2025屆高考數(shù)學專項復習：平面向量中的范圍與最值問題（含解析）

2025屆高考數(shù)學第一輪專項復習一平面向量中的范圍與最值

問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................5

題型一：利用三角向量不等式......................................................5

題型二:定義法..................................................................8

題型三：基底法.................................................................10

題型四：幾何意義法.............................................................14

題型五:坐標法.................................................................19

題型六：極化恒等式............................................................23

題型七：矩形大法..............................................................28

題型八：等和線、等差線、等商線................................................31

題型九：平行四邊形大法........................................................37

題型十：向量對角線定理........................................................43

03過關測試....................................................................44

1/65

亡法牯自與.柒年

//\\

技巧一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系

第二步：運用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結論

(2)坐標法

第一步：根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼挡懗鱿鄳c的坐標

第二步：將平面向量的運算坐標化

第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉化向量

第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標

第三步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達的點的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關系列式

第三步：解得結果

技巧二.極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|2+斤+R—斤=2（|清+⑻2）

證明：不妨設45=d40=5,則NC=4+B,DB=a—b

|就卜衣2=（+與第2+27石+田①

^=DB=^-bj=|a|2-2a-b+|S|2②

①②兩式相加得：

2/65

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：+—極化恒等式

①平行四邊形模式：a^=1[|^C|2-|DB|2]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方

差嶺

②三角形模式：a-b=\AMf-^DB^為AD的中點)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面內任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點O是矩形N5CD與所在平面內任一點,

證明：OA2+OC~=OB-+OD2.

【證明】(坐標法)設AB=a,4D=b,以N3所在直線為軸建立平面直角坐標系尤少，

則8(a,0),0(0,6),C(a,6),設。(x,y),則

OA2+OC-=(x2+/)+[(x-a)2+(y-b)2]

OB2+OD2=[(x-a)2+/]+[x2+(j;-/,)2]

OA2+OC2=OB2+OD2

技巧四.等和線

(1)平面向量共線定理

已知03=2無+〃就，若2+〃=1,則4B,C三點共線；反之亦然.

(2)等和線

平面內一組基底次，礪及任一向量9，OP=WA+jLiOB^,^&R),若點尸在直線上或者在平行

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于的直線上，則幾+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線以及與直線N8平行的直線稱為等和

線.

①當?shù)群途€恰為直線時，k=l；

②當?shù)群途€在。點和直線之間時，左e(O,l)；

③當直線48在點。和等和線之間時，左e(l,+8)；

④當?shù)群途€過O點時，k=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值上互為相反數(shù);

技巧五.平行四邊形大法

1、中線長定理

2A0=|時+心「一加砰

2、尸為空間中任意一點，由中線長定理得：

2

2PO=\P^+|PC|2-|HC|2

2

2PO=|哂+閥?一3時

兩式相減：\P^+|PC|2-(|P￡>|2+|P5|2)==2AB-AD

技巧六.向量對角線定理

------?2*2?2*2

彳—(AD+BC)-(48+CD)

AC-DL)=-------------------------------------------------

2

4/65

D

題型歸船總結

題型一：利用三角向量不等式

【典例1-1】已知B+*2,|j|=4,則同+W的范圍是

【正確答案】卜’2逐］

設同=加，W=〃，

v|s+fe|=2g+B）=+2之.B+|同=m2+n2+2a-b=4小

■.■\a-b\=4:.（a-b^=|a|2-2a-b+=m2+n2-2a-b=16②

①+②得：2（“+"）=2。，m2+?2=10,

（加+=10+2〃?〃W10+2x，"*”]

I2>（當且僅當加=〃=J5時取等號）,

則（加+"）<20,；,m+n<2^5.

■.■\a\+\b\=m+n>\a+b\=4（當且僅當）與1同向時取等號）,

..,同+忖的取值范圍為［42后1

故答案為.［4,2向

【典例1-2】（2024?浙江杭州?模擬預測）已知W-2G|=|B-G|=1，M=1,則向量16的范圍是

設11一2e,d=b—e,\c\=\d\=i

5/65

所以限b=(a+2e)-(J+e)=C-d+e-(2d+1)+2①

一方面，c-d+e-(2d+c)+2<？-rf+|2J+c|+2=l+3+2=6

當且僅當5與）同向，G與（2，+-）同向時取得最大值,

=卜2)c123、1

c-d+e-(2d+c)+2>c-d-\2d+c\+2-5-￡+2=-t—t-\—2—

另一方面,444

"眼+*[0,3],當且僅當|22+訃2,°與（22+1）反向時取得最小值.

