《彈性力學(xué)》 課件 第5章 彈性力學(xué)的一般原理

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第5章彈性力學(xué)問(wèn)題的一般原理§5.1基本方程§5.2邊界條件§5.3位移法§5.4應(yīng)力法§5.5解的唯一性§5.6疊加原理§5.7圣維南原理§5.8應(yīng)變能定理§5.9功的互等定理§5.10最小變形能定理2

（一）平衡方程§5.1基本方程（5.1-1）3

（二）幾何方程§5.1基本方程（5.1-2）xyOPABuv4

（二）幾何方程-應(yīng)變協(xié)調(diào)方程§5.1基本方程（5.1-3）5

（三）本構(gòu)方程Constitutiveequations(homogeneousisotropic)

§5.1基本方程（5.1-4）（5.1-5）6

§5.1基本方程3個(gè)平衡方程6個(gè)幾何相容方程6個(gè)本構(gòu)方程}15個(gè)獨(dú)立方程15個(gè)未知量：?jiǎn)栴}：解決：需要找到相應(yīng)的邊界條件，才能解出符合實(shí)際的解。3個(gè)位移分量，6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量15個(gè)方程解15個(gè)未知量有無(wú)數(shù)組解7

§5.2邊界條件（一）基本概念S表示邊界,：位移邊界，：應(yīng)力邊界。應(yīng)力邊界條件：所有面力邊界條件均已知。位移邊界條件：所有位移邊界條件均已知。混合邊界條件：部分面力邊界和部分位移邊界條件已知。8

（二）應(yīng)力邊界條件§5.2邊界條件物體在全部邊界上所受的面力是已知的，面力分量在邊界上是坐標(biāo)已知函數(shù)。把面力已知的條件轉(zhuǎn)換成為應(yīng)力的已知條件，即為應(yīng)力邊界條件。

在彈性體全部邊界條件上已知面力邊界的單位法向量為n=9

（二）應(yīng)力邊界條件§5.2邊界條件f平面問(wèn)題應(yīng)力邊界條件10

（二）應(yīng)力邊界條件-示例§5.2邊界條件兩端受拉應(yīng)力平板：上邊界：邊界條件寫(xiě)作：11

§5.2邊界條件下邊界：左邊界：右邊界：（二）應(yīng)力邊界條件-示例12

（三）位移邊界條件§5.2邊界條件在彈性體全部邊界上已知位移，邊界條件為：13

（三）位移邊界條件§5.2邊界條件徑向位移為零，即：位移控制加載側(cè)限壓縮試驗(yàn)中土樣在周邊邊界：上述軸對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)平面應(yīng)變問(wèn)題在上邊界：豎向位移為，即在下邊界：豎向位移為零，即：在對(duì)稱軸上：徑向位移為零，即：14

（四）混合邊界條件§5.2邊界條件xyOqf15

（四）示例§5.2邊界條件無(wú)限長(zhǎng)壩體上邊界為應(yīng)力邊界條件：下邊界為位移邊界條件：豎向位移為零，即：左邊界為應(yīng)力邊界條件：右邊界為應(yīng)力邊界條件：16

（四）示例§5.2邊界條件xyahhq(1)(2)(4)(3)17

（四）示例§5.2邊界條件圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明：在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無(wú)應(yīng)力存在。解：平面應(yīng)力問(wèn)題，在AC、AB邊界上無(wú)面力作用。由應(yīng)力邊界條件公式AB邊界：（1）AC邊界：（2）∵A點(diǎn)同處于AB和AC的邊界，∴同時(shí)滿足式（1）和（2），解得∴A點(diǎn)處無(wú)應(yīng)力作用18

（四）示例§5.2邊界條件上、下邊界左邊界19

§5.3位移法（一）按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題

彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法：(a)位移法；(b)應(yīng)力法。

位移法：取位移分量為基本未知變量，利用基本方程和邊界條件，求解彈性力學(xué)問(wèn)題。

?

