平面問題的極坐標(biāo)解答課件2

平面問題的極坐標(biāo)解答*§4-1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinatesDealingwithelasticityproblems,whatformofcoordinatesystemwechoose，whichcan’taffectondescribingproblemessence,butrelatetothelevelofdifficultyonsolvingproblemdirectly。Ifcoordinateissuitable，itcansimplifytheproblemconsiderably。Forexample,forcircular、wedgedandsectorandsoon，solvedbyusingpolarcoordinatesaremoreconvenientthanusingrectangularcoordinates.Consideringandifferentialfieldintheplate

POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程

在處理彈性力學(xué)問題時(shí)，選擇什么形式的坐標(biāo)系統(tǒng)，雖不會(huì)影響對(duì)問題本質(zhì)的描繪，但將直接關(guān)系到解決問題的難易程度。如坐標(biāo)選得合適，可使問題大為簡(jiǎn)化。例如對(duì)于圓形、楔形、扇形等物體，采用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便的多。

考慮平面上的一個(gè)微分體平面問題的極坐標(biāo)解答*Consideringequilibriumofanunitelement,therehavethreeequilibriumequations:Fig.4－1normalstressinthedirectioniscalledradialnormalstressdenotedby;normalstressinthedirectioniscalledtangentialnormalstressdenotedby;shearstressisdenotedby,stipulationofsignofeachstresscomponentaresimilartoonesinrectangularcoordinates.Bodyforcecomponentsofradialandhooparedenotedbyand,respectively.Fig.4-1.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*圖4－1沿方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用表示沿方向的正應(yīng)力稱為環(huán)向正應(yīng)力，用表示，剪應(yīng)力用表示，各應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)的規(guī)定和直角坐標(biāo)中一樣。徑向及環(huán)向的體力分量分別用及表示。如圖4-1。平面問題的極坐標(biāo)解答考慮圖示單元體的平衡，有三個(gè)平衡方程：*From,canfindequalrelationshipofshear

stress：From,gives:From

,gives:Because

isverymicro,has,and,substitutes

forinto

uppertwoformulas,thus:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*由，可以得出剪應(yīng)力互等關(guān)系：由，有：由，有：平面問題的極坐標(biāo)解答因?yàn)楹芪⑿。匀?，，并用代替，整理以上兩式，得?Thesearedifferentialformulasofequilibriuminpolarcoordinates.Twodifferentialformulasofequilibriumcontainthreeunknownfunctionsand,,soitisastaticallydeterminatequestion.thusmustconsiderdeformationconditionandphysicalrelationship.Aboveformulasdifferfromequilibriumequationsinplanarcoordinateswherestresscomponentsareexpressedbypartialderivative.Inpolarcoordinates,areasofwhichunitelementisperpendiculartotwosidefacesarenotequal,anddifferenceisincreasingwithradiusreducing,whichcanbeseenfromunderlineitemsintheformulas.

POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*這就是極坐標(biāo)中的平衡微分方程。兩個(gè)平衡微分方程中包含三個(gè)未知函數(shù)、和，所以問題是靜不定的。因此必須考慮變形條件和物理關(guān)系。

上述方程和直角坐標(biāo)系下的平衡方程有所不同，直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量?jī)H以偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標(biāo)系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項(xiàng)中。平面問題的極坐標(biāo)解答*I、GeometricFormulas—DifferentialRelationshipbetweenDisplacementsandDeformation§4-2GeometricandPhysicalFormulasinPolarCoordinatesInpolarcoordinates,stipulate:

---radialnormalstrain---hoopnormalstrain---shearstrain(changeofrightanglebetweenradialandhooplinessegment)---hoopdisplacement---radialdisplacementFig.4-2POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*一、幾何方程—位移與形變間的微分關(guān)系§4-2極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程平面問題的極坐標(biāo)解答在極坐標(biāo)中規(guī)定:---徑向正應(yīng)變---環(huán)向正應(yīng)變---剪應(yīng)變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變)---徑向位移---環(huán)向位移圖4-2*NormalstrainofradiallinesegmentPA,have：NormalstrainofhooplinesegmentPB,have：AngleofrotationofradiallinesegmentPA,have：(1)Assumeonlyhavingradialdisplacementbutnohoopone.Fig.4-2.Discussdifferentialrelationshipbetweendisplacementsanddeformationinpolarcoordinateswithsuperimposemethod.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答徑向線段的正應(yīng)變?yōu)椋涵h(huán)向線段的正應(yīng)變?yōu)椋簭较蚓€段的轉(zhuǎn)角為：用疊加法討論極坐標(biāo)中的形變與位移間的微分關(guān)系。（1）假定只有徑向位移，而無環(huán)向位移。如圖4-2所示。*(2)Assumeonlyhavinghoopdisplacementbutnoradialone.Fig.4-3.Fig.4-3Thusshearstrain,have:NormalstrainofradiallinesegmentPA,have：NormalslopeofhooplinesegmentPB,have：AngleofrotationofhooplinesegmentPB,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答（2）假定只有環(huán)向位移，而無徑向位移。如圖4-3所示。圖4-3徑向線段的正應(yīng)變?yōu)椋涵h(huán)向線段的正轉(zhuǎn)角為：環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角為：可見剪應(yīng)變?yōu)椋?Ifexistsradialandloopdisplaces,fromsuperpositionmethodhave：Sucharegeometricformulasinpolarcoordinates.Thusshearstrain,have:AngleofrotationofhooplinesegmentPB,have

：AngleofrotationofradiallinesegmentPA,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

如果同時(shí)存在徑向和環(huán)向位移，則由疊加法得：這就是極坐標(biāo)中的幾何方程。徑向線段的轉(zhuǎn)角為：環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角為：可見剪應(yīng)變?yōu)椋?(2)Inplanarstrain’ssituation:Substitute

andforandinaboveformula,respectively.II、PhysicalEquations(1)statesofplanarstress：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答（2）平面應(yīng)變情況：

將上式中的換為，換為。二、物理方程（1）平面應(yīng)力情況：*§4-3StressFunctionsandConsistentEquationsinPolarCoordinatesTogetstressesandconsistentequationsdenotedbystressfunctionsinpolarcoordinates，usingrelationshipbetweenpolarandrectangularcoordinates：have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程平面問題的極坐標(biāo)解答

為了得到極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：得到：*（a）（b）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS（c）*平面問題的極坐標(biāo)解答（a）（b）（c）*gets：Whenθ=0,thecomponentsinpolarcoordinatesequaltheonesinorthogonalcoordinates.Substitutingthesevaluesintoequationsofstresscomponents（normalbodyforce）：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答得到：

在θ=0時(shí)，極坐標(biāo)的各分量和直角坐標(biāo)各分量相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達(dá)式（常體力）：*Usingpolarcoordinatestoevaluateplanarproblems(bodyforceiscountless),canfindstressfunctionfromconsistentfunction,thengetsstresscomponents,checksifstresscomponentssatisfyboundarycondition,andalsosatisfydisplacementmono-valueconditionsifitismulti-jointbody.Thusfromconsistentequationinplanarcoordinates：

getsconsistentequationinpolarcoordinates：Itcanprovethatthesestresscomponentscansatisfydifferentialequationsofequilibriumwhenbodyforceiszero.From（a）+(b),gets：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

用極坐標(biāo)求解平面問題時(shí)（體力不計(jì)），就只須從相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，然后求出應(yīng)力分量，再考察應(yīng)力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件?？梢宰C明，當(dāng)體力為零時(shí)，這些應(yīng)力分量確能滿足平衡微分方程。由（a）+（b），得：于是由直角坐標(biāo)的相容方程：得到極坐標(biāo)中的相容方程：*§4-4CoordinatesTransformsforStressComponentsInacertainstresssituation,ifhasknownstresscomponentsinpolarcoordinates,stresscomponentsinplanarcoordinatesarefoundbyusingsimplerelationshipequation.Viceversa.Assumingthatstresscomponents、、havebeenknown,trytodeterminethestresscomponents、、inplanarcoordinates.Fig.4-4Fig.4-4,fetchingtinytriangleAinelasticbody,stressesofeachsidearedenotedlikethefigure.Trianglethicknesstakesoneunit.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式平面問題的極坐標(biāo)解答