其中

a-be

故

故卜卜

__5

【變式1-1】已知忖=LW=2,『1=3且。或1則\a+b+c\

的最大值為（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

【正確答案】A

+2a-b+2c\a+bl+4+9+|+2c-(5+i

15

c-^5+6|c||5+6I=3x\b\+25-6=3

2，當且僅當己與G+不同向時取得等號;

51512195.5

1￡+?|4J1+4+9+—+2X—=

故42

故選：A.

【變式1-2]（2024?高三,浙江金華?開學考試）已知向量滿足區(qū)+同=、|”年3,貝（|后|+年|的范圍

是（）

A.[3,5]B.[4,5]c.口,4]D,[4,7]

【正確答案】B

任+WNmax干+及卜一目｝=4

由于：砰和/+片+2同’性

22222

25=k+彳+忖一彳=26+b+a+b>a+t>+2問卡|

|X|L|

當且僅當I?H時等號成立.

所以補葉牛+用+*邛=25,

所以「代雨5,

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所以4眼+小5

故選：B

【變式1-3]（2024?河北保定?二模）如圖，圓0和圓°2外切于點P,A,8分別為圓a和圓Q上的動點,

\PA+P51s=,-

已知圓a和圓a的半徑都為i,且常.而=-1,則??的l最大值為（）

C.2及D.26

【正確答案】D

萬屈++謨）=兩.他+西?西+9.他+即.印

=-1+西-^§-麗＞而型=-1

所以㈤.薄=|西.西一切上印一網(wǎng)

所以|麗,西卜|型『+|常『-即,取

2-OB\+20^-03-2<0

即22

解得-1-O1A-O2B<—1+也

向+畫2西+如+他+現(xiàn)2=取+2弗?弗

=2+29?取42+2x6+6)=26

故選：D

【變式1-4]已知平面向量與勺滿足k2一。卜2

^a=el+4e2,b=el+e2；若"箱必2,則1碼的取值范

圍為.

【正確答案】[GT石+i]

-1

b=-(a+c)

設己=6-202則2、貝U由條件141石42知2O-m+1)V4,

3<S2+5-c+—c2<5y/3<a+^-<V5,P=1

所以4,所以2|2|

故答案為.[GT，石+i]

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題型二：定義法

【典例2-1】已知向量入?yún)^(qū)滿足：I"*",忖=倒可.設與￡+書的夾角為夕，貝ijsin。的最大值為

2收工行

【正確答案】3/3

設則小衣，設向量2、5的夾角為。，

3f2-16

若小一4=4,貝l|片一2々％+片=3產一20rcosa=16,可得儂"2M2,

]<3/一16

<1，解得4汕一?小（亞+1）,

由題意可得"2日2

p+5|=a+2a-b+~b=3t2+ly/lt2cosa=6t2-16+?=-16

所以,

_1

|a+肝一?4A/6/2-164"J

所以,

3r；4V3J_

當t216時,即當一3時，cos6取得最小值此時sin9取得最大值,

272

故答案為.3

【典例2-2】八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的

上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨紋樣.八角星紋以白彩的成,

黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴張的感覺.八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在

長江以南的時間稍晚的感澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象出來的

圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△/CD）為等腰直角三角形，點。為圓心，中間部分是正方形且邊

長為2,定點/,3所在位置如圖所示，則萬?衣的值為（）

8/65

8

D.

【正確答案】A

如圖：連接°。

因為中間是邊長為2的正方形，且圖中的各個三角形均為等腰直角三角形,

所以400=/0￡）8=45。，|°4=夜，%￡）卜4,AADB=90°

所以。）W+D°^=AD+751）0+DBAD+DBDO

=42+4xV2XCOS—+0+2x^/2cos—

44=14.

故選：A

【變式2-1］已知點4,B,C均位于單位圓（圓心為。，半徑為1）上，且/8=收，方.衣的最大值為

()

A.歷B.C.^2+1D,G+1

【正確答案】C

設。為圓心，則礪.發(fā)1=1,因為|/為=3,

,2，,c?2，,?2

所以45=(OB-OA)=OB-2OB?OA+OA=2,所以OB.QA=0,

所以AB^AC=~AB-(OC-O4)=AB^OC-AB?OA=AB?OC-(OB-04)^04

=ABOC-OBOA+OA=卜科|(9C|cosAB,OC+l=sj2cosAB,OC+1

因為COS赤，頁5e[-1,1],所以(方?就)max=1+及

故選：C.

