中職高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項突破講與測專題三 指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)（解析版）

專題三（三）指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)思維導(dǎo)圖1.2知識點識記1、根式性質(zhì)及推廣（1）負數(shù)沒有偶次方根。指數(shù)推廣。冪運算（1）；（2）；（3）。（）3、指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)指數(shù)函數(shù)解析式圖像性質(zhì)定義域：R值域：圖像過定點（1,0）定義域R上為減函數(shù)，當(dāng)x＞0；0＜y＜1；當(dāng)x＜0；y＞1。定義域R上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0；y＞1；當(dāng)x＜0；0＜y＜1。對數(shù)及對數(shù)函數(shù)負數(shù)和0無對數(shù)；1的對數(shù)為0，即loga1=0；底的對數(shù)為1，即logaa=1；；若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，則：；。換底公式：。對數(shù)函數(shù)解析式圖像性質(zhì)定義域：值域：R圖像過定點（1,0）定義域上為減函數(shù)，當(dāng)x＞1；y＜0；當(dāng)0＜x＜1；y＞0。定義域上為增函數(shù)，當(dāng)x＞1；y＞0；當(dāng)0＜x＜1；y＜0。1.2.2基礎(chǔ)知識測試1、將化成對數(shù)式可表示為（）〖解析〗D。對數(shù)與指數(shù)相互轉(zhuǎn)化：；故答案為D。2、設(shè)對數(shù)函數(shù)，則（）A.在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)B.在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)C.在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)D.在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)〖解析〗對數(shù)函數(shù)知，底數(shù)a=3＞1，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像：在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)；故答案為D。3、設(shè)指數(shù)函數(shù)（）A.在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)B.在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)C.在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)D.在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)〖解析〗B。對.數(shù)函數(shù)知，底數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像：在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)；故答案為B。4、設(shè)函數(shù)，則（）A.1B.-1C.2D.0〖解析〗結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知，恒過定點（1，0），即當(dāng)x=1時，對應(yīng)函數(shù)值y=0；故答案為D。5、用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：（1）；（2）。〖解析〗（1）；（2）。（1）；（2）。用對數(shù)形式表示下列各式：（1）；（2）?！冀馕觥剑?）；（2）。指數(shù)函數(shù)?！冀馕觥健Ｓ芍笖?shù)函數(shù)定義并結(jié)合圖像可知：底數(shù)滿足條件；所以實數(shù)a的取值范圍為。已知函數(shù)，其定義域為?！冀馕觥?。由對數(shù)函數(shù)定義可知，；所以答案為。函數(shù)的定義域為。〖解析〗。由函數(shù)定義可知：；結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖像過定點（0，1），即當(dāng)x≤0時，函數(shù)值y=2x≤1，所以其定義域為。10、一批設(shè)備價值a萬元，由于使用磨損，每年比上一年價值降低b%，則n年后這批設(shè)備的價值為?！冀馕觥?。設(shè)新設(shè)備的價值為單位1，每年消耗為b%，則第二年設(shè)備的價值為（1-b%），所以經(jīng)過n年后此批設(shè)備的價值為。1.2.3職教高考考點直擊函數(shù)部分在職教高考中為常見考點，分值較高，考頻較高，選擇題在4-5道左右，解答題1-2道，總分值在20分上下。其內(nèi)容以函數(shù)定義域、奇偶性及單調(diào)性為主要考查點，常與不等式、解析幾何、數(shù)列等知識結(jié)合考查，難度中等，復(fù)習(xí)中加強此部分學(xué)習(xí)將會在考試中起到事半功倍的效果。1.2.4高考經(jīng)典例題剖析例1（2013年山東春季高考）若點（）。A.B.C.D.〖解析〗A?！唿cp與p’關(guān)于原點對稱，∴，故答案為A?！键c評〗考查關(guān)于原點對稱的坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系及指數(shù)與對數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化的運算方法與技巧。變式1（）。1B.2C.-1D.-2〖解析〗C。；故答案為C。例2設(shè)x＞0，y＞0，a＞0，a≠1，下列等式正確的是（）。B.C.D.〖解析〗A。對數(shù)及指數(shù)運算法則：；；所以答案A?！键c評〗考查對數(shù)及指數(shù)運算法則。例3（2016年山東春季高考）若實數(shù)a＞0，下列等式成立的是（）。A.B.C.D.〖解析〗D。A中，故A錯誤；B中；任何非零實數(shù)的0次冪均為1，故C錯誤；所以答案為D。〖點評〗考查實數(shù)指數(shù)冪的運算法則。