在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就可以利用簡(jiǎn)單的關(guān)系式求得直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，也可以利用簡(jiǎn)單的關(guān)系式求得極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。

設(shè)已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量、、。試求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量、、。圖4-4

如圖4-4，在彈性體中取微小三角板，各邊上的應(yīng)力如圖所示。三角板的厚度取為一個(gè)單位。*Makebc’length

ds,thusthelengthsofabandacareand,respectively.Substitutingfor,has：Inlikemanner,fromequilibriumcondition,has:FetchothertinytriangleB,Fig.4-4,intermsofequilibriumcondition,gets：AccordingtoequilibriumconditionoftriangleA,,cangetequilibriumequation：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

根據(jù)三角板的平衡條件，可得平衡方程：用代替，得：同理，由平衡條件，可得：另取微小三角板，如圖4-4，根據(jù)平衡條件，得到：令bc邊的長(zhǎng)度為，則邊及邊的長(zhǎng)度分別為及。*Usingsimpletriangleformula,upperformulascanbeoverwritten：Combiningabovesolutions,canobtainthetransformsofthestresscomponentsfrompolarcoordinatestorectangularcoordinates：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答利用簡(jiǎn)單的三角公式，上式可改寫為：

綜合以上結(jié)果，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式為：*§4-5AxiallySymmetricStressanditsDisplacementIfstresscomponentsareonlythefunctionofradius,suchascircularringwithinsideandoutsidepressure,itiscalledaxialsymmetryproblem.Usinginversesolutionmethod,assumesthatstressfunctiononlyisthefunctionofradialcoordinate:Simplifyingconsistentformula:Thisisafour-stairordinarydifferentialequation,whichisthegeneralsolution:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-5軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移平面問題的極坐標(biāo)解答

如果應(yīng)力分量?jī)H是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的圓環(huán)，稱為軸對(duì)稱問題。

采用逆解法，假定應(yīng)力函數(shù)僅是徑向坐標(biāo)的函數(shù):相容方程簡(jiǎn)化為:這是一個(gè)四階常微分方程，它的通解為:*Normalstressesareonlythefunctionsofandnothingto,andshearstressarezero.stresscomponents’symmetryaretoarbitraryplanebymeansofz’shaftwhichcalledaxialsymmetrystress.Substitutingabovestressexpressionsintorelationshipformulasofstressandstrain,canfindstrainexpressions,andthenwhicharesubstitutedgeometricformulasofdisplacementandstrainwithintegrated,getsthedisplacementcomponentsinaxialsymmetrystresssituation:Atthistime,getsstressexpressions:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

正應(yīng)力分量?jī)H是

的函數(shù)，與無關(guān)，并且剪應(yīng)力為零，應(yīng)力分量對(duì)稱于通過z軸的任一平面，稱為軸對(duì)稱應(yīng)力。

將上述應(yīng)力的表達(dá)式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中，可以得到應(yīng)變的表達(dá)式,再代入位移與應(yīng)變積分后的幾何方程,得到軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移分量:

這時(shí)，應(yīng)力分量的表達(dá)式為:*

POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSForstrainprobleminplane，weshouldsubstitute

andfor

and,respectively.*平面問題的極坐標(biāo)解答

對(duì)于平面應(yīng)變問題，須將上面公式換為，換為。*§4-6CircularRingorCylinderunderUniformLoadingPressureTunnelFig.4-5,insideradiusisa,outsideradiusisb;interiorpressureisqa,outerpressureisqb.Thisisaaxiallysymmetricproblem.Accordingtouppersection,thesolutionhas:Fig.4-5Boundary

conditions:I、UniformPressureActingonCircularRingorCylinderPOLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-6圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?壓力隧洞平面問題的極坐標(biāo)解答

如圖4-5，圓環(huán)的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓力qa，外壓力qb。為軸對(duì)稱問題。根據(jù)上節(jié)有解為:圖4-5邊界條件為:一、圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?Therehavetwoequationswhilehavethreeundeterminedconstants,soneedsupplementoneequationfromdisplacementmono-valueconditionofmulti-jointbody.Intheexpressionofhoopdisplacement：FromuppertwoequationscangetAandC,andsubstitutingintotheexpressionofstresscomponents,getlamikey：Fromboundaryconditions,get:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSThefirstitemismultiplevalue,andatthesamer,θ=θ1andθ=θ1+2π,hoopdisplacementdifferenceis,whichisimpossible,thus,fromdisplacementmono-valuedconditionmusthaveB=0.so:*平面問題的極坐標(biāo)解答

