第02講 空間向量基本定理【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第02講空間向量基本定理【人教A版2019】·模塊一空間向量基本定理·模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間向量基本定理1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．【考點1用空間基底表示向量】【例1.1】（2023春·高二單元測試）如圖，在空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2

A．23a+C．-23a【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算可得結(jié)果.【解答過程】因為BN=NC，即N為BC的中點，所以因為OM=2MA，所以MN=ON-OM故選：C.【例1.2】（2023春·江蘇常州·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在BC上，且MB=2MC，A．12a-C．-12a【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算，用OA、OB和OC表示出MN即可.【解答過程】解：因為點M在BC上，且MB=2MC，所以所以MN====-=-故選：D.【變式1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P為AD1與AA．a(chǎn)+12C．-a+1【解題思路】利用空間向量線性運算結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征計算作答.【解答過程】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，因P所以CP=故選：B.【變式1.2】（2023秋·河南許昌·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BDA．-a+b+2c B．a(chǎn)+【解題思路】根據(jù)題意用向量A1B1,A1【解答過程】由圖可得B1所以2B故選：A.【考點2由空間向量基本定理求參數(shù)】【例2.1】（2023春·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎匦蜛BCD,P為平面ABCD外一點，PA⊥平面ABCD，點M,N滿足PM=12PCA．-1 B．1 C．-12【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運算，即可得到結(jié)果.【解答過程】

因為PM=12所以MN=2因為MN=xAB+yAD+所以x+故選：C.【例2.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)P-ABC是正三棱錐，G是△ABC的重心，D是PG上的一點，且PD=DG，若PDA．56,13,23 B．【解題思路】G是等邊△ABC的重心，可得AG=13AB+13AC=13【解答過程】因為三棱錐P-ABC是正三棱錐，G是所以AG=因為D是PG上的一點，且PD=所以PD=因為PG=所以PD===1因為PD=所以x=所以x,y,故選：B.【變式2.1】（2022·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在三棱錐O-ABC中，點G為底面△ABC的重心，點M是線段OG上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱OA，OB，OC于點D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=A．133 B．23 C．32【解題思路】由空間向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)λ,μ【解答過程】由題意可知，OM=因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)λ,μ，使所以O(shè)M-所以O(shè)M=(1-所以(1-λ所以1k故選：D.【變式2.2】（2022秋·河南·高二校考階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分別在棱BB1，BC，BA上，且滿足BM=34BB1，BNA．105 B．125 C．145【解題思路】根據(jù)條件確定O點位置，再根據(jù)向量表示確定x,y【解答過程】如圖，Q為AC與BD交點，P為BQ中點，O為MQ與B1P的交點.過P作PT平行MQ交BB如圖,則T為BM中點，所以MT=所以B1因此BO=因為BO=xBH+y故選：C.【考點3正交分解】【例3.1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個單位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,-12,3 B．-3【解題思路】設(shè)p=xa+【解答過程】解：設(shè)p=x所以x+y=1所以向量p在基底a+b,故選：A.【例3.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè){i,j,k}是單位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【解題思路】根據(jù)向量p在基底a,b,c下的坐標為8,6,4得到p=12i【解答過程】因為向量p在基底a,b,c下的坐標為8,6,4，所以p=8a+6故選：C.