福建百校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期正月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023~2024學(xué)年福建百校聯(lián)考高三正月開學(xué)考數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘跕在答題卡上的指定位置.2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】解，可得，則，故，，可得，故選：D．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再找到其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到答案.【詳解】由，可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所在的象限為第一象限.故選：A．3.過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)P在圓C上，由切線性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)P在圓C上，又由直線的斜率為，可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．故選：B．4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式先求出，再利用和差角公式求，可得解.【詳解】由，有．故選：B．5.如圖是兩個(gè)底面半徑都為1的圓錐底面重合在一起構(gòu)成的幾何體，上面圓錐的側(cè)面積是下面圓錐側(cè)面積的2倍，，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】設(shè)兩圓錐的高，，由可推出，由上面圓錐的側(cè)面積是下面圓錐側(cè)面積的2倍，推得，即得，求出的值，即可求得答案.【詳解】設(shè)兩圓錐的高，，則，，由，有，可得，可得，又由上下圓錐側(cè)面積之比為，即，可得，則有，即，代入整理為，解得（負(fù)值舍），可得，．故選：C．6.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解為邊，的中點(diǎn)，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)，可得，有，，故，又由，有，解得，（舍），故為邊，的中點(diǎn)，所以為等邊三角形，故．故選：C．7.已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定極小值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得．當(dāng)時(shí)，得或，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．減區(qū)間為，即時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，即，解得或，故要使函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，需有，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為故選：A．8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2，P為直線上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)，有，，由兩角差的正切公式可得，再由基本不等式求最值.【詳解】由題意有，，，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)，有，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可得的最大值為.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站2023年9月15日消息，8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額為37933億元，同比增長(zhǎng)（同比一般情況下是指本年第N月與去年的第N月比）.其中，除汽車以外的消費(fèi)品零售額為33820億元，增長(zhǎng).1～8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額為302281億元，同比增長(zhǎng).其中，除汽車以外的消費(fèi)品零售額為271888億元，增長(zhǎng)．2022年8月至2023年8月社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速如下：則下列說(shuō)法正確的是（）A.2023年1~8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額的月平均值約為25422.6億元B.2022年8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額約為36264.8億元C.除掉2022年8月至2023年8月社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速數(shù)據(jù)的最大值和最小值所得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差比原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差小D.2022年8月至2023年8月社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速數(shù)據(jù)的極差比中位數(shù)的8倍還多【答案】BC【解析】【分析】計(jì)算平均數(shù)判斷A，根據(jù)社會(huì)消費(fèi)品零售總額的增長(zhǎng)率及2023年的數(shù)據(jù)計(jì)算判斷B，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的含義判斷C，分別計(jì)算極差和中位數(shù)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由2023年1~8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額為302281億元，可得社會(huì)消費(fèi)品零售總額的月平均值約為億元，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由2023年8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額為37933億元，同比增長(zhǎng)，可得2022年8月份，社會(huì)消費(fèi)品零售總額約為億元．故B正確；對(duì)于C，由圖表可知去掉，18.4數(shù)據(jù)更集中，標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于原數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)變小了，故C正確；對(duì)于D，極差為，中位數(shù)為，可得，，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.在前n項(xiàng)和為的正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，，則（）A. B.C. D.數(shù)列中的最大項(xiàng)為【答案】BC【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，逐項(xiàng)判斷選項(xiàng)A、B、C；對(duì)于選項(xiàng)D，由，令，利用研究數(shù)列的增減性即可得出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，有，聯(lián)立方程解得或（舍去），有，可得．