2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：雙曲線方程及其性質(zhì)（學(xué)生版）

第05講雙曲線方程及其性質(zhì)

（6類核心考點精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無

由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列

2024年新II卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點坐標

向量夾角的坐標表示

利用定義解決雙曲線中集點三角形問題

2023年新I卷，第16題,5分無

求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

直線的點斜式方程及辨析

2023年新II卷,第21題,12分根據(jù).、b、c求雙曲線的標準方程

雙曲線中的定直線問題

求雙曲線中三角形（四邊形）的

2022年新I卷，第21題,12分求雙曲線標準方程面積問題

根據(jù)韋達定理求參數(shù)

求雙曲線中的弦長

由中點弦坐標或中點弦方程、

2022年新II卷,第21題,12分根據(jù)雙曲線的漸近線求標準方程

斜率求參數(shù)

根據(jù)韋達定理求參數(shù)

雙曲線中的軌跡方程

2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的標準方程

雙曲線中的定值問題

由雙曲線的離心率求參數(shù)的取

2021年新新卷,第13題,5分根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程

值范圍

二元二次方程表示的曲線與圓

判斷方程是否表示雙曲線

2020年新I卷，第9題,5分的關(guān)系

判斷方程是否表示橢圓

二元二次方程表示的曲線與圓

判斷方程是否表示雙曲線

2020年新II卷，第10題,5分的關(guān)系

判斷方程是否表示橢圓

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標準方程，會基本量的求解

2.熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算

3.能熟練計算雙曲線的離心率

4.會求雙曲線的標準方程，會雙曲線方程簡單的實際應(yīng)用

5.會求雙曲線中的相關(guān)最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，常?？疾闃藴史匠痰那蠼狻⒒玖康挠嬎慵半x心率的求解,

需重點強化訓(xùn)練

12?考點梳理

考點3雙曲線的幾何性質(zhì)

核心考點考點4雙曲線的離心率

考點5雙曲線中的最值問題

考點6雙曲線的簡單應(yīng)用

知識講解

1.雙曲線的定義

平面上一動點w（x,y倒兩定點雙-c,0）,乙（G0的距離的差的絕對值

為定值2a（且小于耳閭=2c%勺點的軌跡叫做雙曲線

這兩個定點耳，鳥叫做雙曲線的焦點兩焦點的距網(wǎng)耳閭叫做雙曲線的焦距

2.數(shù)學(xué)表達式:

2

M月I-M聞=2a<|耳閶=2c

3.雙曲線的標準方程

焦點在x軸上的標準方程焦點在y軸上的標準方程

4.雙曲線中。，b,c的基本關(guān)系

(c2=a2+b2)

5.雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

于

B|z

圖形

2222

標準方程號一%=>(^>0,/?>0)號-a=1(a>0,b>0)

x<—a^x:>ay<一?；騳>a

范圍

yeRxwR

A(—。,0),(62,0)4(0,—a),A2(0,ci)

頂點坐標

B2(0,b)B](-b,0),B2(b,0)

實軸|4闋=2。實軸長，,。=應(yīng)。|=。實半軸長

3

虛軸悔封=2萬虛軸長，內(nèi)a=忸2a=人虛半軸長

焦點片(―c,0),

F2(C,Q)4(0,—c),F2(0,C)

焦距困司=2c焦距，山a=|耳a=c半焦距

對稱性對稱軸為坐標軸，對稱中心為（0,0）

丁=±，

漸近線方程y=+—x

ab

C/、、

e=—(e>1)

a

離心率

aaa\a)\\aJ

離心率對雙曲線的影e越大，雙曲線開口越闊

響e越小，雙曲線開口越窄

6.離心率與漸近線夾角的關(guān)系

1

e=------

COStt

7.通徑：

（同橢圓）

2b2

通徑長：=—,

半通徑長：|町|=加團=怛工|=上用=了

8.雙曲線的焦點到漸近線的距離為匕

考點一、雙曲線的定義及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

22

1.（2024?河北邢臺?二模）若點尸是雙曲線C：上一2L=1上一點，月，F(xiàn)?分別為C的左、右焦點，則"|尸制=8"