在這里只有兩個(gè)方程，而有三個(gè)待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補(bǔ)充一個(gè)方程。在環(huán)向位移表達(dá)式：

這樣從上面兩個(gè)方程中可解出A和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到拉密解答：于是:由邊界條件得到:中，第一項(xiàng)是多值的，在同一r處，θ=θ1和θ=θ1+2π時(shí)，環(huán)向位移相差，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B=0。*Next,separatelydiscussthecasesthatinsidepressureandoutsidepressureindividuallyoperate.（1）Whenonlyhasinsideuniformpressureacting(),suchashydrauliccylinder,uppersolutionsbecome:Fig.4-6POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

下面分別討論內(nèi)壓力和外壓力單獨(dú)作用的情況。（1）只作用均勻內(nèi)壓時(shí)（），例如液壓缸，上面解答化為：圖4-6*ThestressdistributeapproximatelyasFig.4-6.Whenhaveinfinitelamellawithcircularaperture,orinfiniteelasticbodywithcircularaperture,atthistime,uppersolutionsbecome:（2）Whenonlyhaveoutsidepressure(),suchashydraulicplunger,uppersolutionsbecome：ThestressdistributeapproximatelyasFig.4-7.Fig.4-7POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答應(yīng)力分布大致如圖4-6所示。當(dāng)時(shí)，得到具有圓孔的無限大薄板，或具有圓形孔道的無限大彈性體，這時(shí)上面的解答成為：（2）只有外壓時(shí)（），例如液壓柱塞，上面解答化為：應(yīng)力分布大致如圖4-7所示。圖4-7*II、PressureTunnelFig.4-8Fig.4-8,cylinderwithinsideuniformpressureqisburiedininfiniteelasticbody,andcylinder’smaterialisdifferfrominfiniteelasticbody’s.Trytodiscusseachstressanddisplacementsituationseparately.Bothbelongtoaxiallysymmetricstressproblem,soadoptsemi-inversesolutionmethod.Assumethestressexpressionsofcylinder：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答二、壓力隧洞圖4-8

如圖4-8所示，受均勻內(nèi)壓力作用的圓筒埋在無限大彈性體中，圓筒和無限大彈性體的材料不同。試分別討論兩者的應(yīng)力和位移情況。

兩者都屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問題，采用半逆解法。設(shè)圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為：*Assumethestressexpressionsofinfiniteelasticbody：(1)Oninnersurfaceofcylinder：

thushave:(2)Ininfiniteelasticbodyfarawayfromthecylinderhardlyhasstresses.Thushave：(3)Onthecontactsurfaceofcylinderandinfiniteelasticbody,oughttohave：（1）（2）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSAccordingtostressconditionsevaluateunderminedconstantsA、C、、.*平面問題的極坐標(biāo)解答設(shè)無限大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式為：由應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù)、、、。（1）在圓筒的內(nèi)表面：由此得：（2）在無限大彈性體內(nèi)距離圓筒很遠(yuǎn)處幾乎沒有應(yīng)力。由此得：（3）在圓筒和無限大彈性體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有：（1）（2）*Thushave：Threeequationsarenotenoughfordeterminingfourconstants.Next,considerthedisplacement.Becausecylinderandinfiniteelasticbodyareallmulti-jointbody,andwhichbelongtoplanarstrainproblem,socanobtaintheradialdisplacementexpressionsofbothobjects.Cylinder:infiniteelasticbody：Simplifyuppertwoequations,have：（3）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答由此得：三個(gè)方程不足以確定四個(gè)常數(shù)，下面來考慮位移。

