第一章 空間向量與立體幾何（知識歸納+題型突破）（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何（知識歸納+題型突破）1.能夠理解空間向量的概念,運(yùn)算、背景和作用;2.能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力;3.能夠掌握空間向量基本定理,體會其作用,并能簡單應(yīng)用;4.能夠運(yùn)用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路.一、空間向量的有關(guān)概念1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．2、幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量二、空間向量的有關(guān)定理1、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．（1）共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：（2）拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中2、共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使（1）空間共面向量的表示如圖空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)（四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．（2）拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．3、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得三、空間向量的數(shù)量積1、空間兩個向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（2）范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，.2、空間向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運(yùn)算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).四、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)，，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：數(shù)量積共線（平行）垂直（均非零向量）模，即夾角五、直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點,則點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使得，即2、平面法向量的概念如圖，若直線，取直線的方向向量，我們稱為平面的法向量；過點且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．3、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為選向量：選取兩不共線向量列方程組：由列出方程組解方程組：解方程組賦非零值：取其中一個為非零值（常取)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.六、空間位置關(guān)系的向量表示設(shè)分別是直線的方向向量，分別是平面的法向量．線線平行，使得注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合線面平行注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內(nèi)；面面平行，使得注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．線線垂直線面垂直，使得面面垂直七、向量法求空間角1、異面直線所成角設(shè)異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：①②2、直線和平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則①；②.3、平面與平面所成角（二面角）（1）如圖①，，是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大?。?）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：①；②若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）八、向量法求距離（1）點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，點P到直線l的距離為.（2）兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點P，則兩條平行直線間的距離就等于到直線的距離.（3）求點面距①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離.即：點A到平面α的距離，其中Q∈α，是平面的一個法向量.（4）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進(jìn)行求解直線與平面之間的距離：=，其中，是平面的一個法向量.兩平行平面之間的距離：=，其中，是平面的一個法向量.題型一空間關(guān)系的證明【例1】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：平面．反思總結(jié)證明平行、垂直關(guān)系的方法可以運(yùn)用傳統(tǒng)方法也可以運(yùn)用空間向量。利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系的方法:(1)證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量即可。(2)證明線面平行的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;②證明平面內(nèi)存在一個向量與直線的方向向量是共線向量;③利用共面向量定理，即證明平面內(nèi)存在兩個不共線向量來線性表示直線的方向向量。(3)證明面面平行的方法:①證明兩個平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行的問題。(4)證明兩條直線垂直,只需證明兩直線的方向向量垂直。(5)證明線面垂直的方法:①證明直線的方向向量與平面的法向量平行;②轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。(6)證明面面垂直的方法:①證明兩個平面的法向量互相垂直;②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題。鞏固訓(xùn)練：1.如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面，，，E是PD的中點．證明：平面.2.如圖所示，正四棱的底面邊長1，側(cè)棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

3.如圖，在正方體中，，分別為，的中點.證明：

(1)平面平面；(2)平面.題型二利用空間向量求線面角【例2】如圖，已知正三棱柱中，點分別為棱的中點.

(1)若過三點的平面，交棱于點，求的值；(2)若三棱柱所有棱長均為2，求與平面所成角的正弦值.

反思總結(jié)鞏固訓(xùn)練1.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設(shè)的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.2.如圖四棱錐，點在圓上，，頂點在底面的射影為圓心，點在線段上.

(1)若，當(dāng)//平面時，求的值；(2)若與不平行，四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.3.如圖，在四棱柱中，平面，，，，，為的中點.

(1)求四棱錐的體積；(2)設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長度；題型三利用空間向量求二面角[例3]如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.反思總結(jié)利用向量法確定二面角平面角大小的常用方法.(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，結(jié)合實際圖形通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角等于二面角的平面角.確定二面角的平面角的大小,方法有:①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角;②依據(jù)“同進(jìn)同出互補(bǔ),一進(jìn)一出相等”求解;③在二面角的一個半平面內(nèi)取一點P,過點P做另一個半平面所在平面的垂線，若垂足在另一個半平面內(nèi),則所求二面角為銳二面角,若垂足在另一個半平面的反向延長面上，則所求二面角為鈍二面角.鞏固訓(xùn)練1．如圖，在三棱錐中，為的中點.

(1)證明：平面；(2)點在棱上，若平面與平面的夾角為，求的值.2．如圖，已知圓柱的上、下底面圓心分別為P，Q，是圓柱的軸截面，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓Q，AB＝a，．

(1)當(dāng)a為何值時，點Q在平面PBC內(nèi)的射影恰好是的重心；(2)在（1）條件下，求平面與平面所成二面角的余弦值．3.如圖①所示，在中，，，，D，E分別是線段，上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖②．

(1)若點N在線段上，且，求證：平面；(2)若M是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．題型四應(yīng)用空間向量求空間距離[例4]如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC的中點．

(1)求直線BD與平面APM所成角的正弦值；(2)求D到平面APM的距離．反思總結(jié)鞏固訓(xùn)練1.已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為.2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．3．如圖，在三棱錐中，，平面平面.

(1)求異面直線與間的距離；(2)若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值.4.如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．題型五平行或垂直的探索性問題[例5]如圖，在棱長為1的正方體中，點E為BC的中點．(1)在B1B上是否存在一點P，使平面？(2)在平面上是否存在一點N，使平面？反思總結(jié)涉及線段上的動點問題,先設(shè)出動點分線段的某個比值入,根據(jù)兩個向量共線的充要條件得數(shù)乘關(guān)系,從而用入表示動點的坐標(biāo),再進(jìn)行相關(guān)計算,這樣可以減少未知量,簡化過程。值得注意的是,應(yīng)給出入的取值范圍。另外,建系時最好用右手直角坐標(biāo)系且使幾何元素盡量分布在坐標(biāo)軸的正方向上。鞏固訓(xùn)練1.如圖，直三棱柱中，，D是的中點．(1)求異面直線與所成角的大?。?2)求二面角的余弦值；(3)在上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2.如圖，在中，，為邊上一動點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點（不包括端點），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.題型六空間向量中的最值問題[例6]如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點為的中點，點為的中點，動點在平面內(nèi)．(1)若為中點，求證：；(2)若平面，求線段長度的最小值．反思總結(jié)對于面積、點面距離或體積的最值,一般有兩個思考方向:一是從圖中直接觀察﹐先分清哪些量是定值,哪些量是變量,通過,點或線的變化情況尋找最值二是直接根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系﹐轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題來處理,如果是求空間角的三角函數(shù)的最值,可直接利用數(shù)量積及模的計算公式寫出三角函數(shù)的表達(dá)式﹐再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來處理。對于距離、體積或空間角的逆向存在性問題,其求解思路是先假設(shè)條件存在,把假設(shè)當(dāng)作新的已知條件進(jìn)行推理,通過構(gòu)造方程求解。若得到合理的數(shù)據(jù)﹐則假設(shè)成立﹔若出現(xiàn)矛盾,則假設(shè)不成立。對于翻折問題，關(guān)鍵是抓住翻折前后幾何量的變與不變進(jìn)行相關(guān)計算。鞏固訓(xùn)練