169

是1尸閭=16"的（）

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為環(huán)月，過^的直線交雙曲線左支于48兩點，且

|AB|=5,若雙曲線的實軸長為8,那么8的周長是（）

4

A.5B.16C.21D.26

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若動點PQ,y）滿足方程J（尤+2）2+「一/"一2）2+r=3,則動點P的軌跡

方程為（）

1.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）設(shè)6，F(xiàn),是雙曲線C:反-仁=1的左，右焦點，過K的直線與y軸和c的右

48

支分別交于點。Q,若尸是正三角形，貝力尸￡1=（）

A.2B.4C.8D.16

22

2.（23-24高三下?山東青島?階段練習(xí)）雙曲線=-匕=l（a>0）的兩個焦點分別是K與歹2,焦距為8;M是

a12

雙曲線上的一點，且|加耳1=5,則|力㈣卜.

3.（23-24高二上?四川涼山?期末）已知點M（2,0）,N（-2,0）,動點尸滿足條件|尸河|-|例|=2,則動點尸的

軌跡方程為（）

A.3—丁=1（彳2石）B.=l^x<-V3）

C.x2--^-=l（x>l）D.x2-^1-=l（x<-l）

考點二、雙曲線的標準方程

典例引領(lǐng)

22

1.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）雙曲線方程為網(wǎng)三+&=1,則k的取值范圍是（）

A.k>5B.2<k<5C.-2<k<2D.—2vk<2或k>5

2.（2023高三上?湖北孝感?專題練習(xí)）過點（2,2）且與橢圓9/+3丁=27有相同焦點的雙曲線方程為（）

A/B丁Lc/產(chǎn)TD/丁一1

68682424

3.（22-23高二下?甘肅武威?開學(xué)考試）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

（1）〃=4,經(jīng)過點A[1,膽];

5

（2）焦點y軸上，且過點卜,-40）

即時檢測

22

1.（23-24高三上?河北張家口?開學(xué)考試）"左＞2"是"」----J=1表示雙曲線”的（）.

k+1k-2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?遼寧?二模）己知雙曲線C：/-丁=；1（；170）的焦點為（0,±2）,則C的方程為（）

A.x2-y2=lB.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-%2=2

3.（2022高三?全國?專題練習(xí)）已知某雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點尸（3,26），。卜6亞，7）,求該雙曲

線的標準方程.

考點三、雙曲線的幾何性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）以〉=±3犬為漸近線的雙曲線可以是（）

C.尤2=1D.=1

39

22

2.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測）雙曲線二一L=1的一個頂點到漸近線的距離為（）.

416

A.75B.4C.號D.20

22

3.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）雙曲線石:4------。=1的實軸長為4,則。=_______.

a+〃+22〃+3

4.（2024?湖南益陽?模擬預(yù)測）已知雙曲線￡一￡=1（機＞0,〃＞0）與橢圓《+二=1有相同的焦點，則3

mn43mn

的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

2

5.（2022?福建三明?模擬預(yù)測）已知雙曲線G：f+上=1（7什0）與共焦點，則G的漸近線方

m

程為（）.

A.x±y=0B.yf2x±y=0C.尤±"y=0D.瓜土y=0

6

6.（2024?貴州?模擬預(yù)測）我們把離心率為?1的雙曲線稱為〃黃金雙曲線〃.已知〃黃金雙曲線〃

2

C:-夫=13>0）,則。的虛軸長為________

b

即時性測

1.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）過點尸（2,3）的等軸雙曲線的方程為.

2

2.（2024?安徽合肥?一模）雙曲線C:尤2一2=1的焦距為%則C的漸近線方程為（）

A.y=±\/15xB.y=±yfix

_.V15一包

Cr.y—±xDn.y—±--x

153

3.（23-24高三上?河南漠河?期末）已知雙曲線C:nvc-y12=34Km>0）的一條漸近線方程為如+、Qy=0,貝"C

的焦距為.