由于圓筒和無限大彈性體都是多連體，并屬于平面應(yīng)變問題，可以寫出兩者的徑向位移的表達(dá)式。圓筒：無限大彈性體：將以上兩式簡(jiǎn)化后得：（3）*Onthecontactsurface,bothoughttohavethesamedisplacementas：Thushave：Becausethisequationoughttofoundonarbitrarypointofcontactsurface,inotherwords,itallfoundwhatevervaluetakes,sothefreeitemofbothsidesofequationmustequal,thushave：Simplifying,get：Ofwhich：（4）POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答在接觸面上，兩者應(yīng)具有相同的位移，即：因此有：因?yàn)檫@一方程在接觸面上的任意一點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)成立，也就是在取任何數(shù)值時(shí)都應(yīng)當(dāng)成立，所以方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。于是有：簡(jiǎn)化后，得：其中：（4）*Simultaneousequations（1）、（2）、（3）、（4）evaluate、、、,thensubstitutingtheexpressionsofstresscomponents,get：When,thestressesdistributeapproximatelyFig.4-8.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出、、、，代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得：

當(dāng)時(shí)，應(yīng)力分布大致如圖4-8所示。*§4-7PureBendingofCurvedBeamFornarrowrectanglesection

ofcircularshaft

withento-radiusaandextra-radiusb,bendingmomentsactonbothendswithequalsizeandcontraryorientation,whichisaxialsymmetryproblem.have：Shearstressesontheboundaryareallzero：Fig.4-9POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-7曲梁的純彎曲平面問題的極坐標(biāo)解答

內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等、方向相反的彎矩，為軸對(duì)稱問題。有：邊界剪應(yīng)力都為零：圖4-9*Onbothinsideandoutsidefaces,normalstressesrequire:Thusget：Boundaryconditionontheendsofbeamrequire:Thus:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

在梁的內(nèi)外兩面，正應(yīng)力要求:從而可得：在梁端的邊界條件要求:則:*Substitute’sexpression：intoandfromboundaryconditiongets：Therearethreeformulasandthreeundeterminedconstants.FindingA、BandC，substituteintoexpressionsofstresscomponent，getsguoluowen’skey:Init,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答將的表達(dá)式：代入，并由邊界條件得：

在這里有三個(gè)方程和三個(gè)待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到郭洛文解答:其中：*§4-8StressandDisplacementofDiscinUniformRotationI、StressesandDisplacementofUniform-ThicknessDiscinUniformRotationAssumethatuniform-thicknessdiscrotatewithuniformangularvelocityroundaxisofrevolution.thedisccanbethoughtinequilibriumcaseunderbelowbodyforceacting：Becausethereisaxiallysymmetricobjectsactedbyaxiallysymmetricbodyforce,stressdistributionisalsoaxiallysymmetric.thus：stresscomponents,and,areonlyr’sfunctions,and.Sohavedifferentialequationsofequilibrium:Make:(1)POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-8圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移平面問題的極坐標(biāo)解答一、等厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移

設(shè)有等厚度圓盤，繞其回轉(zhuǎn)軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)。圓盤可以認(rèn)為是在下面的體力作用下處于平衡狀態(tài)：

由于這里是軸對(duì)稱的物體受軸對(duì)稱的體力，所以應(yīng)力分布也是軸對(duì)稱的。即：應(yīng)力分量及都只是的函數(shù)，而

。所以有平衡微分方程：令：(1)*Here,becausediscisonlyactedbyconstraintofaxisofrevolutionwhichisaxiallysymmetric.thus：radialdisplacement,andhoopdisplacement.Thengeometricequationsaresimplified：Eliminating,getconsistentequation：Solveequations：Substitutephysicalequation,thencomposesimultaneousequationswithEqu.(1),thusgettheconsistentequationdenotedbystressfunction：AssociatewithEqu.(1),get：(2)POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

在這里，由于圓盤只受回轉(zhuǎn)軸的約束，而這種約束是軸對(duì)稱的，所以它的彈性位移也是軸對(duì)稱的。即：徑向位移，而環(huán)向位移。于是幾何方程簡(jiǎn)化為：消去，得到相容方程：解方程得到：將物理方程代入，再聯(lián)立式(1)，得到由應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：聯(lián)立式（1），得：(2)*OfwhichAandBarearbitraryconstants.Boundaryconditionofedgeofdisc：Init,aistheradiusofdisc.substitutingintoEqu.(2),have：MakeB=0,substituteintoEqu.(2),thengettheexpressionsofstresscomponents：Maximumstressisonthecenterofdisc：Radialdisplacement：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答其中和是任意常數(shù)。

