《淺析高等數(shù)學(xué)中某些定理的證明9700字（論文）》

淺析高等數(shù)學(xué)中某些定理的證明目錄摘要 1引言 3第1章羅爾定理 41.1羅爾定理概述 41.2羅爾定理證明 41.3羅爾定理幾種特殊情況 5第2章拉格朗日中值定理 72.1拉格朗日中值定理的概述 72.2拉格朗日中值定理的幾種證明方法 72.2.1最簡單的證明的方法 72.2.2利用作差法證明拉格朗日中值定理 72.2.3利用對稱法證明拉格朗日中值定理 82.2.4利用坐標(biāo)變換法證明拉格朗日中值定理 92.2.5利用迭加法證明拉格朗日中值定理 102.2.6利用行列式法證明拉格朗日中值定理 112.2.7利用閉區(qū)間套定理證明拉格朗日中值定理 13第3章柯西中值定理 163.1柯西中值定理概述 163.2柯西中值定理的幾種證明方式 163.2.1利用羅爾定理證明柯西中值定理 163.2.2利用反函數(shù)證明柯西中值定理 173.2.3利用坐標(biāo)變換證明柯西中值定理 193.2.4利用迭加法證明柯西中值定理 213.2.5利用待定系數(shù)法證明柯西中值定理 223.2.6利用行列式法證明柯西中值定理 223.2.7利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理 233.3對其他證明方式的思考 25第4章總結(jié) 28參考文獻(xiàn) 30摘要本文主要對三種微分中值定理的概念、推廣以及證明方法等方向的內(nèi)容進(jìn)行了具體的討論．最主要的就是用多種方法例如迭代法、坐標(biāo)變換法等方法來構(gòu)造函數(shù)利用羅爾定理或利用閉區(qū)間套定理直接證明另外兩種微分中值定理．最后進(jìn)一步擴(kuò)展用達(dá)布定理證明柯西中值定理．關(guān)鍵詞：微分中值定理；構(gòu)造輔助函數(shù)；閉區(qū)間套定理；達(dá)布定理引言在高等數(shù)學(xué)課本中有許多至關(guān)重要的定理，需要證明以及進(jìn)一步的探究．故本課題針對高等生數(shù)學(xué)中重點(diǎn)定理之一的微分中值定理展開一系列的探究與思考．本課題主要描述的是微分中值定理的證明方式以及三種微分中值定理之間的聯(lián)系．其中重點(diǎn)講述了除羅爾定理外其他兩種微分中值定理的多種證明方法．微分中值定理的重要性不僅僅表現(xiàn)在微積分等方面，它還是各類大型考試中的“?？汀保欠浅Ｖ匾目键c(diǎn)．從公元前古希臘時(shí)代開始，在諸多著名數(shù)學(xué)家們的研究探索下，微分中值定理逐漸變得更加完善、嚴(yán)謹(jǐn)、實(shí)用性越來越高，研究價(jià)值越來越大．近幾年來，在數(shù)學(xué)家楊艷萍和明清河主編的《數(shù)學(xué)分析中的重要定理》一書中對微分中值定理的發(fā)展和應(yīng)用作了詳細(xì)的介紹[1]．同樣在數(shù)學(xué)家盧玉峰的《微分中值定理歷史與發(fā)展》一文中，對微分中值定理的數(shù)學(xué)史作了相當(dāng)詳細(xì)的說明[2]．除這些之外還有其它許多相關(guān)作品．整個(gè)微分學(xué)的理論奠基石就是微分中值定理，它建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系．微分中值定理是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重要理論．因此值得被反復(fù)研究、被推廣，作為一種基礎(chǔ)性定理，它的相關(guān)知識應(yīng)該被大眾所熟知．本篇畢業(yè)論文中講述的定理是我在高等數(shù)學(xué)課本中精心挑選出的，是我認(rèn)為值得被總結(jié)、被思考的一類定理．我希望本篇文章能夠在增加讀者對三種微分中值定理認(rèn)知的基礎(chǔ)上，給大家?guī)硭枷敕矫娴臎_擊，有更多新奇的想法出現(xiàn)．

