2024-2025學年江蘇省南京市高一上冊10月月考數(shù)學質量檢測試題（含解析）

2024-2025學年江蘇省南京市高一上學期10月月考數(shù)學質量檢測試題注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設命題，則為（）A. B.C. D.2.已知集合A=｛1，2，3，4｝，，則A∩B=A.｛1,4｝ B.｛2，3｝ C.{9，16} D.｛1,2}3.已知全集，集合，是的子集，且，則下列結論中一定正確的是（）．A. B.C D.4.已知，則“且”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知集合，若，則實數(shù)a的值為（）A.5或 B. C.5 D.6.已知，，若，則的最小值為（）A.2 B.4 C. D.97.設，則滿足的集合A的個數(shù)為（）A. B. C. D.8.已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則10.已知全集，，，，，，則下列選項正確為（）A. B.A的不同子集的個數(shù)為8C. D.11.如果我們把集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集，記為.用表示有限集A的元素個數(shù).則下列命題中正確的是（）A.若，則B.存在集合A，使得C.若，則D.若，則第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∪B___．13.已知，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為______.14.已知，則的最小值為______.四、解答題，本題共5小題，共77分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若A中有且僅有1個元素，求實數(shù)m的值；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.16.已知命題；命題.（1）若p為真命題，求實數(shù)a最小值；（2）若與q恰有1個為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.17.如圖（示意），在公路的一側有一塊空地，在這塊空地上規(guī)劃建造一個口袋公園（如圖中），其中道路與為健身步道，內為綠化景觀與健身設施等，由于路面材質的不同，段的造價為每米3萬元，段的造價為每米2萬元，內部的造價為每平方米2萬元.設的長為x米，的長為y米.（1）若建造健身步道費用與建造內部的費用相等，則如何規(guī)劃可使公園占地面積（只考慮內部）最少?（2）若建造公園的總費用為30萬元，則健身步道至少有多長?18.已知集合.（1）當時，求；（2）若“”是“”必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，使，求實數(shù)a的取值他圍.參考公式：若關于x的方程有兩根與，則關于x的不等式的解集為，的解集為.19.對了給定的非空集合A，定義集合，，當時，則稱A具有孿生性質.（1）判斷集合是否具有孿生性質，請說明理由；（2）設集合且，若C具有孿生性質，求n的最小值；（3）設集合，若，求證.2024-2025學年江蘇省南京市高一上學期10月月考數(shù)學質量檢測試題注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設命題，則為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用存在量詞命題的否定，直接判斷即可.【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以為.故選：A2.已知集合A=｛1，2，3，4｝，，則A∩B=A.｛1,4｝ B.｛2，3｝ C.{9，16} D.｛1,2}【正確答案】A【分析】依題意，，故【詳解】依題意，，故.【考點定位】本題考查集合的表示以及集合的基本運算，考查學生對基本概念的理解.3.已知全集，集合，是的子集，且，則下列結論中一定正確的是（）．A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用集合交、并、補運算以及逐一判斷即可.【詳解】集合，是的子集，且，對于A，，故A不正確；對于B，，故B正確；對于C，，不包括屬于且不屬于的部分，故C不正確；對于D，，其交集為屬于且不屬于的部分，故D不正確.故選：B4.已知，則“且”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)不等式性質判斷兩條件關系，再根據(jù)充分必要概念作選擇.【詳解】，因此充分性成立；，因此必要性成立，綜上是充分必要條件，選C.充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．5.已知集合，若，則實數(shù)a的值為（）A.5或 B. C.5 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)求得值，再驗證每個取值是否滿足條件.【詳解】因為，所以，所以或.若，則，此時，此時不成立；若，則或，當時，，B中有兩元素相等，故不成立；當時，此時，此時成立；綜上.故選：D6.已知，，若，則的最小值為（）A.2 B.4 C. D.9【正確答案】D【分析】由基本不等式結合乘“1”法可得答案.【詳解】由可得，，當且僅當?shù)忍柍闪?，故選：D.7.設，則滿足的集合A的個數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】集合至少包括所有元素，還要從根據(jù)任意取1個，2個或個元素，則根據(jù)組合個數(shù)可求解.【詳解】集合至少包括所有元素，還要從根據(jù)任意取1個，2個或個元素，則集合的個數(shù)為，故選：D8.已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由命題為假命題，則在上無解，即與，函數(shù)圖象沒有交點，畫出圖象求出參數(shù)，命題為真命題，則，求出參數(shù)求交集即可.【詳解】命題為假命題，在上無解，即與，函數(shù)圖象沒有交點，由圖可知：或，命題為真命題，則，解得，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D若，則【正確答案】BD【分析】對A：舉反例說明；對BCD：作差后根據(jù)條件判斷大小.詳解】對于選項A，當時，，故A錯誤;對于選項B，，因為，所以，所以，即，故B正確;對于選項C，，因為，所以，所以，即，故C錯誤；對于選項D，因為，又因為，所以，所以，即，故D正確.