補(bǔ)上一課　數(shù)列中的子數(shù)列、新情境問(wèn)題

補(bǔ)上一課數(shù)列中的子數(shù)列、新情境問(wèn)題題型分析1.在一個(gè)數(shù)列中通過(guò)插項(xiàng)、提項(xiàng)或提取兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)重構(gòu)一個(gè)新的數(shù)列叫做子數(shù)列問(wèn)題.2.數(shù)列的創(chuàng)新問(wèn)題是指新定義數(shù)列，利用圖表表示數(shù)列等.題型一子數(shù)列問(wèn)題角度1公共項(xiàng)例1(2024·嘉興模擬)已知{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1.(1)證明{bn－n}是等比數(shù)列，并求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}與{bn}中有公共項(xiàng)，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解(1)由題意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1，變形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，b1－1＝3，故{bn－n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*).(2)由題意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因?yàn)?k，3m是3的倍數(shù)，所以m＋1也為3的倍數(shù)，令m＋1＝3n，則m＝3n－1(n∈N*)，則3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此時(shí)滿足條件，即當(dāng)m＝2，5，8，…，3n－1時(shí)為公共項(xiàng)，所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)＝eq\f(9（27n－1）,26)＋eq\f(n（3n＋1）,2)(n∈N*).角度2插項(xiàng)、提項(xiàng)例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n＋1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)保持{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak＋1之間插入k個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，記{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求T100的值(用數(shù)字作答).解(1)由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2n－1＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21＋1＝3，不符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n－1，n≥2.))(2)保持?jǐn)?shù)列{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在ak與ak＋1(k＝1，2，…)之間插入k個(gè)1，則新數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)為3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1，則T100＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9]＝90＋213－2＝88＋213＝8192＋88＝8280.感悟提升1.兩個(gè)等差(比)數(shù)列的公共項(xiàng)是等差(比)數(shù)列，且公差(比)是兩等差(比)數(shù)列公差(比)的最小公倍數(shù)，一個(gè)等差與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)，則要通過(guò)其項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系來(lái)確定.2.數(shù)列的插項(xiàng)、提項(xiàng)問(wèn)題可通過(guò)研究前n次的變化探究出一般性規(guī)律，從而確定新數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(或公比)、末項(xiàng)等信息.訓(xùn)練1(2024·濟(jì)南模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，將A∪B的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前60項(xiàng)和S60.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋d＝2·2q－1，,4＋2d＝2·q2＋2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝4q－5，,d＝q2－1，))∴q＝2，d＝3，∴an＝3n＋1，bn＝2n.(2)當(dāng){cn}的前60項(xiàng)中含有{bn}的前6項(xiàng)時(shí)，令3n＋1<27＝128，∴n<eq\f(127,3)，此時(shí)至多有41＋6＝47項(xiàng)，不符合題意.當(dāng){cn}的前60項(xiàng)中含有{bn}的前7項(xiàng)時(shí)，令3n＋1<28＝256，∴n<85，且22，24，26是{an}和{bn}的公共項(xiàng)，則{cn}的前60項(xiàng)中含有{bn}的前7項(xiàng)且含有{an}的前56項(xiàng)，再減去公共的三項(xiàng).∴S60＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56×4＋\f(56×55,2)×3))＋2＋23＋25＋27＝4844＋170＝5014.題型二新情境、新定義問(wèn)題例3(2024·長(zhǎng)沙調(diào)研)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成下表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7……構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1＝a1＝1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且滿足eq\f(2bn,bnSn－Seq\o\al(2,n))＝1(n≥2).(1)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)，當(dāng)a81＝－eq\f(4,91)時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和.解(1)當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(2bn,bnSn－Seq\o\al(2,n))＝1，eq\f(2（Sn－Sn－1）,（Sn－Sn－1）Sn－Seq\o\al(2,n))＝1，eq\f(2（Sn－Sn－1）,－Sn－1·Sn)＝1，eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝eq\f(1,2)，又S1＝b1＝a1＝1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列.eq\f(1,Sn)＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(1,2)(n＋1)，Sn＝eq\f(2,n＋1)，所以n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,n＋1)－eq\f(2,n)＝－eq\f(2,n（n＋1）)，因此bn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,－\f(2,n（n＋1）)，n≥2.))(2)設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q>0，表中到12行尾共含數(shù)列{an}的前78項(xiàng)，a81是表中第13行第三列，a81＝b13q2＝－eq\f(4,91)，b13＝－eq\f(2,13×14)，q＝2.記表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)的和為S，則S＝eq\f(bk（1－qk）,1－q)＝－eq\f(2,k（k＋1）)×eq\f(1－2k,1－2)＝eq\f(2,k（k＋1）)(1－2k)(k≥3).