第1章羅爾定理羅爾定理是微分學(xué)中一條比重較大的定理，而且是相對于其余兩種微分中值定理而言局限性最強(qiáng)的一條，限制條件也最為嚴(yán)格．同時(shí)羅爾定理也是證明另外兩種微分中值定理的基礎(chǔ)．1.1羅爾定理概述羅爾(Rolle)定理[3]假設(shè)上的函數(shù)滿足以下條件：(1)在區(qū)間上連續(xù)；(2)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)，則至少存在一個(gè)，使得．其幾何意義為：二維直角坐標(biāo)系中，有一段光滑曲線滿足兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．那么在這段曲線上至少存在一點(diǎn)，并有在此點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸軸平行[3]．1.2羅爾定理證明因?yàn)榱_爾定理比較基礎(chǔ)，從其圖像上亦可直接觀察出來．在此就不做過多的證明了，接下來用最為普遍的用來證明羅爾定理的證明方法，如下：證明由于在閉區(qū)間上連續(xù)，則可令，且顯然存在．若，則(為任意常數(shù))，內(nèi)任意一點(diǎn)都可視作．若，則根據(jù)兩端點(diǎn)值相等，與中至少有一個(gè)(不妨設(shè)為)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)取到，即，下面證明[4]．因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，故而存在，且有其左、右極限都存在且相等，即，根據(jù)是在區(qū)間內(nèi)的最大值，可得無論或，都有，因而當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所以，．羅爾定理得以證明[5]．1.3羅爾定理幾種特殊情況(1)若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo)：有界函數(shù)：有，則在內(nèi)至少存在一個(gè)，使得．無界函數(shù)：有(或)，則在內(nèi)至少存在一個(gè)，使得．(2)若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo)：有界函數(shù)：有，則至少存在一個(gè)，使得．無界函數(shù)：有(或)，則至少存在一個(gè)，使得[6]．(3)若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo)：有界函數(shù)：有，則至少存在一個(gè)，使得．無界函數(shù)：有(或)，則至少存在一個(gè)，使得[7]．以下僅選擇無界區(qū)間有界函數(shù)這種情況加以證明，其余情況的證明思路大致類似．定理[8]若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo)，并有，則至少存在一個(gè)，使得．證明至少可取到一點(diǎn)，使，否則恒等于，對于任意的實(shí)數(shù)，都有．不妨設(shè)，取，顯然．根據(jù)極限定義，由可得：存在，當(dāng)時(shí)，有，，，任取，則有，．利用，類似地可知存在，使．于是，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上必有的最小值點(diǎn)，由于閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)都不可能是的最小值點(diǎn)，由此可知，依據(jù)費(fèi)馬定理可知[8]．

第2章拉格朗日中值定理上文敘述了羅爾定理的一些內(nèi)容,接下來將要對拉格朗日中值定理的幾個(gè)方面進(jìn)行闡述,拉格朗日中值定理在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有廣泛運(yùn)用，例如：數(shù)學(xué)分析微積分中熟知的拉格朗日中值定理；數(shù)論中的四平方和定理；在群論中也有相關(guān)內(nèi)容．本文中主要講述的是其在微積分領(lǐng)域的內(nèi)容和證明方法．2.1拉格朗日中值定理的概述拉格朗日(Lagrange)中值定理[9]假設(shè)函數(shù)滿足：在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使下面等式成立：．其幾何意義為：二維直角坐標(biāo)系中的一段光滑曲線，在這段曲線上，至少存在一點(diǎn)，使得在此點(diǎn)處的切線與兩端點(diǎn)的連線平行[3]．與1.1中羅爾定理的幾何意義作對比，不難發(fā)現(xiàn)兩者之間只是缺少了定義區(qū)間的兩端點(diǎn)相等這一條件．從這一角度看，我們能夠以羅爾定理為基礎(chǔ)證出拉格朗日中值定理[10]．