專題06 二次函數(shù)中的存在性問題專訓(xùn)（解析版）

專題06二次函數(shù)中的存在性問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題題型二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題題型三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題題型四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題題型五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題題型六二次函數(shù)中矩形的存在性問題題型七二次函數(shù)中菱形的存在性問題題型八二次函數(shù)中正方形的存在性問題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式：(2)證明：為直角三角形：(3)在拋物線上除點外，是否還存在另外一個點，使是直角三角形？若存在，請求出點的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，【分析】（1）將、、的坐標代入拋物線解析式，求解即可；（2）由（1）得到邊，，的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定為直角三角形；（3）根據(jù)拋物線的對稱性可得另一點的坐標．【詳解】（1）解：與軸交于、兩點，與軸交于點，，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：、、，，，，，，則，是直角三角形；（3）解：存在，當軸，即點與點是關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，而點坐標為，，把代入得：，，．點坐標為．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)），與軸正半軸交于點，其中點坐標為，且．(1)求二次函數(shù)表達式；(2)拋物線上是否存在一點，使得是以為直角邊的直角三角形，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的表達式為：(2)存在，點的坐標為：或【分析】（1）先求出點、、的坐標，再利用用待定系數(shù)法即可求解；（2）是以為直角邊的直角三角形，則存在為直角和為直角兩種情況，當為直角時，得到直線的表達式為：，即可求解；當為直角時，同理可解．【詳解】（1）解：由點的坐標知，，則，即點、、的坐標分別為：、、，則拋物線的表達式為：，把代入，則，∴，則拋物線的表達式為：；（2）解：存在，理由：是以為直角邊的直角三角形，則存在為直角和為直角兩種情況，當為直角時，如圖，

由點、的坐標知，和軸負半軸的夾角為，即，則，而點，∴設(shè)直線的表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：，故直線的表達式為：，聯(lián)立得：，解得：（不合題意的值已舍去），則點；當為直角時，同理可得，直線的表達式為：，聯(lián)立并解得：（不合題意的值已舍去），即點的坐標為：；綜上，點的坐標為：或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點．(1)求拋物線的表達式及頂點坐標；(2)將拋物線沿y軸方向向上平移k個單位（），平移后拋物線的頂點為點P，且點P在x軸下方，是否存在點P，使得以B，C，P為頂點的三角形為直角三角形?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，當以B，C，P為頂點的三角形為直角三角形時，k值為2或3【分析】（1）根據(jù)拋物線與y軸的交點求出c，得到拋物線的表達式，進而求出頂點坐標；（2）點P在直線上運動，分和兩種情況，分別求出點P的坐標即可求出k的值．【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，，拋物線的函數(shù)表達式為，拋物線的對稱軸為直線，令，解得，則拋物線的頂點坐標為．（2）解：存在．由（1）得，拋物線的函數(shù)表達式為，頂點D的坐標為，對稱軸為直線．拋物線沿y軸方向向上平移，點P在直線上運動．點P在x軸下方，，若要使為直角三角形，則分以下兩種情況討論：①當時，如圖①，

設(shè)直線與x軸交于點E，則，令，則，解得或，點A在點B的左側(cè)，，，，，，，，，，將拋物線沿y軸方向向上平移2個單位即可，；②當時，如圖②，

設(shè)，，，，，則，即，化簡得，解得（舍去），．將拋物線沿y軸方向向上平移3個單位即可，．綜上所述，當以B，C，P為頂點的三角形為直角三角形時，k值為2或3．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象中特殊三角形的存在性問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想，注意分情況討論．3．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線經(jīng)過B，C兩點，已知，，且．