感悟提升新情境下的數(shù)列問(wèn)題的求解策略(1)深入理解新情境，建立數(shù)列模型；(2)利用新定義，求解數(shù)列模型，將新定義和原有知識(shí)相聯(lián)系，利用數(shù)列的通項(xiàng)、求和求解.訓(xùn)練2(2024·汕頭模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(1,2)≤eq\f(an＋1,an)≤2(n∈N*)，則稱(chēng){an}是“緊密數(shù)列”.(1)若an＝eq\f(n2＋2n,4n)，判斷{an}是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(1,4)(n2＋3n)，判斷{an}是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列.若數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍.解(1)a1＝eq\f(3,4)，a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(15,64)，∴eq\f(a3,a2)＝eq\f(15,32)<eq\f(1,2)，所以{an}不是“緊密數(shù)列”.(2)數(shù)列{an}為“緊密數(shù)列”，理由如下：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1,4)(n2＋3n)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(1,4)×(1＋3)＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4)(n2＋3n)－eq\f(1,4)[(n－1)2＋3(n－1)]＝eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2)，又a1＝1滿足an＝eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2)，因此an＝eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2)(n∈N*)，所以對(duì)任意n∈N*，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(\f(1,2)（n＋1）＋\f(1,2),\f(1,2)n＋\f(1,2))＝eq\f(n＋2,n＋1)＝1＋eq\f(1,n＋1)，所以eq\f(1,2)<eq\f(an＋1,an)＝1＋eq\f(1,n＋1)<2，因此數(shù)列{an}為“緊密數(shù)列”.(3)因?yàn)閿?shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，有an＝a1，Sn＝na1，所以eq\f(1,2)≤eq\f(an＋1,an)＝1≤2，eq\f(1,2)≤eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(n＋1,n)＝1＋eq\f(1,n)≤2，滿足題意；當(dāng)q≠1時(shí)，an＝a1qn－1，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，因?yàn)閧an}為“緊密數(shù)列”，所以eq\f(1,2)≤eq\f(an＋1,an)＝q≤2，即eq\f(1,2)≤q<1或1<q≤2，當(dāng)eq\f(1,2)≤q<1時(shí)，eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(1－qn＋1,1－qn)>eq\f(1－qn,1－qn)＝1，eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(1－qn＋1,1－qn)<eq\f(1－q2n,1－qn)＝eq\f(（1＋qn）（1－qn）,1－qn)＝1＋qn<2，所以eq\f(1,2)≤eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(1－qn＋1,1－qn)≤2，滿足{Sn}為“緊密數(shù)列”；當(dāng)1<q≤2時(shí)，eq\f(S2,S1)＝eq\f(1－q2,1－q)＝1＋q>2，不滿足{Sn}為“緊密”數(shù)列；綜上，實(shí)數(shù)q的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.已知{an}為等比數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)都不在同一列，{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函數(shù)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)的和T100.解(1)由題意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比數(shù)列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n.設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則2＝b3－2b1＝2d－b1，S7＝eq\f(7（b1＋b7）,2)＝7b4＝7a3，所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n.(2)因?yàn)閎n＝2n，所以cn＝[lg(2n)].所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg2]＋[lg4]＋…＋[lg8]＋[lg10]＋…＋[lg98]＋[lg100]＋…＋[lg200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.2.(2024·寧波調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(3n2＋n,2)，{bn}的前n項(xiàng)之積Tn＝2eq\f(n（n＋1）,2)(n∈N*).(1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列稱(chēng)為{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.解(1)由Sn＝eq\f(3n2＋n,2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以an＝3n－1，由Tn＝2eq\f(n（n＋1）,2)，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝eq\f(Tn,Tn－1)＝2n，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以bn＝2n.(2)設(shè)3n－1＝2m＝(3－1)m＝Ceq\o\al(0,m)·3m(－1)0＋Ceq\o\al(1,m)·3m－1(－1)1＋…＋Ceq\o\al(m－1,m)×3×(－1)m－1＋Ceq\o\al(m,m)30·(－1)m＝3M＋(－1)m，m∈N*，M為3的正整數(shù)倍，故當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，n＝M，故公共項(xiàng)為m＝1，3，5，7，…，∴21，23，25，27，…，構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，cn＝2·4n－1，則c1＋c2＋…＋c20＝eq\f(2×（1－420）,1－4)＝eq\f(2,3)(420－1).3.定義：若數(shù)列{an}對(duì)任意的正整數(shù)n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d為常數(shù))，則稱(chēng){an}為“絕對(duì)和數(shù)列”，d叫做“絕對(duì)公和”.已知“絕對(duì)和數(shù)列”{an}中，a1＝2，絕對(duì)公和為3，求數(shù)列{an}前2025項(xiàng)和S2025的最小值.解依題意，要使S2025的值最小，只需每一項(xiàng)的值都取最小值即可.因?yàn)閍1＝2，絕對(duì)公和d＝3，所以a2＝－1或a2＝1(舍去)，所以a3＝－2或a3＝2(舍去)，所以a4＝－1或a4＝1(舍去)，…，所以滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,－2，n為大于1的奇數(shù)，,－1，n為偶數(shù)，))所以S2025＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2024＋a2025)＝2＋(－1－2)×eq\f(2025－1,2)＝－3034.【B級(jí)能力提升】4.(2024·西安調(diào)研)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n＋1)－2Sn＝n＋1(n∈N*)，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列{an