第四章 數(shù)列（壓軸題專練）（原卷版）【認(rèn)準(zhǔn)唯一售后微信：duo1413159】

第四章數(shù)列（壓軸題專練）1．（2024上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，記，則（

）A． B．C． D．2．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，，若對(duì)于任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，令，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的面積為1，把圖①，圖②，圖③，圖④，……的面積依次記為，則滿足的最小值為（

）

A．2 B．3 C．4 D．55．（2023上·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，有以下3個(gè)結(jié)論：①時(shí)，，②，存在常數(shù)，使得恒成立，③時(shí)，為遞減數(shù)列，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，取正方形各邊的中點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，則從正方形開(kāi)始，連續(xù)15個(gè)正方形的面積之和等于（

）

A． B．C． D．7．（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀└咚故堑聡?guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20268．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，記，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．9．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）已知數(shù)列滿足，，，，，記數(shù)列前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．10．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，總存在和相鄰兩項(xiàng)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2023上·重慶·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．若為常數(shù)數(shù)列，則或2C．若為遞減數(shù)列，則D．當(dāng)時(shí)，12．（2023上·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度分別為的三條線段可以圍成一個(gè)內(nèi)角為的三角形B．C．D．13．（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列。隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比，白銀比和三角平方數(shù)?佩爾數(shù)及正八邊形都有關(guān)系。記佩爾數(shù)列為，且，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，公比為B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，公比為C．D．白銀比為14．（2023上·山東·高三山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，是前n項(xiàng)和，若，（且），若不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A．－4 B．0 C．2 D．5三、填空題15．（2024上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)），為一個(gè)有序?qū)崝?shù)組，表示把A中每個(gè)-1都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項(xiàng)為1，則的前項(xiàng)和為．16．（2023上·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┮阎本€與相交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的工線交直線于點(diǎn)，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)，，，，…，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)；

②數(shù)列單調(diào)遞減；③；

④數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.17．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值為．18．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買(mǎi)房，若小王看中的高層住宅總共有n層（，），設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層（，）比第層的“環(huán)境滿意度”多出；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（，）比第層的“高層恐懼度”高出倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為，，記小王對(duì)第k層“購(gòu)買(mǎi)滿意度”為，且，則小王最想買(mǎi)第層住宅.（參考公式及數(shù)據(jù)：，，，）四、雙空題19．（2023下·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）結(jié)繩記事是人類最早跟數(shù)列打交道的一種樸素方式，人類所認(rèn)識(shí)并應(yīng)用于生活?生產(chǎn)的第一個(gè)數(shù)列便是自然數(shù)列.現(xiàn)有數(shù)列滿足：第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則；當(dāng)時(shí)，若存在，使得，則的最小值為.20．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給定集合，定義中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合A兩個(gè)元素的容量，用表示．①若，則；②定義函數(shù)其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)锳，若，則；21．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則；在數(shù)列中的任意與兩項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．22．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列.如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1，2：第二行得到數(shù)列：第三行得到數(shù)列，則第5行從左數(shù)起第8個(gè)數(shù)的值為；表示第行所有項(xiàng)的乘積，設(shè)，則.23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）正方形位于平面直角坐標(biāo)系上，其中，，，．考慮對(duì)這個(gè)正方形執(zhí)行下面三種變換：（1）：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（2）：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（3）：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．上述三種操作可以把正方形變換為自身，但是，，，四個(gè)點(diǎn)所在的位置會(huì)發(fā)生變化．例如，對(duì)原正方形作變換之后，頂點(diǎn)從移動(dòng)到，然后再作一次變換之后，移動(dòng)到．對(duì)原來(lái)的正方形按，，，的順序作次變換記為，其中，．如果經(jīng)過(guò)次變換之后，頂點(diǎn)的位置恢復(fù)為原來(lái)的樣子，那么我們稱這樣的變換是-恒等變換．例如，是一個(gè)3-恒等變換．則3-恒等變換共種；對(duì)于正整數(shù)，-恒等變換共種．五、解答題24．（2023上·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，若的前n項(xiàng)和為，證明：．25．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為1的等差數(shù)列．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的最大項(xiàng)為，求的值．26．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且與的等差中項(xiàng)為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.27．（2023上·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考期中）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且對(duì)一切都成立．(1)