九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題訓(xùn)練八平面圖形的運(yùn)動(dòng)及不規(guī)則圖形面積問題課時(shí)精講新版新人教版

Page1專題訓(xùn)練(八)平面圖形的運(yùn)動(dòng)及不規(guī)則圖形面積問題一、求動(dòng)態(tài)中弧長(zhǎng)或扇形面積1．已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了愛護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50m，半圓的直徑為4m，則圓心O所經(jīng)過的路途長(zhǎng)是__(2π＋50)m___．(結(jié)果用π,第1題圖),第2題圖)2．如圖，在直角坐標(biāo)系中放置一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動(dòng)地在x軸上滾動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A離開原點(diǎn)后第一次落在x軸上時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑線與x軸圍成圖形的面積為(C)A.eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)B.eq\f(π,2)＋1C．π＋1D．π＋eq\f(1,2)3．如圖，正六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)為2cm的螺母，點(diǎn)P是FA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，在A，P之間拉一條長(zhǎng)為12cm的無伸縮性細(xì)線，一端固定在點(diǎn)A，握住另一端點(diǎn)P拉直細(xì)線，把它全部緊緊纏繞在螺母上(纏繞時(shí)螺母不動(dòng))解：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為eq\f(60π×12,180)＋eq\f(60π×10,180)＋eq\f(60π×8,180)＋eq\f(60π×6,180)＋eq\f(60π×4,180)＋eq\f(60π×2,180)＝eq\f(π,3)(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，求點(diǎn)A經(jīng)過的路途長(zhǎng)．解：如圖，A″C1＝eq\r(32＋42)＝5，eq\o(AA′,\s\up8(︵))＝eq\f(90π×3,180)＝eq\f(3,2)π，A′A″⌒＝eq\f(90π×4,180)＝2π，A″A1⌒＝eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5,2)π，則點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路途長(zhǎng)為eq\o(AA′,\s\up8(︵))＋A′A″⌒＋A″A1⌒＝eq\f(3,2)π＋2π＋eq\f(5,2)π＝6π5．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上按順時(shí)針方向在l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)動(dòng)到三角形A″B′C′的位置．若BC＝1，AC＝eq\r(3)，當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)．(1)求點(diǎn)A所經(jīng)過的路途長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)A所經(jīng)過的路途與l所圍成的圖形的面積．解：點(diǎn)A所經(jīng)過的路途圖略．(1)在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2，∴∠BAC＝30°，則∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴eq\o(AA′,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3).又∵∠A′C′A″＝90°，∴A′A″⌒的長(zhǎng)為eq\f(90π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),2)π，∴點(diǎn)A所經(jīng)過的路途長(zhǎng)為eq\f(4,3)π＋eq\f(\r(3),2)π(2)S扇形BAA′＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×2＝eq\f(4π,3)，S扇形C′A′A″＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3)π,2)×eq\r(3)＝eq\f(3π,4)，S△A′BC′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路途與l所圍成的圖形的面積是eq\f(4,3)π＋eq\f(3,4)π＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25,12)π＋eq\f(\r(3),2)

二、求不規(guī)則圖形面積問題6．(用割補(bǔ)法)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)DA＝2.(1)求線段EC的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝2eq\r(3)，∴EC＝CD－DE＝4－2eq\r(3)(2)在Rt△DEA中，∵eq\f(AD,AE)＝eq\f(1,2)，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S陰影＝S扇形EAF－S△DAE＝eq\f(60π×42,360)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(8,3)π－2eq\r(3)7．(用旋轉(zhuǎn)法)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，將△ABC繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°至△A1B1C解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29.∵S陰影＝S扇形CBB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形CAA1.又∵△ABC旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S陰影＝S扇形CBB1－S扇形CAA1＝eq\f(45×π×29,360)－eq\f(45×π×22,360)＝eq\f(25,8)π(cm2)8．(用平移法)如圖是兩個(gè)半圓，點(diǎn)O為大半圓的圓心，AB是大半圓的弦，且與小半圓相切，AB＝24.求圖中陰影部分的面積．解：將小圓向右平移，使兩圓變成同心圓(如圖)，連接OB.過O作OC⊥AB于C點(diǎn)，則AC＝BC＝12.∵AB是大半圓的弦且與小半圓相切，∴OC為小圓的半徑，∴S陰影＝S大半圓－S小半圓＝eq\f(1,2)π·OB2－eq\f(1,2)π·OC2＝eq\f(1,2)π·AC2＝72π9．(用等積變形法)如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D均在已知⊙O上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為15.(1)求此圓的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．解：(1)易證∠DBC＝30°，AB＝AD＝DC，BC＝2DC，∴BC＋eq\f(3,2)BC＝15，∴BC＝6，∴此圓的半徑為3(2)連接OA，OD，過O作OE⊥AD于點(diǎn)E.可求∠AOD＝60°，∴S扇形AOD＝eq\f(60π×32,360)＝eq\f(3,2)π.在R