22

4.（24-25高三上?山東泰安?開學(xué)考試）若雙曲線1r一方=1（〃>0,6>0）的一個焦點以5,0）,一條漸近線方

程為y=~x，則a+b=______.

4

2222

5.（2024?河南新鄉(xiāng),模擬預(yù)測）（多選）已知。>0,6>0,則雙曲線C］：J-A=1與C,:=4有相同的

abab

（）

A.焦點B.焦距C.離心率D.漸近線

考點四、雙曲線的離心率

典例引領(lǐng)

1.（2023?北京?高考真題）已知雙曲線C的焦點為（-2,0）和（2,0）,離心率為及，則C的方程為.

2.（2024?上海?高考真題）三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲

線的離心率為.

3.（2024?全國?高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,T）,點（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲

線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.&

尤2y2b

4.（2022?浙江?高考真題）已知雙曲線3—2r二人〃〉。/〉。）的左焦點為尸，過尸且斜率為丁的直線交雙曲

ab4〃

線于點交雙曲線的漸近線于點3伍，%）且玉<0<%.若|EB|二3|E4|,則雙曲線的離心率

7

是.

5.（2022?全國?高考真題）雙曲線C的兩個焦點為片,鳥，以C的實軸為直徑的圓記為。，過K作。的切線

3

與C交于M,N兩點，且cos/4M=,,則C的離心率為（）

A逐2c屈D而

A.RD.L.---L）.---

2222

22

6.（2024?廣東江蘇?高考真題）設(shè)雙曲線C:二-當=1（。>0,6>0）的左右焦點分別為可、耳，過F?作平行于

ab

y軸的直線交C于A,8兩點，若|￡A|=13,|A8|=10,則C的離心率為.

即時檢測

22

1.（2024?河南周口?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:二-當=l（a>0,b>0）的焦距與其虛軸長之比為3：2,則C的

ab

離心率為（）

A.45B.述C.35D.8

552

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）雙曲線C:反-丁=1（m>0）的一條漸近線為氐+畋=0,則其離心率為（）.

m

A2A/3r76「Mn2新

3333

V?I"2571

3.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）己知雙曲線訝-1r=1（。>0]>0）的一條漸近線的傾斜角為不，則此雙曲

線的離心率為（）

A.y/2B.y/3C.2D.75

22

4.（2024?山東?模擬預(yù)測）已知雙曲線E：》一方=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為K，F(xiàn)2,過F2的直

線與E的右支交于A,8兩點，且忸閭=2|A6若物.鉆=0,則雙曲線E的離心率為（）

AGR后C26D所

A.LJ.------------L/.---

333

22

5.（2024?福建泉州?一模）。為坐標原點，雙曲線E:鼻-2=1（。>0,匕>0）的左焦點為耳，點尸在E上，直

ab

線尸片與直線版+ay=0相交于點^\PM\=\MF^=7\MC\,則E的離心率為.

考點五、雙曲線中的最值問題

8

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三上?湖北黃岡?階段練習(xí)）P為雙曲線X?-V=［左支上任意一點,所為圓C:（x-2）2+y=4的

任意一條直徑，則0.赤的最小值為（）

A.3B.4C.5D.9

22

2.⑵-23高三下?江蘇淮安?期中）已知斗鳥分別為雙曲線??=1的左、右焦點，尸為雙曲線右支上任一

點,則用產(chǎn)最小值為

A.19B.23C.25D.85

22

3.（22-23高二上?浙江湖州?期末）雙曲線--±=的離心率是2,左右焦點分別為片，耳，尸為

mn

雙曲線左支上一點，則\P息F2\的最大值是（）

3

A.-B.2C.3D.4

2

即時檢測

1.（22-23高三下?福建泉州?階段練習(xí)）雙曲線C：/->2=1的左、右頂點分別為A,B,P為C上一點，直

線B4,尸2與尤=:分別交于N兩點,則|肱V|的最小值為.

