2024-2025學(xué)年四川省自貢市高二上冊(cè)開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省自貢市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件2．已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）A． B． C． D．3．從裝有若干個(gè)紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.若事件“兩個(gè)球都是紅球”的概率為，“兩個(gè)球都是白球”的概率為，則“兩個(gè)球顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.66．已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A． B． C． D．7．某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別p，，，該同學(xué)站在這三個(gè)不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為，則p的值為（

）A． B． C． D．8．甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：（1）累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；（2）比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；（3）每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；（4）當(dāng)一人被淘汰后，剩余兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽甲?乙首先比賽，丙首輪輪空，設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝概率都為，則丙最終獲勝的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．不透明的袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球.記為事件“從中任取1個(gè)球是紅球”，為事件“在有放回隨機(jī)抽樣中，第二次取出1個(gè)球是紅球”，則（

）A． B．C．事件與是互斥事件 D．事件與是相互獨(dú)立事件10．已知事件A，B，且，則（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果A與B相互獨(dú)立，那么D．如果A與B相互獨(dú)立，那么11．一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的數(shù)字，其中的各位數(shù)字中，，則（

）A．的所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的樣本空間中共有32個(gè)樣本點(diǎn)B．若的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，則的概率大于的概率C．若的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，則中各位數(shù)字之和是4的概率為D．若出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，則啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字中恰有兩個(gè)0的概率為三、填空題（本大題共3小題）12．已知四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)，滿足，則．13．隨著阿根廷隊(duì)的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據(jù)足球比賽規(guī)則，兩支球隊(duì)先進(jìn)行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進(jìn)行30分鐘加時(shí)賽；如果在加時(shí)賽比分依舊相同，則進(jìn)入5球點(diǎn)球大賽.若甲、乙兩隊(duì)在常規(guī)賽與加時(shí)賽中得分均相同，則甲、乙兩隊(duì)輪流進(jìn)行5輪點(diǎn)球射門，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球不得分.假設(shè)甲隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.8，乙隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.5，且在前兩輪點(diǎn)球中，乙隊(duì)領(lǐng)先一球，已知每輪點(diǎn)球大賽結(jié)果相互獨(dú)立，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為.14．冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)5，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過程為，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行5次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．經(jīng)調(diào)查某市三個(gè)地區(qū)存在嚴(yán)重的環(huán)境污染，嚴(yán)重影響本地區(qū)人員的生活．相關(guān)部門立即要求務(wù)必加強(qiáng)環(huán)境治理，通過三個(gè)地區(qū)所有人員的努力，在一年后，環(huán)境污染問題得到了明顯改善．為了解市民對(duì)城市環(huán)保的滿意程度，開展了一次問卷調(diào)查，并對(duì)三個(gè)地區(qū)進(jìn)行分層抽樣，共抽取40名市民進(jìn)行詢問打分，將最終得分按分段，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中a的值，以及此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)若分?jǐn)?shù)在區(qū)間的市民視為對(duì)環(huán)保不滿意的市民，從不滿意的市民中隨機(jī)抽出兩位市民做進(jìn)一步調(diào)查，求抽出的兩位市民來自不同打分區(qū)間的概率．16．甲乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4）完游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(1)設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況；(2)若甲抽到紅桃3，則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？(3)甲乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平，說明你的理由.17．杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時(shí)，在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就喪失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局，因此更有容錯(cuò)率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì)，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡(jiǎn)單研究一下兩個(gè)賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為，其中對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為．