2025高考數(shù)學專項訓練：概率（含答案）

2025高考數(shù)學二輪專題復習?概率?專項訓練

選擇題（共6小題）

1.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表

示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次

取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

2.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,。2）,則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.。越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中結(jié)果落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

3.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理

得到如下頻率分布直方圖：

，頻率

組距

020------------------------------————

0.14-----------------------——

0.10--------------------------------------------------——

0.04----------I------------------------------------------------------1

o.h~~|一十一卜十一卜葉一七十一11111r

2.53545556.57J8.59.510.511.512.513.5“5收入/萬元

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至&5萬元之間

4.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只

分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

5.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于工的概率為（）

A.ZB.至C.-5-D.2

932329

6.3位男同學與3位女同學隨機排成一行，其中兩端都不是女同學的概率為(

A.1B.Ac.AD.-1

2456

二.多選題(共1小題)

(多選)7.有一組樣本數(shù)據(jù)XI,XI,■-■,Xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,>2,其中V=Xi+C

(z=l,2,n),C為非零常數(shù)，貝()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

三.填空題(共3小題)

8.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本

次平局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為5和旦，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，

65

各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少

獲勝2次的概率為.

9.已知花博會有四個不同的場館A,B,C,D,甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的選擇中，恰有一

個館相同的概率為.

10.袋中有4個紅球，機個黃球，幾個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為。若取出的兩個球都

是紅球的概率為工，一紅一黃的概率為』，則根-〃=,E(&=

63

四.解答題(共5小題)

11.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A,8兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一

類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機

抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，

否則得。分；8類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的

概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

12.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第

1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，

設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=pi(z=0,1,2,3).

(I)已知po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,-3=0.1,求E(X)；

(II)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：po+pix+p^+p3^=x

的一個最小正實根，求證：當E(X)W1時，p=l,當E(X)>1時，p<l；

(III)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

13.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分

別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計

甲機床15050200

乙機床12080200

合計270130400

(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

2

附：________n(ad-bc)__________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

14.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和

一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為7和京樣本方差分別記為sj和s3

⑴求X，y，s2,s2；

_2+2

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果；々＞2、尸,2,則認

Vio

為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高).

15.在核酸檢測中，“左合1”混采核酸檢測是指：先將女個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這左

個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束；如果這k

個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，

檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.

(I)將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)：

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為一L.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學

11

期望E(X).

(II)將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)￥是檢測的

總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(V)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

參考答案與試題解析

選擇題（共6小題）

1.【解答】解：由題意可知，兩點數(shù)和為8的所有可能為：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,

兩點數(shù)和為7的所有可能為（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,

P（甲）=工，P（乙）=工，P（丙）=5一=g,P（?。?_^_=工，

666X6366X66

A：P（甲丙）=OWP（甲）P（丙），

B：P（甲?。?J-=P（甲）P（?。?/p>

36

C：P（乙丙）（乙）P（丙），

36

D：P（丙?。?OWP（丙）P（丁），

故選：B.

2?【解答】解：因為某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,。2）,

所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差。2越小，則分布越集中，

對于4。越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大，

故選項A正確；

對于8,測量結(jié)果大于10的概率為0.5,故選項2正確；

對于C,由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項C

正確；

對于。，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9,10.2）分布在10附近的區(qū)域大于（10,10.3）分布

在10附近的區(qū)域，

故測量結(jié)果落在（9.9,10.2）內(nèi)的概率大于落在（10,10.3）內(nèi)的概率，故選項。錯誤.

故選：D.

3.【解答］解：對于A,該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.02+0.04）X1=0.06=6%,故

選項A正確；

對于8,該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為（0.04+0.02X3）Xl=0.1=10%,故選項8

正確；

對于C,估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X

0.1+10X0.1+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7,68>6.5萬元，故選項C錯誤；

對于。，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為（0.1+0.14+0.2+0.2）Xl=0.64>0.5,

故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項。正確.

故選：C.

4.【解答】解：5名志愿者選2個1組，有c苜中方法，然后4組進行全排列，有種，

共有C，：=240種,

故選：C.

rO<x<l

5?【解答】解：由題意可得可行域：,i<y<2,可得三角形的面積=工義旦義旦=_1,

724432

x+zAy

!__9_=23

3232

故選：B.

個y

''、、2

6?【解答】解：3位男同學與3位女同學隨機排成一行，排法總數(shù)"=人"

其中兩端都不是女同學的排法種數(shù)為

A2A4

則其中兩端都不是女同學的概率為尸=三應(yīng)=上.

