2025屆高三數(shù)學(xué)熱點(diǎn)突破：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)（解析版）

熱點(diǎn)專題突破:圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

一、圓饞曲線的光學(xué)性質(zhì)

【健接教材】選擇性必修一P140閱讀與思考:圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

（1）橢圓的光學(xué)性質(zhì):從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦

點(diǎn)上；（如圖1）

（2）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯

聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上;（如圖2）

（3）拋物線的光學(xué)性質(zhì):從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸.

（如圖3）

（4）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射

出;反之,平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

一、單

L（河南省部分名校2023—2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試）橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)

焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓E：g+￡=l（a

>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,月，過(guò)點(diǎn)用的直線與E交于點(diǎn)48,過(guò)點(diǎn)A作E的切線，，點(diǎn)B關(guān)于/

的對(duì)稱點(diǎn)為若|四=攀，|黑卜葺，則餐鱉=（）

5|MFI|3S^AF理

注:S表示面積.

A.2B.C.3D.J

【答案】。

【解析】如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得河，A,R三點(diǎn)共線.設(shè)舊門=必，

則\BF{\=2a-x,\MFr\=\AF[\+\MA\=\AFX\+\AF,\+\BF^\=2a+x.

故|B旦I_2a-x_2解得—2a

故|詢|2Q+N3'用寸x5.

又因引=黑，所以|4月=塔，|入同=半，所以告空里=曹|，=+=3.

555Su%\AF{\萼

2.費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，如:點(diǎn)P為橢圓（6月為焦

點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P處的切線平分ZFJPFJ外角.已知橢圓C：4+￡=1,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是點(diǎn)

P（2,g）處的切線，過(guò)左焦點(diǎn)E作Z的垂線，垂足為河，則|c〃⑷為（）

A.2V2B.2C.3D.273

【答案】A

【解析】依題意可知直線I的斜率存在，設(shè)直線，的方程為"一方=%（，-2）,沙=fc（rc-2）+V2,

代入---+=1得〃+2[A：（a；-2）=8,

o4

整理得（1+2A：2）a；2+（4V2A;-8A:2）a;+8fc2-872fc-4=0,

由于直線/和橢圓。相切，則△=（4四出一8出2）2-4（1+2/（;2）（8爐一8，^;-4）=0,

整理得（V2fc+1）2=0,%=-空，

所以直線I的方程為y（c—2）+V2——^-x+2V2,

對(duì)于橢圓g+彳=1,c=，^=1=2,所以后（一2,0）,

o4

所以直線號(hào)M的方程為?/=72（2；+2）=V2a;+2V2,

由b-夸工+2方解得斷::百，所以\OM\=2V2.

[y=V2x+2V2lw—2V2

故選：A

3.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸;反之，平

行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線及92=2。以0＜「＜

4),一條平行于2軸的光線從點(diǎn)4(8,2p)射出，經(jīng)過(guò)拋物線E上的點(diǎn)B反射后，與拋物線E交于點(diǎn)C,

若△ABC的面積是10,則p=()

A-1c3

A,2B.1c?萬(wàn)D.2

【答案】。

【解析】由題知拋物線焦點(diǎn)為,0),AB〃c軸,

招■y=2p代入y?=2px得力=2p,則為（2p,2p）,

由題可知石、F、。三點(diǎn)共線，石。方程為:?=

2

代入拋物線方程消去g得，8x—17px+2P2=0,

設(shè)方程兩根為電、力2,則劣1+/2=,則舊。|=61+62+「=W?+p=學(xué)0，

OOO

又A（8,2p）至4BC:4力一3g—2P=0的距離為：d=—一"——=觀即,

55

由SMBC=10得1?\BC\?d=10^~P?.8P=20^>p=2.

2o5

故選：D.