對(duì)于A選項(xiàng)，由，，有，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，有，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，令，有，可得有，可得數(shù)列中的最大項(xiàng)為或，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC．11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過(guò)A，，E三點(diǎn)的平面將正方體截為兩個(gè)部分，則下列說(shuō)法正確的是（）A.正方體的外接球的表面積是正方體內(nèi)切球的表面積的3倍B.存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)和點(diǎn)C到平面的距離相等C.正方體被平面所截得的截面的面積隨著的增大而增大D.當(dāng)正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為時(shí)，E是的中點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】計(jì)算正方體外接球和內(nèi)切球的半徑，代入表面積公式即可判斷A，假設(shè)存在，可得平面，與條件矛盾判斷B，先利用平面性質(zhì)作出截面，求出梯形面積，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性判斷C，利用割補(bǔ)法求得體積即可求得點(diǎn)E的位置判斷D.【詳解】對(duì)于A，正方體外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，可得正方體的外接球的表面積是正方體內(nèi)切球的表面積的倍，故A正確；對(duì)于B，由點(diǎn)和點(diǎn)B到平面的距離相等，若點(diǎn)和點(diǎn)C到平面的距離相等，必有平面，又由，可得平面，與平面矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，設(shè)，由，可得平面為過(guò)A，，E三點(diǎn)的截面，在梯形中，，，，，梯形的高為，梯形的面積為，令，有.可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得正方體被平面所截得的截面面積隨著的增大而增大，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，被平面所截得的上部分的幾何體的體積為，整理為，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，直線l與以O(shè)為圓心，為半徑的圓相切，切點(diǎn)為P．則（）A.雙曲線C的離心離為B.當(dāng)直線與雙曲線C的一條漸近線重合時(shí)，直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)C.當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線平行吋，若直線l與雙曲線C的交點(diǎn)為Q，則D.若直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C分別交于M，N兩點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線離心率的求法判斷A；設(shè)直線l與漸近線重合，點(diǎn)P位于第四象限，直線l與x軸的交點(diǎn)為T，通過(guò)計(jì)算得判斷B；設(shè)直線l的方程為，根據(jù)相切求出直線方程為直線l的方程為，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，判斷C選項(xiàng)；P的坐標(biāo)為，可得直線l的方程為，分別聯(lián)立直線與漸近線方程和雙曲線方程，分別求得線段DE的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，證明相同，判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)．由，，，可得雙曲線C的離心率為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線C的漸近線方程為．由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l與漸近線重合，點(diǎn)P位于第四象限，記直線l與x軸的交點(diǎn)為T，由直線的傾斜角為，有，又由，可得．又由，故直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線平行時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l的方程為（其中），有，可得，直線l的方程為，聯(lián)立方程解方程組可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．可得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，可得直線l的方程為．其中．聯(lián)立方程解得，聯(lián)立方程解得，可得線段DE的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得線段和的中點(diǎn)相同，故有，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第四個(gè)選項(xiàng)，證明，如果直接證明長(zhǎng)度等于長(zhǎng)度計(jì)算量較大，本題采用了線段DE的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等來(lái)證明，更最直觀簡(jiǎn)便.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】由，有，又由，有，可得．故答案為：14.已知的展開式中的系數(shù)為240，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】首先原式展開為，再利用二項(xiàng)式定理轉(zhuǎn)化為求項(xiàng)的系數(shù)，即可求解.【詳解】，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，其中的展開式中無(wú)含項(xiàng)，含的項(xiàng)為，∴中含項(xiàng)為，則．解得．故答案為：15.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，可得；若，，函數(shù)的值域不可能為；②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，若函數(shù)的值域?yàn)椋恍?，可得．由上知，?shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：16.方程的最小的29個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解之和為______．【答案】【解析】【分析】利用余弦二倍角公式求出或，得到，，或，，或，，將最小的29個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解分為三組，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】方程可化為，因式分解為，解得或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，或，，通過(guò)列舉，可得方程的最小的29個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解中，有10個(gè)是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．其和為；有10個(gè)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其和為；有9個(gè)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其和為．可得方程的最小的29個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)解之和為．