盤邊的邊界條件：其中是圓盤的半徑。代入式（2），得：取，代入式（2）得應(yīng)力分量的表達(dá)式為：最大應(yīng)力在圓盤的中心：徑向位移：*Onthecenterofdisc（）,.maximumelasticdisplacementoccursontheboundaryofdisc（）：II、StressandDisplacementofvariablethicknessdiscinuniformrotationAssumethatthicknessofdiscis,andstresscannotchangewithvaryingthickness,sodifferentialequationofuniform-thicknesscanapproximatelyapplyinunitthicknessdisc.Thuscangetdifferentialequationofequilibriumintotalthickness：Make:canhave：Takethetransformationlaw：Init,Cisconstant,isarbitrarypositivenumber.Thentheupperequationbecomes：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答在圓盤的中心（），。最大彈性位移發(fā)生在圓盤的邊緣（）：二、變厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)力及位移

假定圓盤的厚度為，而應(yīng)力不沿厚度變化，則等厚度圓盤的微分方程可以近似地應(yīng)用于每單位厚度的圓盤。于是可得全厚度內(nèi)的平衡微分方程為：令：可得：

取厚度的變化規(guī)律為：其中是常數(shù)，為任意正數(shù)。則上式成為：*Solvingtheequationhave：inwhichAandBarearbitraryconstants,and：Thuscandeterminestresscomponents：Intermsofboundarycondition,get：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答解方程，得：其中和是任意常數(shù)，而：由此可得出應(yīng)力分量：由邊界條件，求得：*Inordertomakethatstressesarenotinfiniteonthecenterofdisc(r=0),take(B=0).Thuscanfindthestresscomponents:andhave：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答為了應(yīng)力在圓盤的中心（）處不成為無限大，取。從而得應(yīng)力分量為：且，有：*§4-9StressConcentrationclosebyCircularApertureForaplatewithaperture,thestressontheedgeofapertureisbyfarlargethanthatofwhichisimperforate,andalsobyfarlargethanthatofabitdistanceawayfromaperture,whichiscalledstressconcentrationontheedgeofaperture.Theextentofstressconcentrationrelatestotheshapeofaperture.Fig.4-10Generally,concentrationextentfortheedgeofcircularapertureisthelowest.Here,discusstheproblemofstressconcentrationontheedgeofcircularaperturesimply,andmorecomplexproblemonstressconcentrationontheedgeofapertureusecomplexvariablefunctiongenerally,whichisdiscussedinchap.5.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-9圓孔的孔邊應(yīng)力集中平面問題的極坐標(biāo)解答

板中開有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱為孔邊應(yīng)力集中。應(yīng)力集中的程度與孔的形狀有關(guān)。一般說來，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡(jiǎn)略討論圓孔孔邊應(yīng)力集中問題，較為復(fù)雜的孔邊應(yīng)力集中問題一般用復(fù)變函數(shù)方法，在第五章中進(jìn)行討論。圖4-10*Assumethathasasmallcircularaperturewithradiusafarawayfromtheborderofrectangularsheetmetal,andbothleftandrightsidesofwhichareactedbyuniformtensionwithconcentrationextentq,Fig.4-10.Takeacertainlengthbasradiuswhichisbyfarlargethana,andworkoutacirclewiththecenterofapertureasthecenterofthecircle,thenintermsoftransformationformulabetweenrectangularandpolarcoordinates,gettheboundaryconditionsofgreatcircle：Evaluatethestressraisedbyfaceforce(a).Make.have：Abovefaceforcecandecomposetwosections,ofwhichthefirstsectionis：(a)Thesecondsectionis：(b)I、BothLeftandRightSidesofRectangularSlabActedbyUniformTensionwithConcentrationExtentqPOLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

設(shè)有矩形薄板，在離開邊界較遠(yuǎn)處有半徑為的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為，如圖4-10。