二、多選題

4.湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)12.橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)，

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓。的焦點(diǎn)在c

軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為E、&一束光線從E射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至月，若兩段光

線總長(zhǎng)度為6,且橢圓的離心率為空，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為4B則下列說(shuō)法正確的是()

O

A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為手+￡=1

B.若點(diǎn)P在橢圓上，則sin/^P月的最大值為《

C.若點(diǎn)P在橢圓上，出冏的最大值為支

5

D.過(guò)直線夕=2+2上一點(diǎn)M分別作橢圓的切線，交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)(—得，2)

【答案】ACD

【解析】一束光線從后射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至E,如下圖所示:

所以可得|EE|+|EE|=2a=6,即a=3,

又橢圓的離心率為e=9=，可得c=，8,所以〃=a2—02=4,

a3

故橢圓方程為專+斗=1,所以4正確;

94

由橢圓的定義知，|PE|+|PE|=6,不妨設(shè)|PE|=M,|P月|=",（?。?,九〉0），

/lclm2+n2—4c2（m+n）2—2mn—4c216—2mn8

cos/RPN=-----------=-------------------=---------=------

2mn2mn2mnmn

因?yàn)?=m+n2^/mn，可得0Vmn49,

1

所以cos/EP￡=1>—1——

rrm99

當(dāng)且僅當(dāng)館二九時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)NEPE最大為鈍角設(shè)為夕(夕>]■),

則O&NEP月4夕，故當(dāng)NEP月=全時(shí)，sin/EP后的最大值為1,故石錯(cuò)誤；

易得_B(O,2),設(shè)點(diǎn)P(3cos力,2sin/),

則|BP|=J9cos2/+(2sin1—2y=V—5sinrr2—8sinT+13

—yj-5^sinx+-^-+-^-+13

當(dāng)sin/=—《時(shí),|BF|max=J+13=岑魚，故C正確；

5vo5

易知橢圓―l(a>b>0)在點(diǎn)(g,伙))處的切線方程為國(guó)『+義字=l(a>6>0),

(rb2o?b2

證明如下：當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線y=k岔+m與—H—-=l(a>b>0)相切與點(diǎn)(處,珈)，聯(lián)立

a2b2

y=kx-\-m

2/n(Q2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-62)=0,

{”X+”=1

222222

所以△=(2Q2km)2—4a(m—b)(afc+&)=0,

2

整理可得m=Q2k2+匕2,又易知隊(duì)=kg+7n，即7n=%—kg,

22

所以m?—(y?！猭xo)—Q2k2+6；

整理可得整理-To)+〃—端+2kxoyo=0...①;

22f4—忌=生逋

又切點(diǎn)在橢圓上，即器+當(dāng)=1,整理可得工……②，

ab3黨=誓

聯(lián)立①②，可得號(hào)空+等+25為=。,即+等F=0n-詈，

所以切線方程為沙一%=—登3—3),化簡(jiǎn)得筆+喈=1,

a^yQQ'b

經(jīng)檢驗(yàn)，直線斜率不存在時(shí)也符合上式，

22

即橢圓受+4=l(a>6>0)在點(diǎn)(漏隊(duì))處的切線方程為華+駕■=1,

22

abQ2FO2

設(shè)7W(力力+2),_?(力1,%),。(62,紡)，

22

所以橢圓三+與=1在點(diǎn)P處的切線PM的方程為半+斐=1,

9494

在點(diǎn)Q處的切線的方程為等+誓=1,兩線相交于點(diǎn)所以可得

xt|%(1+2)

Y=1

9十4

,即點(diǎn)P,Q滿足方程率+（*）"=1,

①2%?沙2。+2)94

.9十4二1

所以直線PQ的方程為萼+更用=1,整理可得+卷一1=0,

94\94，2

佶+號(hào)=0（X―—―/Q\

令：0_22，故直線收的方程過(guò)定點(diǎn)（U，2）,故。正確，

故選：ACD.