2.2拉格朗日中值定理的幾種證明方法2.2.1最簡單的證明的方法作輔助函數(shù)：(1)，明顯可得，函數(shù)滿足羅爾定理的條件，對函數(shù)求導(dǎo)即可證出拉格朗日定理．這種方法是最簡單、基礎(chǔ)的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，也是各個(gè)教材中最常用的證明方法[11]．2.2.2利用作差法證明拉格朗日中值定理通過對2.2.1中(1)式的構(gòu)造的思考，我發(fā)現(xiàn)可以通過作函數(shù)差的方式來引導(dǎo)出輔助函數(shù)，例如：(2)，明顯可得，函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件，即可得在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，對在點(diǎn)求導(dǎo)可得：，即．除上文證明中的(1)式與(2)式外，下面給出幾個(gè)較為典型的例子：(3)(4)等等．顯然，以上函數(shù)都是滿足證明條件的輔助函數(shù)，且證明方法與(1)式類似，在此就不一一證明了．事實(shí)上，通過觀察思考，不難發(fā)現(xiàn)之前的構(gòu)造方法都是利用與一次函數(shù)的差來構(gòu)造函數(shù)的，同時(shí)，構(gòu)造這些函數(shù)的證明過程都比較簡單，因?yàn)檫@些函數(shù)都滿足羅爾定理的條件，所以直接對它們在點(diǎn)處求導(dǎo)即可得出結(jié)論．同時(shí)亦不難發(fā)現(xiàn)這樣的輔助函數(shù)取之不盡、用之不竭，因?yàn)榕c函數(shù)平行的直線有無數(shù)條，即(其中為任意常數(shù))[10]．2.2.3利用對稱法證明拉格朗日中值定理在作差法的基礎(chǔ)上換一個(gè)角度來思考，上述構(gòu)造法中的諸多函數(shù)與之對應(yīng)的關(guān)于軸的對稱函數(shù)也可以作為證明拉氏定理輔助函數(shù)來用以證明，顯然，這類函數(shù)也是取之不盡的．從幾何意義上來看，與作差法的思路正好相反，一個(gè)是拿曲線減去直線，另一個(gè)是拿直線去減曲線，亦可證得拉氏定理成立．以下給出與上文中所有公式對稱的輔助函數(shù)如下：(1)(2)(3)(4)等等．顯然，以上函數(shù)都可作為證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)，且證明方法類似，在此不做贅述[10]．2.2.4利用坐標(biāo)變換法證明拉格朗日中值定理接下來本篇論文將要敘述坐標(biāo)變換法，與前面介紹三種有異曲同工之妙．雖然都是構(gòu)造輔助函數(shù)從羅爾定理入手．但是，在構(gòu)造過程上方面給了我們新的思路．對稱法與坐標(biāo)變換法的區(qū)別在于一個(gè)對上述作差法中構(gòu)造的函數(shù)作關(guān)于軸的對稱的變換，而另一個(gè)是對其作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得變換．當(dāng)然角度是有一定要求的．證明作如下變換：，將，用、和表出得，因?yàn)闃?gòu)造的函數(shù)在定義域內(nèi)滿足羅爾定理，故首先要求在定義區(qū)間內(nèi)兩端點(diǎn)值相等，即，可以得到：，整理可得，此時(shí)，就要考慮角度的取值問題了，所取角度滿足上式就行．因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)具有連續(xù)性和可導(dǎo)性，所以可推知函數(shù)在其定義域內(nèi)也具有相同的性質(zhì)[10]．綜上，根據(jù)羅爾定理，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：，即．到此，坐標(biāo)變換法的證明過程已經(jīng)結(jié)束了．不難看出，前四種方法在幾何意義上有以下聯(lián)系：如果說作差法是在2.2.1的方法上從二維圖形平移的角度來分析的；對稱法是在作差法的基礎(chǔ)上從二維圖形翻折的角度來思考的，那么坐標(biāo)變換法就是從二維圖形旋轉(zhuǎn)角度來探究的[12]．2.2.5利用迭加法證明拉格朗日中值定理這種方法在一定情況下與作差法毫無區(qū)別，迭加法是讓函數(shù)迭加上一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)的一次函數(shù)，其中和都為待定系數(shù)．