以遠(yuǎn)大于

的某一長(zhǎng)度為半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式，得到大圓的邊界條件：求面力（a）所引起的應(yīng)力。令：。得：上述面力可以分解成兩部分，其中第一部分是：(a)第二部分是：(b)一、矩形板左右兩邊受集度為q的均布拉力*Dueto,cantakeapproximately,thusget:Evaluatethestressescausedbyfaceforce(b).Usinginversesolvingmethod：assumethatisonefunctionofrmultiplyingwith,whileisanotherfunctionofrmultiplyingwith.Have:Andtherelationbetweenstressfunctionsandstresscomponentshave：Thuscanassume：Substitutingintoconsistentequation,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答由于，所以可近似地取，從而得到解答：求面力（b）所引起的應(yīng)力。采用半逆解法：假設(shè)為的某一函數(shù)乘以，而為的另一函數(shù)乘以。即：又應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：因此可以假設(shè)：代入相容方程，得：*Cutoff,thensolvingordinarydifferentialequation,have：Thusgetstressfunction：Thusgetstresscomponents：Fromtheboundarycondition：getequation：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答刪去，求解常微分方程，得：從而得應(yīng)力函數(shù)：從而得應(yīng)力分量：由邊界條件：得到方程：*EvaluateA、B、C、D,andmake,get：Substituteknownquantityintotheexpressionsofstresscomponents,thusgetqierxi’key：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答求解、、、，令，得：將各已知量代入應(yīng)力分量表達(dá)式，即得齊爾西的解答：*II、AllSidesofRectangularSlabActedbyUniformTensionIfrectangularsheetslabisactedbyuniformtensiononleftandrightsides,andbyuniformtensiononupperandlowersides,Fig.4-11,canalsogetstresscomponentsfrompriorsolution.Firstmakeqinthesolutionequal,thenmakeqinthesolutionequal,substitutefor,finally,superimposingtwosolutionshave：Fig.4-11POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答二、矩形板四邊受均布拉力

如果矩形薄板在左右兩邊受有均布拉力，并在上下兩邊受有均布拉力，如圖4-11，也可由前面解答得出應(yīng)力分量。首先命該解答中的等于，然后命該解答中的等于，將用代替，最后將兩個(gè)結(jié)果相疊加。得到：圖4-11*§4-10ForceontheTopandtheFacesofWedgeFig.4-12Awedgewithcentralanglehasinfinitelowerend1.ConcentratedForcePActingontheTopAssumethatconcentratedforceactsonthetopofawedge,andhasananglewithcenterlineofthewedge.Fetchsectoronunitwidthtostudy,andassumethatforcePactsontheunitwidth.Stresscomponentsofarbitrarypointinawedgearedeterminedbyα、β、P、r、θ,thus,theexpressionsofstresscomponentsonlycontainthesevalues.POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*§4-10楔形體在楔頂或楔面受力平面問題的極坐標(biāo)解答圖4-12

楔形體的中心角為，下端為無限長(zhǎng)。1.頂部受集中力P

設(shè)楔形體在楔頂受有集中力，與楔形體的中心線成角。取單位寬度的部分來考慮，并令單位寬度上所受的力為。

楔形體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于α、β、P、r、θ，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式中只包含這幾個(gè)量。*Within,theamountsofα、β、θarenon-dimension,thusexpressionsofstresscomponentsoughttobedenotedbyPN/rwhereNcomposedofα、β、θisnon-dimension.Fromtheexpressionsofstressfunctioncanbeseenthatrinstressfunctionistwoexponentpowersthantheonesofeachstresscomponent,thuscanassume:Substitutingintoconsistentequation,has：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答代入相容方程后得：其中α、β、θ是無量綱的量，因此根據(jù)應(yīng)力分量的量綱，應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)取PN/r的形式，其中N是α、β、θ組成的無量綱的量。由應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式可以看出應(yīng)力函數(shù)中r的冪次應(yīng)當(dāng)比各應(yīng)力分量的冪次高出兩次，因此可設(shè)：*Evaluatingthisdifferentialequation,gets：Thusgets：Within,havenoeffectonstresses,takes:POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答求解這一微分方程，得：不影響應(yīng)力，取：其中于是得：*Boundaryconditionsofrightandleftfacesofawedge：Abovestresscomponentssatisfysuchboundaryconditions.concentratedforcePisdisposedasStVenantprinciple,andwhenfetcharbitrarycircularcylindricalsurfaceab,thestressesofthissectionandPcompositesequilibriumforcesystem：Substitutingtheexpressionof,thengetMichlekey：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答楔形體左右兩面的邊界條件：