5.如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另

一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓：1+，=l（O<b<2）,其左、右焦點(diǎn)分別是E，E，P為橢圓。上任意一

點(diǎn)，直線，與橢圓。相切于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P與Z垂直的直線與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)點(diǎn)Q（O,?）,若|

戶口|十火片|的最大值為7,則（）

A.橢圓。的離心率為y

B.若APE另的內(nèi)切圓半徑為2—四,則PR_LP?

c.若1pM=痛|,則已劇=3隨|

D.若的R_LZ,垂足為_(kāi)R（g,g（））,則就+說(shuō)=4

【答案】BCD

【解析】由\PQ\+|P￡|=2a+|PQ|—|PR|<2Q+|EQ|=4+Vc2+6=7,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,E三點(diǎn)共線時(shí)取

得等號(hào)，解得c則橢圓方程為亍+靖=1,則e=,4錯(cuò)誤；

5

對(duì)B,APEE的內(nèi)切圓半徑為2—展,

則SA^固P=9?2c?4=/（PE|+|PE|+|FlE|）r

解得"=卓，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)P在第一象限，

O

由今+/=1,解得P（手，亭），則由=（一?_亨,—乎），網(wǎng)="—子，—手）,

則兩?用=-3+號(hào)+9=0,即PE_LP￡,B正確；

yo

由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，得點(diǎn)P與1垂直的直線為角/耳?月的角平分線,

而SAPWW\因P|「局IWl

貝IJ---------=---------=---------如J---------=---------=上則爐囿=卬泗］,區(qū)M=砧4/|,

國(guó)P|'|PE|

S*M\F2M\\F2M\

則［詆1二答"I=普，國(guó)H=蜚，㈤"=擊,則cos物PM=c°sNMP/

n.4fe.2V30.4.2V3

/T+k>1+k'?1+k?1+k

4k2+12=16k,解得k=1或k=3,

當(dāng)k=1時(shí)，￥^=44=1,河與。重合，不合題意,

\PR\IWI

所以k=3,即|。叫=3爐日，。正確；

對(duì)。，如圖，延長(zhǎng)鼻R,EP交于點(diǎn)G,則在APE2G中，PR_LG&AF2PR=4GpR,

則\PF2\=\PG\且R為EG中點(diǎn)，

在kgG中,OH=j-囪G|=y(|F^|+|FG|)=}(F劇+PEI)=a=2,

則點(diǎn)H在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，即嗡+涕=4,。正確.

6.已知雙曲線。：T《=l（b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，用，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)

4b

后發(fā)出的光線成交雙曲線右支于點(diǎn)P,經(jīng)雙曲線反射后，反射光線"的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)E，如圖

所示.若雙曲線。的一條漸近線的方程為，^C—V=O,則下列結(jié)論正確的有（）

B.若771，八，則|P局?I尸月I=12

C.若射線n所在直線的斜率為R,則ke（—0,山）

D.當(dāng)打過(guò)點(diǎn)河（8,5）時(shí),光由月-PT河所經(jīng)過(guò)的路程為10

【答案】AC

【解析】對(duì)于A，由題意可知，a=2,因?yàn)殡p曲線。的一條漸近線的方程為，一夕=0,

所以寺=，§,即6=2/3,所以雙曲線的方程為1--左=1,故力正確；

對(duì)于B,由a—2,b—2A/3，得/=2?+（2V3）2=16,解得c=4,

在△PEE中，NRP%=90°,由勾股定理及雙曲線的定義知，+|p里2=（|p劇_2囿）2+2|。囿.\pp^

=4a2+2|P^|-|F^|=4c2,

即2\PF]\■\PF^=4（c2-a2）=4fe2=48,解得區(qū)局?爐勾=24,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于。，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為g=土血c,

由雙曲線的性質(zhì)可得射線九所在直線的斜率范圍為（一,v5）,故。正確；

對(duì)于。，由題意可知，片（一4,0）,當(dāng)八過(guò)點(diǎn)皿'（8,5）時(shí)，

由雙曲線定義可得光由另一PrM所經(jīng)過(guò)的路程為\F2P\+\PM\=|J]F|+\PM\-2a=\MF1\-4：=

V[8-（-4）]2+（5-0）2—4=9,故O錯(cuò)誤.