【變式3.1】（2023·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中點為M，B1D1的中點為N，若以{DA,DC,DD1}為單位正交基底,A．(12,C．(0,12【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)，應(yīng)用空間向量加減的幾何表示可得MN=0?DA+12【解答過程】由MN=DN-DM=DD1+D1故選：C.【變式3.2】（2023秋·黑龍江大慶·高二統(tǒng)考期末）a,b,c是空間的一個單位正交基底，p在基底a,b,c下的坐標為A．(-1,2,3) B．(1,-2,3) C．(1,2,-3) D．(-3,2,1)【解題思路】設(shè)向量p在基底a+b,b【解答過程】解：由題意向量p=2a+b+5c，設(shè)向量∴p∴2∴x+z所以向量p在基底a+b,故選：A．模塊二模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題1．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【考點4證明平行、共線、共面問題】【例4.1】（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且【解題思路】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求MC1【解答過程】在正方體ABCD-A1A1O=23A1C，BD與于是MO=1MC因此MC1=3MO，即MC1//所以C1,【例4.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G【解題思路】利用空間向量基本定理和空間向量共線定理證明.【解答過程】證明：設(shè)DA=i，DC=則｛i，j，k｝構(gòu)成空間的一個單位正交基底．所以EF=D'所以EF=所以EF//【變式4.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM=(1)判斷MA,(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合平面向量基本定理證明即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)合平面向量的基本定理判斷即可.【解答過程】（1）由題知OA+∴OA-即MA=∴MA,MB（2）由（1）知，MA,MB,∴M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi).【變式4.2】（2022秋·湖北武漢·高二校考階段練習(xí)）在正四棱錐P-ABCD中，點M,N,S分別是棱(1)若x=1,y=12，且PD(2)若x=23,y=1【解題思路】（1）由PD//平面MNS利用共面定理可得PD=λMN+μ（3）由點D∈平面MNS，可知D、【解答過程】（1）∵PM=xPA∴PM在正四棱錐P-ABCD中可得PD-即PD=又PD//平面MNS∴所以存在實數(shù)λ、μ即PD=λPN又PD=PA-∴-λ-μ（2）由（2）可知PD又PM=xPA可得PD又點D∈平面MNS，即D所以32-2+【考點5幾何中的求夾角、證明垂直問題】【例5.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A【解題思路】設(shè)出基向量，然后根據(jù)圖形，結(jié)合幾何關(guān)系用基向量表示出BD1=-a+b+c，【解答過程】設(shè)AB=a，AD=b由已知可得a?因為BD1=BA+AC=所以，BD12=-AC2=a+bBD1?AC=所以BD1=所以，cosB故直線BD1與AC的夾角的余弦值為【例5.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN【解題思路】取定基底向量OA,OB,OC，并分別記為a,b【解答過程】在空間四邊形OABC中，令OA=a,令∠AOB=∠BOC=∠AOC則OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以O(shè)G⊥BC.【變式5.1】（2023·全國·校聯(lián)考一模）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設(shè)AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【解題思路】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出CE⊥（2）用a,b,c表達AG與EC，利用空間向量夾角公式求解異面直線AG【解答過程】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，所以AC=故CE⊥又因為CE∩DE=E，所以AB⊥平面CDE因為EG?平面CDE所以AB⊥（2）由題意得：△ABC,△ACD所以AGAG=12所以AG==1設(shè)異面直線AG和CE所成角為θ，則cosθ【變式5.2】（2022秋·天津濱海新·高二?？茧A段練習(xí)）已知平行六面體ABCD-A1B1C1（1）證明：DD（2）求異面直線CA1與AB【解題思路】（1）由題，選定空間中三個不共面的向量為基向量，只需證明DD（2）用基向量求解向量CA1【解答過程】設(shè)CD=a，CB由題可知：a,b,c兩兩之間的夾角均為π（1）由D=所以DD1（2）由CA1所以CA1又C則cos又異面直線夾角范圍為(0,所以異面直線CA1,【考點6幾何中的求距離(長度)問題】【例6.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD

【解題思路】設(shè)AB=a,?【解答過程】設(shè)AB=則a=b=1，c=2，因為DB所以DB【例6.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD

【解題思路】設(shè)AB=a，AD=b，A【解答過程】設(shè)AB=a，AD=則a=b=1，cc?∵AC∴A==1∴線段AC1的長為【變式6.1】（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，沿它的對角線AC將△ACD折起，使【解題思路】利用空間向量線性運算可得BD=BA+AC【解答過程】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB//CD，又∠ACD∴AC?CD∵在空間四邊形ABCD中，AB與CD成60°角，∴<BA,又BD=BA+AC+當<BA,CD>=60°時，BD2當<BA,CD>=120°時，BD2綜上所述：B,D兩點間的距離為2或【變式6.2】（2022秋·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)AB?AD(2)線段AC1的長【解題思路】（1）直接套用向量的內(nèi)積公式即可；（2）選取AB，AC，A=(AB+【解答過程】（1）AB?AD=1×1=12（2）選取AB，則AC則A=(=(=AB=1=4=2.模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·甘肅天水·高二?？计谥校┮阎臻g向量a,b,A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．若a,C．若a,b,c不共面，那么對任意一個空間向量pD．若a,b不共線，向量c=λa+μ【解題思路】根據(jù)共線向量、共面向量、空間向量的基本定理、基底等知識對選項進行分析，由此確定正確答案.【解答過程】A選項，若a與b共線，b與c共線，當b為零向量時，a與c不一定共線，所以A選項錯誤.B選項，若a,比如正方體上底面的兩條對角線，和下底面的一條對角線，對應(yīng)的向量共面，但直線不共面，所以B選項錯誤.C選項，根據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項正確.D選項，若a,b不共線，向量c=λa則a,b,c共面，所以a故選：C.2．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（）A．3a，a-b，a+2b B．C．a(chǎn)，2b，b-c D．c，【解題思路】利用空間向量的基底的定義，逐項判斷作答.【解答過程】向量a,對于A，3a=2(a-b對于B，2b=(b-2對于D，2c=(a+c對于C，假定向量a,2b,b-c共面，則存在不全為整理得a-(2λ1+所以向量a,2b,b故選：C.3．（2023春·高二課時練習(xí)）若a,b,A．2a-b，B．2a+b，C．2a+b，D．2a-b，【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理以及空間基底逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【解答過程】解：對于A，設(shè)7a所以2λ+μ=7μ-λ對于B，因為22a+b+3a+對于C，設(shè)6a所以2λ+μ=6μ+λ對于D，設(shè)6a所以2λ+μ=6μ-λ故選：B.4．（2023春·高二課時練習(xí)）在三棱錐O-ABC中，G是△ABC的重心，M是線段OG的中點，若AM=xA．-12 B．14 C．-【解題思路】根據(jù)空間向量的運算，用基底表示出相關(guān)向量，根據(jù)空間向量基本定理，即可求得答案.【解答過程】如圖在三棱錐O-ABC中，連接AG并延長交BC于則D為BC的中點，M是線段OG的中點，G是△ABC則AM=-=-=-5故x=-56故選：A.5．（2023秋·高二課時練習(xí)）在四面體OABC中，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC的中點，若OG=13OA+x4OBA．1 B．2 C．23 D．【解題思路】根據(jù)G,M,【解答過程】ON=12假設(shè)G,M,OG===1得21-λ3=故選：A.6．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體，如圖，點P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點，若PA=a，PB=b，PC=

A．-12aC．a(chǎn)-12【解題思路】根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【解答過程】如下圖所示PC=所以PD=-故選：A.

7．（2023春·高二單元測試）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點，下列條件中能確定點M與點A，B，C一定共面的是（）A．OM=OA+C．OM=12【解題思路】首先利用坐標法，排除錯誤選項，然后對符合的選項驗證存在λ,μ使得AM【解答過程】不妨設(shè)O0,0,0對于A選項，OM=OA+OB+OC=1,1,3，由于M的豎坐標3>1對于B選項，OM=OA+2OB+3OC=1,3,6，由于M的豎坐標6>1對于C選項，OM=12OA+12OB+12OC對于D選項，OM=13OA+13OB+13OC=由OM=13即AM=13AB+13AC故選：D.8．（2023春·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）把邊長為22的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD與平面CBD所成二面角的大小為60°，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為（

A．14 B．-14 C．-【解題思路】畫出圖形，利用空間向量基本定理轉(zhuǎn)化求解即可【解答過程】如圖，取的中點，連接，因為AB=BC=所以O(shè)A=所以∠AOC為平面ABD與平面CBD所成二面角的平面角，即∠所以△AOC為等邊三角形，所以AC因為AC=所以AC2所以4=AD所以4=8+16+8+2×22即16cosAD,所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為14故選：A.9．（2023春·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DDA．12 B．14 C．13【解題思路】設(shè)BEBB1=λ，由空間向量的線性運算可得【解答過程】設(shè)BEBB=-λ所以x=-1，y=1，因為x+y+故選:B.10．（2023春·黑龍江牡丹江·高一校考期末）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為1A．5 B．22 C．10 D．【解題思路】將AB,AD,【解答過程】由題意得AB=AD=1,因為A=AB所以A==1+1+4+2×1×1=10，所以AC故選：C.11．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知e1,e2,e3為空間的一個基底，且OA【解題思路】假設(shè)存在不全為0的實數(shù)m，n，使得OA=mOB【解答過程】假設(shè)存在不全為0的實數(shù)m，n，使得OA=即e1所以1=-3m即不存在不全為0的實數(shù)m，n，使得OA=因此假設(shè)不成立．所以O(shè)A,所以能以O(shè)A,12．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)(1)證明：A、E、C1、F(2)若EF=xAB【解題思路】（1）在CC1上取一點G，使得CG=13CC1，連接EG、（2）結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得.【解答過程】（1）證明：在CC1上取一點