上述應(yīng)力分量滿足該邊界條件。集中力P按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力和P合成平衡力系：將的表達(dá)式代入，可求出C、D，最后得到密切爾解答：*2.CoupleMactingonthetopofawedgeFig.4-13Assumethatcoupleactsonthetopofawedge,andmomentofcoupleofunitwidthisM,Fig.4-13.Thesameasaboveanalysis,thestresscomponentissuchformasMN/r2,andstressfunctionisnothingtor.Substitutingintoconsistentequation,have：Evaluatethisdifferentialequation,andget：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答2.頂部受有力偶M作用圖4-13

設(shè)楔形體在楔頂受有力偶，而每單位寬度內(nèi)的力偶矩為M

，如圖4-13。

根據(jù)和前面相似的分析，應(yīng)力分量應(yīng)為MN/r2的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)與r無關(guān)。代入相容方程后，得：求解這一微分方程，得：*Boundaryconditionsofrightandleftfacesofawedge：Abovestresscomponentssatisfythefirstequationautomatically.Accordingtothesecondequation,get:Considercoupleasanti-symmetryforce,andnormalstressandstressfunctionas’soddfunction,thusA=D=0,then：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答楔形體左右兩面邊界條件：上述應(yīng)力分量自動(dòng)滿足第一式，根據(jù)第二式，可得：

力偶可看成反對(duì)稱力，正應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)是的奇函數(shù)，從而A=D=0,于是：*ConcentratedcoupleMisdisposedasStVenantprinciple,andwhenfetcharbitrarycircularcylindricalsurfaceab,thestressesofthissectionandMcompositesequilibriumforcesystem：FinallygetEnglishkey：Thus：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答

集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力與M成平衡力系：最后得到英格立斯的解答：于是：*Fig.4-14Assumethatuniformpressureqactsononefaceofawedge.Fig.4-14.StresscomponentoughttobetheformasqN,andstressfunctionoughttobetheformasqNr2:Substitutingintoconsistentequation,have：Evaluatingthisdifferentialequation,have:3.uniformpressure

qactingononefacePOLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答圖4-14

設(shè)楔形體在一面受有均布?jí)毫?如圖4-14。

應(yīng)力分量應(yīng)為qN的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為qNr2的形式：代入相容方程后，得：求解這一微分方程，得:3.一面受均布?jí)毫*Boundaryconditions:Evaluatingtheconstants,getLevi’skeyforstresscomponents：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答邊界條件為:求解常數(shù)，得應(yīng)力分量的李維解答：*§4-11NormalConcentratedForcesontheBoundaryforSemi-planeBody（1）Orderthatcentralangleofawedgeequaltoaflatangle,thenconnectingtwosidesofthewedgetobeastraightedge,thewedgebecometobesemi-planebody.Fig.4-15.I、StressComponentsFig.4-15Usingcoordinatetransformcangetthestresscomponentexpressions(2)inrectangularcoordinates：(2)POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMSOntheboundaryofplanarbodyisactedbyPwhichisperpendiculartoit,andformichell’skeymake.SogetEqu.(1)：*§4-11半平面體在邊界上受法向集中力平面問題的極坐標(biāo)解答利用坐標(biāo)變換可得到直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量式（2）：（1）（2）

命楔形體的中心角等于一個(gè)平角，這楔形體的兩個(gè)側(cè)邊就連成一個(gè)直邊，而楔形體就成為一個(gè)半平面體，如圖4-15。一、應(yīng)力分量

當(dāng)平面體在邊界上受有垂直于邊界的力時(shí)，在密切爾解答中令、。于是得式（1）：圖4-15*Orreplacingpolarcoordinateswithrectangularcoordinates,get：II、DisplacementComponentsAssumethatisplanarstresssituation.Substitutingstresscomponentsintophysicalequations,getdeformationcomponents：Thensubstitutingdeformationcomponentsintogeometricequations,have：POLARSOLUTIONSFORPLANARPROBLEMS*平面問題的極坐標(biāo)解答或?qū)⑵渲械臉O