(1)試求出點B的坐標．(2)分別求出直線和拋物線的解析式．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或或或【分析】（1）由，，可由勾股定理求，進而得點B坐標；（2）用待定系數(shù)法即可求解函數(shù)解析式；（3）設(shè)點P坐標為，分三類討論：①當時；②當時；③當時，分別建立勾股定理方程求解點P坐標即可．【詳解】（1）解：∵點，即．∵，在中，根據(jù)勾股定理得，即點B坐標為．（2）把分別代入中，得，解得．∴直線解析式為；把、、分別代入得，解得．∴拋物線的解析式是．（3）在拋物線的對稱軸上存在點P，使得以三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式是，∴拋物線對稱軸為直線．設(shè)點P坐標為．①當時，有．∵，，，∴，解得：，故點；②當時，有．∵，，，∴，解得：，故點；③當時，有．∵，，，∴．解得：，，∴，．綜上所述，使得為直角三角形的點P的坐標為或或或．【點睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系數(shù)法求解析式，分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大．第（3）問特別注意分類討論思想的運用．做到不重不漏．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在點P，使得為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)在x軸上存在點P，使得為等腰三角形，滿足條件的點P的坐標為或或或．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點B、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況進行討論：①時；②；③．【詳解】（1）解：對于直線，令，即，解得：，令，得，∴，，∵A為x軸負半軸上一點，且，∴．將點A、B的坐標分別代入中，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：存在．如圖2，由得拋物線的對稱軸為直線，∴，∵點P在x軸上，∴設(shè)．∵，∴由勾股定理，得：，，，分為三種情況討論：①當時，，即，解得，，此時點P的坐標為或；②當時，，即，解得，（不符合題意，舍去），此時點P的坐標為；③當時，，即，解得，此時點P的坐標為．綜上所述，在x軸上存在點P，使得為等腰三角形，滿足條件的點P的坐標為或或或．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的定義及兩點坐標距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線的頂點為D，其圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點，點B的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得以A，C，M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出以為腰時點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為(2)存在，符合條件的點M有3個，其坐標分別為或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)點M的坐標為，分兩種情況討論：①當時；②當時，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，∴代入得解得∴拋物線解析式為．（2）解：存在；由（1）得：拋物線解析式為，∴對稱軸，當時，解得或1，∴點A的坐標為，∵點C坐標為，設(shè)點M的坐標為，由勾股定理，得，，，∵為等腰三角形的腰，①當時，即．解得，∴，；②當時，即，解得，∴；綜上，符合條件的點M有3個，其坐標分別為或或；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式、三角形問題，掌握解題方法是關(guān)鍵．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸相交于點，，對稱軸是，與軸相交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為拋物線對稱軸上一動點，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點的坐標為(3)存在，點的橫坐標為或【分析】（1）由對稱軸以及，建立關(guān)于，的方程組并求解即可；（2）首先求出、兩點坐標，從而確定，因為要滿足是以為底邊的等腰三角形，則應(yīng)滿足，從而確定直線并平分，即為直線，求其與對稱軸的交點即可；（3）過點作軸，交于點，交軸于點，求出直線解析式之后，通過設(shè)點坐標，表示出，結(jié)合割補法表示出，并求出，即可建立方程求解．【詳解】（1）解：由對稱軸為直線，得，∵拋物線過點，，解得，拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：當時，，點的坐標為，由，得，，點的坐標為，，∵是以為底邊的等腰三角形時，有，直線，直線平分，∴直線解析式為，將代入得，點的坐標為；

（3）過點作軸，交于點，交軸于點，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，則，解得，，設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，，，，由，得，解得，，存在，點的橫坐標為或．