故選：AC

7.用于加熱水和食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物面

（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過(guò)拋物線對(duì)稱軸的

平面截拋物面，將所截得的拋物線。放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與力軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若

拋物線C：必=4/的焦點(diǎn)為斤，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于立軸的光線I1從點(diǎn)河射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)

4%幼）反射,再經(jīng)過(guò)。上另一點(diǎn)8儂,統(tǒng)）反射后，沿直線L射出，則（）

A.。的準(zhǔn)線方程為*=—1

B.若點(diǎn)M(2,l),則\AB\=

C.yiV2=-2

D.設(shè)直線力。與。的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N,則點(diǎn)N在直線。上

【答案】

【解析】由題意，拋物線必=40,可得焦點(diǎn)F(1,O),準(zhǔn)線方程為/=—1,所以A正確;

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,且斜率不為0,

設(shè)直線AB:x—my+1,聯(lián)立方程組｛彳_；"+1,整理得婿一4?ng—4=0,

可得△=(—4m)2+16>0,所以%紡=—4，所以。錯(cuò)誤；

若點(diǎn)M(2,l)，則m=1,所以紡=—4，所以劣1=1,g=4,

所以\AB\=%1+力2+2=?+4+2=?，所以B錯(cuò)誤；

又由直線OAg=與力，聯(lián)立方程組\的"，解得y1—曳=―4-=—―,

Xi\x=-lX1量％

4

由9例二—4，得統(tǒng)=——，所以"N=沙2,所以點(diǎn)N在直線，2上，所以。正確.

Vi

故選：AD.

8.其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱軸

的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線。靖=2pmO為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于

2

x軸的光線Zi從點(diǎn)F(m,n)(n<4m)射入，經(jīng)過(guò)。上的點(diǎn)火如切)反射后，再經(jīng)。上另一點(diǎn)B(rr2,y2)

反射后，沿直線，2射出，且。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，則()

