新課標2025版高考數(shù)學二輪復習第一部分基醇點自主練透第2講集合復數(shù)及常用邏輯用語學案文新人教A版

PAGE1-第2講集合、復數(shù)及常用邏輯用語集合1．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩?UA＝()A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}解析：選C.依題意得?UA＝{1，6，7}，故B∩?UA＝{6，7}．故選C.2．(2024·高考全國卷Ⅱ)設集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：選A.因為A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故選A.3．(2024·江西省五校協(xié)作體試題)已知集合A＝{x|lg(x－2)<1}，集合B＝{x|x2－2x－3<0}，則A∪B＝()A．(2，12) B．(－1，3)C．(－1，12) D．(2，3)解析：選C.由lg(x－2)<1＝lg10，得0<x－2<10，所以2<x<12，集合A＝{x|2<x<12}，由x2－2x－3<0得－1<x<3，所以集合B＝{x|－1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<12}，故選C.4．(2024·高考全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4解析：選A.法一：由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的個數(shù)為3×3＝9，故選A.法二：依據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數(shù)，故選A.5．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)>2 D．a(chǎn)≥2解析：選D.集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B?A，所以a≥2.故選D.eq\a\vs4\al()集合運算的4個技巧(1)先“簡”后“算”．進行集合的基本運算之前要先對其進行化簡，化簡時要精確把握元素的性質(zhì)特征，區(qū)分數(shù)集與點集等．(2)遵“規(guī)”守“矩”．定義是進行集合基本運算的依據(jù)，交集的運算要抓住“公共元素”，補集的運算要關注“你有我無”的元素．(3)活“性”減“量”．敏捷利用交集與并集以及補集的運算性質(zhì)，特殊是摩根定律，即?U(M∩N)＝(?UM)∪(?UN)，?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)等簡化運算，削減運算量．(4)借“形”助“數(shù)”．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要留意端點值的取舍．復數(shù)[考法全練]1．(2024·高考全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：選D.z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2＋2i,2)＝1＋i.2．(2024·江西七校第一次聯(lián)考)已知復數(shù)z＝eq\f(i2018,1－2i)，則復數(shù)z的虛部為()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)i D.eq\f(1,5)解析：選A.因為z＝eq\f(i2018,1－2i)＝eq\f(i4×504＋2,1－2i)＝－eq\f(1,1－2i)＝－eq\f(1＋2i,（1－2i）（1＋2i）)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，所以虛部為－eq\f(2,5)，故選A.3．已知復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋\r(3)i)，則eq\x\to(z)·z＝()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：選B.z＝eq\f(2,－1＋\r(3)i)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，eq\x\to(z)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以eq\x\to(z)·z＝1，故選B.4．(一題多解)(2024·高考全國卷Ⅰ)設復數(shù)z滿意|z－i|＝1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1解析：選C.通解：因為z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，所以z＝x＋yi(x，y∈R)．因為|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.故選C.優(yōu)解一：因為|z－i|＝1表示復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點(x，y)到點(0，1)的距離為1，所以x2＋(y－1)2＝1.故選C.優(yōu)解二：在復平面內(nèi)，點(1，1)所對應的復數(shù)z＝1＋i滿意|z－i|＝1，但點(1，1)不在選項A，D的圓上，所以解除A，D；在復平面內(nèi)，點(0，2)所對應的復數(shù)z＝2i滿意|z－i|＝1，但點(0，2)不在選項B的圓上，所以解除B.故選C.eq\a\vs4\al()復數(shù)運算中的4個常見結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N.(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N.常用邏輯用語[考法全練]1．(2024·唐山市摸底考試)命題“?x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是()A．?x0≤0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)B．?x0≤0，lnx0<1－eq\f(1,x0)C．?x0>0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)D．?x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)解析：選D.若命題為?x∈M，p(x)，則其否定為?x0∈M，綈p(x0)．所以“?x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是“?x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)”，故選D.2．下列命題中為真命題的是()A．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題B．命題“若x>1，則x2>1”的否命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題解析：選A.對于A，其逆命題：若x>|y|，則x>y，是真命題，這是因為x>|y|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y，y≥0，,－y，y<0，))必有x>y.對于B，其否命題：若x≤1，則x2≤1，是假命題，如x＝－5，x2＝25>1.對于C，其否命題：若x≠1，則x2＋x－2≠0，因為x＝－2時，x2＋x－2＝0，所以是假命題．對于D，若x2>0，則x>0或x<0，不肯定有x>1，因此原命題的逆否命題是假命題，故選A.3．(2024·高考天津卷)設x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.由“x2－5x<0”可得“0<x<5”；由“|x－1|<1”可得“0<x<2”．由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．故選B.4．(2024·高考北京卷)設函數(shù)f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C.因為f(x)＝cosx＋bsinx為偶函數(shù)，所以對隨意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，所以2bsinx＝0.由x的隨意性，得b＝0.故f(x)為偶函數(shù)?b＝0.必要性成立．