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，包括等腰三角形的存在性問題，三角形的面積問題等，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運用割補法求解平面直角坐標系中三角形的面積問題是解題關(guān)鍵．3．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，連接．點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作軸，垂足為點M，交于點Q，過點P作交x軸于點E，交于點F．(1)求拋物線的解析式：(2)試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)請用含m的代數(shù)式表示線段的長，并求出m為何值時有最大值．【答案】(1)(2)存在，，(3)；【分析】（1）將A，B坐標代入求得a、b的值即可解答；（2）先利用勾股定理計算出，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式為，則可設(shè)，分類討論：當、和三種情況，分別列方程求出m，即可得到對應(yīng)的Q點坐標；（3）過點F作于點G．則軸.再說明為等腰直角三角形，進而說明；然后證明可得，進而得到；再根據(jù)題意得到，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可【詳解】（1）解：將A，B坐標代入得：，解得∴此拋物線的解析式為：．（2）解：存在，理由如下：，設(shè)的解析式為，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，當時，，解得，（舍去），此時Q點坐標為；當時，，解得（舍去），此時Q點坐標為；當時，，解得（舍去）．綜上所述，滿足條件的Q點坐標為，．（3）解：過點F作于點G．則軸．∵，∴為等腰直角三角形，∴∴∵，∴，由軸知：．，∴∴，即∴∴，∴，∵軸，點的橫坐標為，∴，∴∴∵∴有最大值．∴當時，QF有最大值．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)、會待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，理解坐標與圖形性質(zhì)和分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例3】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線：的圖象與軸相交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點．(1)當時，判斷的形狀；(2)拋物線與拋物線關(guān)于原點中心對稱，拋物線與軸相交于點．在軸右側(cè)有一點，使得是等腰直角三角形，并且點在拋物線上，求此時拋物線的解析式．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由見解析(2)解析式為或或【分析】（1）根據(jù)題意求得拋物線與坐標軸的交點坐標，進而即可求解；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論得出點的坐標，然后待定系數(shù)法，即可求解．【詳解】（1）解：，拋物線：，令，解得：，即，則，令，即，解得：，∴，，∴，∴，又∴是等腰直角三角形

（2）解：由，可知，依題意∵是等腰直角三角形，①當為底邊時，點在軸上，∴∴∵在上，∴解得：∴

②當為直角邊時，則或，∴或分別代入即，或解得：或∴或，綜上所述，解析式為或或，【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸交點坐標，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點．直線過點且在第一象限與拋物線相交于點．(1)①求此拋物線的函數(shù)解析式；②當時，自變量的取值范圍__________；(2)設(shè)點的橫坐標為，作軸于．①當為等腰直角三角形時，點的縱坐標為________（用含的式子表示）；②在①題的條件下，求出點的坐標．【答案】(1)①；②(2)①或；②【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可解決問題；②結(jié)合圖像的位置即可得到自變量的取值范圍；（2）點的橫坐標為且在拋物線上，可得點的縱坐標，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得表示點縱坐標的另一個代數(shù)式；②根據(jù)在同一直角坐標系中，點的坐標的唯一性可得關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：①∵拋物線與軸交于，兩點，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為；②由①知：拋物線的函數(shù)解析式為，∵二次項系數(shù)，拋物線圖像開口向上，與軸交于點，，∴當圖像在軸下方，即時，自變量的取值范圍為．故答案為：．（2）①∵點在拋物線上，橫坐標為，∴點的縱坐標為：，∵軸，．直線過點且在第一象限與拋物線相交于點，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴點的縱坐標為：，綜上所述，點的縱坐標為或，故答案為：或；②根據(jù)題意，得：，解得：或（不合題意，舍去），當時，，∴．∴點的坐標是．【點睛】本題考查圖形與坐標，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，利用圖像確定自變量的取值范圍，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與坐標軸相交于A、B、C三點，其中A點坐標為，B點坐標為，連接．動點P從點A出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接，設(shè)運動時間為t秒．

(1)求拋物線的表達式；(2)在P、Q運動的過程中，當t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)在線段上方的拋物線上是否存在點M，使是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，最小值為4(3)存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；（2）先求出點，則，進一步得到是等腰直角三角形，則，如圖①，過點P作軸，垂足為E，則是等腰直角三角形,由題意可知，則，即，又得到，則=，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；（3）連接，過點P作軸于點E，過M作，交點于點F，則.先證明，則，則，又，得到點M的坐標為，由點M在上，則，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，則，解得，∴拋物線表達式為；（2）在中令，得，∴，∴

∵，∴，∴，∵∴是等腰直角三角形,，如圖①，過點P作軸，垂足為E，則是等腰直角三角形,由題意可知，∴，即，又，

∴，∴===∵當P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，∴，∵,∴當時，四邊形的面積取得最小值4；（3）存在，理由如下：如圖②，連接，過點P作軸于點E，過M作，交點于點F，則.

