diǎn)

A（—1,0）,過(guò)C的右焦點(diǎn)尸作與田軸不重合的直線，，交C于尸、Q兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求證:直線AP.AQ的斜率之積為定值；

⑶設(shè)說(shuō)=蘇日,試問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)T,使得AF±（TP-久河）恒成立？若存在，求出點(diǎn)

T的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

27.（23-24高三下?西藏拉薩?月考）已知拋物線C：y2=2PMp>0）,準(zhǔn)線，與力軸交于點(diǎn)為拋

物線。上一點(diǎn)，ADLZ交沙軸于點(diǎn)D當(dāng)為=42時(shí)，涼=就+說(shuō).

（1）求拋物線。的方程；

（2）設(shè)直線⑷W?與拋物線。的另一交點(diǎn)為B（點(diǎn)B在點(diǎn)4河之間），過(guò)點(diǎn)尸且垂直于T軸的直線交AM

于點(diǎn)N.是否存在實(shí)數(shù)小使得\AM\\BN\=A\BM\\AN\?若存在，求出4的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型十“非對(duì)稱”韋達(dá)定理

念大題典例

28.(23-24高三上.陜西西安.期中)已知橢圓+之=l(m>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,左、右頂點(diǎn)分別為

4mm

A,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,0)的動(dòng)直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,。(不與點(diǎn)4口重合).

(1)求橢圓W的方程及離心率；

(2)若直線CB與直線入。相交于點(diǎn)判斷點(diǎn)M是否位于一條定直線上？若是,求出該直線的方程；

若不是，說(shuō)明理由.

S變式訓(xùn)練

29.(23-24高三上?上海閔行?期中)已知雙曲線C：生—喜=l(a>0,&>0)的離心率為方，點(diǎn)(3,-1)

在雙曲線。上.過(guò)。的左焦點(diǎn)尸作直線Z交。的左支于4、B兩點(diǎn).

(1)求雙曲線。的方程；

(2)若反(一2,0),試問(wèn)：是否存在直線I，使得點(diǎn)及在以AB為直徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)點(diǎn)F(-4,2)，直線AP交直線x=—2于點(diǎn)Q.設(shè)直線Q4QB的斜率分別取、區(qū)，求證：自—無(wú)為

定值.

2?/2

30.（24-25高三上?重慶?月考）已知尸是橢圓。:%+%=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為

a?bz

橢圓上任意一點(diǎn),\MF\的最大值為2+遮，當(dāng)|OM=Qm時(shí)，△朋O尸的面積為y.

⑴求之的值；

a

（2）48為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P滿足前=3席,當(dāng)雙與AB不重合時(shí)，射線MP交橢圓。于點(diǎn)N,

直線AM,BN交于點(diǎn)、T,求乙4TB的最大值.

c（必刷大題）o

s刷模擬

1.（23-24高三下?河北?模擬預(yù)測(cè)）橢圓C：與+竺=l（a>6>0）左右頂點(diǎn)分別為A,且|4日=4,

azbz

離心率e=烏.

（1）求橢圓。的方程；

（2）直線Z與拋物線夕2=42相切，且與C相交于M、N兩點(diǎn)，求ZWNB面積的最大值.

2.（24—25高三上?河北石家莊?月考）已知焦距為2代的橢圓=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為廠,

a2b-

右頂點(diǎn)為4過(guò)F作直線，與橢圓。交于夙。兩點(diǎn)（異于點(diǎn)⑷，當(dāng)BDL刀軸時(shí)，|皿|=1.

（1）求橢圓。的方程；

（2）證明：0是鈍角.

3.(24-25高三上?重慶?月考)已知雙曲線C邑—4=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=乎宓,

azbz2

點(diǎn)P(4,3)在雙曲線。上.

(1)求雙曲線。的方程.

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線I與雙曲線。交于河，N兩點(diǎn)，問(wèn)在c軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得就?兩

為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

4.(24—25高三上?云南保山?期中)若P⑵2)為拋物線「:好=?、偕弦稽c(diǎn)，過(guò)p作兩條關(guān)于①=2對(duì)稱的

直線分別另交r于人如如出但外)兩點(diǎn).