最初分組時(shí)同組，同組．(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡(jiǎn)單分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公平”？18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB；(2)求證：PB⊥平面EFD；(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.19．在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．(1)已知．①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號(hào)0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號(hào)為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨(dú)立．(2)若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件定義判斷求解.【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)椋允录?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，為必然事件，所以事?與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，不為必然事件，所以事?與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)找出三次投籃恰有兩次命中的數(shù)組，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意在組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個(gè)，所以該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率.故選：A3．【正確答案】C【詳解】設(shè)“兩個(gè)球都是紅球”為事件A，“兩個(gè)球都是白球”為事件B，“兩個(gè)球顏色不同”為事件C，則，，且.因?yàn)锳，B，C兩兩互斥，所以.故選C.【思路導(dǎo)引】設(shè)“兩個(gè)球都是紅球”為事件A，“兩個(gè)球都是白球”為事件B，“兩個(gè)球顏色不同”為事件C，則A，B，C兩兩互斥，，再根據(jù)對(duì)立事件及互斥事件概率公式，即可求解.4．【正確答案】D【分析】由空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的特征可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)需要把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D5．【正確答案】B【分析】由題意，表示出該題未被解出的概率，然后列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)乙獨(dú)立解出該題的概率為，由題意可得，∴．故選：B.6．【正確答案】B【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，即可求出，從而求出，再計(jì)算其模.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，所以，解得，所以，所以.故選：B7．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法公式求恰好投中兩次的概率，列方程求解即可得結(jié)果.【詳解】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A，B，C，則，可知恰好投中兩次為事件，故恰好投中兩次的概率，解得．故選：A.8．【正確答案】B【分析】根據(jù)賽制，最小比賽4場(chǎng)，最多比賽5場(chǎng)，比賽結(jié)束，將丙最終獲勝的可能情況進(jìn)行分類，分別求出各類事件發(fā)生的概率，再由互斥事件概率公式計(jì)算可得．【詳解】根據(jù)賽制，最小比賽4場(chǎng)，最多比賽5場(chǎng)，比賽結(jié)束，注意丙輪空時(shí)，甲乙比賽結(jié)果對(duì)下面丙獲勝概率沒有影響（或者用表示），若比賽4場(chǎng)，丙最終獲勝，則丙3場(chǎng)全勝，概率為，若比賽5場(chǎng)，丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開始的4場(chǎng)比賽按照丙的勝負(fù)輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，所以丙獲勝的概率為．故選B．9．【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意可知：此實(shí)驗(yàn)相當(dāng)于進(jìn)行兩次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：兩次取球相當(dāng)于兩次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，所以事件與是相互獨(dú)立事件，且，故選.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運(yùn)算有、，由事件的相互獨(dú)立知，結(jié)合事件的運(yùn)算求、【詳解】A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨(dú)立，則，，錯(cuò)誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.11．【正確答案】ACD【分析】由樣本空間的定義判斷A，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，互斥事件的加法及獨(dú)立事件的乘法公式判斷BCD．【詳解】對(duì)于A，由于的各位數(shù)字中，都可能為0或1，則的所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的樣本空間中有個(gè)樣本點(diǎn)，正確；對(duì)于B，若的各位數(shù)字都是等可能地取值0或1，則，所以的概率等于的概率，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若的各位數(shù)字都是等可能地取值為0或1，如果中各位數(shù)字之和是4，即5個(gè)數(shù)字中有4和“1”和1個(gè)“0”，可能情況有：，共有5種等可能情況，其概率，正確；對(duì)于D，由于，數(shù)字中恰有2個(gè)0，即在四個(gè)數(shù)中恰好有2個(gè)0,2個(gè)1，可能情況有：，共有6種情況，啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字中恰有兩個(gè)0的概率為，正確；故選：ACD．12．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量共面的推論求解即可.【詳解】四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，，，．故13．【正確答案】0.304【分析】先計(jì)算甲隊(duì)獲勝或平局的概率，再討論甲隊(duì)最終獲勝的情況，依次計(jì)算其概率即可.【詳解】甲隊(duì)在每輪點(diǎn)球比賽獲勝的概率為，甲隊(duì)在每輪點(diǎn)球比賽平局的概率為.由題可知最終甲隊(duì)獲勝，則后三輪比賽只能有兩種情況：①甲獲勝兩輪，剩下一輪甲乙平局，最終甲隊(duì)獲勝的概率為；②甲獲勝三輪，該情況下最終甲隊(duì)獲勝的概率為，綜上，甲隊(duì)獲勝的概率為0.24＋0.064＝0.304.故0.30414．