∵是等腰直角三角形，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，又，∴點M的坐標為，∵點M在拋物線上，∴，解得，（不合題意，舍去），∴，∴M點的坐標為【點睛】此題考查了二次函數(shù)和三角形綜合題，用到了待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，添加適當?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線的頂點坐標為，且與軸交于點、（點在點的右側(cè)），與y軸交于點，點為該拋物線的對稱軸上的點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標；(2)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達式為；(2)存在，的坐標為或【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，將點代入，利用待定系數(shù)法即可求解，令即可求得點的坐標；（2）記拋物線的對稱軸與軸的交點為，則，分兩種情況：①當點在軸上方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，證明，得，，設(shè)，則，代入可得的值，從而求得的坐標；②當點在軸下方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，同理可得的坐標．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，將點代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達式為，令得：，解得，，；（2）解：存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，理由如下：記拋物線的對稱軸與軸的交點為，則，①當點在軸上方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，如圖：

，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，將代入得：，解得（舍去）或；；②當點在軸下方時，如圖點、分別在點的位置，過點作于點，如圖：

，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，把代入得：，解得：（舍去）或，．綜上所述，E的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題】【例4】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線M交x軸于與兩點，交y軸于點，點在拋物線上運動．(1)求出拋物線的解析式；(2)是否存在點（在上方），使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，．【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式即可；（2）先過點A作垂直于，取，連接交拋物線與點，構(gòu)建等腰直角三角形，得出，點D作軸，利用全等三角形的性質(zhì)得出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，與拋物線聯(lián)立成方程組，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為，把，，代入得，，解得，，∴拋物線的解析式為；（2）存在點（在上方），使得；過點A作垂直于，取，連接交拋物線與點，過點D作軸，∵垂直于，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，∴，與拋物線聯(lián)立得：，解得：或，∴，故存在點，使得．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點等知識，解題的關(guān)鍵是能否正確構(gòu)建等腰直角三角形，得出，從而求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．點是拋物線上一動點，且在直線的下方，過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)連接，若，求點的坐標；(3)連接，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）運用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）如圖：過點C作于點F，則，進而得到，則；再由可得，設(shè)，則，可確定點P的坐標，最后將點P的坐標代入計算即可解答；（3）如圖：設(shè)P的坐標為，則，進而得到，,；再根據(jù)求出函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可解答．【詳解】（1）解：由拋物線與軸交于點，，與軸交于點則，解得：所以拋物線的函數(shù)解析式為．（2）解：如圖：過點C作于點F，則∴∴∴.∵∴.設(shè)，則.∴.∵點P在拋物線上，∴，解得或(舍去).∴點P的坐標為．（3）解：如圖：設(shè)P的坐標為，則∴，,∴=∴四邊形面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識點，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與探究拋物線與軸交于A，兩點（點A在點的左側(cè)），與軸交于點．已知點A的坐標為，點的坐標為，是線段上的一個動點，點從點出發(fā)沿方向向點A移動，運動速度為每秒2個單位長度，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，設(shè)點的運動時間為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標．(2)如圖1，當時，作直線，是直線上方拋物線上一點，連接，，是拋物線對稱軸上的一個動點．當?shù)拿娣e最大，且是等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，連接，，是否存在某一時刻，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)．點的坐標為(2)點的坐標為或或或或(3)存在，【分析】（1）把，代入解析式求解即可得到解析式，再令即可得到答案；（2）當時，求出D點坐標，求出直線解析式，過點作軸于點，交直線于點，過點作于點，設(shè)，表示出，根據(jù)面積最大得到點坐標，再結(jié)合是等腰三角形分類討論即可得到答案；（3）過點作，交的延長線于點，過點作軸于點，證明，得到K點坐標，結(jié)合列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：把，分別代入，得解得∴拋物線的函數(shù)表達式為，當時，．解得，，∴點的坐標為；（2）解：點的坐標為或或或或，當時，，∴．把代入，得，∴點的坐標為，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，把，分別代入，得解得，∴直線的函數(shù)表達式為，如解圖，過點作軸于點，交直線于點，過點作于點，設(shè)，則，∴，∴，∵，，∴當時，的面積最大．當時，，∴點的坐標為，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點的坐標為，∴，，①當時，，∴，解得，②當時，，∴，解得，③當時，，∴，解得，綜上所述，點的坐標為或或或或；（3）解：存在，如解圖，過點作，交的延長線于點，過點作軸于點，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴點的坐標為，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，把，分別代入，得解得，∴直線的函數(shù)表達式為，設(shè)點的坐標為，∵點在拋物線上，∴，解得，（舍去），∴點的橫坐標為，∴；【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合運用中的特殊三角形，特殊角及最大面積題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點的坐標根據(jù)特殊關(guān)系列式求解．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與軸交于點，且頂點的坐標為，對稱軸與直線交于點，與軸交于點，連接．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點在上方二次函數(shù)圖象上，且的面積等于6，求點的坐標；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在一點，使得？若存在，求出直線與軸的交點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）由題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，然后把點A的坐標代入求解即可；（2）由題意可得，則可得直線的解析式為，然后可得，進而問題可求解；（3）由題意可分①當在內(nèi)部且時，令直線與軸的交點為點，②當在外部，且時，令直線與軸的交點為點，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可進行求解．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把頂點代入，得，把點代入得：，∴，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵，∴，設(shè)直線的解析式為，把的坐標代入，得，解得，∴直線的解析式為，∵二次函數(shù)的對稱軸是直線，∴點的橫坐標為，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴點的橫坐標為，∴，∴；（3）解：存在，理由如下：∵點坐標為，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵拋物線的頂點，∴兩點關(guān)于直線對稱，∴點坐標為，①當在內(nèi)部且時，令直線與軸的交點為點，∵，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴點的坐標為，∴直線與軸的交點的坐標為；