22

2.（2022高三?全國?專題練習(xí)）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線土-匕=1的右支上，則ZB中點M

916

的橫坐標的最小值為（）

751333

A.—B.—C.—D.一

510102

22

3.（23-24高二下?江蘇南京?期中）己知分別是雙曲線C:土-工=1的左、右頂點，尸是雙曲線C上的

95

一動點，直線P4,直線P8與x=2分別交于兩點，記，.尸MN,一八"的外接圓面積分別為R,S?,則1k

d2

的最小值為（）

31Ji25

A.—B.—C.--D.—

1681481

考點六、雙曲線的簡單應(yīng)用

9

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?江西?期末）阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家，主要

著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，

此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦

22

點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：3-多=1（。>0,

ab

b>0）的左、右焦點分別為乙，F(xiàn)2,其離心率6=石，從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反

射，反射光線為EP,若反射光線與入射光線垂直，則sinN6GE=（）

a56r402百

A?D.------L.U.--------

6555

2.（22-23高二上?山東德州?期末）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體.如圖所

示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印

得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm,下底直徑為8cm,高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒外側(cè)表面計算），

則筆筒最細處的直徑為（）

AA/574V287際nA/287

A-----cmB.-----cmC.-----cmD.-----cm

8844

3.（2023?浙江杭州?二模）費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光

22

學(xué)性質(zhì).例如，點P為雙曲線出身為焦點上一點，點尸處的切線平分“附.已知雙曲線C,與=1,

o為坐標原點，/是點尸處的切線，過左焦點K作/的垂線,垂足為則10M卜

即照測

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）在天文望遠鏡的設(shè)計中，人們利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點射

出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.如圖，已知雙曲

線的離心率為2,則當入射光線為尸和反射光線PE互相垂直時（其中尸為入射點），cos/耳名尸的值為（）

10

2.（2024?吉林延邊?一模）祖曬是我國南北朝時期偉大的科學(xué)家，他于5世紀末提出了“幕勢既同，則積不

容異"的體積計算原理，即"夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如

果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等".某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電

廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）.現(xiàn)有某火電廠的冷

2

卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為V一匕=1（-24y41）,內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)

4

利用"祖胞原理"算得此冷卻塔的體積為.

3.（2023?廣東茂名?三模）我國首先研制成功的"雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：耳,F2

是雙曲線的左、右焦點，從FZ發(fā)出的光線機射在雙曲線右支上一點P,經(jīng)點尸反射后，反射光線的反向延長

22

線過與；當P異于雙曲線頂點時，雙曲線在點尸處的切線平分/月「工?若雙曲線c的方程為土-匕=1,則

916

C.當"過點Q（7,5）時，光線由F?到P再到。所經(jīng)過的路程為13

D.若點T坐標為（L0）,直線PT與C相切，則附|=12

11

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（23-24高三下?重慶?期中）已知雙曲線=1（6>0）的焦距為8,則該雙曲線的漸近線方程為（

12b2

D.y=±@x

A.y=±1xB.y=±3xC.y=±yf3x

3

2.（2024?湖南邵陽?模擬預(yù)測）若點（-3,4）在雙曲線C:'-%=l（4>0,b>0）的一條漸近線上，則C的離心

率為（）

252555

A.—B.—C.—D.一

91634

22__

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線二一與=1（4>0*>0）的一個頂點坐標為（-加,0）,焦距為2退，則雙

ab

曲線的漸近線方程為（）

A.y=±42xB.y=±2x

]/?

C.y=±-xD.y=±—x

22

4.（2024高三上?全國?專題練習(xí)）已知雙曲線。的左、右焦點分別是耳,K，P是雙曲線。上的一點，且

歸國=5,|帆|=3,4/第=120°,則雙曲線C的離心率是（）

777

A.7B.-C.—D.一

234

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）若雙曲線，■-/=1（。>0,6>0）的右焦點尸（c,0）到其漸近線的距離為爭，則

該雙曲線的離心率為（）

A.-B.—C.J2D.2

22

6.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知我1,F?分別為雙曲線C的左、右焦點，過^的直線與雙曲線C的左支交于4

B兩點,若|做|=2國理,|明=|明則cos/耳吟（）

1122

A.—B.-C.—D.一

18993

2222

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)橢圓3+工=1（〃>6>0）和雙曲線斗=1的離心率分別為華多，若

abab

G￡,則出的取值范圍是（）

12

二、填空題

8.（2024?湖南岳陽?三模）已知雙曲線C過點（1,"）,且漸近線方程為'=±2》，則C的離心率為.

