第六章 圓 第2節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 學(xué)案（含答案）2025年中考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)

第2節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系回歸教材·過基礎(chǔ)【知識體系】【考點清單】知識點1點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系圖形d與r的大小點A在圓O內(nèi)d=OA<r點B在圓O上d=OB=r點C在圓O外d=OC>r知識點2直線與圓的位置關(guān)系常考1.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形d與r的大小d<rd=rd>r公共點名稱交點切點無直線名稱割線切線無2.切線的性質(zhì)與判定性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑推論1.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點2.經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心切線的判定1.和圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線2.如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑,那么這條直線是圓的切線3.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線3.切線長定理(1)切線長:如圖,過圓外一點P,有兩條直線PM,PN分別與☉O相切,點P和切點之間線段的長叫作這點到圓的切線長.(2)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.知識點3三角形的內(nèi)心和外心1.三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫作三角形的外心.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點,它到三角形三個頂點的距離相等.2.三角形的內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心叫作三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點,它到三角形三邊的距離相等,且在三角形內(nèi)部.【基礎(chǔ)演練】1.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8.以點A為圓心,r為半徑作圓,當(dāng)點C在☉A內(nèi)且點B在☉A外時,r的值可能是()A.6 B.8 C.10 D.122.如圖,這是“光盤行動”的宣傳海報,圖中筷子與餐盤可看成直線和圓,它們的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交 C.相離 D.平行3.平面內(nèi),☉O的半徑為5,若直線l與☉O相離,則圓心O到直線l的距離可能是()A.6 B.5 C.4 D.34.(2024·三明二模)如圖,在△ABC中,AB=AC,邊BC與☉A相切于點D,邊AB,AC與☉A分別交于點M,N.求證:DM=DN.真題精粹·重變式1.(2024·福建)如圖,已知點A,B在☉O上,∠AOB=72°,直線MN與☉O相切,切點為C,且C為AB的中點,則∠ACM等于()A.18°B.30°C.36°D.72°2.(2021·福建)如圖,AB為☉O的直徑,點P在AB的延長線上,PC,PD與☉O相切,切點分別為C,D.若AB=6,PC=4,則sin∠CAD等于()A.32 B.23 C.343.(2019·福建)如圖,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點,點C在☉O上,且∠ACB=55°,則∠APB等于()A.55°B.70°C.110°D.125°4.(2023·福建)如圖,已知△ABC內(nèi)接于☉O,CO的延長線交AB于點D,交☉O于點E,交☉O的切線AF于點F,且AF∥BC.(1)求證:AO∥BE.(2)求證:AO平分∠BAC.5.(2020·福建)如圖,AB與☉O相切于點B,AO交☉O于點C,AO的延長線交☉O于點D,E是BCD上不與點B,D重合的點,sinA=12(1)求∠BED的度數(shù).(2)若☉O的半徑為3,點F在AB的延長線上,且BF=33,求證:DF與☉O相切.核心突破·拓思維考點切線的判定如圖,在△ABC中,CA=CB,O為AB上一點.以O(shè)為圓心,OB長為半徑的☉O過點C,交AB于另一點D,若D是OA的中點,求證:AC是☉O的切線.由CA=CB?可得∠A=∠B?可證△AOC≌△BDC?∠ACO=∠BCD=90°?即可得AC是☉O的切線核心方法證明直線與圓相切常見情形(1)已知半徑,證垂直;(2)已知垂直,證半徑;(3)半徑、垂直都不知,作垂線試一試.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,∠A=60°.點E在AB延長線上,BE=OB.過點E作ED⊥AC,交AC的延長線于點D.求證:DE是☉O的切線.如圖,△ABC為☉O內(nèi)接三角形,∠B=2∠A,點M為直徑AB上一點,過點M作AB的垂線交AC于點N,交BC的延長線于點E,直線CF交EN于點F,EF=FC.(1)求證:CF是☉O的切線.(2)設(shè)☉O的半徑為2,且AC=CE,求AM的長.參考答案回歸教材·過基礎(chǔ)基礎(chǔ)演練1.B2.B3.A4.證明:連接AD,如圖所示.∵BC與☉A相切于點D,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,∴DM=DN.真題精粹·重變式1.A2.D3.B4.證明:(1)∵AF是☉O的切線,∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.∵CE是☉O的直徑,∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,∴AO∥BE.(2)∵∠ABE與∠ACE都是EA所對的圓周角,∴∠ABE=∠ACE.∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,∴∠ABE=∠OAC,由(1)知∠OAB=∠ABE,∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.5.解析:(1)如圖1,連接OB.圖1∵AB與☉O相切于點B,∴∠ABO=90°.∵sinA=12∴∠A=30°,∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,∴∠BED=12(2)證明:如圖2,連接OF,OB.圖2∵AB是切線,∴∠OBF=90°.∵BF=33,OB=3,∴tan∠BOF=BFOB=3∵∠BOD=120°,∴∠BOF=∠DOF=60°.在△BOF和△DOF中,OB=OD∴△BOF≌△DOF(SAS),∴∠OBF=∠ODF=90°,∴DF與☉O相切.核心突破·拓思維例證明:如圖,連接OC,CD.∵CA=CB,∴∠A=∠B.∵BD是直徑,∴∠BCD=90°.∵D是OA的中點,∴AD=OD.又OB=OD,∴AO=BD,∴△AOC≌△BDC(SAS),∴∠ACO=∠BCD=90°,∴OC⊥AC.∵C為半徑OC的外端點,∴AC是☉O的切線.變式1證明:如圖,過點O作OF⊥DE于點F.∵ED⊥AC,∴∠D=90°.又∵∠A=60°,∴∠E=30°,∴OF=12∵BE=OB,∴OB=12∴OF=OB,則點F在☉O上,∴DE是☉O的切線.變式2解析:(1)證明:如圖,連接OC.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.又∵∠B=2∠A,∴∠B=60°,∠A=30°,∵EM⊥AB,∴∠EMB=90°.在Rt△EMB中,∠B=60°,∴∠E=30°.又∵EF=FC,∴∠ECF=∠E=30°.又∵∠ECA=90°,∴∠FCA=60°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°,∴OC⊥CF,∴F