位移法求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本步驟

①利用幾何方程用位移表示應(yīng)變

②代入本構(gòu)方程，得到用位移表示的應(yīng)力分量

③代入平衡微分方程，得出關(guān)于位移的方程式④利用邊界條件，求解關(guān)于位移分量的方程組，得出位移分量

⑤代入幾何方程，求出應(yīng)變分量

⑥代入本構(gòu)方程，求出應(yīng)力分量。

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§5.3位移法彈性體的本構(gòu)方程表達(dá)為：（一）按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題

幾何方程：將幾何方程代入本構(gòu)方程：21

§5.3位移法（一）按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題

將方程代入平衡方程：平衡方程：以平衡方程第一式為例：22

§5.3位移法（一）按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題

化簡(jiǎn)得：同理，其他方向平衡方程可化為：即：23

若忽略體力，可得拉梅-納維（Lame-Navier）方程:§5.3位移法（一）按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題

求得位移分量、、后，將其代入幾何方程即可求得應(yīng)變分量，再將應(yīng)變分量代入本構(gòu)方程即可求得應(yīng)力分量，從而使問(wèn)題得解。24

§5.3位移法如右圖所示桿件（長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其他方向尺寸），在y方向上端固定，下端自由，受自重體力，的作用。試用位移法求解此問(wèn)題。解：將問(wèn)題視為一維問(wèn)題求解，自動(dòng)滿足泊松比積分可得：y方向應(yīng)變?yōu)椋海ǘ┦纠?

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§5.3位移法（二）示例1

根據(jù)本構(gòu)方程，應(yīng)力為上下邊界條件為：由第一個(gè)邊界條件得：由第二個(gè)邊界條件得：26

§5.3位移法如圖所示為一巖土立方體試件放在同樣大小的剛性盒上，上面蓋有剛性蓋，加均勻壓力，設(shè)立方體試件與盒壁間無(wú)摩擦力，試求：（1）盒內(nèi)側(cè)面所受的壓應(yīng)力（2）巖土試件的體積應(yīng)變解：建立坐標(biāo)系如圖所示。根據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)位移分量為:（二）示例2

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§5.3位移法代入控制方程得積分，得其中、為積分常數(shù)。為了確定、，應(yīng)寫(xiě)出邊界條件。下表面：上表面：（二）示例2

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§5.3位移法根據(jù)式由b式，得：最終：（二）示例2

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§5.3位移法代入位移，得：盒內(nèi)側(cè)壁面所受的壓應(yīng)力：物體的體積應(yīng)變?yōu)椋海ǘ┦纠?

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平衡微分方程：3個(gè)方程方程，6個(gè)未知量，為超靜定問(wèn)題。需尋求補(bǔ)充方程，從幾何方程、物理方程建立補(bǔ)充方程。（一）變形協(xié)調(diào)方程-相容方程§5.4應(yīng)力法（一）變形協(xié)調(diào)方程-相容方程§5.4應(yīng)力法以協(xié)調(diào)方程第二式為例將本構(gòu)方程代入：（5.4-1）（5.4-2）其中，利用平衡方程（5.4-3）（5.4-4）（一）變形協(xié)調(diào)方程-相容方程§5.4應(yīng)力法將5.4-3和5.4-4代入5.4-2：（5.4-5）三個(gè)方程相加得：同樣，由協(xié)調(diào)方程第一、三式可得相應(yīng)表達(dá)式，（一）變形協(xié)調(diào)方程-相容方程§5.4應(yīng)力法可得應(yīng)力法控制方程：貝爾特拉米-米歇爾（Beltrami-Mitchell）方程不計(jì)體力時(shí)，（5.4-8）34

（二）基本思路§5.4應(yīng)力法

①利用廣義胡克定律，得到用應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)條件；

②將平衡微分方程代入?yún)f(xié)調(diào)條件，化簡(jiǎn)方程組，得出滿足平衡微分方程的協(xié)調(diào)條件；

③利用邊界條件，求解關(guān)于應(yīng)力分量的方程組，得出各應(yīng)力量；

④利用廣義胡克定律，求各應(yīng)變分量；

⑤代入幾何方程，求位移變分量；應(yīng)力法求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本過(guò)程35

（三）示例§5.4應(yīng)力法設(shè)有如圖5.4-1所示柱體，長(zhǎng)度為l

，截面面積為A，兩端受集中力F作用，柱體表面為自由表面。求其應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)。解：（1）確定體力與面力選取坐標(biāo)系，如圖所示。兩端、有外力作用，其合力為F。不計(jì)體力。36