②當在外部，且時，令直線與軸的交點為點，∵，，∴，即過點作的垂線與拋物線的交點為為則在中，，∴

解得，∴與軸的交點的坐標為，綜上所述，直線與軸的交點的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（在的左側(cè)），與軸交于點．

(1)求點、、的坐標；(2)點在坐標平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是以為邊且面積為12的平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)存在，或【分析】(1)令，求出y，再令，求出x，即可求出點的坐標；(2)由面積為12可求出P點的橫坐標的絕值，然后分類討論P點橫坐標的取值即可得到答案．【詳解】（1）在中，令，則，．令．則，解得，．，．（2），，由題意知，即，．當時，，；當時，，．故在拋物線上存在點P，使得以為頂點的四邊形是以為邊且面積為12的平行四邊形，點P的坐標為或．

【點睛】本題是二次函數(shù)在綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，平行四邊形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為．連接，，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點，使得以，，，四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)存在滿足條件的點的坐標有，，．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求得拋物線的解析式；（2）分類討論：當為對角線，當為對角線，當為對角線，三種情況根據(jù)平行四邊形對角線中點坐標相同進行求解即可.【詳解】（1）解：∵與軸交于，兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，設(shè)，①如圖1，當為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標相同可得：，∴，在中，當時，，∴；

②如圖2，當為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標相同可得：，∴，在中，當時，，∴；

③如圖3，當為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標相同可得：，∴，在中，當時，，∴；綜上所述，存在滿足條件的點的坐標有，，．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形對角線中點坐標相同求點的坐標是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·高新一中校考三模）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，頂點為．(1)求該二次函數(shù)的解析式和頂點的坐標(2)設(shè)圖像的對稱軸為，點是圖像上一動點，當?shù)拿娣e為時，點關(guān)于的對稱點為，能否在圖像和上分別找到點，，使得以點、、、為頂點的是四邊形為平行四邊形?若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．【答案】(1)頂點的坐標為(2)能．存在滿足條件的點，其坐標為或或【分析】（1）運用待定系數(shù)法計算即可．（2）根據(jù)對稱性，平行四邊形的判定和性質(zhì)，分類計算即可．【詳解】（1）將、代入，得：，解得，該二次函數(shù)的解析式為．，頂點的坐標為．（2）能．理由如下：如圖，過點作軸的垂線交于點，設(shè)直線的解析式為，將、代入，得：，解得，直線的解析式為，．，．點在圖像上，．的面積為，，即，解得．．，圖像的對稱軸為．點關(guān)于的對稱點為，，，若以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，有兩種情況：當為邊時，則有且．點的橫坐標為或，點的縱坐標為，點的坐標為或；當為對角線時，則可知點為拋物線的頂點，即；綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定解析式，平行四邊形的判定，拋物線的對稱性，三角形面積的計算，熟練掌握待定系數(shù)法確定解析式，平行四邊形的判定，拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵．3．（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，過點的直線交拋物線于點．