構(gòu)造好輔助函數(shù)后使其滿足羅爾定理?xiàng)l件，通過使在輔助函數(shù)的構(gòu)造上，可以解出值，而可在實(shí)數(shù)域任意取值．在輔助函數(shù)的構(gòu)造上，有以下例子最為常見：．無論哪種情況，令，都解得，并且為任意實(shí)數(shù)，這樣得到了函數(shù)的表達(dá)式：．不難發(fā)現(xiàn)，對于以上兩種情況中的值都是確定的，為任意實(shí)數(shù)，但是對于這種情況，其實(shí)就是作差法中最普遍的構(gòu)造方法．至于具體的證明過程，在這里就不多說了，都與前三種證明方式?jīng)]有什么區(qū)別[10]．2.2.6利用行列式法證明拉格朗日中值定理與前五種方法都不同，行列式法中所用到的構(gòu)造方法，是通過行列式來實(shí)現(xiàn)的．將行列式展開后，它不僅要包含函數(shù)，還需要使構(gòu)造出的函數(shù)，滿足羅爾定理的條件，其中最為關(guān)鍵的是要做到．通過這一系列的要求，可以構(gòu)造出以下函數(shù)：，其展開式為：．不難求出函數(shù)在，時(shí)其值恰好均為，即可得：，經(jīng)過簡單的變形：．拉格朗日中值定理從而得以證明．通過上述方法，可以讓大家感受到數(shù)學(xué)知識之間息息相關(guān)，相互貫通．接下來將要講述行列式方法的另一種構(gòu)造思路，它主要用到了數(shù)形結(jié)合的思想，再結(jié)合行列式的方法對輔助函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，下面先介紹一下所涉及到的相關(guān)知識：引理[11]在二維直角坐標(biāo)系中，若三個(gè)頂點(diǎn)為，，，且這三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則面積為．接下來將利用這一引理來構(gòu)造函數(shù)并使之滿足羅爾定理的條件．這種方法以為點(diǎn)，點(diǎn)為曲線函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)，令點(diǎn)為曲線函數(shù)與線段的交點(diǎn)，并且為從點(diǎn)開始的與曲線相交的第一個(gè)點(diǎn)，從而可以構(gòu)造出符合以上要求的函數(shù)如下：，在此不再過多敘述具體的證明過程，這種證明方法與行列式法有細(xì)微的差別，它沒有行列式法中的構(gòu)造那么直接，若只以滿足羅爾定理的條件為起點(diǎn)，那么完全可以拋卻其它許多的限制條件，可以構(gòu)造：，這就回到了2.2.6開始時(shí)的構(gòu)造方式．綜合這兩種方法再根據(jù)上式，輕而易舉就可啟發(fā)我們做進(jìn)一步的推廣，即可以構(gòu)造：，用以證明柯西中值定理，具體的證明方式將在下文闡述[13]．2.2.7利用閉區(qū)間套定理證明拉格朗日中值定理這種方法所介紹的是一種不同尋常的思路，它不尋常在其不需要考慮怎樣構(gòu)造輔助函數(shù)，僅僅只是一些利用閉區(qū)間套定理作一些理論的分析，就可以得到我們想要的結(jié)果．首先給出閉區(qū)間套相關(guān)的定義、定理、引理，如下：定義[9]如果一列閉區(qū)間滿足條件(1)，；(2)，則稱這列區(qū)間形成一個(gè)閉區(qū)間套．閉區(qū)間套定理[14]如果形成一個(gè)區(qū)間套，則存在唯一的實(shí)數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且有．引理1[15]設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且在處處可導(dǎo)，又為一閉區(qū)間套，且，則．引理2[15]設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則存在且時(shí)，使得．在我們對這些定義、定理、引理有一定認(rèn)知的基礎(chǔ)上，開始進(jìn)行對拉格朗日中值定理的證明．我們將區(qū)間進(jìn)行二等分，并設(shè)等分點(diǎn)為，令點(diǎn)為，同時(shí)作直線平行于函數(shù)兩端點(diǎn)的連線．這樣將會出現(xiàn)以下兩種情況：(1)當(dāng)直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線必在函數(shù)的一側(cè)．