A.當(dāng)?，九=1時(shí)，延長(zhǎng)入。交直線c=—；于點(diǎn)。，則O、B、Q三點(diǎn)共線

B.當(dāng)「=去，口=1時(shí)，若平分NABQ，則小;2

C.的大小為定值

D.設(shè)該拋物線的準(zhǔn)線與t軸交于點(diǎn)K,則AAKF=ABKF

【答案】ABD

【解析】如圖所示：

對(duì)4_B選項(xiàng)：由(力2,紡)，。平行于力軸的，當(dāng)p=/,?i=l時(shí),

。過(guò)點(diǎn)P(nz,l)(?n>l)，所以%=1,把g=1代入拋物線的方程娟=力，

解得力=1,即1(1,1),直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)?,0),

直線AB的方程為g—1=——T-(力一1),即4%—3g—1=0,

「W

聯(lián)立代一3g-1=0,得耐_3g-1=0,

[y-x

所以m+紡=1，％例=一彳，

因?yàn)閙=1,%切=一]，所以m=一1,即白點(diǎn)縱坐標(biāo)為一

代入得B點(diǎn)橫坐標(biāo)力二婿=±_,

16

y=x

{_1,

解得1”:，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(一；，一[),

[y=~i：44

由光學(xué)性質(zhì)可知BQ平行于多軸，則D、B、Q三點(diǎn)縱坐標(biāo)都相同，

所以。、口、。三點(diǎn)共線，故A正確；

由光學(xué)性質(zhì)可知AP平行于多軸，BQ平行于x軸，則APHBQ,有AAPB=NPBQ,

PB平分ZABQ,有AABP=APBQ,所以NAPB=AABP,

|AP|=隊(duì)⑹，即加—1=J-卜)+。+,)=H，

得m=2,故B正確；

10

對(duì)C、D選項(xiàng)：設(shè)AB為x=my+-y,、以狽紡)，

由卜772"+2消去力得：靖―2q771g—p2=。，△>()恒成立，

[y2=2px

2

有m+紡=2P館，幼紡=一外,x1+x2=m(y1+y2)+p=(2m+l)p,

設(shè)Z.AOx—a,Z.BOx=6,而tana=kOA——,—tanyS=kOB=—,

力ix2

貝I—tan（2tan5=kOA?kOB="仍="曲=4P=_4,貝ijtan^tan-S=4,

力便23例）U1V2

婚???

tana+tan/?_tana+tan/?

而tan/AOB=tan(s+6)二

1—tan^tan/?3

并不是定值，故。錯(cuò)誤；

=%

直線AK斜率kAK=:

電+與myx+p，

V2

直線BK斜率kBK=皿-

電+^my2+p

2

=%紡=一。P_P_2p2p

2

my^+pyxpy^mpyi-mpyi+fey「V2,PI

yi9/

2陰+Vl

=2py、=2P功=_2nl=yi

2

優(yōu)+p22px1-\-p2(小%+旬+p—

即上依=—因此乙4KF=/BKF,故。正確.故選：ABD

三、填空題

9.圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛，如圖所示,從雙曲線右焦點(diǎn)月發(fā)出的光線，通過(guò)雙曲線鏡面反射

出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)及已知雙曲線的離心率e=5,則當(dāng)入射光線FF

和反射光線PE互相垂直時(shí)(其中P為入射點(diǎn)),cos/用理？=.

【答案】號(hào)

5

【解析】

解析：由e=5得c=5a,b=2V&a.設(shè)\PF^=m(m>0),則\PF1\=2a-\-m.

所以館2+(2a+?n)2=(10Q)2,解得7n=6Q或nz=—8Q(舍去),

所以3/9我=差=黑3

5

10.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后,沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.

反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線C：y2=

2Px(p>0)焦點(diǎn)為尸,準(zhǔn)線為I,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于宏軸的光線h從點(diǎn)P(g,2)(點(diǎn)P在拋物線

。內(nèi))射入，經(jīng)過(guò)。上的點(diǎn)4反射后，再經(jīng)過(guò)。上另一點(diǎn)B反射后,沿直線射出，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，若直

線OA與拋物線。的準(zhǔn)線交于點(diǎn)。，則直線的斜率為；若|上4|=2舊。|,且P8平分

AABQ，則p=.

【答案】02

【解析】依題意直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn).設(shè)直線AB的方程為x—my+三,,_8(電,紡),

聯(lián)立方程組\X1m/2，得靖—2pmy—p?=0,則為夕2=—P',工巡2=-

1峭=2眸4

因?yàn)?=2,所以

因?yàn)橹本€O>1的方程為y—px,

所以直線OA與拋物線。的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為。（一一§）,

所以直線BD的斜率為0.

②因?yàn)镻B平分ZABQ,所以NABP=APBQ=AAPB，所以=|R4|.

因?yàn)閈PA\=2|BD|,所以\AB\=2|_DB|,即力1+g+p=2|^2—

所以總+￡+P=2（4+^），得P=2.

故答案為：①0;②2.

四、解答題

11.設(shè)橢圓C：1+名=l（a>b>0）,回，鳥(niǎo)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P（g,隊(duì)）在橢圓。上.求證:

azb‘

（1）直線+等=1是橢圓在點(diǎn)尸處的切線;

a?bz

（2）從￡發(fā)出的光線F2P經(jīng)直線I反射后經(jīng)過(guò)風(fēng)

【解析】證明：（1）因?yàn)镻（g,。。如）在橢圓上，所以典+粵=1,所以P也在直線上.

a2b2

（登+直=],oo（_――b%oZ0°

ba2y22222244

聯(lián)立直線和橢圓方程《〃°'{ayo+bXo）x—2abx0x+fea—ayo=

[箸+耨=1[b2x2+a2y2^a2b2

0,0°

22222222

因?yàn)镻在橢圓上，所以ayo+bXo=a2b2=>abx—2abxox+a?bXo=0n△=0

n所以直線,與橢圓相切，又因?yàn)閕nC=P,

所以直線/是橢圓在點(diǎn)P處的切線.