(1)求拋物線r的方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)判斷直線48的斜率是否為定值？若是，求出定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(24-25高三上?湖北武漢?期中)已知橢圓。：三十《=l(o>b>0)的離心率為空，點(diǎn)A(O,1)在

a-b"2

。上，直線Z與。交于不同于A的兩點(diǎn)河，N.

(1)求。的方程；

(2)若彳法?俞=0,求△AVN面積的最大值；

(3)記直線AM,4V的斜率分別為自，自，若自居=一工，證明：以上亞為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)

坐標(biāo).

2?/2

6.(24—25高三上?上海寶山?月考)已知橢圓C:%+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F?

azbz

N(—2,0)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)尸2到雙曲線.爐—92=2漸近線的距離為卓，

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線l:y=k岔+m(k于0)與橢圓。交于A、B兩點(diǎn).

①若直線I過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸2,且a的面積為華;，求實(shí)數(shù)k的值；

5

②若直線，過(guò)定點(diǎn)P(0,2),且卜>0,在立軸上是否存在點(diǎn)T90)使得以24、為鄰邊的平行四邊

形為菱形？若存在，則求出實(shí)數(shù)方的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

21

刷真題

7.(2024?全國(guó).高考真題)已知4(0,3)和尸(3,,)為橢圓+白=l(a>b>0)上兩點(diǎn).

(1)求C的離心率；

(2)若過(guò)P的直線，交。于另一點(diǎn)B,且AABP的面積為9,求Z的方程.

8.(2024.全國(guó).高考真題)已知橢圓C,+看=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)/1,勤在。上，且MF

_L2軸.

(1)求。的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線交。于A8兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MR于點(diǎn)Q,證明：

AQ_Lg軸.

9.(2024?天津?高考真題)已知橢圓《+《=l(a>b>0)的離心率為2.左頂點(diǎn)為下頂點(diǎn)為8,C

azbz2

是線段OB的中點(diǎn)(O為原點(diǎn))，△ABC的面積為號(hào).

(1)求橢圓的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn).在夕軸上是否存在點(diǎn)T,使得聲恒成立.若

存在,求出點(diǎn)T縱坐標(biāo)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2024.北京.高考真題)已知橢圓E：然=l(a>b>0),以橢圓E的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四

azbz

邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過(guò)點(diǎn)(0,力)(方>四)且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)過(guò)點(diǎn)

A和。(0,1)的直線AC與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為。.

(1)求橢圓E的方程及離心率；

(2)若直線BD的斜率為0,求土的值.

11.（2024.上海.高考真題）已知雙曲線「:"―4=1,0>0）,左右頂點(diǎn)分別為4,4,過(guò)點(diǎn)河（一2,0）的直

0

線/交雙曲線『于P,Q兩點(diǎn).

⑴若離心率e=2時(shí)，求b的值.

（2）若b=義件,△AM2P為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)P在第一象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）連接OQ并延長(zhǎng)，交雙曲線「于點(diǎn)R,若乖?聲=1,求b的取值范圍.

12.（2024.上海.高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓+^=1上一點(diǎn)，耳片分別

02

為橢圓的左、右焦點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,求的長(zhǎng)；

⑵設(shè)「的上、下頂點(diǎn)分別為Mi、此，記的面積為Si,A4M此的面積為S2,若&>S2,求|O川

的取值范圍

（3）若點(diǎn)4在立軸上方,設(shè)直線A片與r交于點(diǎn)B,與n軸交于點(diǎn)K,KF,延長(zhǎng)線與r交于點(diǎn)c,是否存

在2軸上方的點(diǎn)C,使得房+而+而=4（房+旗+成5）（衣用成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐

標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

斛答題，，圓布曲俵的徐金瘙用

----------°°---------

題型一最值問(wèn)題.......................................................................1

題型二參數(shù)范圍問(wèn)題...................................................................4

題型三定值問(wèn)題.......................................................................6

題型四過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題....................................................................10

題型五定直線問(wèn)題....................................................................13