由于函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)切線定義，易知點(diǎn)處的切線就是直線，綜上可以得到．這樣就證出了拉格朗日中值定理．(2)當(dāng)直線與函數(shù)有兩個(gè)及以上交點(diǎn)時(shí)，不如設(shè)除交點(diǎn)外其它交點(diǎn)中的一個(gè)為，接著選取以點(diǎn)，點(diǎn)為端點(diǎn)的新區(qū)間，記作，并且滿足，，，此時(shí)，也會有兩種情況出現(xiàn)：第一種情況是在等分新區(qū)間的過程中，直到有一個(gè)分點(diǎn)的存在，令與函數(shù)相交于，過點(diǎn)作直線平行于新區(qū)間端點(diǎn)連線，發(fā)現(xiàn)這種情況與(1)中情況相同除交點(diǎn)外沒有其他交點(diǎn)，此時(shí)，取即可證得．第二種情況是在等分新區(qū)間的過程中，沒有上述分點(diǎn)存在，即可得到滿足下列三點(diǎn)的一個(gè)閉區(qū)間序列：①，②，③，根據(jù)上述區(qū)間套引理和前兩點(diǎn)，不難得出：中由，存在且，再由第三點(diǎn)，就可的到，并且此時(shí)是唯一存在的，拉氏定理得證[10]．

第3章柯西中值定理柯西中值定理比羅爾定理和拉格朗日中值定理更具一般性，故具有更廣泛的應(yīng)用．本文先從羅爾定理和拉格朗日定理出發(fā)探究柯西中值定理一般證明方法，接著對其他證明方法作進(jìn)一步的探究．3.1柯西中值定理概述柯西(Cauchy)中值定理[9]如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使下面等式成立：．該定理也可表述為：設(shè)函數(shù)，滿足：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；和不能同時(shí)為；，那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立[15]．其幾何意義為：以參數(shù)的形式表明，對于給定了兩端點(diǎn)的光滑曲線，在曲線上必存在一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)的連線[3]．3.2柯西中值定理的幾種證明方式柯西中值定理的證明方法大多都可從2.2拉格朗日中值定理的證明方法中汲取靈感，把兩者放在一起對比思考，將會給我們帶來更加深刻地體會．3.2.1利用羅爾定理證明柯西中值定理1．利用原函數(shù)法證明柯西中值定理可與2.2.2作差法進(jìn)行對比，不難發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別就是用函數(shù)去替換．類比作差法中的構(gòu)造方式，我們可簡單構(gòu)造出滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的函數(shù)，如下：，故存在，使得，又因?yàn)?，故可將上式改寫為即可證得柯西中值定理[15]．2．用常數(shù)值結(jié)構(gòu)設(shè)輔助函數(shù)這種證明方法與用原函數(shù)構(gòu)造法的區(qū)別只是常數(shù)項(xiàng)的有無，但因?yàn)閷Τ?shù)項(xiàng)求導(dǎo)后為零，故并不影響所構(gòu)造的輔助函數(shù)最后的證明．證明要證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得．首先，設(shè)(為常數(shù))，則，令，則，，即，故而滿足羅爾定理的條件，則至少存在一點(diǎn)，使得，即，所以[16]．3.2.2利用反函數(shù)證明柯西中值定理根據(jù)柯西中值定理中對函數(shù)的基本要求，以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．易證得，函數(shù)在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)，不妨設(shè)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加．