【正確答案】/0.1【分析】根據(jù)題中定義，分別求出正整數(shù)6，7，8，9，10按照題中所給運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的次數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】按照題中運(yùn)算規(guī)律，正整數(shù)6的運(yùn)算過程為，運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)7的部分運(yùn)算過程為，當(dāng)運(yùn)算到10時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為10，由正整數(shù)的運(yùn)算過程可知，正整數(shù)7總的運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)8的運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)9的部分運(yùn)算過程為，當(dāng)運(yùn)算到7時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為3，由正整數(shù)7的運(yùn)算過程可知，正整數(shù)9總的運(yùn)算次數(shù)為；正整數(shù)10的運(yùn)算次數(shù)為6；故正整數(shù)6，7，8，9，10的運(yùn)算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個(gè)數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，其中的運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，故運(yùn)算次數(shù)均為奇數(shù)的概率為．故15．【正確答案】(1)，中位數(shù)為（分）(2)【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積之和為即可求出，再根據(jù)頻率分布直方圖求出中位數(shù)即可；（2）分別求出和的市民人數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】（1）由題意可得，解得，由，可得此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)在上，設(shè)為，則，解得，所以此次問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為（分）；（2）的市民有人，記為a，b，的市民有人，記為1，2，3，4，則從中抽取兩人的基本事件有：共15種，其中兩人來自不同的組的基本事件有8種，則所求概率為.16．【正確答案】(1)答案見解析(2)(3)不公平，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用列舉法，即可求解基本事件的總數(shù)及基本事件的空間；（2）由乙抽到的牌只能是2，4，，進(jìn)而求得乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率；（3）根據(jù)古典概率的概率計(jì)算公式，分別求得甲、乙獲勝的概率，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：甲乙二人抽到的牌的所有情況（方片4用字母表示，紅桃2，紅桃3，紅桃4分別用2，3，4表示），可得基本事件的空間為：（2，3）、（2，4）、（2，）、（3，2）、（3，4）、（3，）、（4，2）、（4，3）、（4，）、（，2）、（，3）、（，4），共12種不同情況，（2）解：由題意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，，所以乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為.（3）解：根據(jù)題意，甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（，2）、（，3），共有5種情況，所以甲勝的概率，乙獲勝的概率為，因?yàn)椋源擞螒虿还剑?7．【正確答案】(1)；；(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．【分析】（1）若拿冠軍則只需要連贏兩場(chǎng)，對(duì)于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，然后根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式分別算出在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進(jìn)行比較.【詳解】（1）記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場(chǎng)即可拿到冠軍，因此，對(duì)于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此．（2）記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.若，雙敗賽制下，隊(duì)伍獲得冠軍的概率更大，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會(huì)變小，若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會(huì)變大，綜上可知：雙敗賽制下，會(huì)使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對(duì)強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對(duì)的．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)π3【詳解】（1）解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.依題意得A1,0,0，B1,1,0，P0,0,1，所以PA=1,0,?1，DB=1,1,0設(shè)平面EDB的一個(gè)法向量為m=x則有DB?m=x取m=1,?1,1，則PA因?yàn)镻A?平面EDB，因此PA//平面EDB.（2）依題意得PB=1,1,?1因?yàn)镻B?DE所以PB⊥ED.由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD.（3）依題意得C0,1,0，且CB=1,0,0，設(shè)平面CPB的一個(gè)法向量為n=x則CB?n=x2取n=0,1,1易知平面PBD的一個(gè)法向量為CA=1,?1,0所以cosn,所以平面CPB與平面PBD的夾角為π319．【正確答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算可得；②記事件為“第三次收到的信號(hào)為1”，事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，證明即可；（2）記事件為“采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，根據(jù)題意可得，解不等式可解.【詳解】（1）①記事件為“至少收到一次0”，則．②證明：記事件為“第三次收到的信號(hào)為1”，則．記事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，則．因?yàn)?，所以事件“第三次收到的信?hào)為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨(dú)立．（2）記事件為“采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，則．記事件為“采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，則．根據(jù)題意可得，即，因?yàn)?，所以，解得，故的取值范圍為．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算各事件的概率.2024-2025學(xué)年四川省自貢市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．體育老師記錄了班上10名同學(xué)1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（

