2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章概率3第3講幾何概型新題培優(yōu)練文含解析新人教A版

PAGE1-第3講幾何概型[基礎(chǔ)題組練]1．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|y＝\r(10＋3a－a2)))，若在集合A內(nèi)任取一個(gè)數(shù)a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率為()A.eq\f(1,7) B.eq\f(3,7)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：選B.由10＋3a－a2≥0，解得－2≤a≤5，即A＝[－2，5]．因?yàn)?∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，故2＋a－a2＞0，解得－1＜a＜2.由幾何概型的學(xué)問可得，所求的概率P＝eq\f(2－（－1）,5－（－2）)＝eq\f(3,7).故選B.2．(2024·湖南長(zhǎng)沙四縣聯(lián)考)如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,12)解析：選A.魚缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π，所以“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是1－eq\f(π,4)，故選A.3.(2024·廣州市綜合檢測(cè)(一))劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在其撰寫的《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”．所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限靠近圓面積并以此求取圓周率的方法．如圖所示，圓內(nèi)接正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2，現(xiàn)隨機(jī)向圓O內(nèi)投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)(a，b∈N*，b＜a)，則圓周率的近似值為()A.eq\f(b,a)B.eq\f(a,b)C.eq\f(3a,b)D.eq\f(3b,a)解析：選C.依題意可得eq\f(360°,12)＝30°，則正十二邊形的面積為12×eq\f(1,2)×2×2×sin30°＝12.又圓的半徑為2，所以圓的面積為4π，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機(jī)投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)，依據(jù)幾何概型可得eq\f(12,4π)＝eq\f(b,a)，則π＝eq\f(3a,b)，選C.4．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B.若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，則4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π.全部事務(wù)是{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，所以S＝(2π)2＝4π2，而滿意條件的事務(wù)是{(a，b)|a2＋b2≥π}，所以S1＝4π2－π2＝3π2，則概率P＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).5．在區(qū)間[0，6]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則log2x的值介于1到2之間的概率為________．解析：由題知1<log2x<2，解得2<x<4，故log2x的值介于1到2之間的概率為eq\f(4－2,6－0)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6.如圖，正四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．解析：設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝eq\f(V錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).答案：eq\f(1,2π)7．(2024·西安市八校聯(lián)考)從集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任選一個(gè)元素(x，y)，則滿意x＋y≥2的概率為________．解析：如圖，先畫出圓x2＋y2＝4，再畫出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2≤4，,x＋y≥2))對(duì)應(yīng)的可行域，即圖中陰影部分，則所求概率P＝eq\f(S陰影,S圓)＝eq\f(\f(1,4)×4π－\f(1,2)×2×2,4π)＝eq\f(π－2,4π).答案：eq\f(π－2,4π)8．(2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)已知集合A＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}．(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．解：(1)x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.則基本領(lǐng)件有(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共9個(gè)，其中滿意x＋y≥0的基本領(lǐng)件有8個(gè)，故x，y∈Z，x＋y≥0的概率為eq\f(8,9).(2)設(shè)“x＋y≥0，x，y∈R”為事務(wù)M，x∈[0，2]，y∈[－1，1]表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的四邊形ABCD及其內(nèi)部，事務(wù)M表示的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分．所以P(M)＝eq\f(S陰影,S四邊形ABCD)＝eq\f(S四邊形ABCD－\f(1,2)×1×1,S四邊形ABCD)＝eq\f(2×2－\f(1,2)×1×1,2×2)＝eq\f(7,8)，故x，y∈R，x＋y≥0的概率為eq\f(7,8).[綜合題組練]1．(應(yīng)用型)(2024·南寧二中、柳州中學(xué)聯(lián)考)老師安排在晚自習(xí)19：00－20：00解答同學(xué)甲、乙的問題，預(yù)料解答完一個(gè)學(xué)生的問題須要20分鐘，若甲、乙兩人在晚自習(xí)的隨意時(shí)刻去問問題是互不影響的，則兩人獨(dú)自去時(shí)不須要等待的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(7,9)解析：選B.設(shè)甲、乙兩人分別在晚上19：00過x，y分鐘后去問問題，則依題意知，x，y應(yīng)滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－y|≥20，,0≤x≤60，,0≤y≤60.))作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分所示，則所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×40×40×2,60×60)＝eq\f(4,9).故選B.2．(應(yīng)用型)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力嬉戲，它是由五塊等腰直角三角形(兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的，如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，在該正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選A.設(shè)AB＝2，則BC＝CD＝DE＝EF＝1，所以S△BCI＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)，S平行四邊形EFGH＝2S△BCI＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，所以所求的概率P＝eq\f(S△BCI＋S平行四邊形EFGH,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(1,2),2×2)＝eq\f(3,16).故選A.3.某人隨機(jī)地在如圖所示的正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的外界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為________．解析：設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，圓的半徑為R，則正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2.由正弦定理得2R＝eq\f(a,sin60°)，即R＝eq\f(\r(3),3)a，所以圓的面積S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由幾何概型的概率計(jì)算公式得概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)4．如圖所示，OA＝1，在以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓弧上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為________．解析：因?yàn)镺A＝1，若△AOB的面積小于eq\f(1,4)，則eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOB<eq\f(1,4)，所以sin∠AOB<eq\f(1