⑵設(shè)E關(guān)于直線Z的對(duì)稱點(diǎn)為瑪（電,。。陰）,

則月,。。K的中點(diǎn)在直線/上，直線用吊與/垂直,

即I，=y1=固。儂――c)=」2%(a2一熱。)=%⑷―gc)

222

"妍—g+c-b^xo+a^c-b^xo+a^c-b^c~(a-c)x0+ac-xlc

伙)(a2—gc)=普1=島%°/'O)=e，―e

2vOQIC

(a-zoc)(a?o+c)

F'2,0。P,°。后所以三點(diǎn)共線，所以從月發(fā)出的光線經(jīng)直線/反射后經(jīng)過(guò)用.

12.已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓上任一點(diǎn),經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過(guò)

11

另一個(gè)焦點(diǎn).若從橢圓+vr=l（a>6>0）的左焦點(diǎn)E發(fā)出的光線,經(jīng)過(guò)兩次反射之后回到點(diǎn)

azbz

E，光線經(jīng)過(guò)的路程為8,T的離心率為哼.

⑴求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)。（如,0），且砒〉a,過(guò)點(diǎn)。的直線I與橢圓T交于不同的兩點(diǎn)V,N,月是T的右焦點(diǎn)，且

NDRM與/。為?互補(bǔ)，求AMA弓面積的最大值.

【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知，左焦點(diǎn)E發(fā)出的光線，

經(jīng)過(guò)兩次反射之后回到點(diǎn)E,光線經(jīng)過(guò)的路程為4Q=8,解得a=2.

又橢圓的離心率為，得6=C=，所以C=V3，故〃=Q2—。2=4—3=1,

2a2

故橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+爐;1；

⑵由題意得同（窩,0）,設(shè)河⑶，加），陽(yáng)02,統(tǒng)）.因?yàn)?。理W與ND鳥(niǎo)N互補(bǔ),

所以做我+島的=°,即一丐京■1-----*7萬(wàn)=0,化簡(jiǎn)整理，可得的統(tǒng)一，^紡+g仍一通%=0,

Xi—V3x2—Vo

設(shè)直線A47V的方程為N=mg+?2（?7iW0）,得2加仇92+（n—V3）（7/I+T/2）=。.

\x—my+n

聯(lián)立直線皿N與橢圓的方程得?21整理得(m?+4)g2+2mny+n2—4=0,

匕+婿=1

△=4m2n2—4(m2+4)(n2—4)>0,可得712Vm?+4,

2mn口2一4

則Vi+V2=——..，g曲二,.，所以+通)=o,

m2+4m22+4m+4m+4

解得n—4^^,故直線MN的方程為c=my+.

O0

'"3

點(diǎn)E（M5,0）到直線的距離d=

Vl+m23V1+m2

\MN\=Vl+m2-5(%+紡)2-4%敵，

=Vl+m2'^/(―段）1小E.鼠7n2+4—九2

m2+4

V3(m2+4)

2個(gè)3優(yōu)2—4

所以S：N=^\MN\-d=-1Vl+m2-臂嗎U

3\/1+m23m2+4

由712VTn2+4,n=4^^可得,普~<m2+4,即3m?—4>0.

OO

t2+4

￡己f=V3m2—4，貝”t>0,m2

3，

1=1

X=2x--—<2x

所以S際MN-2

J守+42,tx牛4

當(dāng)且僅當(dāng)力=￥~，即力=4,7n2=?~時(shí)，等號(hào)成立.故△MVZ^面積的最大值為

13.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年--325年），大約100年后，阿波羅尼斯

更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖?甲，從?橢圓的?

