第七章 圖形的變化 章節(jié)構(gòu)建二 圖形三大變換：平移、對稱、旋轉(zhuǎn) 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

章節(jié)構(gòu)建二圖形三大變換:平移、對稱、旋轉(zhuǎn)回歸教材·過基礎(chǔ)【知識體系】【考點清單】知識點1圖形的軸對稱常考1.定義(1)軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線對折,能與另一個圖形重合.(2)軸對稱圖形:把一個圖形沿某條直線對折,直線兩旁的部分能夠互相重合,這條直線就是它的對稱軸.2.性質(zhì)(1)對稱點的連線被對稱軸垂直平分;(2)對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等;(3)成軸對稱的兩個圖形是①.3.常見應(yīng)用——圖形折疊問題折疊問題是軸對稱變換常見問題,折痕所在直線就是對稱軸,折疊前的部分與折疊后的部分看作成軸對稱的兩個圖形.技巧提示軸對稱指的是兩個彼此獨立的圖形,沿著對稱軸折疊之后,兩旁的部分可以重合;軸對稱圖形指的是一個圖形,沿著過圖形本身的直線折疊兩旁的部分可以重合.知識點2圖形的中心對稱?？?.定義(1)中心對稱:把一個圖形繞著一點旋轉(zhuǎn)180°后,與另一個圖形重合,這個點叫作對稱中心,旋轉(zhuǎn)前后能夠重合的點叫作對稱點.(2)中心對稱圖形:把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°后,能與原來的圖形重合,這個圖形叫作中心對稱圖形,這個點叫作對稱中心.2.性質(zhì)(1)關(guān)于某點成中心對稱的兩個圖形全等,即對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等;(2)關(guān)于某點成中心對稱的兩個圖形,對稱點的連線都經(jīng)過②,并且被對稱中心平分.技巧提示中心對稱指的是兩個彼此獨立的圖形,繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°后,兩圖形可以重合;中心對稱圖形指的是一個圖形,繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°后與自身重合.知識點3圖形的平移輪考1.定義在平面內(nèi),將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這種變換叫作平移變換,簡稱平移.確定一個平移變換的條件是平移方向和平移距離.2.性質(zhì)(1)平移不改變圖形的大小與形狀,即平移前后的兩個圖形全等;(2)連接各組對應(yīng)點的線段平行(或共線)且相等;(3)對應(yīng)線段平行(或共線)且相等,對應(yīng)角相等.知識點4圖形的旋轉(zhuǎn)常考1.定義在平面內(nèi),把一個平面圖形繞著一個定點沿著某個方向旋轉(zhuǎn)一定的角度,得到另一個圖形,這種變換叫作旋轉(zhuǎn)變換.這個定點叫作旋轉(zhuǎn)中心,這個角度叫作旋轉(zhuǎn)角.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度所決定.2.性質(zhì)(1)圖形上的每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿著相同的方向旋轉(zhuǎn)了相同大小的角度;(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來的圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化,即它們是全等的;(3)旋轉(zhuǎn)前、后兩個圖形的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離③;(4)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等,并且等于旋轉(zhuǎn)角.技巧提示確定旋轉(zhuǎn)角的大小,只需要找到一對對應(yīng)點,并分別與旋轉(zhuǎn)中心連接,則兩條線段的夾角即為旋轉(zhuǎn)角.知識點5網(wǎng)格作圖1.找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(一般找頂點);2.作出這些關(guān)鍵點變換后的對應(yīng)點;3.順次連接各對應(yīng)點.【基礎(chǔ)演練】1.中華文明是一種獨特的文明,其漢字也是非常獨特的.在一些美術(shù)字中,有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中,可以看作是軸對稱圖形的是()A.中 B.國 C.文 D.化2.如圖,△ABD和△BCE都是等邊三角形,下列說法錯誤的是()A.△DBC≌△ABEB.△DBC可以由△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°而得C.∠1=60°D.BF平分∠DBE3.如圖,已知E為矩形紙片ABCD的邊CD上一點,將紙片沿AE對折,點D的對應(yīng)點D'恰好在線段BE上.若AD=4,DE=1,則AB的長為.4.(2024·福州模擬)如圖,矩形ABCD的寬AB=m,長AD=n,將矩形ABCD先向上平移m2,再向右平移n2得到矩形A'B'C'D',連接AB',BB',DD',D'F,連接A'F交DE于點G,則圖中面積為mn2真題精粹·重變式考向1對稱圖形的識別1.(2022·福建)美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計窗花,下列作品為軸對稱圖形的是() AB CD2.(2020·福建)下列給出的等邊三角形、平行四邊形、圓及扇形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()3.(2019·福建)下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()A.等邊三角形 B.直角三角形C.平行四邊形 D.正方形考向2平移的性質(zhì)及應(yīng)用4.(2022·福建)如圖,現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,點A對應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移,使得△ABC移動到△A'B'C',點A'對應(yīng)直尺的刻度為0,則四邊形ACC'A'的面積是()A.96B.963C.192D.16035.(2021·福建)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.