(1)求拋物線的解析式．(2)點是線段上一個動點，過點作軸的垂線交拋物線于點，求線段最大時點的坐標．(3)點是拋物線上的動點，在軸的正半軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）將點A和點B的坐標代入即可求出結(jié)論；（2）先利用拋物線解析式求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點P的坐標為，點E的坐標為且，從而求出與x的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；（3）設(shè)點D的坐標為，點F的坐標為，根據(jù)平行四邊形的對角線分類討論，然后根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分和中點公式列出方程，即可分別求解．【詳解】（1）將，兩點坐標分別代入拋物線解析式中，得，，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）將點代入拋物線解析式中，得，，∴點C的坐標為，設(shè)直線的解析式為，將和點的坐標分別代入，得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)點P的坐標為，點E的坐標為且，∴，，，∵，∴拋物線的開口向下，∴當時，PE有最大值，最大值為，此時點P的坐標為；（3）存在，設(shè)點D的坐標為，點F的坐標為，若和為平行四邊形的對角線時，∴的中點即為的中點，∴，解②，得，，將代入①，解得：；將代入①，解得：；∴此時點D的坐標為或；若和為平行四邊形的對角線時，∴的中點即為的中點，∴，解②，得，（此時點F和點C重合，故舍去），將代入①，解得：；∴此時點D的坐標為；若和為平行四邊形的對角線時，∴的中點即為的中點，∴，解②，得，（此時點F和點C重合，故舍去），將代入①，解得：，∵點在軸的正半軸上，故舍去；綜上：存在，此時點D的坐標為或或．

【點睛】此題考查的是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合大題，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)求最值和平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)中矩形的存在性問題】【例6】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段長為，曲線是拋物線的一部分，頂點C在的垂直平分線上，且到的距離為．以中點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系．

(1)求圖2中拋物線的表達式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)要從此材料中裁出一個矩形，使得矩形有兩個頂點在上，另外兩個頂點在拋物線上，求滿足條件的矩形周長的最大值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）先求出拋物線頂點C的坐標為，A的坐標為，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先證明關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則E、F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，設(shè)點F的坐標為，則，求出，根據(jù)矩形周長公式列出矩形周長與m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題意得拋物線頂點C的坐標為，A的坐標為，設(shè)拋物線解析式為，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，∵E、F都在x軸上，∴軸，∴關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∴E、F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，設(shè)點F的坐標為，則，∴，，∴，∴矩形的周長，∵，∴當時，矩形的周長有最大值10．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確理解題意并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標軸相交于，兩點，點D為直線下方拋物線上一動點，過點D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點E．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求的最大值；(3)過點B的直線交y軸于點C，交直線于點F，H是y軸上一點，當四邊形是矩形時，求點H的坐標．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解拋物線的函數(shù)表達式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)點D的坐標是，則點E的坐標是，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到的最大值；（3）先求出，得到，根據(jù)四邊形是矩形，得到，，則，由軸得到，，則，，同理可得，，則，得到，得到點H的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與坐標軸相交于，兩點，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點D的坐標是，則點E的坐標是，∴，∴當時，的最大值是2；（3）解：過點B的直線交y軸于點C，當時，，∴點C的坐標為，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵過點D作x軸的垂線，垂足為G，∴軸，∴，，∴，∴，∵，，