【變式2-2】已知是半徑為5的圓。上的兩條動弦，園=6，|MN|=8^\PM+QN\——

則I*I最大值是

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()

如圖，連接MOOOORON,作尸。_LOE,MN10Dt

易知E是。尸的中點，。是的中點，由勾股定理得。回=4,OD=3,

^PM+QN=OM-OP+ON-OQ=（pM+ON）-（dP+OQ）=2（dD-OE\

故時+函=2|歷一西/西+|西）=14,當萌歷反向時等號成立，故,正確.

故選：C

題型三：基底法

A=1

【典例3-1］已知O5C的內角4及0的對邊分別為0也0,若3,a2,。為的中點，E為C。的

中點，而=3而，則冠?萬的最大值為.

1121

【正確答案】6/6

因為。為48的中點，E為C。的中點,

所以荏4@5+就）!赤+在

————,——,AF^-AB+-AC

因為8C=38尸，所以/0力8=3(/廠-/團，所以33

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AE-AFJ-AB+-Ac\\-AB+-Ad\^-AB+-AB.AC+-AC

則(42只33J6126

~AE-'AF=-c2+^bc-~+-b2=-(b2+c2\+~bc

所以612266、724

A=—,a=24=b2+c2-2bccos—

因為3,所以由余弦定理得3,

所以/+/=4+兒22兒，則AV4,當且僅當6=c=2時，等號成立,

AE-AF=-(4+bc)+—bc=-+-bc<-+-=—

所以6、72438326

當且僅當6=c=2時，等號成立.

必=一

【典例3-2】在O8C中，ZA=60°,3c=1,點。為的中點，點￡為。的中點，若3,則

4E-AF的最大值為.

13

【正確答案】24

在“3C中，N/=60。，|3C|=1,點。為N8的中點，點￡為°的中點，

—1——1—1—1-1-

廿?廿：AE=-(AD+AC)^-AB+-AC=-a+-b

設A8=a,/C=b,則24242,

設由=x,|就|=:

由余弦定理可得1=/+必一盯，

因為/+了注2中，可得I=x2+/_xy2x),即孫41,當且僅當工=>時取等號，

____,1____,____k,1____?1____k____,O____?1____?O1

BF=-BCAF=JB+-^C=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-a+-b

又因為3,則333333,

—?—?1—1—2—I-1—2_——c1cc5

AE-AF=(-a+-b)\-a+-b)=—(2a+5a-b+2b2)=—(2x2+2y2+-xy)

則423312122

191913

=—?(-w+2)<—(-+2)=—

12212224,

13

即力E?，廠的最大值為24.

11/65

13

故五.

【變式3?1】在中，44=60。，WC|=1,點。為45的中點，點E為8的中點，若設

LU4ILUUI____B巨=1B(j____

AB=a,AC=b,則近可用。力表示為」若3,則石?靜的最大值為一

1-113

—a+—br——

【正確答案】4224.

在“3C中，N/=60。，|3C|=1,點。為N8的中點，點￡為°的中點，

—?1—?—?1—?1—?「1一

%?廿JAE=-(AD+AC)=-AB+-AC=-a+-b

由/B=a,4C=b,貝|j24242,

設網(wǎng)/就|=y.

由余弦定理可得』x2+y2一孫，

因為中，可得I=x2+/_xy2x),即孫W1,當且僅當x=y時取等號，

BF=-BCAF=AB+-Jc=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC=-a+-b

又因為3,則333333

22

jAE-AF=(；。+；3).(++產)=±(2Q2+5a-b+2廬)=^(2x+2y+^xy)

191913

=一.(-A7+2)<—(-+2)=—

12212224

13

即次?萬的最大值為24.

ZA=~r-

【變式3-2］在中，M是邊的中點，N是線段的中點.若6,O3C的面積為百，則

斯?赤取最小值時，則22C=()

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A.2B.8a-12c.6D.4

【正確答案】D

ZA=-r--AB^ACsin-…，尻

在"3C中，由6,的面積為G,得26,貝i]/8x/C=443,

AM=-（AB+AC）

由M是邊8c的中點，N是線段的中點，得2,

AN=~（AB+AM）=-（AB+-AB+-AC>）=-AB+-AC

222244,

則加方=,（萬+%）.（W9+^%）=耳192+-|I4C|2+-ABAC

3—?c1—?1—"—?J?、h—?—?—>—>—?—?

