第2.1練 函數(shù)的概念及其表示（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第二章函數(shù)第2.1練函數(shù)的概念及其表示一、單選題1．下列函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】選項A：的定義域為，故不正確；選項B：的定義域為，故不正確；選項C：的定義域為，故正確；選項D：的定義域為，故不正確；故選：C.2．已知函數(shù)，則的值等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選:D.3．已知函數(shù)，若，則（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由函數(shù)，可作圖如下：

由方程，則，即，解得..故選：B.4．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.5．下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】A選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).B選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).C選項，，兩個函數(shù)定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系完全相同，是同一函數(shù).D選項，的定義域是，的定義域是，所以不是同一函數(shù).故選：C6．已知函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．0【答案】A【詳解】因為，所以，故選：A7．已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則，又，所以，則，故選：C.8．已知函數(shù)的定義域是R，值域為，則下列函數(shù)中值域也為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義域為，值域為，可知，的值域為，的值域為，的值域為，的值域為，故選：B9．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”.設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則標(biāo)為高斯函數(shù).例如：，已知函數(shù)，則下列選項中，正確的是（

）A．B．的最大值為1C．的最小值為0D．在上的值域為【答案】C【詳解】對于A，，，所以，A錯；由高斯函數(shù)的定義可得：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，，且每段函數(shù)都是單調(diào)遞減，每段的左端點的函數(shù)值都為1；當(dāng)時，，且每段函數(shù)都是單調(diào)遞增，每段的左端點的函數(shù)值都為1；繪制函數(shù)圖象如圖所示，

對于B，由圖可知，當(dāng)，沒有最大值，B錯；對于C，由圖可知，當(dāng)，的最小值為0，C對；對于D，由圖可知，在上的值域為，D錯.故選：C10．一般地，設(shè)、分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)可解得唯一的也是一個函數(shù)（即對任意一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱是函數(shù)的反函數(shù)，記作.在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成的形式.例如函數(shù)的反函數(shù)為.設(shè)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，則，由，根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的值域為.故選：D二、多選題11．下列函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B．C．+ D．【答案】AC【詳解】A選項，依題可知，且，所以，故A正確；B選項，依題可知，所以，故B錯誤；C選項，依題可知，且，所以，故C正確；D選項，依題可知2，所以，故D錯誤，故選：AC.12．與表示同一個函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】定義域為，且.對于A：，定義域也為，故A正確；對于B：的定義域為，定義域不一樣，故B錯誤；對于C：，定義域與解析式都相同，故C正確；對于D：的定義域為，定義域不一樣，故D錯誤；故選：AC.13．已知函數(shù)，則（

）A． B．C．的最小值為1 D．的圖象與軸有1個交點【答案】ACD【詳解】令，得，則，得，故，，，A正確，B錯誤.，所以在上單調(diào)遞增，，的圖象與軸只有1個交點，C正確，D正確.故選：ACD14．中文“函數(shù).（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列關(guān)于函數(shù)的命題正確的是（

）

A．與表示同一函數(shù)B．函數(shù)的定義域是C．已知函數(shù)，則在區(qū)間的值域為D．上圖所示的橢圓圖形可以表示某一個函數(shù)的圖像【答案】AC【詳解】對于A，與的定義域都為，且解析式一樣，所以與表示同一函數(shù)，A對；對于B，，解得且，所以函數(shù)的定義域是，B錯；對于C，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以在區(qū)間的值域為，C對；對于D，上圖所示的橢圓圖形不可以表示某一個函數(shù)的圖像，D錯.故選：AC15．存在函數(shù)，對任意都有，則函數(shù)不可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對于選項，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則，矛盾，不滿足條件；對于B選項，，所以，故滿足條件；對于C選項，取和，可得，，矛盾，C不滿足條件；對于D選項，，則，單調(diào)遞增，且，即為奇函數(shù)，圖象如下所示，所以值域為，D滿足條件.故選：AC.三、填空題16．設(shè)函數(shù)，且，，則的解析式為____________．【答案】【詳解】因為函數(shù)解析式為，則，則，由可得，，解得，所以.17．定義：表示不超過的最大整數(shù)，，.已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為______.【答案】/【詳解】因為，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以；綜上所述：的值域為.故答案為：18．若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【詳解】由函數(shù)的定義域為，即在恒成立，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：19．如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設(shè)頂點的軌跡方程是，且，則使的x的最小正值為________.【答案】/.【詳解】“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．類似地，正方形PABC可以沿x軸負(fù)方向滾動．點P的運動軌跡如圖所示，根據(jù)圖像知，滿足的x的最小正值是.故答案為：.20．定義函數(shù)，設(shè)，若含有3個不同的實數(shù)拫，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】或【詳解】設(shè)，，由，解得，；由于含有3個不同的實數(shù)拫，所以有兩個相等的實根或者兩個相異的實根，則，即，解得，或.當(dāng)時，，解得，又，滿足題意；當(dāng)時，如下圖，的對稱軸方程，，則有4個根，不合題意，舍去；當(dāng)時，，解得，即，含有2個不同的實數(shù)拫，不滿足題意；當(dāng)時，如下圖，，若含有3個不同的實數(shù)拫，則，解得；綜上，或.故答案為：或.四、解答題21．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【詳解】（1）由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域為.（2）由題意得，解得，故函數(shù)定義域為．22．已知函數(shù)其中，.(1)求與的值；(2)求的最大值.【詳解】（1）,.（2）當(dāng)時，為增函數(shù)，，當(dāng)時，為增函數(shù)，，因為，所以的最大值為.23．用分段函數(shù)表示，并作出其圖象，指出函數(shù)的定義域與值域．【詳解】，圖象如圖所示，

函數(shù)的定義域為，值域為．24．如圖，在直角梯形OABC中，已知，且，梯形被直線截得位于直線l左方圖形的面積為S．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)畫出