題型六動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題..................................................................15

題型七角度關(guān)系證明問(wèn)題..............................................................19

題型八向量共線問(wèn)題..................................................................21

題型九存在性問(wèn)題探究...............................................................25

題型十“非對(duì)稱”韋達(dá)定理.............................................................28

必刷大題..............................................................................31

題型一最值問(wèn)題

s大題典例

1.（24-25高三上?福建福州?月考）已知橢圓「與+m=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)人（2,3）,右焦點(diǎn)為下⑵0）

a-b-

（1）求橢圓「的方程；

（2）若直線，與r交于B,C兩點(diǎn)，且直線AB與AC的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)M與F的最小距

離.

【答案】（1）條+告=1;（2）嚅

【解析】（1）由已知可得—+-^-=l,a2—62=。2=4,解得a2=16,&2=12;

a2b2

所以橢圓r的方程為4+2=1.

（2）由于直線AB與AC的斜率互為相反數(shù)，

不妨設(shè)直線AB的斜率為k,則直線的斜率為一%,3（附,加）,C（xc,ya）;

則直線AB的方程為y=&（c-2）+3,如下圖所示：

?M

?=*（6一2）+3

聯(lián)立</靖_，整理可得（4奴+3）"+（24—16?。┝?16取一4注-12=0,

116+I2

16fc2-48/c+128fc2-24fc-6

，又以=2,可得的=

4奴+34k2+3

日口of8k2—24k—6—12k2-12k+9\

即與4婷+3'—k—%

同理用代替k可得。（8*2+產(chǎn)―6,-12空12"+9）

rrA/IO4rrvIO

—12fc2+9

因此可得BC的中點(diǎn)河（整三■，一肚9），因此可得koM=4fcH3=_1

v4fc2+34k2+3）班2—62

4k2+3

所以可得點(diǎn)“在直線y=―^-x上,

o1—31

可得點(diǎn)河與尸的最小距離即為點(diǎn)F到直線g=~x的距離d=J?=

2VMI7

當(dāng)且僅當(dāng)OM_L人加時(shí)，取得最小值.

解法指導(dǎo)

求最值及問(wèn)題常用的兩種方法：

（1）幾何法:題中給出的條件有明顯的幾何特征,則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決；

（2）代數(shù)法:題中所給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯,則可以建立目標(biāo)函數(shù),再求該函數(shù)的最值,

求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等。

S變式訓(xùn)練

2.（24-25高三上?貴州黔東南?開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線G：4—耳=l（a>0,6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物

azbz

線G：d=84的焦點(diǎn)F重合，且G被G的準(zhǔn)線I截得的弦長(zhǎng)為29.

⑴求G的方程；

（2）若過(guò)尸的直線與G的上支交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求\OA+OB\的取值范圍.

【答案】（］4―d=l;（2）［4,+oo）

【解析】（1）由題可知，F(xiàn)的坐標(biāo)為（0,2）,則02+62=4.

易知/的方程為y=-2,不妨設(shè)/與G相交于點(diǎn)7W（—m,—2）,7V（m,—2）,

則J—誓=1,整理得雇=〃3T）=冬，

出b\出,az

則|2WN|=2\m\=—=,可得

a3b=l,

故G的方程為署一"=1.

o

（2）由題可知，直線AB的斜率一定存在，

設(shè)5：y=kx+2,4（物，%）,_8（電,紡），則。4=（電,陰），OB=（g,紡）.

y=kx~\~2,

聯(lián)立方程組<夕22_］整理得（A;?—3）力2+或力+1=0,

則工1+g=芳■,/02二行'

-12—3股—12

%+例=A；01+，2)+4=<Vi'1/2=k2Xi-x+2k{x+Xi)+4=

取一321A;2-3

由A,B在2軸的上方，所以%+紡=廠3>0,防?紡=―'二>0,

K—3K—3

可得04k2V3.

OA+OB=0i+，2,%+%),

則|出+方=J(g+Z2)2+(%+紡)2=4^^^=4^^+看.