（三）示例§5.4應(yīng)力法（2）寫(xiě)出邊界條件1）柱體側(cè)面，法向量為即：2）柱體兩端3）控制方程根據(jù)題意，可化簡(jiǎn)為：對(duì)上式進(jìn)行積分得：

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（三）示例§5.4應(yīng)力法4）應(yīng)力場(chǎng)定解根據(jù)邊界條件，可得：即5）求解應(yīng)變將應(yīng)力代入本構(gòu)方程，并注意

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（三）示例§5.4應(yīng)力法根據(jù)幾何方程，對(duì)應(yīng)變進(jìn)行積分，并假設(shè)無(wú)剛體位移，可得：6）求解位移7）校核將上述結(jié)果分別代入平衡方程、協(xié)調(diào)方程、邊界條件，均能滿足。39

§5.5解的唯一性問(wèn)題：以應(yīng)力邊界條件為例，設(shè)有一彈性體，所受體力為，邊界上所受面力為，邊界的單位法向量為，求解該彈性體應(yīng)力分布。設(shè)該彈性力學(xué)問(wèn)題有兩組解答，應(yīng)力分量分別為和。根據(jù)彈性力學(xué)原理，兩組應(yīng)力應(yīng)分別滿足平衡方程和邊界條件，于是可得：上式中，與分別為體力和面力分量。（5.5-1）（5.5-2）40

將上述兩組方程分布對(duì)應(yīng)相減，可得§5.5解的唯一性（5.5-3）令則對(duì)應(yīng)于一個(gè)彈性體在一個(gè)無(wú)體力且無(wú)面力作用條件下應(yīng)力分量。根據(jù)彈性力學(xué)假設(shè)，在無(wú)體力且無(wú)面力作用下，彈性體內(nèi)應(yīng)力為零。即：（5.5-5）

因此，兩組解答是一致的。換言之，彈性力學(xué)問(wèn)題解是唯一的。41

§5.6疊加原理問(wèn)題：以應(yīng)力邊界條件為例，設(shè)有一彈性體，若施加體力、面力，彈性體內(nèi)應(yīng)力為，若施加體力、面力，彈性體內(nèi)應(yīng)力為。求證施加體力、面力后彈性體應(yīng)力分布，邊界的單位法向量為。根據(jù)彈性力學(xué)原理，兩組應(yīng)力應(yīng)分別滿足平衡方程和邊界條件，于是可得：（5.6-1）（5.6-2）42

§5.6疊加原理將上述兩組方程分別對(duì)應(yīng)相加，可得（5.6-3）（5.6-4）因此，

對(duì)應(yīng)于一個(gè)彈性體在體力、面力作用條件下應(yīng)力?！?.7圣維南原理（局部影響原理）在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，存在的困難應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量可完全滿足基本方程，但邊界條件要得到完全滿足很難。在物體的一小部分邊界上，僅僅知道物體所受的面力的合力，而這個(gè)面力的分布方式并不明確，無(wú)從考慮這部分邊界上的應(yīng)力邊界條件。（一）問(wèn)題的提出PPP“…thedifferencebetweentheeffectsoftwodifferentbutstaticallyequivalentloadsbecomesverysmallatsufficientlylargedistancesfromload.”A.J.C.B.Saint-Venant,1855,MemoiresurlaTorsiondesPrismes,Mem.DiversSavants,14,pp.233-560當(dāng)離作用位置足夠遠(yuǎn)時(shí)，兩個(gè)靜力平衡但不同的力的作用效果差別很小。44

§5.7圣維南原理（二）靜力等效概念兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來(lái)而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。45

圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，分布于彈性體上的一小塊面積內(nèi)的載荷所引起的物體中的應(yīng)力，在距離載荷作用區(qū)稍遠(yuǎn)的地方，基本上只與載荷的合力和合力矩有關(guān)，載荷的具體分布只影響載荷作用區(qū)附近的應(yīng)力分布。§5.7圣維南原理（三）圣維南原理46