下面給出簡單的證明：用最常用的方法，可令，且，根據(jù)閉區(qū)間上個(gè)函數(shù)的連續(xù)性可知，從而得出：，當(dāng)時(shí)有，由為閉區(qū)間內(nèi)的任意值，可得出在區(qū)間上恒成立，故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增．同理在另一種情況下在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞減．接下來對柯西中值定理進(jìn)行證明，根據(jù)反函數(shù)存在定理以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在定理，可令，，則在區(qū)間上，函數(shù)存在反函數(shù)，而且滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，由上文可得出函數(shù)在閉區(qū)間上，也是嚴(yán)格單調(diào)的，不妨設(shè)其嚴(yán)格單調(diào)增加．可以考慮定義在閉區(qū)間上的復(fù)合函數(shù)，并且根據(jù)上文可知在上滿足拉氏定理的條件，即在開區(qū)間內(nèi)存在至少一個(gè)，使得：，再根據(jù)反函數(shù)之間的聯(lián)系，在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，此時(shí)有：聯(lián)立上兩式即可得出結(jié)論[15]．3.2.3利用坐標(biāo)變換證明柯西中值定理1．利用參數(shù)方程法證明柯西中值定理拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況，即當(dāng)時(shí)，柯西中值定理為拉格朗日中值定理．倘若換一個(gè)角度，把，看成平面上某條曲線的參數(shù)方程，即可表示為，易知在閉區(qū)間(或者)上連續(xù)，在開區(qū)間(或者)上可導(dǎo)，由拉氏定理可知，曲線上存在一點(diǎn)過該點(diǎn)的曲線斜率等于曲線兩端的斜率．設(shè)對應(yīng)于，則由參數(shù)形式的求導(dǎo)公式，有，即柯西中值定理[15]．2．利用坐標(biāo)變換法證明柯西中值定理根據(jù)上述參數(shù)方程法中的構(gòu)造方式進(jìn)行構(gòu)造：，由柯西中值定理的幾何意義可知此參數(shù)方程的圖像是二維直角坐標(biāo)系中一條平滑的曲線，令該曲線為并且，分別為曲線兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)．由圖1所示，現(xiàn)將坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線平行于橫坐標(biāo)軸得到坐標(biāo)軸，此時(shí)曲線在軸上的投影范圍為．令兩個(gè)軸與軸的正向夾角為，．圖SEQ圖\*ARABIC1坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)圖重新定義新坐標(biāo)系下曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為：，其中．根據(jù)新坐標(biāo)從新定義在新坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為：，不難看出，在開區(qū)間內(nèi)，和均可導(dǎo)．由圖亦可看出該參數(shù)方程在的情況下定義區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，故在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，有：，，綜上，得出：，柯西中值定理得證[15]．將這個(gè)坐標(biāo)變換法與2.2.4中的坐標(biāo)變換法進(jìn)行對比，可以看出它們所用到的思路都是一樣的．本質(zhì)上都是將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)至與曲線的兩端點(diǎn)連線平行，顯然其滿足羅爾定理，再通過一系列的變換推導(dǎo)就可得出結(jié)論．這種方法可以很直觀的看出三種微分中值定理幾何意義上的差別與聯(lián)系．3.2.4利用迭加法證明柯西中值定理考慮到柯西中值定理在下即為拉氏定理，則可仿照2.2.5中證明拉氏定理的迭代法思路，給出柯西中值定理的證明．