反過來，若b＝0，則f(x)＝cosx是偶函數(shù)．充分性成立．所以“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件．故選C.5．已知命題p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命題q：若a＞b，則a2＞b2.下列命題為真命題的是()A．p∧q B．p∧綈qC．綈p∧q D．綈p∧綈q解析：選B.因為?x＞0，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以命題p為真命題；當b＜a＜0時，a2＜b2，故命題q為假命題，由真值表可知B正確，故選B.eq\a\vs4\al()(1)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的等價關系①p∨q真?p，q至少一個真?(綈p)∧(綈q)假．②p∨q假?p，q均假?(綈p)∧(綈q)真．③p∧q真?p，q均真?(綈p)∨(綈q)假．④p∧q假?p，q至少一個假?(綈p)∨(綈q)真．⑤綈p真?p假；綈p假?p真．(2)充分、必要條件的3種推斷方法利用定義推斷干脆推斷“若p，則q”“若q，則p”的真假從集合的角度推斷若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈A”的必要條件；若A＝B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件利用等價轉(zhuǎn)化法推斷條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來推斷真假一、選擇題1．命題“若x2＝1，則x＝1”的逆否命題為()A．若x≠1，則x≠1或x≠－1B．若x＝1，則x＝1或x＝－1C．若x≠1，則x≠1且x≠－1D．若x＝1，則x＝1且x＝－1解析：選C.命題：“若x2＝1，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2≠1”，即“若x≠1，則x≠1且x≠－1”．2．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)設復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)滿意z＝3＋2i2＋i5，則eq\f(y＋2,x＋1)的值為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(1,3)解析：選A.z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi?x＝1，y＝1，所以eq\f(y＋2,x＋1)＝eq\f(3,2).故選A.3．(一題多解)(2024·唐山市摸底考試)設z＝eq\f(i（1－2i）,2－i)，則|z|＝()A.eq\r(5) B．2C.eq\f(\r(41),5) D．1解析：選D.通解：因為z＝eq\f(i（1－2i）,2－i)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(（2＋i）2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝1，故選D.優(yōu)解：|z|＝|eq\f(i（1－2i）,2－i)|＝eq\f(|i（1－2i）|,|2－i|)＝eq\f(|i||1－2i|,\r(5))＝eq\f(\r(5),\r(5))＝1，故選D.4．(2024·鄭州市其次次質(zhì)量預料)已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，則A∩(?UB)＝()A．(－1，0) B．[0，1)C．(0，1) D．(－1，0]解析：選D.A＝{x|1－x2>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以?UB＝{y|y≤0}，所以A∩(?UB)＝(－1，0]，故選D.5．(2024·重慶市學業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知p：(2－x)(x＋1)>0；q：0≤x≤1，則p成立是q成立的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.若p成立，則x滿意－1<x<2，則p成立是q成立的必要不充分條件，故選A.6．已知復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點分別為(1，－1)，(3，1)，則eq\f(z2,z1)等于()A．1－2i B．1＋2iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D.eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i解析：選B.因為z1＝1－i，z2＝3＋i，所以eq\f(z2,z1)＝eq\f(3＋i,1－i)＝1＋2i.7．設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝eq\f(a,1－2i)＋|i|(a∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則a＝()A．－5 B．－eq\f(5,3)C．－1 D．－eq\f(1,3)解析：選B.z＝eq\f(a,1－2i)＋|i|＝eq\f(a（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＋1＝eq\f(a,5)＋1＋eq\f(2a,5)i，因為eq\f(a,5)＋1＝－eq\f(2a,5)，所以a＝－eq\f(5,3).8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：選C.因為集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以陰影部分表示的集合為?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故選C.9．已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿意(1＋i)z＝2－i，則z在復平面內(nèi)的對應點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A.z＝eq\f(2－i,1＋i)＝eq\f(（2－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，則z＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，即z在復平面內(nèi)的對應點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，位于第一象限．10．已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，則a的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]解析：選C.集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，則a≤－2，即a的取值范圍是(－∞，－2]，故選C.11．(2024·廣東省七校聯(lián)考)已知命題p：?x∈R，x－1≥lgx，命題q：?x∈(0，π)，sinx＋eq\f(1,sinx)>2，則下列推斷正確的是()A．p∨q是假命題 B．p∧q是真命題C．p∨(綈q)是假命題 D．p∧(綈q)是真命題解析：選D.對于命題p，當x＝10時，x－1≥lgx成立，所以命題p是真命題；對于命題q，當x＝eq\f(π,2)時，sinx＋eq\f(1,sinx)>2不成立，所以命題q是假命題．依據(jù)復合命題真假的推斷，可知p∧(綈q)是真命題，故選D.12．下列命題是真命題的是()A．?x∈(2，＋∞)，x2>2xB．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要條件C．設{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件D．a(chǎn)⊥b的充要條件是a·b＝0解析：選C.當a1<0，q>1時，數(shù)列{an}遞減；當a1<0，數(shù)列{an}遞增時，0<q<1.A選項當x＝4時，x2與2x明顯相等．B選項由x2＋5x－6>0得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}?{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分條件，D選項，當a＝0或b＝0