§5.7圣維南原理（四）圣維南原理主要作用（1）對(duì)復(fù)雜的力邊界（次要邊界，如集中力、集中力偶），用靜力等效的分布面力代替。（2）有些位移邊界（次要邊界）不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：（1）必須滿足靜力等效條件；（2）只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界47

§5.7圣維南原理（五）示例如圖所示設(shè)懸臂梁自由端有集中力F作用，梁高為2h，厚度為，跨度為l

。梁自由端無(wú)軸向應(yīng)力，頂部和底部沒(méi)有荷載作用，寫(xiě)出邊界條件。48

§5.7圣維南原理（五）示例主要邊界上（即上下表面），嚴(yán)格滿足邊界條件：次要邊界上（左側(cè)），根據(jù)圣維南原理，主矢量相同，主矩相同即可，即：

因此，該問(wèn)題的邊界條件如：49

§5.7圣維南原理（五）示例矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫(xiě)出水壩的應(yīng)力邊界條件。解：左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有50

§5.7圣維南原理（五）示例上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！51

§5.8應(yīng)變能定理如彈性體處于平衡狀態(tài)，由于彈性位移為

、

、

，則外力所作的功為:由式式（5.8-1）中的第二個(gè)積分可寫(xiě)為（5.8-1）（5.8-3）52

利用奧斯特洛-格拉斯基公式將式（5.8-3）中的面積分改為體積分，可得：§5.8應(yīng)變能定理（5.8-4）53

§5.8應(yīng)變能定理（5.8-7）（5.8-5）（5.8-8）（5.8-6）將上式代入式（5.8-1），則由平衡方程知，上式中第一個(gè)體積分等于零，于是得根據(jù)式得54

§5.9功的互等定理設(shè)在彈性體上作用著兩個(gè)外力系（兩個(gè)表面力和體積力系），產(chǎn)生兩個(gè)應(yīng)力、形變和彈性位移系，形成兩個(gè)狀態(tài)。（一）問(wèn)題的提出（1）第一狀態(tài)表面力和體積力為應(yīng)力分量為彈性位移為應(yīng)變分量為（5.9-1）55

§5.9功的互等定理（一）問(wèn)題的提出（2）第二狀態(tài)表面力和體積力為應(yīng)力分量為彈性位移為應(yīng)變分量為（5.9-2）56

§5.9功的互等定理（二）證明第一狀態(tài)的力系，包括慣性力，在第二狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功：（5.9-3）根據(jù)格林公式，上式中面積分可以寫(xiě)成體積分:（5.9-4）57

§5.9功的互等定理將（5.9-4）式代入（5.9-3），得（5.9-5）根據(jù)平衡方程，上式中第一個(gè)體積分等于零，于是得（5.9-6）58

§5.9功的互等定理類似地，第二狀態(tài)的力系，包括慣性力，在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功為：（5.9-7）同以前一樣地進(jìn)行運(yùn)算，得（5.9-8）利用應(yīng)力與形變的關(guān)系式（5.9-9）（5.9-10）可得59

§5.9功的互等定理（三）示例例：如圖a，一等截面桿受兩個(gè)大小相等、方向相反的壓力p。如要求這兩力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力，這是一復(fù)雜的問(wèn)題，但如我們所要求的不是應(yīng)力而是桿的總伸長(zhǎng)，則這個(gè)問(wèn)題立刻可用互等定理來(lái)解答。第一狀態(tài)的力系在第二狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功，等于第二狀態(tài)的力系在第一狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功。這是功的互等定理。60

§5.9功的互等定理為此，我們假設(shè)第二狀態(tài)，同一桿受二力Q作用，使桿簡(jiǎn)單中心受拉（圖b），橫向收縮為，其中是泊松比，是橫截面面積。根據(jù)功的互等定理由于二力所產(chǎn)生的桿的伸長(zhǎng)為可見(jiàn)，與截面的形狀無(wú)關(guān)。61

§5.10最小應(yīng)變能定理在沒(méi)有體積力情況下，一彈性物體實(shí)際發(fā)生的彈性位移為u，v，w，滿足平衡方程:（5.10-1）（5.10-2）邊界條件:其中，，是已知函數(shù)。（一）問(wèn)題的提出62

我們假想有彈性位移，，迭加于上述位移，也就是