=-\AB^+-\AC^+-\AB^AC\COs->^-\AB^AC\+^-\AB^AC\=^-\AB^AC\=6

oo2o442,

當且僅當e?AB目ACkBP?ABl=2,|1C|=273時取等號，

BC=yjAB2+AC2-2AB-ACCOSA=J4+12-2X2X2V3X—=2

在O5C中，由余弦定理得：V2

所以25c=4.

故選：D

【變式3-3】如圖，已知等腰必8C中，MM=|/C|=3,忸C|=4,點「是邊8c上的動點，則

AP（AB+AC^

B.為定值6

D.為變量且有最小值為6

【正確答案】A

設麗=人前（0《441）,因為|回=困|=3,忸牛4

AP-QiB+AC^=QLB+BPy（AB+AC^=AB2+AB-AC+ABC-QiB+AC^

所以

2前.g+kAaW1一益）?2_應『一畫”0

|時+|/"_陷2

9+9-161

cosA=

IM-AC\2x3x3-9

所以方,力+就）二際+訪就二網(wǎng)?+網(wǎng).西C0s4=9+3x3xg=10

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故選：A.

題型四：幾何意義法

【典例4-1】已知231是同一平面上的3個向量，滿足村=3,W=2拒，a-b=-6,則向量Z與坂的夾角

為,若向量"一之與的夾角為彳，則H的最大值為

3兀

【正確答案】彳"35°底

因為同=3,同=2也，＞1=-6,

a-b-6V2

cos3,6=

|a|.|^|-3X2A/2-2

所以

又力良［0,司，所以a,b=—

4,

_r_37t_,_

因為同=3,忖=20,

一4,如圖，設a="0B=bt0C=c

則c—q=OC—OA=ACc-b=OC-OB=BC,

----9ZACB=ZAOB=—

又向量c-。與c-b的夾角為4,貝U4,又4,

所以0,48,0四點共圓，又刀=彼-3,

網(wǎng)=寸=yja2+b2-2b-a=^32+(272J-2x(-6)=729

所以

設外接圓的半徑為R,

由正弦定理42所以同的最大值為屈.

3兀

故彳；病

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【典例4-2】已知向量"分滿足同=1'W=2,貝加+耳+卜-4的最小值是一最大值是一

【正確答案】42M

（幾何法）：本題的關鍵是要挖掘隱含條件：卜+0和卜叫是以同M為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線，

|萬+5]+歸一可=2（|5|2+|5|2=10

如圖，1"+'和1"可是以同'W為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線，A是以。為圓心的單位圓上一動點,

構造2個全等的平行四邊形.

歸+.+歸一同=|西+|就|

所以

易知當4民。三點共線時，網(wǎng)+因最小，止匕時M+WH"

當前，死時，網(wǎng)+配最大，止匕時網(wǎng)+國=2倒=2/

（坐標法）?設之二（cos。,sin。）b=（2,0）則3+B=（cos6+2,sin。）2-B=（cos6—2,sin。）

b"5+同"V5+4cos^,|3-b\=j5-4cos。

所以????

@+可+,-可）=10+2725-16cos2（9e[16,20]

則

^<\a+b\+\a-b\<?.45

所以

\a+b\+\a-b\>\（a+b}-（a-b}=\2b\=4

（不等式法）：最小值J11J廠111?.

（當且僅當a+B和方向相反,即。石時，取

匚^~2~~~~

I一||一?

最大值:可+Z卬\a+b-+--a—b=2石r（當且僅當辰*|*=括即加時，取一

（轉化為二元最值問題）：令,+原題轉化為/+了2=1（）,且x，蚱U，3],求，=x+y的最值.

方法1（數(shù)形結合）:直線"x+y與圓弧/+/=10且x,〉e[l,3]有交點，如圖可得44t42石.

方法2（判別式法）:/+?-琢=1°化簡得2x?-2比+/-10=0,得△=4f2-8（〃-10）20,所以44/42石.

