第十六章二次根式 考點分類練 2024-2025學年數(shù)學人教版八年級下冊

第十六章二次根式考點1二次根式的概念和性質1．(2021廣東)若|a－eq\r(3)|＋eq\r(9a2－12ab＋4b2)＝0，則ab＝()A．eq\r(3) B．eq\f(9,2) C．4eq\r(3) D．92．若eq\f(\r(4x),6－|x|)在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍為__________．3．若實數(shù)a，b滿足(2a＋b)2＋eq\f(|2a2－32|,\r(3－a))＝0，則a＝__________，b＝__________．4．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，則化簡eq\r(a2)－eq\r(b2)－eq\r(（a－b）2)的結果是__________.圖15．在解決數(shù)學問題的過程中，我們經常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答【知識遷移】中的問題．【提出問題】若代數(shù)式eq\r(（a－1）2)＋eq\r(（a－3）2)的值是2，求a的取值范圍．【解決問題】解：原式＝|a－1|＋|a－3|.當a＜1時，原式＝(1－a)＋(3－a)＝4－2a＝2，解得a＝1(舍去)；當1≤a≤3時，原式＝(a－1)＋(3－a)＝2，符合條件；當a＞3時，原式＝(a－1)＋(a－3)＝2a－4＝2，解得a＝3(舍去).綜上所述，a的取值范圍是1≤a≤3.【知識遷移】請根據上面的解題思路解答下列問題：(1)當2≤a≤5時，化簡eq\r(（a－2）2)＋eq\r(（a－5）2)＝________；(2)若等式eq\r(（3－a）2)＋eq\r(（a－7）2)＝4成立，則a的取值范圍是________；(3)若eq\r(（a＋1）2)＋eq\r(（a－5）2)＝8，求a的值．考點2二次根式的運算6．下列二次根式中，與eq\r(ab)(a>0，b>0)可以合并的是()A．eq\r(\f(b,a)) B．eq\r(\f(a2b2,4)) C．eq\r(a2b3) D．eq\r(\f(2,ab))7．對于實數(shù)a，b，設min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的較小數(shù)，例如：min{3，－5}＝－5.已知min{eq\r(40)，a}＝a，min{eq\r(40)，b}＝eq\r(40)，且a和b為兩個連續(xù)正整數(shù)，則2eq\r(14)×eq\r(\f(a,b))的值為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3) C．2eq\r(14) D．88．計算eq\r(－\f(1,2)a3b)·eq\r(\f(2b2,a))的結果是________．9．已知x＋eq\f(1,x)＝3，則eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))＝________．10．已知m為正整數(shù)，若eq\r(189m)是整數(shù)，則根據eq\r(189m)＝eq\r(3×3×3×7m)＝3eq\r(3×7m)可知m有最小值3×7＝21.若已知n為正整數(shù)，eq\r(\f(300,n))是大于1的整數(shù)，則n的最小值為________，最大值為________.11．如圖2所示的幻方中，各行、各列及各條對角線上的三個實數(shù)之積均相等，則圖中a，b，c三個實數(shù)的積為________．圖212．計算：(eq\r(3)＋eq\r(5)－eq\r(10))(eq\r(3)－eq\r(5)＋eq\r(10)).13．先化簡，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2ab－b2,a)))÷eq\f(a2－b2,a)，其中a＝eq\r(2)－1，b＝eq\r(2)＋1.14．已知x＝2－eq\r(3)，y＝2＋eq\r(3)，求下列代數(shù)式的值：(1)x2－xy＋y2; (2)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y).考點3二次根式的應用15．如圖3，正方形ABCD的面積為8，正方形ECFG的面積為32.(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的邊長；(2)求陰影部分的面積．圖316．座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中T表示周期(單位：s)，l表示擺長(單位：m)，即擺針的長度，g≈9.8m/s.若一臺座鐘的擺針擺長為0.49m.(1)求該座鐘擺針擺動的周期；(結果保留根號和π)(2)若該座鐘的擺針每擺動一個來回發(fā)出一次嘀嗒聲，在1min內，該座鐘大約發(fā)出多少次嘀嗒聲？(結果保留整數(shù)．參考數(shù)據：eq\r(5)≈2.24，π取3.)考點4與二次根式有關的閱讀理解17．定義：任意兩個數(shù)a，b，按規(guī)則c＝ab＋a＋b擴充得到一個新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”．(1)若a＝eq\r(2)，b＝1，求a，b的“如意數(shù)”c.(2)若a＝m－4，b＝－m，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”c≤0.(3)已知a＝eq\f(1,2－\r(3))，且a，b的“如意數(shù)”c＝5＋4eq\r(3)，求b的值．18．閱讀下述材料：我們在化簡二次根式時，經常用到分母有理化，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．例如eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(（\r(7)－\r(6)）（\r(7)＋\r(6)）,\r(7)＋\r(6))＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6)).