變式2下列等式中正確的個數(shù)是（）。（1）；（2）；（3）；（4）。1B.2C.3D.4〖解析〗C。；，（2）錯誤；，（3）正確；，（3）正確。故答案為C。則下列關(guān)系正確的是（）。0＜a＜b＜1B.0＜a＜1＜bC.0＜b＜1＜aD.a＜0＜1＜b〖解析〗B。由右圖可知：指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域上單調(diào)遞減，所以0＜a＜1；對數(shù)函數(shù)y=logbx在定義域上單調(diào)遞增，所以b＞1；故答案為B?！键c評〗綜合考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和圖像。變式3?！冀馕觥紻。由題意可知a＞1，即a-1＞0，所以直線斜率k＞0，且與y軸截距大于1，可排除選項B，C；又a＞1，即，所以指數(shù)函數(shù)圖像在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；故答案為D。（2015年山東春季高考）已知函數(shù)。(1)求實數(shù)a的值；(2),〖解析〗（1）討論a的值。當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2,4]上減函數(shù)，即f（x）max=f（-2）=16，a-2=16,解得a=；a＞1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2,4]上增函數(shù)，即f（x）max=f（4）=16，a4=16,解得a=2；綜上所述，a=或a=2。由題意可知：，又有（1）中a=或a=2，所以a=2。題設(shè)不等式可等價為，即0＜1-2t≤2，解得；所以實數(shù)t的取值范圍為?！键c評〗綜合考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性和極值及與一元二次不等式的相結(jié)合及具體應(yīng)用。例5、(2016年山東春季高考)下列說法正確的是()A．函數(shù)y＝（x＋a）2＋b的圖象經(jīng)過點（a，b）B．函數(shù)y＝ax（a>0且a≠1）的圖象經(jīng)過點（1，0）C．函數(shù)y＝logax（a>0且a≠1）的圖象經(jīng)過點（0，1）D．函數(shù)y＝xα（α∈R）的圖象經(jīng)過點（1，1）〖解析〗D。由二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象知，選項A中函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－a，b)；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象知，選項B中函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0，1)；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象知，選項C中函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，0)；由冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象知，選項D中函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，1)，故選D。〖點評〗函數(shù)圖像可以直觀的反映自變量與因變量的關(guān)系及變化趨勢，復(fù)習(xí)時需要著重練習(xí)掌握。變式4（）。A．a(chǎn)>1，b>0 B．0<a<1，b<0C．a(chǎn)>1，b<0 D．0<a<1，0<b<1〖解析〗B。由題意知，對數(shù)函數(shù)值y＜0且圖像在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則其自變量a滿足0<a<1；指數(shù)函數(shù)值y＞1，且其圖像在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則其自變量b滿足b<0；故答案為B。例6、(2016年山東春季高考)已知某城市2015年年底的人口總數(shù)為200萬，假設(shè)此后該城市人口的年增長率為1%(不考慮其他因素)。(1)若經(jīng)過x年該城市人口總數(shù)為y萬，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)如果該城市人口總數(shù)達到210萬，那么至少需要經(jīng)過多少年(精確到1年)?〖解析〗(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝200×(1＋1%)x＝200×1.01x，x≥0。(2)設(shè)至少需要經(jīng)過x年該城市人口達到210萬。則200×1.01x＝210，1.01x＝1.05，xlg1.01＝lg1.05，解得x≈5，答：至少需要經(jīng)過5年，該城市人口總數(shù)達到210萬?！键c評〗指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用及與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化運算為?？贾R點。1.2.5考點鞏固練習(xí)一、選擇題1、如果0＜a＜b＜1，那么loga5與logb5的大小關(guān)系是()。A．loga5＜logb5 B．loga5＝logb5C．loga5＞logb5 D．無法確定〖解析〗C?！?＜a＜b＜1，∴l(xiāng)og5a＜log5b＜0，∴l(xiāng)oga5＜logb5；故答案為C。2、函數(shù)y＝(2a－1)x在R上是增函數(shù)的充要條件是()A. B．C． D．〖解析〗C。指數(shù)函數(shù)在R上為增函數(shù)充要條件為2a－1＞1，即a＞1；故答案為C。3、已知函數(shù)，則的圖象為（）。A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)單調(diào)性排除C,D,再取特殊點確定選項?！驹斀狻渴菧p函數(shù)，故排除選項C，D，又當(dāng)時，，排除A，故選：B。【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題。4、函數(shù)y＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)的圖象過定點P，則點P的坐標(biāo)是()。