9.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在平面直角坐標系四中，己知點川-后,。）、?（、/行,0），眼圖一眼周=2,

點M的軌跡為C,則C的方程為.

三、解答題

10.（2024高三?全國?專題練習(xí)）求適合下列條件的曲線的標準方程：

⑴過點A（右⑵和點8（2g,l）的橢圓；

（2）焦點在x軸上，離心率為&,且過點（-2,0）的雙曲線.

能力提升

.-________

一、單選題

22

1.（2024?江西?模擬預(yù)測）已知我-F,分別是雙曲線C:二-2=1（。＞0,b＞0）的左、右焦點，過與的

ab

4

直線交雙曲線左支于A,5兩點，AB±AF2,tanZA^B=-,則雙曲線。的漸近線方程為（）

A.y=±-|xB.y=±^/3xC.y=±—■尤D.y=±^--x

2.（2024?山西太原?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（0,-6）,若動點尸位于y軸右側(cè)，且

到兩定點耳（-3,0）,鳥（3,0）的距離之差為定值4,則月周長的最小值為（）

A.3+4百B.3+6百C.4+4占D.4+6指

22

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）己知雙曲線C：^-4=1（穌0，6＞。）的右焦點為八一條漸近線的

ab

方程為y=2x,直線y=自與C在第一象限內(nèi)的交點為R若1PH=|尸。|,則左的值為（）

A石R百,2下4班

2255

4.（2024,湖南長沙?二模）已知AB分別為雙曲線C:/-E=l的左、右頂點，過雙曲線C的左焦點尸作

3

直線尸Q交雙曲線于P、。兩點（點P、Q異于A、B）,則直線4尸、3。的斜率之比右.：即°=（）

13

A.——B.--2C.-3D.——

332

13

5.（2024?河北?三模）已知。是坐標一原點，〃是雙曲線X二2-七V2=1（。>0/>0）右支上任意一點，過點M作

ab

雙曲線的切線，與其漸近線交于A,3兩點，若VAOB的面積為:〃，則雙曲線的離心率為（）

A.72B.6C.75D.2

22

6.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）己知雙曲線。:3-1=1（“>0,6>0）的左、右焦點分別為K，F(xiàn)2,過工作

ab

Q1

直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,3兩點.若聞，且cosN7/K="則雙曲線。的離心

率為（）

54

A.2B.-C.-D.3

33

22

7.（2024?寧夏銀川?二模）已知雙曲線C:5點8的坐標為（0力），若C上存在點尸使

ab

得「到vb成立，則。的離心率取值范圍是（）

B.

D.

二、填空題

22

8.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：2一方=ig>0,6>0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn),,“為雙曲

線漸近線上的點，且耳M書M=0,若周=2|M詞，則該雙曲線的離心率e=.

22

9.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標原點，耳鳥為雙曲線0：土—匕=1的兩個焦點，點P在。上，

96

4

cosN片尸耳二《，貝iJ|QP|=

22

10.（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:^—彳=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為￡、8，若雙曲線

azoz

的左支上一點P滿足當案去=3,以外為圓心的圓與耳尸的延長線相切于點M,S.FlM=3FlP,則雙曲

線的離心率為.

真題感到—

22

1.（2024?天津?高考真題）雙曲線二-1=1（“>0,6>0）的左、右焦點分別為丹、耳.尸是雙曲線右支上一點,

ab

且直線尸工的斜率為2.2月區(qū)是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

14

22

A*y_RxDY

A.------------=1D.c

8284<4-48

22

2.（2023?全國，高考真題）已知雙曲線C：3-2=l（a>0,6>0）的離心率為百，C的一條漸近線與圓

ab

（尤—2尸+。一3尸=1交于A,B兩點,則|AB|=（