(完整)巧解深究提高素養(yǎng)二次曲線系視野下對2017年高考新課標全國卷Ⅰ理數20題的反思

巧解深究提高素養(yǎng)二次曲線系視野下對2017年全國Ⅰ卷理數20題的反思南昌市第三中學張金摘要】核心素養(yǎng)的教育教學是今后相當長時間段內的熱點。本文從二次曲線系角度去探索試題的多種解法，挖掘試題的本質屬性，在提高數學學科核心素養(yǎng)方面作出一點探索?！娟P鍵詞】二次曲線系、學科核心素養(yǎng)、定點定值、橢圓的伴隨矩形、橢圓的大小伴隨圓。2017年高考新課標全國Ⅰ卷理數的設計遵循《普通高中數學課程標準》和《高考說明》的要求和闡述，緊密聯系高中數學教學現狀，關注數學本質，滲透學科核心素養(yǎng)。本文從二次曲線系的角度去研究該卷20題，請看題：20.（12分）已知橢圓,四點，，，中恰有三點在橢圓C上。（1）求C的方程；（2）設直線不經過點且與C相交于A，B兩點.若直線與直線的斜率的和為-1，證明：過定點.常規(guī)解法略，為巧解該題，我們先看關于二次曲線系的相關概念：二次方程表示的曲線叫做二次曲線，它包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及兩條直線（退化的二次曲線）。二次方程表示兩條直線，但這個方程展開后，是一個二次式，因此我們說這是退化的二次曲線。已知兩條二次曲線與相交，且有四個交點，則方程（為參數）表示經過其四個交點的二次曲線系方程。若能確定所求的曲線不是或，我們可以只設一個參數。當我們已知曲線，要求某些未知數時，我們可以利用，兩邊對比系數即可。下面利用該知識解決筆者原創(chuàng)的南昌市2017年一模試題20題：例1．(2017年南昌一模20)已知橢圓的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，離心率為，點，為線段的中點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過點且斜率不為的直線與橢圓的交于兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由．解：（1）。（2）常規(guī)方法計算量較大，此處略。設，易知，，，因為橢圓過二次曲線與二次曲線的四個交點，則有比較兩邊項的系數，得；比較兩邊項的系數，得，兩式聯立，則，則，由，即點在定直線上。若一條直線與一條二次曲線交于兩點，那么對于這兩條直線，怎么來刻劃呢？設直線的方程為：曲線方程為：我們將變形為，利用它將②中的所有項配成二次，得注意到點滿足式，又為二次齊次式，所以它一定能分解出：，這就是過原點的兩直線，也可以將兩邊同除，視其為關于的二次方程，解出兩根，即為，這即為的斜率．由上可得2017年高考解析幾何20題巧解：(1)根據橢圓的對稱性，可知在橢圓上，所以橢圓方程為(2)將坐標系向上平移一個單位，將原點移至點。橢圓方程化為即設直線對應的直線為，則化齊次聯立，得：整理得,即結合兩直線斜率之和為-1，得即所以直線恒過點，在原坐標系中，直線過定點我們再來深挖該題背景性質：性質1：已知點，我們稱矩形為橢圓的伴隨矩形，設直線不經過點且與橢圓C相交于兩點，若，則直線過定點。性質2：從橢圓的伴隨矩形的頂點引一條直線與橢圓交于兩點，若則。這兩條性質讀者不妨用前面二次曲線系的方法去簡潔證明。關于橢圓類似性質的探究，筆者在《對一次試卷講評課的一點感悟》（《中學數學研究》2016年第4期）一文中有以下兩個結論：性質3：從已知橢圓的大伴隨圓上一點作橢圓的兩條切線，則兩條切線相互垂直。性質4：已知橢圓的小伴隨圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點P，Q，則⊥。2017高考全國Ⅰ卷解析幾何解答題考查了數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析等核心素養(yǎng)，重點考查思維品質，減少計算量。數學離不開計算，核心素養(yǎng)下的數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果。重在運算法則的掌握、運算方向的探究、方法的選擇，也就是“多一點想、少一點算”?；诤诵乃仞B(yǎng)視