第四章 數(shù)列（壓軸題專練）（原卷版）

第四章數(shù)列（壓軸題專練）題型一數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)【例1】已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，試問數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求最大項；若沒有，請說明理由．思維升華1．求數(shù)列的最小項(或最大項)的方法(1)判斷數(shù)列的單調(diào)性，求出最小項(或最大項)所在的位置．(2)設第n項an最大(或最小)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))n≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))n≥2))，解不等式組，從而確定出哪一項為數(shù)列的最值．2．由數(shù)列的單調(diào)性確定變量的范圍利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍，常利用以下等價關系：數(shù)列{an}遞增?an＋1＞an恒成立；數(shù)列{an}遞減?an＋1＜an恒成立，通過分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值來解決．鞏固訓練1．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(n,n2＋1)(n∈N*)，試判斷該數(shù)列的增減性，并說明理由．2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋kn(n∈N*)，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍．題型二等差數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1，n∈N*)，記bn＝eq\f(1,an－2)．(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．思維升華等差數(shù)列的判定與證明方法定義法an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列等差中項法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列鞏固訓練1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求{an}的通項公式．2．已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均為正數(shù)，求證：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差數(shù)列．題型三靈活設元求解等差數(shù)列問題【例3】已知四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數(shù)．思維升華常見設元技巧(1)某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設這兩個數(shù)為：a－d，a＋d，公差為2d；(2)三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d；(3)四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d．鞏固訓練1．已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù)．2．已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列．題型四等差數(shù)列前n項和公式的基本運算【例4】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a1＝eq\f(5,6)，an＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(3)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n．思維升華等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用．鞏固訓練1．在等差數(shù)列{an}中，(1)a1＝1，a4＝7，求S9；(2)a3＋a15＝40，求S17．題型五兩個數(shù)列的綜合問題【例5】已知等差數(shù)列{an}：5,8,11，…和等差數(shù)列{bn}：3,7,11，…各有100項，問它們有多少個相同的項？記這些共同的項從小到大依次構(gòu)成數(shù)列{cn}，問數(shù)列{cn}是否為等差數(shù)列？思維升華有關兩個等差數(shù)列公共項的問題，處理辦法一般有兩種：一是先利用兩數(shù)列的公共項組成的新等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)求新數(shù)列的公差，然后找到第一項后用通項公式解決；二是從通項公式入手，建立am＝bn這樣的方程，利用n＝f(m)，借助n，m均為正整數(shù)，得到n(或m)可取的整數(shù)形式．鞏固訓練1．已知數(shù)列{an}，{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為a1與b1，且b1∈N*，a1＋b2019＝－2．設cn＝abn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的通項公式為________．2．等差數(shù)列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相鄰兩項之間各插入一個數(shù)，使之成為新的等差數(shù)列，那么新的等差數(shù)列的公差是________．題型六等差數(shù)列前n項和的實際應用問題【例6】某電站沿一條公路豎立電線桿，相鄰兩根電線桿的距離都是50m，最遠一根電線桿距離電站1550m，一汽車每次從電站運出3根電線桿供應施工(完成任務后回到原處)．若該汽車往返運輸總行程為17500m，共豎立多少根電線桿？第一根電線桿距離電站多少米？思維升華等差數(shù)列前n項和公式主要應用于求解實際問題中的總數(shù)問題，如材料的總數(shù)目、行程問題中的總行程等．只要是等差數(shù)列，就可以應用前n項和公式計算總數(shù)，求解時應注意從實際問題中抽象出的數(shù)學模型要準確．鞏固訓練1．某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%．若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？2．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“九百九十六斤棉，贈分八子作盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務要分明依次第，孝和休惹外人傳．”大意為：“有996斤棉花，分別贈送給8個子女作為盤纏，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟之間要和氣，不要引得外人說閑話．”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為()A．184斤 B．176斤C．65斤 D．60斤題型七等差數(shù)列前n項和的最值問題【例7】在等差數(shù)列{an}中，公差為d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．思維升華求等差數(shù)列前n項和Sn的最大(小)值的常用方法(1)通項法若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))來確定；若a1＜0，d＞0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來確定．