由04k2<3,得771Tw—!，

K-OJ

則4/——------1——1—>4

M(妒-3)2妒-3i

故的取值范圍為［4,+oo).

3.（24-25高三上?四川成都?期中）已知拋物線E：靖=2必@>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)PQ⑵，直線/：,=皿+五與

E的交點(diǎn)為且直線E4與P8傾斜角互補(bǔ).

（1）求拋物線在點(diǎn)P（l,2）處的切線方程；

⑵求k的值；

（3）若小<3,求ABAB面積的最大值.

【答案】（1切=c+1;（2）—1；（3）氣&

【解析】（1）由題意可知，4=2p,所以p=2,所以拋物線E的方程為必=4/,

即g=2Vx（x>0）,則y'=,

則拋物線在P點(diǎn)的切線斜率為k=yf\=1,

I工二1

則切線方程為g—2=1X（比一1）,

故切線方程為?/=x+1.

（2）如圖所示：

設(shè)4（力1,必）,_B（力2,紡），將直線I的方程代入才=4%，

222

得fcx+（2fcm—4）x+m=0,所以/i+~,xrx2-,

因?yàn)橹本€P4與PB傾斜角互補(bǔ)，

7I7例—2Iy「2kx+m-2fc^+m-2

所以k以+而打=-----+------=---2--------+-----------=0,

力2—161—1力2—121—1

即+(%+館-g+g—2

2k2)(‘^=2k+(fc+m—2)=0,

Ni—1

\X2—l(劣2—1)(電-1)

4—2knz—2k2

所以2k+(fc+m—2)=0,

(fc+m—2)(fc+m+2)

4k+4

=0,所以k=—1.

即2k+晨曾4fc+m+2

22

(3)由(1)(2)可知，x—(2館+4)力+?712=0,所以/]+22=4+2?71,xxx2—m,

則|4B|=V(-1)2+1xJ(61+/2)2-4/巡2=4^2-Vl+m,

因?yàn)椤?(2m+4)2—4m2>0,所以m>—1，即一1VmV3,

又點(diǎn)P到直線AB的距離為d=—尸—2+==與如

V(-i)2+iV2

所以S=[x4^2?Vl+m,-3=2A/(3—m)2(m+l),

2V2

因?yàn)?3-m)2(m+l)=y(3-m)(3-m)(2m+2)<方(3-館+3了+2zn+2『=需,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)即

S&32^^3—nz=2m+2,m時(shí)，等號(hào)成立,

t7O

所以△RLB面積最大值為警③.

9

題型二參數(shù)范圍問(wèn)題

9大題典例

4.（23-24高三下?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓。:手+y2=l.

（1）若橢圓。的左右焦點(diǎn)分別為瓦月,P為。的上頂點(diǎn)，求APE后的周長(zhǎng)；

（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)河（0,2）的直線Z與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)4、B,且/49B為銳角（其中。為坐標(biāo)原

點(diǎn)）,求直線I的斜率k的取值范圍.

【答案】⑴4+2存⑵（-2,—乎）U（空,2）

【解析】(1)由題意得Q2=4,〃=I,

所以a=2,b=l,c=Va2—&2=V3,

所以APRE的周長(zhǎng)為|PF]|+|PE|+IE月I=2Q+2c=4+2通;

T

⑵顯然力=0不滿足題意，設(shè)直線/的方程為g=far+2,A（j；i,7/i）,B（2,y2）,

y=kx-\-2

22

由,<+y2=i)得(1+4fc)rc+16kx+12=0,

由△=(16fc)2-4x12(1+4/c2)>0,得力>，,

16k12

貝I￡Ci+X=—，力巡2=

24fc2+l4k2+1

2+

yiy2—(kg+2)(k力2)=+2fc(a?i+x2)+4,

因?yàn)閆AOB為銳角，4,0,B不共線，所以cosZAOB>0,

所以O(shè)A,OB>0,所以少巡2+ynh>0,

12(fc2+l)16fc-2fc14(4-fc2)

所以力避2+以紡=（1+。2）21電+2"（力1+力2）+4=4fc2+l十―4fc2+l

4k2+1???