女65

A6

故選：C.

二.多選題（共1小題）

7?【解答】解：對于A,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c,故A錯誤；

對于8,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c,故B錯誤；

對于C,?.?標準差。（》）=D（xi+c）=D（xD,

???兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同，故C正確；

對于。，'：yi=xi+c（z=l,2,…，〃），c為非零常數(shù)，

X的極差為Xmax~Xmin,y的極差為（Ajntzx+C）-（X加〃+。）=Xmax-Xminf

兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故。正確.

故選：CD.

三.填空題（共3小題）

8.【解答】解：：一次活動中，甲獲勝的概率為（1-1）=工,

653

32

甲至少獲勝2次的概率為/）+2（±）X（1

.，.3次活動中,CX3）=27

故答案為：工;7

327

9.【解答】解：甲選2個去參觀，有cj=6種，乙選2個去參觀，有cj=6種，共有6義6=36種,

若甲乙恰有一個館相同,則選確定相同的館有c：=4種,

然后從剩余3個館中選2個進行排列，有的=6種，共有4X6=24種,

則對應(yīng)概率尸=絲=2,

363

故答案為：2.

3

c2

10?【解答】解：由題意，P（孑=2）」監(jiān)

「2636

m-hi+4

又一紅一黃的概率為

C2336

m-hi+4

所以02=36,C1=3,

%出+405°

解得機=3,n=2,故機-〃=1；

由題意，m的可能取值為。，1，2,

所以尸（彳=0）也二巨

023618

「1「1

45

P（己=1）==.20=10,

C23618

v9

P（t=2）=」-工，

618

所以=0X_L+lxl2.+2X_3_=Ji.

1818189

故答案為：1；旦.

9

四.解答題（共5小題）

11.【解答】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,

則P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列為：

X020100

p0.20.320.48

(2)由(1)可知小明先回答A類問題累計得分的期望為E(X)=0X0.2+20X0.32+100X0.48=54.4,

若小明先回答B(yǎng)類問題，記￥為小明的累計得分，

則y的所有可能取值為o,so,loo,

P(y=0)=1-06=0.4,

P(y=80)=0.6X(1-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

則y的期望為E(y)=0X0.4+80Xo.12+100X0.48=57.6,

因為E(Y)>E(X),

所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

12.【解答】(I)解：由題意，8=0.4,6=0.3,p2=0.2,「3=0.1,

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)證明：由題意可知，po+pi+p2+p3=l,則E(X)=pi+2P2+303,

所以po+pi無+pix2+p3x3=x,變形為po-(1-pi)尤+°2/+p3x3=0,

所以pO+pN+Q無3-(po+p2+p3)X=0,

Bppo(1-X)+P2X(X-1)+P3X(X-1)(尤+1)=0,

即(X-1)[p3/+(P2+P3)X-po]=O,

令于(X)—p3X1+(02+p3)尤-po,

若P3#O時，則/(x)的對稱軸為Xu-'2+“

2P3

注意到/(0)=-po〈O(若)o=O,則E(X)W1不成立，當E(X)=1,卻有p=l),

/(1)=2〃3+p2-〃o=〃i+2〃2+3p3-1=E(X)-1,

若P3=O時，/(I)=E(X)-1,

當E(X)時，/(I)WO,/(x)=0的正實根xo》l,原方程的最小正實根p=l,

當E(X)>1時，/(1)=pi+2〃+3p3-1>0,f(x)=0的正實根xo<l,原方程的最小正實根p<l,

(III)解：當1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕;

當1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

13.【解答】解：(1)由題意可得，甲機床、乙機床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，

因為甲的一級品的頻數(shù)為150,所以甲的一級品的頻率為@=3；

2004

因為乙的一級品的頻數(shù)為120,所以乙的一級品的頻率為3-3；

2005

2

(2)根據(jù)2X2列聯(lián)表，可得—八嗎-'c)"一

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

^400(.150X80-50XJ20^1O256>6635.

270X130X200X200

所以有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

14.【解答】解：(1)由題中的數(shù)據(jù)可得，X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=

10

10,

y=-l_x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

10

U2=LX【(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2

S110

+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036；

22222

?2=_1_X[(10.1-10.3)+(10.4-10.3)+(10.1-10.3)+(10.0-10.3)+(10.1-10.3)

S210

+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-1