4.1 指數(shù)運(yùn)算（教師版）

11/114.1指數(shù)運(yùn)算（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考法一根式意義求參【例1】（1）（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．（2）（2021·全國(guó)高一專題練習(xí)）若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）B【解析】（1）根據(jù)根式和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，因?yàn)?，可化為，即，可得，所以，即．故選：B.（2）由，要使得有意義，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若xn＝a（x≠0），則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x的n次方根為a；②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根為x；③當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x的n次方根為±a；④當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根為±x.A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根只有1個(gè)，為x；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2個(gè)，為±x.所以說(shuō)法②④是正確的，故選：B.2．（2021·上海高一專題練習(xí)）在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R時(shí)各式子有意義的是（）A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④【答案】B【解析】由>0知①有意義；由<0知②無(wú)意義；③中開奇數(shù)次方根，所以有意義；當(dāng)a<0時(shí)，a5<0，此時(shí)④無(wú)意義.故選:B.考點(diǎn)二根式的形式化簡(jiǎn)【例2】（1）（2021·上海高一專題練習(xí)）若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．（2）（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若代數(shù)式有意義，則（）A． B． C． D．（3）（2020·上海）化簡(jiǎn)：①；②）【答案】（1）B（2）B（3）①；②）.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所?故選:B.（2）由有意義，得解得．所以所以．故選：B．（3）①原式.②原式，即【一隅三反】1．（2021·全國(guó)）若，則等于（）A． B． C． D．非以上答案【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，原?故選:B.2．（2021·上海閔行）當(dāng)時(shí)，=___________.【答案】【解析】由，則，故答案為：3．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)－（－3<x<3）.【答案】.【解析】原式，∵－3<x<3，∴－4<x－1<2，0<x＋3<6.當(dāng)－4<x－1<0，即－3<x<1時(shí)，|x－1|－|x＋3|＝1－x－（x＋3）＝－2x－2；當(dāng)0≤x－1<2，即1≤x<3時(shí)，|x－1|－|x＋3|＝x－1－（x＋3）＝－4.∴－＝.考法三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例3】（2021·上海高一專題練習(xí)）將下列根式化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式====.（2）原式======.（3）原式===.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．－＝（－x）（x＞0）B．＝y(tǒng)（y＜0）C．xy＝（x＞0，y＞0）D．x＝－（x≠0）【答案】C【解析】對(duì)于A，－＝－x，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)y＜0時(shí)，＞0，y＜0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，xy＝（x＞0，y＞0），故C正確；對(duì)于D，x＝（x≠0），故D錯(cuò)誤.故選：C2．（2021·上海高一專題練習(xí)）用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a>0，b>0）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）原式=.（5）原式=.（6）原式====.考點(diǎn)四分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值【例4】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）－10＋；（2）·.【答案】（1）－；（2）【解析】（1）原式;（2）原式.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列式子中，錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A，原式，A正確；對(duì)于B，原式，B正確；對(duì)于C，原式,C錯(cuò)誤；對(duì)于D，原式，D正確.故選：C.2．（2021·上海高一專題練習(xí)）計(jì)算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】(1)；(2)100；(3)3；(4)；(5).【解析】(1)原式.(2)原式.(3)原式.(4)原式.(5)原式.考點(diǎn)五整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【例5】（2021·全國(guó)）已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，，∴∴.【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若，則___________.【答案】6【解析】因?yàn)椋?，即，所以，所?故答案為：6.2．（2021·全國(guó)）若，則________．【答案】【解析】，所以，所以．故答案為：．3．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，