∴∴∴，∴,∴，∴點H的坐標是．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，在平面直角坐標系中，直線交坐標軸于B、C兩點，拋物線經(jīng)過B、C兩點，且交x軸于另一點．點D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點，過點D作，交于點P，交x軸于點Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點P的橫坐標為m，在點D的移動過程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點E，在平面直角坐標系內(nèi)取點F，問是否存在以C、B、E、F為頂點且以為邊的矩形？如果存在，請求出點F的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，此時點的坐標為或【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）先根據(jù)求出，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而可得點的縱坐標與點的縱坐標相同，即為3，由此即可得；（3）設(shè)點的坐標為，分兩種情況：①四邊形是矩形，②四邊形是矩形，先聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求出點的坐標，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：一次函數(shù)，當時，，即，當時，，解得，即，把，代入得，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：，，，，，，，點的縱坐標與點的縱坐標相同，即為3，當時，，解得或（舍去），則．（3）解：存在，求解如下：設(shè)點的坐標為，①當四邊形是矩形時，則，∵直線的解析式為，∴設(shè)直線的解析式為，把點代入得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（即為點，舍去），，四邊形是矩形，且，，，，解得，則此時點的坐標為；②當四邊形是矩形時，則，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（即為點，舍去），，四邊形是矩形，且，，，，解得，則此時點的坐標為，綜上，存在以、、、為頂點且以為邊的矩形，此時點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，．