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故4；2石

【變式4-1］（2024?內蒙古包頭?模擬預測）已知。是O8C所在平面內一點，且W@二2

OAAC=-lf

OC-AC=\,則//BC的最大值為（)

71717171

A.6B.4C.3D.2

【正確答案】B

OC-AC-OA-AC=(dC-OAyAC=AC2=2

根據(jù)04/C=-l0cZCMI可得

即可得

即可知C點軌跡是以A為圓心，半徑為血的圓，如下圖所示:

由圖可知，當3c與圓相切時，//3C取到最大,

又畫=2,|斗也可知此時

故選：B.

【變式4-2］已知平面向量￡,b,e,且M=l,忖=2.已知向量B與工所成的角為60。，且

|g_d>|g_e|\a+e\+-a-b

?1-1?對任意實數(shù)，恒成立，貝〃12的最小值為()

A.C+1B.26C.+D.2M

【正確答案】B

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b-e=b\'\ecos60°=—b\

根據(jù)題意，2|L

\b-te\>\b-e\|2+t21eI2-2tb-e>\bI2+1eI2-2b-e1帥-1+碓0

III,兩邊平方I???I?I?,整理1得n到zMI??I

公=而-4伍+6住0(閭-2『<0ill,

對任意實數(shù)，恒成立，則I1,解得q?7,則由=2.

e

\a+e\=1a+2e1一11-

|5+e|+-a-b=-a+2e+-a-b>(-a+2e)-(-a-&)

4=2,如上圖,222

由于，貝I

平+*…=而荔=26則”武力的最小值為流

一一1一

—2eb—ci

當且僅當‘’2終點在同一直線上時取等號.

故選：B.

n

【變式4-3］已知是平面向量，且工是單位向量，若非零向量之與工的夾角為彳，向量坂滿足

戶一44+3=0,則1"可+卜1|的最小值是（）

A.#>-2B.#C.2D.后

【正確答案】B

由廬-4?石+3=0=廬-4濟3+3G2=0n@-G)g-36)=0,.\^-3e)

設OA=eQB=b,OC=a以。為原點，厲的方向為不軸正方向，建立如圖所示的坐標系,

由（J）,（Je）,得點B在以°（2，°）為圓心，以1為半徑的圓上,

71

又非零向量”與"的夾角為Z,設。的起點為原點，貝崎的終點在不含端點。的兩條射線y=±Mx>°）上,

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則卜-可+B-+國+國的最小值為國T+斥H西+西T

|cZ5|+西=^（X-1）2+X2+yl（x-2^+x2=V2X2-2X+1+一4x+4

____、

x+2

7

+J（xT）2+（0T）2

表示點（三°）到〔2'2J和（1,1）的距離之和的最小值的V2倍，

V2x

則最小值為

???《麗H就卜％=石-1

故選：B.

【變式4-4】（2024?山東青島?三模）已知向量。，b,Z滿足k一5,@一小儂-°）,

則打一d的最小值為（）

A.G—1B.6C.2D.1

【正確答案】A

由題意設】=03=（L°）,a=O4=（m,n）,c=OC=（x,y）

113

（（（）

則lm‘,n八\m-l,'n1}=—2,即'm——2+n=—4,且療°+”2>=1,

由。-小儂二）可得@-今儂4）=0,即（1_3）.（3_5）=（一）2+/_1=0,

則（x-2）2+/=i,即2的終點C在以。⑵。）為圓心，1為半徑的圓上，

18/65

V3

n=——即f萬）

由圓的對稱性，不妨令2,

如圖，連接40,交圓于E,

|C4|>[AE\=\AD\-\DE\=J(--2)2+(―)2-1=V3-1

由點與圓的位置關系可知，????n22

故選：A.

題型五：坐標法

【典例5-1］（2024?河北沏、卜|一模）如圖，在等腰直角中，斜邊48=4拒，點。在以8c為直徑的

D.12

【正確答案】D

如圖：以C為原點，建立平面直角坐標系.

則4(0,4),8(4,0),可設Z>(2+2cos&2s歷

AB=(4,-4)AD=(2+2cos0,2sin0-4)

則,,

AB+AD=(6+2cos42sin0-8)

所以

AB+AD\1|=(6+2cos6)+(2s歷8—8)=104+8(3cos0-4sin0^

所以

19/65

又因為3c°s"4s%”5,所以|萬+力卜144n阿+麗V12.