A．(1，0) B．(0，1)C．(2，0) D．(0，2)〖解析〗C。函數(shù)圖像過定點等價于函數(shù)自變量與因變量的取值與其他參數(shù)無關(guān)，即當(dāng)2x-3=1時，(任意非零實數(shù)的零次冪均為1)x=2，對應(yīng)函數(shù)值y=1；故答案為C。5、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax+a與y=ax的圖象大致是（）。A． B．C． D．【答案】B【分析】一方面，函數(shù)y=ax橫過點（0，1）且在a＞1時遞增，在0＜a＜1時遞減；另一方面再結(jié)合函數(shù)y=ax+a與y軸的交點為（0，a）作出判斷?！驹斀狻拷猓骸吆瘮?shù)y=ax橫過點（0，1）且在a＞1時遞增，在0＜a＜1時遞減，而函數(shù)y=ax+a與y軸的交點為（0，a），因此，A中、由y=ax的圖象遞增得知a＞1，由函數(shù)y=ax+a與y軸的交點（0，a）得知a＜1，矛盾；C中、由y=ax的圖象遞減得知0＜a＜1，由函數(shù)y=ax+a與y軸的交點（0，a）得知a＞1，矛盾；D中、由y=ax的圖象遞減得知0＜a＜1，函數(shù)y=ax+a遞減得知a＜0，矛盾；故選：B?！军c睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查一次函數(shù)y=ax+a與指數(shù)函數(shù)y=ax之間的對應(yīng)關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的分析能力，屬于基礎(chǔ)題。6、某電子產(chǎn)品自投放市場以來，經(jīng)過三次降價，單價由375元降到192元，若每次降價的百分率相同，這種產(chǎn)品每次降價的百分率是()。A．18% B．20%C．19% D．17%〖解析〗B。設(shè)每次降價的百分率為x，則375×(1－x)3＝192，(1－x)3＝0.512，1－x＝0.8，x＝20%；答案為B。7、若函數(shù)定義域為，則的取值范圍是（）。A． B．且 C． D．【答案】B【分析】由題意可得x2﹣ax+1＞0恒成立，故有，由此解得a的范圍?！驹斀狻坑深}意可得：要使f（x）的定義域為R，則對任意的實數(shù)x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有解得0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范圍為（0，1）∪（1，2）。故選：B?！军c睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題。8、若函數(shù)y=g(x)的圖象與的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)=（）。A.B.C.D.〖解析〗B。函數(shù)y=g(x)的圖象與的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則滿足函數(shù)自變量與因變量位置互換，即；故答案為B。9、已知，則函數(shù)（，且）與函數(shù)（，且）的圖像可能是（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)得到，得到，確定函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，進而可得出結(jié)果?！驹斀狻俊?，∴，∴。∴.又∵，∴函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，且函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱。故選B?！军c睛】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，熟記對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像即可，屬于?？碱}型。10、下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是（）。①這幾年生活水平逐年得到提高；②生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2014年；③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年；④雖然2016年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善。A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】認真觀察圖形就可以判斷?！驹斀狻坑蓤D知，“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故①正確；“生活費收入指數(shù)”在2014～2015年最陡；故②正確；“生活價格指數(shù)”在2015～2016年最平緩，故③不正確；“生活價格指數(shù)”略呈下降，而“生活費收入指數(shù)”呈上升趨勢，故④正確。故選：C。11、（2019年山東春考）已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖像，如右圖所示，則下列關(guān)系成立的是（）。A.B..C.D.〖解析〗B。由圖像可知指數(shù)函數(shù)圖像單調(diào)遞減則0＜a＜1；對數(shù)函數(shù)圖像單調(diào)遞增，則b＞1；綜合得出可知；故答案為B。已知函數(shù)。A.B.C.D.〖解析〗D。圖像如右圖所示，故答案為D。二、填空題11、?！冀馕觥健?，即。12、函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大，則實數(shù)的值是_____?！敬鸢浮炕颉痉治觥扛鶕?jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論，列方程求解a?！驹斀狻咳簦瑒t函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，根據(jù)題意有，解得或0（舍去），所以；若，則函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，根據(jù)題意有，解得或0（舍去），所以。綜上所述，或。故答案為：或。13、。〖解析〗。由題意可聯(lián)立方程組：。14、函數(shù)f(x)=2·ax-1