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求滿足的正整數(shù)n的集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，可得到數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法即可求出，進(jìn)而解不等式.【小問(wèn)1詳解】由，有，即，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，即，可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得．所以，故不等式可化為，解得，所以滿足的正整數(shù)n的集合為.18.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）過(guò)點(diǎn)A作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）由題利用正弦定理將條件式角化邊，再結(jié)合二倍角公式求出得解；（2）根據(jù)題意得，結(jié)合的面積為，可求得，又由，求得，在中，由余弦定理求得,得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得．兩邊除以，得，由二倍角公式，有，整理為，上式因式分解為，解得或（舍去），又由，可得；【小?wèn)2詳解】由．有，又由，可得，有，可得，又由的面積為及，有，代入，可得，，又由，有，代入，可得，在中，由余弦定理，有，有的周長(zhǎng)為．19.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，．（1）證明：平面；（2）已知，，，平面底面，若平面與平面的夾角的余弦值為，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)O，連接，即可證明，從而證明平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式即可求出的長(zhǎng)【小問(wèn)1詳解】如圖，連接與相交于點(diǎn)O，連接．∵，，∴，又∵．∴，∵，平面，平面．∴平面；【小問(wèn)2詳解】在中，，可得，由，平面底面，過(guò)點(diǎn)作底面的垂線，垂線在平面內(nèi)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有，．又由，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又由，有，設(shè)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)平面的法向量為．由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．由，，，有，又由平面與平面的夾角的余弦值為，有，化簡(jiǎn)為，解得或（舍）．由上知．20.駕駛員考試（機(jī)動(dòng)車駕駛員考試）是由公安局車管所舉辦的資格考試，只有通過(guò)駕駛員考試才能取得駕照，才能合法的駕駛機(jī)動(dòng)車輛．考試內(nèi)容和合格標(biāo)準(zhǔn)全國(guó)統(tǒng)一，根據(jù)不同準(zhǔn)駕車型規(guī)定相應(yīng)的考試項(xiàng)目．機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)丝荚噧?nèi)容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關(guān)知識(shí)考武科目（以下簡(jiǎn)稱“科目一”）、場(chǎng)地駕駛技能考試科目（以下簡(jiǎn)稱“科目二”）、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識(shí)考試科目（以下簡(jiǎn)稱“科目三”）．申請(qǐng)人科目一、科目二、科目三考試均合格后，就可以領(lǐng)取駕駛證．某駕校經(jīng)統(tǒng)計(jì)，駕駛員科目一考試平均通過(guò)的概率為，科目二：平均通過(guò)的概率為，科目三平均通過(guò)的概率為．該駕校王教練手下有4名學(xué)員參加駕駛員考試．（1）記這4名學(xué)員參加駕駛員考試，通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差；（2）根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在學(xué)完固定的學(xué)時(shí)后，每增加一天學(xué)習(xí)，沒(méi)有通過(guò)考試拿到駕駛證的概率會(huì)降為原來(lái)的0.4，請(qǐng)問(wèn)這4名學(xué)員至少要增加多少天的學(xué)習(xí)，才能保證這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證?（我們把概率超過(guò)0.99的事件稱為必然事件，認(rèn)為在一次試驗(yàn)中必然事件一定會(huì)發(fā)生）參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，，（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，分步計(jì)算即可；（2）增加k（k為正整數(shù)）天學(xué)習(xí)后，每位學(xué)員通過(guò)考試拿到駕駛證的概率為，若這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證，有，利用用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解不等式.【小問(wèn)1詳解】1名學(xué)員通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證的概率為，根據(jù)題意可知，X的取值分別為0，1，2，3，4，，，，，，故X的分布列為：X01234P，；【小問(wèn)2詳解】增加k（k為正整數(shù)）天學(xué)習(xí)后，每位學(xué)員通過(guò)考試拿到駕駛證概率為，若這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證，有，有，有，有，又由．可得，故這4名學(xué)員至少要增加6天的學(xué)習(xí)，才能保證這4名學(xué)員都能通過(guò)考試并領(lǐng)取駕駛證．21.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作不過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線l的方程為時(shí)，，．（1）求拋物線C標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線是的外角平分線．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理并結(jié)合拋物線定義得，有，可解；（2）利用M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出直線的方程，求出點(diǎn)P，通過(guò)計(jì)算出點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到直線的距離得證.【小問(wèn)1詳解】設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為，，由拋物線的定義有，，可得，，聯(lián)立方程消去y后整理為，有，有，整理為，解得或（舍去），故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】直線l的斜率為，直線l的方程為，代入后整理為，令，得．可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，直線的方程為，整理為，點(diǎn)P到直線的距離為，同理點(diǎn)P到直線的距離為，由及直線l與拋物線C的位置關(guān)系，可得直線是的外角平分線．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到直線的距離，及直線l與拋物線C的位置關(guān)系，可得直線是的外角平分線．22已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；（3）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2