故選:BD.10.已知全集，，，，，，則下列選項正確的為（）A. B.A的不同子集的個數(shù)為8C. D.【正確答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件作出Venn圖，結合元素與集合的關系以及集合之間的關系，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】因為，因為，所以集合中有，集合中無的元素只有1，9；因為，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7；因為，所以集合與的公共元素只有3；所以集合中有，集合中無的元素只有0，2，5，8，即.如圖：所以：，，，故AC正確；因為集合中有3個元素，所以A的不同子集的個數(shù)為8，故B正確；因為，故D錯誤.故選：ABC11.如果我們把集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集，記為.用表示有限集A的元素個數(shù).則下列命題中正確的是（）A.若，則B.存在集合A，使得C.若，則D.若，則【正確答案】ACD【分析】選項A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素與集合關系判斷即可；選項B，利用集合元素的個數(shù)和子集個數(shù)的關系得到的元素個數(shù)判斷即可；選項C，利用集合的運算得出集合與集合無相同元素，然后再判斷的交集即可；選項D，利用集合元素個數(shù)和集合子集個數(shù)的關系判斷即可.【詳解】若，所以故，選項A正確；若一個集合有個元素，則其子集個數(shù)為個，即，顯然當時，無解，故選項B錯誤；若已知，則集合與集合無相同元素，故集合與集合只有唯一相同子集，所以，故選項C正確；若，假設集合有個元素，則集合有個元素，所以集合與集合的子集個數(shù)分別為個，即故，所以選項D正確.故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∪B___．【正確答案】【分析】直接計算并集得到答案.【詳解】集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則.故答案為.13.已知，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為______.【正確答案】【分析】依據(jù)充分不必要條件求得需滿足且等號不同時成立，可得.【詳解】根據(jù)題意可知，若p是q的充分不必要條件需滿足，解得；但且兩端等號不同時成立，所以，即；因此實數(shù)m的取值范圍為.故14.已知，則的最小值為______.【正確答案】4【分析】變形給定式子，令，再利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，令，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為4.故4四、解答題，本題共5小題，共77分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若A中有且僅有1個元素，求實數(shù)m的值；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）分類討論當、時方程根的個數(shù)，即可求解；（2）求得集合，分、結合的情況討論方程的解的情況，可求實數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；若，則當且僅當方程的判別式，即時，方程有兩個相等的實根，此時集合中有且僅有一個元素，所以實數(shù)m的值為或；【小問2詳解】，因為，所以，由（1）知時，，不符合，當時，若，解得，此時，符合，若，解得，此時方程的根為，集合，符合，若，由，則可得，此時有且，無解，綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為.16.已知命題；命題.（1）若p為真命題，求實數(shù)a的最小值；（2）若與q恰有1個為假命題，求實數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用不等式的解集為，求解可得實數(shù)a的最小值，（2）利用基本不等式求得為真命題時a的取值范圍，為真命題時a的取值范圍，進而可求結論.【小問1詳解】因為為真命題，所以的解集為，所以，解得，所以實數(shù)a的最小值為；【小問2詳解】因為，所以，所以，，當且僅當，即時取等號，所以，所以，因為，所以當為真命題時，，由（1）可知為真命題時，，當為真命題，為假命題時，，所以，當為假命題，為真命題時，，所以，綜上所述：與恰有1個為假命題，實數(shù)a的取值范圍為.17.如圖（示意），在公路一側有一塊空地，在這塊空地上規(guī)劃建造一個口袋公園（如圖中），其中道路與為健身步道，內為綠化景觀與健身設施等，由于路面材質的不同，段的造價為每米3萬元，段的造價為每米2萬元，內部的造價為每平方米2萬元.設的長為x米，的長為y米.（1）若建造健身步道的費用與建造內部的費用相等，則如何規(guī)劃可使公園占地面積（只考慮內部）最少?（2）若建造公園的總費用為30萬元，則健身步道至少有多長?【正確答案】（1）規(guī)劃時，面積最少（2）步道至少有7米.【分析】（1）根據(jù)條件建立建造費用的等量關系，消元轉化并由基本不等式計算即可；（2）根據(jù)條件建立建造費用的等量關系，分解因式配湊定值由基本不等式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)題意建造健身步道的費用為，內部的建造費用為，即，所以有，而公園占地面積，當且僅當時取得等號，所以規(guī)劃時占地面積最少；【小問2詳解】根據(jù)題意有：，即，而，當且僅當，即時取得等號.所以規(guī)劃時，即步道至少為7米.18.已知集合.（1）當時，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，使，求實數(shù)a的取值他圍.參考公式：若關于x的方程有兩根與，則關于x的不等式的解集為，的解集為.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求得集合A，利用條件及二次函數(shù)的性質得集合B，由交集的概念計算即可；（2）利用反比例函數(shù)的性質求得C，再根據(jù)必要條件得出，利用集合的基本關系及二次函數(shù)動軸定區(qū)間分類討論計算即可；（3）將問題轉化為，結合（2）的結論分類討論計算即可.【小問1詳解】由可得，即，而時，，由二次函數(shù)的性質知，即，所以；【小問2詳解】根據(jù)反比例函數(shù)的性質知時，，則，由（1）知：，由“