解得0〈我V4,

因?yàn)槌?＞菖，所以解得一2〈七〈一乎或乎VkV2,

所以實(shí)數(shù)%的取值范圍為（一2,—尋）U（手,2）

解法指導(dǎo)

圓錐曲線的取范圍問(wèn)題

1、利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

2、利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；

3、利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；

4、利用己知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；

5、利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.

念變式訓(xùn)練

5.⑵-24高三下?江蘇蘇州?月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)河到定點(diǎn)F（V3,0）的距離和它

到定直線?=亭的距離之比為乎，記M的軌跡為曲線C.

（1）求。的方程；

（2）已知點(diǎn)4（0,1）,不過(guò)4的直線，與。交于P,Q兩點(diǎn)，直線的斜率依次成等比數(shù)列,

求人至M距離的取值范圍.

【答案】（1）］一婿=1;（2）（0,空）.

【解析】（1）設(shè)河（，〃），由題意得響：靖=乎,

化簡(jiǎn)得萬(wàn)—靖=1,所以C：］—y2=l.

(2)由題意，直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線I的方程為y—kx+b(bW1),P(g,%),口(%2,紡).

f之_q2=i

聯(lián)立(2,，得(1一2奴)爐一4kbl—2〃-2=0,

\y-kx-\-b

l-2fcV0

A=(4fc6)2-4(l-2fc2)(-262-2)>0

4kb

所以＜劣1+62

1-2/c2

一2〃一2

判?劣21-2/c2

2

因?yàn)閗PQ=kAP?kAQ,即一“"一"=,所以+6—1)/電+b—1)=kXiX2,

371力2

所以k(b—1)(0+/2)+(b—1)2=0,又bW1,所以k(力i+電)+(b-1)=0,

i_op

所以(2%2+1?+2k2—2=0,所以b=,2.

十J.

4fc2

|1—"24好

所以點(diǎn)A到直線Z的距離d=2fc+l

Ve+iVA；2+I（2A；2+i）Vfc2+i'

令t=S^+l,則取=t2一1,

代入△=4（2〃一或2+2）>0,即（1一2fc2）（2fc2+4N+2）>0,解得好v/.

所以t=+le（1,等），d=------4肥=4x上二.

12>（2爐+1）灰五2t3-t

當(dāng)te（1,普）時(shí)，d'=4義—>0恒成立,

所以6=在區(qū)間（1,爭(zhēng)）單調(diào)遞增，

所以de（0,乎），即點(diǎn)A到直線Z的距離的取值范圍為（。，聾｝

6.（24-25高三上?湖南?開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)。（如2）在拋物線C

上，且斤1=2.

（1）求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）拋物線的準(zhǔn)線與T軸交于點(diǎn)K,過(guò)K的直線I交拋物線。于M,N兩點(diǎn)，且加=AKN,A6（1,2],

點(diǎn)G為線段MN的垂直平分線與力軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG的取值范圍.

【答案】⑴式=4/；⑵（3,普].

【解析】⑴因?yàn)镈（rco,2）在拋物線C:y2=2px（p>0）上，所以4=20g,

產(chǎn)2

付g=—;

P

因?yàn)閨。川=2,所以力。+與=2,即2+￡=2,解得p=2,

2p2

所以拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

（2）易知拋物線的準(zhǔn)線為力=—1,則可得K（—1,0）；

設(shè)M（血,nJ,N（%y2）,由KM=^KN可得yr=入皿,

如下圖所示：

設(shè)直線l:x=my—1,代入到好=4/中得y2—4my+4=0,

所以m+改=4?九,%敵=4,即可得知2+紡=^rn,Ayl=4,

聯(lián)立兩式并整理可得4M2=（1+抄=4+二+2,

AA

又劣1+/2=??2（陰+42）—2=4m2—2

由1V/1&2可得g=/l+±+2遞增，即有4m2E,即?n?g

又7VW中點(diǎn)坐標(biāo)為

可得直線TV/N的垂直平分線的方程為y—2m=—m（a;—2m2+l）,

令g=0,