故選：D

【典例5-2】已知?屈:1=2,AM=2MB,若動點尸，。與點/,M共面，且滿足1/H而I,

\BQ\=\BM\,則敬麗的最大值為（）

A.0B.2C.1D.2

【正確答案】C

以點河為原點，直線N8為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則4-2,0）,8（1,0）,

由|/尸|=|/"1=2,得點尸在以A為圓心，2為半徑的圓(x+2)2+r=4上,

由|%=|初=1,得點。在以B為圓心，1為半徑的圓(1了+/=1上，

設P(-2+2cosa,2sina),0(1+cosB，sin/7),

則MP?MQ=(-2+2cosor)(1+cos￡)+2sinasin(3

=2cosacos尸+2sinasin4+2(cosa-cos/7)-2

=2cos(a-/)+2cos117；尸+-2

=-4sin2j-4sin*sinj=-（2sinj+sin*y+sin2*4sin2*41

2222222

兀八2兀

a——p——

當33時，能取到所有等號，

所以訴屈的最大值為1.

故選：C

［變式5-1】在梯形/8C。中，ABHCD,AB=2,AD=?,CD=1,ZBAD=45\P＞。分別為線

段和線段NC上（包括線段端點）的動點，則下.質的最大值為（）

A.2不B.2亞C.屈D.3

【正確答案】D

20/65

以為x軸，過/垂直于N3的直線為y軸，

因為/。=及,40/2=45。，所以DO』），

因為。。=1,/8=2,/。48=45。，所以C（2』），

AP=AAD,O<A<1,AQ=tAC,0<t<l,

APAQ=AADtAC=At（1,1）（2,1）=勿（2+1）=3?

當4=1=1時，N,質的最大值為3.

故選：D.

兀

ZBAC=-

【變式5-2］在A42c中，BC=2,3,。為2C中點,在A45C所在平面內有一動點P滿足

UUUUUUUUUUU_____.

=則/尸4C的最大值為()

V32734G

A.3B.3C.石D.3

【正確答案】D

UUUUUUUUUUU{JUULLJU1X1UUUUUU

由PB-PD=PC-PD,得PD《PC-PB)=0,即尸￡>.8C=0,

ULUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

所以APBC=(AD-PD)BC=ADBC-PDBC=ADBC

21/65

因為3c=2,3,所以點/在以8c為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點）.

設歷1C所在圓的圓心為連接“2、MC、MD,

“cBD百BD2百

MD=----=——,BM=-----=----

2兀713.兀3

ZBMC=—tan—sm—

則A/D13C,3,可得2。=1,3,3

以3為原點，2C所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，

/1—\//~\

C（2,0）,Z）（l,0）,M1,—（無-1）+y~^~

可得I九圓〃的方程為I>

設/（丸"）,則舒=0一見一〃），結合前=（2,0）,

可彳曰ADBC=2。一機）+0=2-2機

（I）+y---=-

因為/點在圓M：I）上運動，

、2也/八2拒、2也……八273.473

所以33,可得當3時，33,達到最大值.

2734石

綜上所述，當3時，/D1C有最大值3.

故選：D.

【變式5-3］在A48C中，AB=2BC=2,ZB=90°,尸是以為直徑的圓上任意一點，則就?萬的最

大值是（）

A,2

V5+2B,^5-2C.2也D.4

【正確答案】A

如圖：以中點。為原點，建立平面直角坐標系,

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則4(0,1),C(1,T),設尸(cosa,sina),?￡[0,2^)；

所以4c=(1,一2)AP=(cosa,sincr-1)

所以4C?AP=(1,-2)-(cosa,sina_1)=cosa—2sina+2

因為cosa-2sina=J^cos(a+e),(其中0e(0,兀)且tan夕=2)

所以cos?-2sina=A/5COS(a+夕)V逐

從而就?萬(石+2.

故選：A

題型六：極化恒等式

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BC=4,A=--.—、一_

【典例6-1］已知“BC中,3,若所在平面內一點。滿足。3+℃+2。4=°,則

。歷DC的最大值為_

【正確答案】-1

如圖，設3C中點為￡,

DA=--+DC^=-DE

所有2

所以。為NE中點,

23/65

--?--?/--?--?、/--?--?、/--?—*\/--?--?、--》2-----------

所以O5℃=（D￡+E5）（D￡+EC）=@^+￡B）（Z）￡-￡5）=OE-EB=DE-4

又BC2=AB2+AC2-