在閉區(qū)間內(nèi)，設(shè)想輔助函數(shù)是與一個(gè)含待定系數(shù)的關(guān)于的一次函數(shù)的迭加，即．在其中，為待定系數(shù)，并且，都滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，恒不為零．此時(shí)令，可以得到，為任意實(shí)數(shù)．從而可考慮引入輔助函數(shù)：，其中為任意實(shí)數(shù)．這時(shí)滿足羅爾定理的條件．故在開區(qū)間內(nèi)，存在一點(diǎn)，使得，代入上式可得：，又由在開區(qū)間上恒成立，通過化簡可得，從而柯西中值定理得以證明[17]．3.2.5利用待定系數(shù)法證明柯西中值定理相比于上述迭加法中所作的輔助函數(shù)，待定系數(shù)法則選用更一般的形式，為，其在開區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)具有形式．同時(shí)，都滿足柯西中值定理的條件．此時(shí)考慮使?jié)M足羅爾定理?xiàng)l件，從而確定出．令，得，整理可得，其中，可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值，將用替換掉后，考慮函數(shù)：，其中，為任意實(shí)數(shù)．此時(shí)，其與上述方法同理，在滿足羅爾定理的條件下，可輕易證得柯西中值定理，具體的證明過程不再贅述[18]．3.2.6利用行列式法證明柯西中值定理通過2.2.6所展示的行列式法中最后給出的推廣，考慮構(gòu)造行列式：，若，都滿足基本條件，恒不為零．則在，時(shí)恰恰為零，不難得出函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件，故將函數(shù)以第一行展開，可得：，最終展開可得，利用羅爾定理可得，在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，整理一下：，從而柯西中值定理得證[19]．利用行列式構(gòu)造的方法還有很多，可以類比2.2.6中二次的行列式進(jìn)一步構(gòu)造，但是具體的過程太過復(fù)雜，在此就不作詳細(xì)說明了．3.2.7利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理這種方法與2.2.7同樣是利用閉區(qū)間套定理來證明，都是不需要構(gòu)造輔助函數(shù)的．用到的還是那些閉區(qū)間套的定義、定理、引理．但是因?yàn)槔窭嗜罩兄刀ɡ懋吘怪皇强挛髦兄刀ɡ淼囊环N較為特殊的情況，所以需要在2.2.7所用到的引理上作更進(jìn)一步的擴(kuò)展．我們可以把2.2.7中的引理2擴(kuò)展為以下所述的引理3：引理3[15]設(shè)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，且是單射，則存在，且，使．證明設(shè)，首先需要證明，當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)反向假設(shè)，根據(jù)2.2.7中的引理2，易得存在，，有，成立．因，故可得，則有，此時(shí)可在區(qū)間上再一次利用引理2，不難得到有．以此類推，對引理2進(jìn)行多次重復(fù)利用，就可以得到一個(gè)閉區(qū)間套，并且該閉區(qū)間套滿足，同時(shí)有．根據(jù)閉區(qū)間套定理，知道可以有存在，使成立．再根據(jù)2.2.7中的引理1可得：，與相矛盾，由上述引理3，可知存在，并且有，使得下式成立：．在此基礎(chǔ)上重復(fù)利用引理3，最后易得閉區(qū)間套，并且滿足，使得成立．綜上，根據(jù)閉區(qū)間套定理可知存在，使得．最后根據(jù)2.2.7中的引理1有：成立，即柯西中值定理成立得證[15]．3.3對其他證明方式的思考達(dá)布定理[3]在開區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，(1)若滿足條件，，則有，使得．(2)現(xiàn)設(shè)，，則對介于與之間的數(shù)有點(diǎn)介于與之間，且．通過拉格朗日中值定理可以得到有以下命題成立：命題[15]設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo)，對，有(或)，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)．