北京市海淀區(qū)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

海淀區(qū)高二年級第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線在y軸上的截距為A.B.C.D.【答案】D【解析】∵令，此時∴在軸上的截距為1故選D2.雙曲線的漸近線方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】∵由雙曲線的方程可知∴漸近線的方程為故選A3.已知圓經(jīng)過原點(diǎn)，則實數(shù)等于A.B.C.D.【答案】B【解析】∵圓經(jīng)過原點(diǎn)∴代入可得∴故選B4.魯班鎖是曾廣泛流傳與民間的智力玩具，它起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，不用釘子和繩子，完全靠自身機(jī)構(gòu)的連接支撐，它看似簡單，卻凝結(jié)著不平凡的智慧.下圖為魯班鎖的其中一個零件的三視圖，則該零件的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵由圖可知要計算魯班鎖的體積，可將其分解為求三個長方體的體積左右兩個長方體的長寬高分別為，中間的長方體長寬高為∴零件的體積為故選C5.橢圓：的焦點(diǎn)為，，若點(diǎn)在上且滿足，則中最大角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵橢圓∴焦點(diǎn)∵點(diǎn)在上∴∵∴，∵∴中最大角為∴∴故選A點(diǎn)睛：本題考查橢圓的簡單的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)三邊求最大角，先求出最大邊，根據(jù)“大邊對大角”可以判斷最大角，再利用余弦定理求出余弦值即可得角.6.“”是“方程表示雙曲線”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若方程為雙曲線，則∴是方程表示雙曲線的充分必要條件故選C7.已知兩條直線，兩個平面，下面說法正確的是A.B.C.D.【答案】D【解析】對于，，則兩條直線可以平行，可以相交，故錯誤；對于，，則兩條直線可以相交，故錯誤；對于，若，直線與平面可以平行，或者相交，故錯誤；對于，若，則平面內(nèi)任意一條直線平行于，因為，所以，故正確故選D點(diǎn)睛：本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等.8.在正方體的中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段（與不重合）上一動點(diǎn).給出如下四個推斷：①對任意的點(diǎn)，平面；②存在點(diǎn)，使得；③對任意的點(diǎn)，則上面推斷中所有正確的為A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】D【解析】對于①，∵由題可知平面∥平面∴平面內(nèi)任意一條直線平行于平面∵∴∥平面，故①正確對于②，作的中點(diǎn)，由題可知∥當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)時∥，故②正確對于③，∵四方體為正方體∴平面∵平面∴同理可證得∵與相交于點(diǎn)∴平面∵點(diǎn)為線段（與不重合）上一動點(diǎn)∴對任意的點(diǎn)，，故③正確故選D二、填空題共6小題，每小題4分，共24分。9.直線的傾斜角為______,經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為______________.【答案】(1).(2).【解析】∵直線的斜率為，設(shè)傾斜角為∴∴設(shè)與直線平行的直線方程為，將點(diǎn)代入可得故直線方程為故答案為10.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________，點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為________.【答案】(1).(2).5【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為故焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為故答案為【答案】（此答案不唯一）【解析】在正方體的一個面上取三個點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形作為三棱錐的底面，如；取對面上與直角三角形銳角頂點(diǎn)正對的頂點(diǎn)，作為三棱錐的頂點(diǎn)，即點(diǎn)，可得兩個符合條件的三棱錐故答案為12.直線被圓所截得的弦長為______________.【答案】【解析】∵圓的圓心為，半徑為∴圓心到直線的距離∵半徑為1∴弦長為故答案為點(diǎn)睛：弦長的兩種求法①代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程.在判別式的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長.②幾何方法：若弦心距為，圓的半徑長為，則弦長.13.已知橢圓和雙曲線的中點(diǎn)均為原點(diǎn)，且焦點(diǎn)均在軸上，從每條曲線上取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】由題意及表格知：是橢圓上的點(diǎn)，和是雙曲線上的點(diǎn)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴∴∴∴雙曲線的離心率為故答案為14.曲線的方程為①請寫出曲線的一條對稱軸方程_________；②請寫出曲線上的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)_________；③曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是_________.【答案】(1).（或）(2).此答案不唯一(3).【解析】曲線的方程為即為，即有∴，則①將換為，不變，方程不變，可得曲線的一條對稱軸為，同理可得另一條對稱軸為②令，可得或，可得曲線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，③由，即，平方可得∴∴，即∴曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)范圍是故答案為(1).（或）(2).此答案不唯一(3).三、解答題共4小題，共44分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的半徑為1，其圓心在射線上，且.（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)線段長度求出的坐標(biāo)，即可求圓的方程；（Ⅱ）討論直線斜率是否存在，利用直線和圓相切的位置關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．試題解析：（Ⅰ）設(shè)圓心，則解得，（舍掉）所以圓（Ⅱ）若直線的斜率不存在，直線：，符合題意若直線的斜率存在，設(shè)直線為，即由題意,圓心到直線的距離，解得所以直線的方程為綜上所述，所求直線的方程為或．16.如圖，在三棱錐中，，且點(diǎn)分別是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，得，由此能證明平面；（Ⅱ）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．試題解析：（Ⅰ）證明：在中，∵，分別是，的中點(diǎn),∴∵平面，平面∴平面．（Ⅱ）證明：∵，，是的中點(diǎn),∴，∵，平面∴平面∵平面∴17.如圖，平面平面，四邊形和是全等的等腰梯形，其中，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）請在圖中所給的點(diǎn)中找出兩個點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在的直線與平面垂直，并給出證明；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？如果存在，求出的長度；如果不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由四邊形是等腰梯形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，從而可證平面；（Ⅱ）依題意可證，再根據(jù)可證為菱形，即可證；（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得∥平面，可證為平行四邊形，從而推出∥平面，即可證∥平面，則為平行四邊形，從而推出矛盾，即可得出結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）∵四邊形是等腰梯形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)∴又∵平面平面，平面平面∴平面（Ⅱ）點(diǎn)為所求的點(diǎn)∵平面∴又∵，且∴為菱形∴∵，∴平面（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得∥平面由，所以為平行四邊形，∴∥∵平面∴∥平面又∵∴平面∥平面，∴∥平面∴∥，∴為平行四邊形∴，矛盾，∴不存在點(diǎn)，使得∥平面18.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，是斜邊長為的等腰直角三角形,若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求線段的長度；（Ⅲ）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由是斜邊長為的等腰直角三角形，可得，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去可得，根據(jù)韋達(dá)定理和弦長公式可得線段的長度；（Ⅲ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出，再根據(jù)，即可求出的值.試題解析：（Ⅰ）由題意，，且∴，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（Ⅱ）把直線和橢圓的方程聯(lián)立，則當(dāng)時，有，，∴（Ⅲ）假設(shè)存在，使得.∵點(diǎn)到直線的距離為∴