分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小．例如：比較eq\r(7)－eq\r(6)和eq\r(6)－eq\r(5)的大?。龇ㄈ缦拢航猓篹q\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5)).∵eq\r(7)＋eq\r(6)＞eq\r(6)＋eq\r(5)，∴eq\r(7)－eq\r(6)＜eq\r(6)－eq\r(5).也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：求y＝eq\r(x＋2)－eq\r(x－2)的最大值．做法如下：解：根據題意，得x＋2≥0，x－2≥0.解得x≥2.y＝eq\r(x＋2)－eq\r(x－2)＝eq\f(4,\r(x＋2)＋\r(x－2))，當x＝2時，分母eq\r(x＋2)＋eq\r(x－2)有最小值為2，所以y的最大值是2.請根據上面的解題思路解答下列問題：(1)比較3eq\r(2)－4和2eq\r(3)－eq\r(10)的大??；(2)求y＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)－eq\r(x)的最大值和最小值．

第十六章二次根式1．B2.x≥0且x≠63.－484.－2b5．解：(1)3.(2)3≤a≤7.(3)原方程可化為|a＋1|＋|a－5|＝8.當a<－1時，原方程化為－(a＋1)＋(5－a)＝8，解得a＝－2，符合題意；當－1≤a≤5時，原方程化為(a＋1)＋(5－a)＝8，此方程無解，故－1≤a≤5不符合題意；當a>5時，原方程化為(a＋1)＋(a－5)＝8，解得a＝6，符合題意．綜上所述，a＝－2或a＝6.6．A7.B8.－abeq\r(－b)9.eq\r(5)10.37511.1812．解：原式＝[eq\r(3)＋(eq\r(5)－eq\r(10))][eq\r(3)－(eq\r(5)－eq\r(10))]＝(eq\r(3))2－(eq\r(5)－eq\r(10))2＝3－(5＋10－10eq\r(2))＝10eq\r(2)－12.13．解：原式＝eq\f(a2－2ab＋b2,a)×eq\f(a,（a＋b）（a－b）)＝eq\f(（a－b）2,a)×eq\f(a,（a＋b）（a－b）)＝eq\f(a－b,a＋b).當a＝eq\r(2)－1，b＝eq\r(2)＋1時，原式＝eq\f(\r(2)－1－\r(2)－1,\r(2)－1＋\r(2)＋1)＝eq\f(－2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)．14．解：∵x＝2－eq\r(3)，y＝2＋eq\r(3)，∴x－y＝2－eq\r(3)－2－eq\r(3)＝－2eq\r(3)，xy＝(2－eq\r(3))×(2＋eq\r(3))＝22－(eq\r(3))2＝4－3＝1.(1)原式＝(x－y)2＋xy＝(－2eq\r(3))2＋1＝12＋1＝13.(2)原式＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(（x－y）2＋2xy,xy)＝eq\f(（－2\r(3)）2＋2,1)＝12＋2＝14.15．解：(1)正方形ABCD的邊長為eq\r(8)＝2eq\r(2)，正方形ECFG的邊長為eq\r(32)＝4eq\r(2).(2)由(1)，得AB＝BC＝CD＝AD＝2eq\r(2)，CF＝GF＝EG＝CE＝4eq\r(2).∴BF＝BC＋CF＝6eq\r(2).∴S△BFG＝eq\f(1,2)GF·BF＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×6eq\r(2)＝24.又S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4，∴S陰影＝S正方形ABCD＋S正方形ECFG－S△BFG－S△ABD＝8＋32－24－4＝12.16．解：(1)將l＝0.49，g≈9.8代入T＝2πeq\r(\f(l,g))，得T≈2π×eq\r(\f(0.49,9.8))＝eq\f(\r(5)π,5)(s).答：該座鐘擺針擺動的周期約為eq\f(\r(5)π,5)s.(2)1min＝60s.60÷eq\f(\r(5)π,5)＝eq\f(60\r(5),π)≈eq\f(60×2.24,3)＝44.8≈45(次).答：在1min內，該座鐘大約發(fā)出45次嘀嗒聲．17．解：(1)當a＝eq\r(2)，b＝1時，c＝ab＋a＋b＝eq\r(2)×1＋eq\r(2)＋1＝2eq\r(2)＋1.(2)當a＝m－4，b＝－m時，c＝(m－4)×(－m)＋(m－4)＋(－m)＝－m2＋4m－4＝－(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴c≤0.(3)∵a＝eq\f(1,2－\r(3))＝eq\f(2＋\r(3),（2－\r(3)）（2＋\r(3)）)＝2＋eq\r(3)，a，b的“如意數(shù)”c＝5＋4eq\r(3)，∴(2＋eq\r(3))×b＋(2＋eq\r(3))＋b＝5＋4eq\r(3).解得b＝eq\r(3).18．解：(1)3eq\r(2)－4＝eq\f(（3\r(2)－4）（3\r(2)＋4）,3\r(2)＋4)＝eq\f(2,3\r(2)＋4)，2eq\r(3)－eq\r(10)＝eq\f(（2\r(3)－\r(10)）（2\r(3)＋\r(10)）,2\r(3)＋\r(10))＝eq\f(2,2\r(3)＋\r(10)).∵3eq\r(2)＞2eq\r(3)，4＞eq\r(10)，∴3eq\r(2)＋4＞2eq\r(3)＋eq\r(10).∴eq\f(2,3\r(2)＋4)<eq\f(2,2\r(3)＋\r(10)).∴3eq\r(2)－4＜2eq\r(3)－eq\r(10).(2)根據題意，得1－x≥0，1＋x≥0，x≥0.解得0≤x≤1.y＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)－eq\r(x)＝eq\r(1－x)＋eq