初步了解了以上定理、命題之后，我們開始對柯西中值定理進(jìn)行具體的證明：證明首先構(gòu)造函數(shù)：，毋庸置疑函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足羅爾定理的條件．但是我們可以從另一個(gè)角度用達(dá)布定理證明在區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)，使．現(xiàn)假設(shè)對一切，，由達(dá)布定理易知，只存在兩種情況，不是，就是．當(dāng)時(shí)，則根據(jù)上述命題易知在開區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，又因函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，故函數(shù)在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增．所以有這與羅爾定理中的條件矛盾．同理，當(dāng)時(shí)同樣可推出矛盾，故有，即成立[20]．上述方法用到了反證法的思想，下面這種方法也是一樣的．先給出達(dá)布定理的另一種表達(dá)形式：達(dá)布定理[16]如果函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且有，不妨設(shè)，則對于任何滿足的常數(shù)，必存在一點(diǎn)，使得．證明設(shè)曲線的參數(shù)方程為，，則有曲線上某一點(diǎn)處切線的斜率為，現(xiàn)假設(shè)曲線在內(nèi)不存在滿足：，即對任意，有(或)，不妨設(shè)，可以作函數(shù)，則，可得在內(nèi)為嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，由在上連續(xù)，可知，且不難算出，這與矛盾，故上述假設(shè)不成立．所以，至少存在一點(diǎn)，使得．即柯西中值定理成立[16]．以上兩種證明方法在本質(zhì)上是一樣的唯一的區(qū)別在于前者是直接構(gòu)造的一個(gè)函數(shù)去說明矛盾，后者則是利用參數(shù)方程的形式引出矛盾存在．第4章總結(jié)從上一年十二月份開始到現(xiàn)在四月份結(jié)束，我經(jīng)歷了人生中最漫長的五個(gè)月．在這五個(gè)月中，十二月份我開始選擇論文題目，一月份準(zhǔn)備相關(guān)文獻(xiàn)，二、三月份開始具體書寫論文，四月份定稿．在這個(gè)過程中，從一開始對畢業(yè)論文一無所知，到最后對論文的內(nèi)容和版式有了清晰的思路和規(guī)整的排版，我學(xué)習(xí)和收獲了許多．當(dāng)我確定好論文題目，我就開始尋找相關(guān)的參考文獻(xiàn)，思考整篇文章的思路．翟老師指點(diǎn)了我們多種查找文獻(xiàn)的途徑，除了老師提供的那些途徑，我與我的同學(xué)們也有很多的查找方法上的交流．我選擇的是對三種微分中值定理的證明及思考，從古至今這部分的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)家們熱衷討論的話題，這也讓我再次認(rèn)識到微分中值定理的重要性．文獻(xiàn)找好后，我仔細(xì)閱讀和思考，并開始進(jìn)行論文的編寫．從羅爾定理入手，我敘述了羅爾定理的內(nèi)容、證明簡述和其三種特殊情況．因?yàn)榱_爾定理較為基礎(chǔ)，所以我沒有對其作過多的介紹．接著是比較重要的拉格朗日中值定理，撇開簡單的介紹，我對其從七個(gè)方面進(jìn)行證明．最后是柯西中值定理，同樣在簡單的介紹后，我類比拉氏定理的證明，作了七個(gè)方面的證明，最后從達(dá)布定理入手，又給出了兩種證明方法．在論文書寫的過程中，我經(jīng)歷了一些困難的過程．在一開始，我的思想具有一定的局限性，我書寫的只有柯西中值定理概述和證明方法．之后，在與翟老師和同學(xué)們進(jìn)行思想上的交流后，我決定從三種微分中值定理全面入手，重點(diǎn)突出了三種定理中后兩者的證明方法和過程．論文書寫的過程中，一些文獻(xiàn)中的證明方法給了我很大的啟發(fā)，最突出的就是用閉區(qū)間套定理來證明．同時(shí)，一些證明的方法也加入了我自己的思考與想法．就比如每種證明方法中都寫有我自己對這種證明方法的思考、第二章與第三章證明之間的相互聯(lián)系、對柯西中值定理新的證明方