線段EF是由線段AB平移得到的,點F在邊BC上,△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形,且點D恰好在AC的延長線上.(1)求證:∠ADE=∠DFC.(2)求證:CD=BF.考向3軸對稱的性質(zhì)及應(yīng)用6.(2024·福建)小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案,如圖.其中△OAB與△ODC都是等腰三角形,且它們關(guān)于直線l對稱,點E,F分別是底邊AB,CD的中點,OE⊥OF.下列推斷錯誤的是()A.OB⊥OD B.∠BOC=∠AOBC.OE=OF D.∠BOC+∠AOD=180°真題變式7.如圖,正方形ABCD的邊長為4,M是AD的中點,將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM,連接DF,則tan∠DFE的值等于.8.把一張長方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,使頂點B和D點重合,折痕為EF.若AB=3cm,BC=5cm,則A'E的長是()A.1.5cm B.2.4cmC.3.4cm D.1.6cm考向4旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用9.(2023·福建)如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB邊上不與A,B重合的一個定點.AO⊥BC于點O,交CD于點E.DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,FD,CA的延長線相交于點M.(1)求證:△ADE∽△FMC.(2)求∠ABF的度數(shù).(3)若N是AF的中點,如圖2,求證:ND=NO.10.(2022·福建)已知△ABC≌△DEC,AB=AC,AB>BC.(1)如圖1,CB平分∠ACD,求證:四邊形ABDC是菱形.(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC),BC,DE的延長線相交于點F,用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB的度數(shù).11.(2020·福建)如圖,△ADE由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,且點B的對應(yīng)點D恰好落在BC的延長線上,AD,EC相交于點P.(1)求∠BDE的度數(shù).(2)F是EC延長線上的點,且∠CDF=∠DAC,①判斷DF與PF的數(shù)量關(guān)系,并證明;②求證:PEPF=PC12.(2018·福建)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直線EF過點D.(1)求∠BDF的大小.(2)求CG的長.核心突破·拓思維考點圖形的旋轉(zhuǎn)(2024·泉州二模)如圖,在Rt△ABC中.∠C=90°,BC=6,AC=8.△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,且點D落在直線EF上.(1)求∠ADF的大小.(2)求四邊形AEFB的面積.(1)(2)證明四邊形AEFB是平行四邊形?證明△AED∽△ABC?進而得到ADAC=AEAB?求出AE的長核心方法旋轉(zhuǎn)相似模型∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC∵△ADE∽△ABC,∴ABAD=ACAE或ABAC∵∠DAB=∠EAC,∴△ADB∽△AEC旋轉(zhuǎn)相似模型只要滿足DMDE=BN可證△ADM∽△ABN,然后可證△ADB∽△AMN(1)問題背景:如圖1,已知△ABC∽△ADE,求證:△ABD∽△ACE.圖1(2)嘗試運用:在矩形ABCD中,∠ADB=30°,在Rt△AEF中,∠EAF=90°,∠AFE=30°,將Rt△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置,使點F落在BD上,EF交AB于點M,此時AFDF=3,求MF圖2(3)拓展創(chuàng)新:如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BCAC=34,D為邊AB上一點,H為邊AC上一點,若∠ABC=∠HDC,CB=CD,則DHHC圖3如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,AC=1,A1,B1為邊AC,BC的中點,連接A1B1,將△A1B1C繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤360°).(1)如圖1,當(dāng)α=0°時,BB1AA1=;BB1(2)將△A1B1C繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.參考答案回歸教材·過基礎(chǔ)考點清單①全等圖形②對稱中心③相等基礎(chǔ)演練1.A2.D3.1724.真題精粹·重變式1.A2.C3.D4.B5.證明:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CDF+∠DFC=90°.∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形,∴∠EDF=90°,DE=FD.∵∠EDF=∠ADE+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠DFC.(2)如圖,連接AE.∵線段EF是由線段AB平移得到的,∴EF∥AB,EF=AB,∴四邊形ABFE是平行四邊形,∴AE∥BC,AE=BF,∴∠DAE=∠BCA=90°,∴∠DAE=∠FCD.在△ADE和△CFD中,∠DAE=∠FCD,∴△ADE≌△CFD(AAS),∴AE=CD.∵AE=BF,∴CD=BF.6.B7.13∵正方形ABCD的邊長為4,M是AD的中點,∴AD∥BC,DM=12∴∠DMC=∠BCM,由折疊的性質(zhì)可得∠GCM=∠BCM,∠EFC=∠B=90°,CF=BC=4,∴∠DMC=∠GCM,∴GM=CG.設(shè)DG=x,則GM=x+2=CG,在Rt△DCG中,DG2+DC2=CG2,即x2+42=(x+2)2,解得x=3,∴DG=3,CG=5,∴FG=CG-CF=5-4=1.∵S△CDG=12CD·DG=1∴DH=CD·DGCG=3×45=∴GH=DG2-DH2∴FH=GH-FG=95-1=4∴tan∠FDH=FHDH=4512∵∠EFC=∠DHC=90°,∴DH∥EF,∴∠DFE=∠FDH,∴tan∠DFE=tan∠FDH=13故答案為138.D9.解析:(1)證明:∵DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°.