(2)二次函數(shù)法在等差數(shù)列{an}中，由于Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，則可用求二次函數(shù)最值的方法來求前n項和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函數(shù)圖象的對稱性來確定．(3)一般地，在等差數(shù)列{an}中，當a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)時，①若p＋q為偶數(shù)，則當n＝eq\f(p＋q,2)時，Sn最大；②若p＋q為奇數(shù)，則當n＝eq\f(p＋q±1,2)時，Sn最大．鞏固訓練1．(多選)設等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差為d，前n項和為Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，則下列結(jié)論正確的是()A．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B．S5＝60C．－eq\f(24,7)<d<－3D．S1，S2，…，S12中最大的是S62．已知等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項的和記為Sn，a3＝－4，a6＝8．(1)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式；(2)求Sn的最小值及其相應的n值．題型八等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用【例8】(1)在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，且在這10項中，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(11,13)，則公差d＝________．(2)已知等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列{an}前3m項的和S3m．思維升華解決有關等差數(shù)列前n項和問題時注意應用其性質(zhì)解題．鞏固訓練1．已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn，Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋2,n＋3)，則eq\f(a5,b5)＝________．2．已知數(shù)列{an}是項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，它的奇數(shù)項的和是50，偶數(shù)項的和為34，若它的末項比首項小28，則該數(shù)列的公差是________．3．已知一個等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項之和．題型九求等差數(shù)列前n項絕對值的和【例9】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數(shù)列{|an|}的前n項和．思維升華求數(shù)列{|an|}的前n項和等差數(shù)列的各項取絕對值后組成數(shù)列{|an|}，若原數(shù)列{an}中既有正項又有負項，則{|an|}不再是等差數(shù)列，求和的關鍵是找到數(shù)列{an}中正、負項的分界點處n的值，再分段求和．鞏固訓練1．在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2＋an＝2an＋1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設Sn是數(shù)列{|an|}的前n項和，求Sn．題型十靈活設元求解等比數(shù)列問題【例10】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．思維升華幾個數(shù)成等比數(shù)列的設法(1)三個數(shù)成等比數(shù)列設為：eq\f(a,q)，a，aq．推廣到一般，奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設為：…，eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2，…(2)四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為：eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3．推廣到一般，偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為：…，eq\f(a,q5)，eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3，aq5，…(3)四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號相同時，可設為：a，aq，aq2，aq3．鞏固訓練1．在2和20之間插入兩個數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個數(shù)的和為()A．－4或eq\f(35,2) B．4或eq\f(35,2)C．4 D．eq\f(35,2)2．有四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個數(shù)．題型十一等比數(shù)列的實際應用【例11】已知0<r<p<100，在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液1kg，注入濃度為p%的溶液eq\f(1,4)kg，攪勻后倒出混合液eq\f(1,4)kg．如此反復進行下去．(1)寫出第1次混合后溶液的濃度a1%；(2)設第n次混合后溶液的濃度為an%，試用an表示an＋1；(3)寫出an的通項公式．思維升華數(shù)列實際應用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的具體事件相聯(lián)系，建立數(shù)學模型是解決這類問題的核心，常用的方法有：(1)構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然后用數(shù)列的通項公式或求和公式求解；(2)通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解．鞏固訓練題型十二等比數(shù)列前n項和的實際應用問題【例12】一個熱氣球在第1min上升了25m的高度，在以后的每1min里，它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%．這個熱氣球上升的高度能達到125m嗎？思維升華解數(shù)列應用題的思路和方法鞏固訓練1．某電扇廠去年實現(xiàn)利潤300萬元，計劃在以后5年中每年比上一年利潤增長10%．問從今年起第5年的利潤是多少？這5年的總利潤是多少？(結(jié)果精確到1萬元)2．一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程之和是(結(jié)果保留到個位)()A．300米 B．299米C．199米 D．166米題型十三分組轉(zhuǎn)化法求和【例13】已知數(shù)列{cn}：1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，3eq\f(1,8)，…，試求{cn}的前n項和．思維升華分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型[提醒]某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．鞏固訓練1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．題型十三分組轉(zhuǎn)化法求和【例13】已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)