）A．98 B．99 C．99.5 D．1003．若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B． C． D．或4．如圖，在平行六面體中，為和的交點(diǎn)，若，，，則下列式子中與相等的是（

）A． B． C． D．5．已知兩個(gè)平面，兩條直線，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若是異面直線，，，，，則6．在中，、、分別是內(nèi)角、、所對(duì)的邊，若，，，則邊（

）A． B．或 C．或 D．7．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則（

）A． B．C． D．8．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）.A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．向量，若，則B．若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線C．已知向量，，若，則D．任意向量，滿足10．設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則A，B相互獨(dú)立C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若A與B相互獨(dú)立，則11．如圖，在正方體中，P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面平面C．存在唯一的點(diǎn)P，使得為90°D．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，取得最小值三、填空題（本大題共3小題）12．O為空間任意一點(diǎn)，若，若ABCP四點(diǎn)共面，則．13．在平面四邊形中，，，，若，則的面積為.14．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則的重心到直線BN的距離為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，求．16．某公司為了解員工對(duì)食堂的滿意程度，對(duì)全體100名員工做了一次問卷調(diào)查，要求員工對(duì)食堂打分，將最終得分按，，，，，分成6段，并得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）估計(jì)這100名員工打分的眾數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)從，，這三組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取11個(gè)人，求這組抽取的人數(shù).17．在中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年之際，某校舉辦了“強(qiáng)國(guó)有我，挑戰(zhàn)答題”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，已知甲、乙兩隊(duì)參加，每隊(duì)3人，每人回答且僅回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得1分，答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，乙隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，且各人回答問題正確與否互不影響.(1)分別求甲隊(duì)總得分為1分和2分的概率；(2)求活動(dòng)結(jié)束后，甲、乙兩隊(duì)共得4分的概率.18．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．19．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c滿足．(1)求B；(2)若，，求的面積；(3)求的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】將化簡(jiǎn)即可得出答案【詳解】，所對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為.故選：B本題考查的是復(fù)數(shù)的計(jì)算及其幾何意義，較簡(jiǎn)單.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是.3．【正確答案】C【分析】推導(dǎo)出，利用空間向量法可得出線面關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，則，即，因此，.故選：C.4．【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算，表示出向量，即得答案.【詳解】,故選;A5．【正確答案】D【分析】對(duì)于A，與相交、平行或；對(duì)于B，與相交或平行；對(duì)于C，與相交或平行；對(duì)于D，由面面平行的判定定理得．【詳解】?jī)蓚€(gè)平面，兩條直線，對(duì)于A，若，，則與相交、平行或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則與相交或平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，，則與相交或平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過作平面與平面交于，如圖，∵，∴，又，，∴，∵是異面直線，，∴與相交，又∵，，∴，故D正確．故選：D．6．【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦定理可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理可得，即，即，解得?故選C.7．【正確答案】D【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示判斷AB，根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C，根據(jù)向量夾角計(jì)算公式判斷D.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，故AB錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故D正確.故選：D8．【正確答案】C【分析】根據(jù)條件算出母線長(zhǎng)和底面半徑即可求出側(cè)面積.【詳解】如圖：其中O是底面圓心，設(shè)半徑為r，則AO=r，，，由于SA，SB都是母線，所以SA=SB，的面積，在等腰直角三角形SAO中，，所以側(cè)面積=；故選：C.9．【正確答案】ABC【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷A，由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基底可判斷B，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C，利用數(shù)量積的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，則，正確；對(duì)于B：因?yàn)椋瑒t，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，正確；對(duì)于C：因?yàn)橄蛄浚?，，所以存在，使得，即，則，解得，正確；對(duì)于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，當(dāng)與不平行時(shí)，一定不成立，錯(cuò)誤.故選：ABC10．【正確答案】BD【分析】根據(jù)并事件的概率的計(jì)算公式即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的交事件的概率公式即可判斷BD；根據(jù)相互獨(dú)立事件的并事件的概率公式即可判斷C.【詳解】A，若，則，A錯(cuò)誤；B，因?yàn)?，則，B正確；C，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，C錯(cuò)誤；D，若A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，D正確.故選：BD11．【正確答案】AB【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，得到正確結(jié)果.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，利用正方體的特征可知，，且，所以平面，可得，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)槠矫婕礊槠矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，在中，在中，，當(dāng)時(shí)，，即或，所以當(dāng)與重合或P為的中點(diǎn)時(shí)，滿足為90°，所以滿足條件的點(diǎn)P不唯一，所以C項(xiàng)不正確；對(duì)于D項(xiàng)，將正方體的對(duì)角面進(jìn)行翻折，可得圖形如圖所示：根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間直線段最短，所以當(dāng)P為圖中的點(diǎn)時(shí)，取得最小值，顯然不為中點(diǎn)，所以D項(xiàng)不正確；故選：AB.該題以正方體為載體，考查空間線面位置關(guān)系，涉及到線線、線面和面面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，要注意空間與平面間的相互轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題目.12．【正確答案】/0.125【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出的值.【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：，且、、不共線，若、、、四點(diǎn)共面，則，因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，若，且、、、四點(diǎn)共面，所以，，解得.故答案為.13．【正確答案】【分析】利用余弦定理求出、，進(jìn)而可求得，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】連接，如下圖所示：由余弦定理可得，由余弦定理可得，則為銳角，所以，，因此，.故答案為.方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考