∵AB=AC,AO⊥BC,∴∠BAO=12∵∠BAC=90°,∴∠BAO=∠ABC=45°,∴∠BAO=∠DFC.∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,∴∠EDA=∠M,∴△ADE∽△FMC.(2)如圖1,設(shè)BC與DF的交點為I.∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,∴△BID∽△FIC,∴BIFI=DICI,即BIDI∵∠BIF=∠DIC,∴△BIF∽△DIC,∴∠IBF=∠IDC.∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°.∵∠ABC=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°.(3)證明:如圖2,延長ON交BF于點T,連接DT,DO.∵∠FBI=∠BOA=90°,∴BF∥AO,∴∠FTN=∠AON.∵N是AF的中點,∴AN=NF.∵∠TNF=∠ONA,∴△TNF≌△ONA(AAS),∴NT=NO,FT=AO.∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,∴AO=CO,∴FT=CO.由(2)知,△BIF∽△DIC,∴∠DFT=∠DCO.∵DF=DC,∴△DFT≌△DCO(SAS),∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,即∠ODT=∠CDF.∵∠CDF=90°,∴∠ODT=∠CDF=90°,∴ND=1210.解析:(1)證明:∵△ABC≌△DEC,∴AC=DC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,AB=DC.∵CB平分∠ACD,∴∠DCB=∠ACB,∴∠ABC=∠DCB,∴AB∥CD,∴四邊形ABDC為平行四邊形.∵AB=AC,∴平行四邊形ABDC為菱形.(2)∠ACE+∠EFC=180°.證明:∵△ABC≌△DEC,∴∠ABC=∠DEC,∴∠ACB=∠DEC.∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°,∴∠CEF=∠ACF.∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°,∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°,∴∠ACE+∠EFC=180°.(3)如圖,在AD上取點M,使AM=BC,連接BM.在△AMB和△CBD中,AM=BC,∴△AMB≌△CBD(SAS),∴BM=BD,∠ABM=∠CDB,∴∠BMD=∠BDM.∵∠BMD=∠BAD+∠MBA,∴∠ADB=∠BCD+∠BDC.設(shè)∠BCD=∠BAD=α,∠BDC=β,則∠ADB=α+β.∵AC=AB=CD,∴∠CAD=∠CDA=α+2β,∴∠BAC=∠CAD-∠BAD=2β,∴∠ACB=12∴∠ACD=90°-β+α.∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°,∴90°-β+α+α+2β+α+2β=180°,∴α+β=30°,即∠ADB=30°.11.解析:(1)∵△AED由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,∴AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE.在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,∴∠ADE=∠B=45°,∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.(2)①DF=PF.證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AC=AE,∠CAE=90°,在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°.∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,即∠FPD=∠FDP,∴DF=PF.②證明:如圖,過點P作PH∥ED交DF于點H,∴∠HPF=∠DEP,EPPF=DH∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,∴∠DEP=∠DAC.又∵∠CDF=∠DAC,∴∠DEP=∠CDF,∴∠HPF=∠CDF.又∵FD=FP,∠F=∠F,∴△HPF≌△CDF(ASA),∴HF=CF,∴DH=PC,又∵EPPF=DHHF,∴EPPF12.解析:(1)∵線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,∴∠DAB=90°,AD=AB=10.∴∠ABD=45°.∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到的,∴AB∥EF,∴∠BDF=∠ABD=45°.(2)由平移的性質(zhì),得AE∥CG,AB∥EF,∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°.∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,∴ADAC=AE∵AB=8,AB=AD=10,∴AE=12.5,由平移的性質(zhì),得CG=AE=12.5.核心突破·拓思維例解析:(1)∵線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,∴∠BAD=90°∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AB∥EF,∴∠BAD+∠ADF=180°,∴∠ADF=90°.(2)(解法不唯一)∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AC∥EG,AC=EG=8,∠EGF=∠ACB=∠CGE=90°,AE∥BF,∴四邊形AEFB是平行四邊形,∠AED=∠EFG=∠ABC,∴AE=BF.∵在Rt△ABC中.∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB=BC2+A∴AD=AB=10.∵∠ACB=∠ADE=90°,∠AED=∠ABC,∴△AED∽△ABC,∴ADAC=AE∴108=AE∴AE=252,∴BF=AE=25∴S?AEFB=BF·EG=252變式1解析:(1)證明:∵△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,ABAD=AC∴∠BAD=∠CAE,ABAC=AD∴△ABD∽△ACE.(2)如圖1,連接BE.圖1∵∠ADB=∠AFE,∠BAD=∠EAF,∴△AB