(1)求拋物線解析式，并直接寫出直線的解析式；(2)點在此拋物線的對稱軸上，當最大時，點的坐標為______；(3)若點是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點作軸于點，交于點，過點作交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；(4)點在拋物線上，在平面內(nèi)是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)最大值為，點的坐標為(4)存在，，【分析】（1）求得，再將兩點代入拋物線解析式，再求出點的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線的解析式，即可解答；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得當在的延長線上時，最大，即可解答；（3）設(shè)點，根據(jù)直線的解析式為，可得，故等腰直角三角形，即最大時，周長最大，即可解答；（4）根據(jù)題意勾股定理求得點的坐標，根據(jù)中點公式求得點的坐標．【詳解】（1）、，點的坐標為，將，代入拋物線解析式，可得，解得拋物線的表達式為；，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式可得，解得直線的解析式為：（2）解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，可得，即當在的延長線上時，最大，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式得，解得，直線的解析式為，根據(jù)可得拋物線的對稱軸為，把代入，得，．（3）解：設(shè)點，，（）直線的解析式為，，，軸，，為等腰直角三角形，的周長，當取最大值時，的周長最大，根據(jù)，當，最大，最大值為，的周長的最大值為，此時點的坐標為．（4）解：設(shè)，①當時，，根據(jù)勾股定理可得，,，可得方程：，解得，（舍），，②當時，，可得方程：，解得，（舍），設(shè)，當時，根據(jù)中點公式可得可得：，解得，，同理可得，綜上所述，存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是以為邊的矩形，，．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)與四邊形的綜合應(yīng)用，勾股定理，中點公式，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)中菱形的存在性問題】【例7】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，已知經(jīng)過，兩點的拋物線與軸交于點．(1)求此拋物線的解析式及點的坐標；(2)若線段上有一動點不與、重合，過點作軸交拋物線于點．①求當線段的長度最大時點M的坐標；②是否存在一點，使得四邊形為菱形？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)①；②不存在，理由見解析【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①先待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)M的坐標為，則，進而得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出線段的長度最大時，求得點的值，即可點M的坐標；②當根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求得，進而計算，得出進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將，代入，得，解得：，∴拋物線解析式為：，當時，，即；（2）解：①設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)M的坐標為，則，∴，∵，∴當時，取得最大值，∴；②∵四邊形是菱形，則，∴，∴，此時，，∴，∴不存在點使得四邊形為菱形．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，線段最值問題，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線L：與x軸交于，兩點，其對稱軸直線l與x軸交于點D．(1)求拋物線L的函數(shù)表達式．(2)將拋物線L向左平移得到拋物線，當拋物線經(jīng)過原點時，與原拋物線的對稱軸相交于點E，點F為拋物線對稱軸上的一點，點M是平面內(nèi)一點，若以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請求出滿足條件的點M的坐標．【答案】(1)(2)點M的坐標為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到拋物線的解析式為，求出點E的坐標，設(shè)，分兩種情況：當時，則；當時，則，利用兩點間的距離公式列方程求解．【詳解】（1）解：將，代入，得，解得，∴拋物線L的函數(shù)表達式是（2）∵拋物線L向左平移得到拋物線，，∴拋物線L向左平移3個單位得到拋物線，∴拋物線過點，設(shè)拋物線的解析式為，∴，解得，∴，∵拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點E，原拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∵點F為拋物線對稱軸上的一點，對稱軸為直線，∴設(shè)，∵以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是以為邊的菱形，∴當時，則，∴，解得，∴F的坐標為或，∵以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是以為邊的菱形，∴，∴點M的坐標為或；當時，則，∴，解得，∴F的坐標為或，∵以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是以為邊的菱形，∴，∴點M的坐標為或，綜上，點M的坐標為或或或．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)平移的規(guī)律，坐標系中兩點間的距離，正確掌握二次函數(shù)與圖形問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點和點．與軸交于點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，當點到，距離相等時，求點的坐標；(3)如圖2，點在拋物線上，點在直線上，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）由題意知點在的角平分線上，設(shè)與軸交于點，過作交于點，求出點坐標，直線與拋物線的交點即為所求；（3）設(shè)，由菱形的性質(zhì)可知點與點關(guān)于直線對稱，求出，再將點代入函數(shù)的解析式求出的值即可．【詳解】（1）解：將，代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：令，則，解得或，且點在正半軸上，∴，∴，在中，，如圖所示，設(shè)與軸交于點，過作于點，∵點到距離相等，∴點在的角平分線上，則，∴，則，在中，，即，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得或，∴．（3）解：存在點，使四邊形為菱形，理由如下，∵，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，如圖所示，過點交于點，假設(shè)四邊形為菱形，設(shè)，∴，點與點關(guān)于直線對稱，即點關(guān)于直線對稱的點是，根據(jù)點關(guān)于直線對稱點的坐標公式可知，∴點的橫坐標為，縱坐標為，∴，∴，解得或，∴（舍）或，∴點坐標為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點與直線對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶南川·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當動點Р運動到什么位置時，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標；(3)如圖2，點M在拋物線對稱軸上，點N是平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M、N，使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有M點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，四邊形ABCP的最大值是，此時點P的坐標為(3)存在，、、、【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，直接利用待定系數(shù)法，即可求得這個二次函數(shù)的表達式；（2）設(shè)點P的坐標為，即可由求得答案；（3）分別從當，，AC為對角線，結(jié)合菱形的性質(zhì)去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，∴，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達式為：；（2）設(shè)點P的坐標為∵∴當時，四邊形ABCP的最大值是，此時點P的坐標為（3）∵∴拋物線的對稱軸為直線，當時，，∴設(shè)點M的坐標為，則：，，，設(shè)的中點為Q，則點Q的坐標為即，∴，當時，則∴解得，∴、；當時，則，∴解得，∴、；舍去，此時M、A、C三點共線，無法構(gòu)成菱形當AC為對角線時則有：∴解得，∴∴存在這樣的點M、N能夠使得以點M、N、A、C為頂點的四邊形是菱形，此時點M的坐標為：、、、【點睛】此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、二次函數(shù)的最值問題以及菱形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)中正方形的存在性問題】【例8】（2023·陜西西安·校考三模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C．點B坐標為，點C坐標為，點D是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點M是拋物線上的動點，過點M作軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得以線段為對角線的四邊形為正方形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，或【分析】（1）由、的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，再求其頂點即可；（2）由于、兩點關(guān)于對稱軸對稱，可知點為對稱軸與軸的交點，點在對稱軸上，可設(shè)出點的坐標，則可表示出的坐標，代入拋物線解析式可求得點的坐標．【詳解】（1）解：把、兩點坐標代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為，，；（2）存在，如圖，點、關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形為正方形，點為拋物線對稱軸與軸的交點，點在拋物線的對稱軸上，設(shè)，則坐標為，點在拋物線的圖象上，，解得或，或．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，確定出、的位置是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于一個函數(shù)，自變量x取a時，函數(shù)值y也等于a，則稱a是這個函數(shù)的不動點．已知拋物線．(1)若拋物線經(jīng)過點，求該拋物線的頂點坐標；(2)如圖，在（1）的條件下，在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于B，C兩點（點C在對稱軸的右側(cè)），過點B，C作x軸的垂線，垂足分別為E，D．當矩形為正方形時，求B點的坐標．(3)若拋