一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線，表示與橢

圓的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線.

已知圖乙中，橢圓。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為后（一c,0）,耳（c,0）（c>0）,由E發(fā)出的光線經(jīng)橢圓

兩次反射后回到R經(jīng)過(guò)的路程為發(fā)仁

【解析】（1）點(diǎn)P是橢圓。上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓。在點(diǎn)P處的切線為在Z上的射影H滿足

Q丑1=2,利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓C的方程；

（2）在：（1）的條件下，設(shè)橢圓。上頂點(diǎn)為Q,點(diǎn)A,B為2軸上不同于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，且以+①B=4,直線

42,BQ分別與橢圓C交于點(diǎn)M,N（M,N異于點(diǎn)、Q）,QT_LMV,垂足為T,求|OT|的最小值.

由題知4a=&^^c,延長(zhǎng)月交于點(diǎn)片，

O

在居用中，瓦月,/居PH=AF0PH,則\PF2\=|P用I且H為鳥(niǎo)耳中點(diǎn),

在ZW胭中，QH|=i出用=,（|P曰+|%|）=y（|P輿|+|P碗，則|P園+|次=4=2a,

由對(duì)稱性可知直線MN的斜率不為0,所以可設(shè)直線MN:r=?ng+?i,

聯(lián)立直線7VW與+?/2=1,14+"1=>(m2+4)?/2+2mny+n2—4=0,

4[x=my-\-n

則A>0n4+m2—送>o,①

,_—2mnF，②

y、+y2-..，V1V2

m2+4m2+4

13

所以MQ'.x——生7(g—1),令g=0,得點(diǎn)A橫坐標(biāo)xA=-,

%一1S一1

同理可得點(diǎn)B橫坐標(biāo)磔=二^,故二^+二^=4,

92一1%一1例一1

將力1=??2沙1+物劣2=山紡十九代入上式整理得：(2?71+4)幼紡+(n—m—4)(佻+y2)+4—2n=0,

將②代入得m2+2mn+n2—2m—2n=0^(m+n)(m+n—2)=0,

若M+口=0,則直線A47V:。=,恒過(guò)Q(0,l)不合題意；

若nz+n-2=0,則MN:x=m(y—1)+2,恒過(guò)G(2,1),

小2

因?yàn)橹本€7WN恒過(guò)G(2,l),且與亍+必=1始終有兩個(gè)交點(diǎn)，又Qe'D.QTLw，垂足為T,所以點(diǎn)

T軌跡是以G。為直徑的半圓(不含點(diǎn)G,Q,在直線GQ下方部分)，

圓心。(1,1),半徑為1,所以|07|>|0。|一1二四一1,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)T在線段OC上時(shí)，

所以|OT|的最小值為V2-1.

14.拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反

之,平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知點(diǎn)斤為拋物線。靖=

2m(p>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M點(diǎn)在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為普-，滿足\MF\=\MO\.

(1)求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知平行于x軸的光線I從點(diǎn)F(m,2)(m>0)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后,再經(jīng)過(guò)拋物線上

另一點(diǎn)8,最后沿BQ方向射出,若射線8P平分NABQ,求實(shí)數(shù)zn的值.

【解析】(1)由題意可知，拋物線。的焦點(diǎn)為F(g,0),將9=§代入拋物線方程可得土=金，即點(diǎn)

\MF\=\MO\可得%+今=、1+/,解得P=I,

16p2

故拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2x.

痘2工可得工=9=2,即點(diǎn)A(2,2),

(2)由題意可知，直線2的方程為g=2,由

則tan/4BQ=kAF=—=4，直線AB的方程為夕=[?

o_l33

N2

；T)可得

聯(lián)立<2，即點(diǎn)B《,一會(huì),

y=2xy=T

2+-1"

20

設(shè)直線的傾斜角為仇則tanP=k=

BP8m—1

由題意可知，/