單招向量數(shù)學(xué)練習(xí)題

PAGE\MERGEFORMAT1/PAGE\MERGEFORMAT1/NUMPAGES\MERGEFORMAT1單招向量數(shù)學(xué)練習(xí)題練習(xí)題

一、選擇題（每題1分，共5分）

1.向量的線性組合中，若向量組線性無關(guān)，則其張成的空間維數(shù)是：

A.向量個(gè)數(shù)

B.向量個(gè)數(shù)減去線性相關(guān)向量的個(gè)數(shù)

C.向量組中任意兩個(gè)向量的線性組合的維數(shù)

D.向量組中最多線性無關(guān)向量的個(gè)數(shù)

2.下列哪個(gè)向量組線性相關(guān)？

A.(1,2,3),(4,5,6)

B.(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)

C.(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)

D.(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0)

3.設(shè)向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，則向量2a3b是：

A.(1,2)

B.(5,6)

C.(5,6)

D.(6,5)

4.向量組(a,b,c)線性無關(guān)，以下哪個(gè)結(jié)論正確？

A.(a+b,b+c,c+a)線性相關(guān)

B.(a+b,b+c,c+a)線性無關(guān)

C.(2a,2b,2c)線性相關(guān)

D.(2a,2b,2c)線性無關(guān)

5.向量空間V的基是：

A.V中的任意線性無關(guān)的向量組

B.V中任意兩個(gè)線性無關(guān)的向量

C.V中的任意線性相關(guān)向量組

D.V中能夠張成V的最小線性無關(guān)向量組

二、判斷題（每題1分，共5分）

1.向量的長度（范數(shù)）可以為負(fù)數(shù)。（）

2.向量組的秩等于向量組中線性無關(guān)向量的個(gè)數(shù)。（）

3.若向量組A可由向量組B線性表示，則向量組B的秩一定大于等于向量組A的秩。（）

4.任何向量組都可以擴(kuò)充為一個(gè)基。（）

5.兩個(gè)向量垂直的充分必要條件是它們的點(diǎn)積為零。（）

三、填空題（每題1分，共5分）

1.向量a=(1,2,3)的長度是______。

2.設(shè)向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，則向量a和向量b的點(diǎn)積是______。

3.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則矩陣A的行列式是______。

4.若向量組線性無關(guān)，則其張成的空間維數(shù)是______。

5.向量空間的一個(gè)基包含的向量個(gè)數(shù)稱為該向量空間的______。

四、簡答題（每題2分，共10分）

1.解釋向量線性組合的概念。

2.解釋向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。

3.解釋向量空間的基和維度的概念。

4.解釋行列式的概念及其在向量空間中的應(yīng)用。

5.解釋正交向量的概念及其性質(zhì)。

五、計(jì)算題（每題2分，共10分）

1.設(shè)向量a=(1,2,3)，求向量a的長度。

2.設(shè)向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，求向量a和向量b的夾角余弦值。

3.求矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式。

4.判斷向量組(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)是否線性相關(guān)。

5.設(shè)向量組(a,b,c)線性無關(guān)，求向量組(a+b,b+c,c+a)的線性關(guān)系。

六、作圖題（每題5分，共10分）

1.畫出向量a=(2,3)和向量b=(1,1)的線性組合，并標(biāo)明向量a、向量b及線性組合的結(jié)果。

2.畫出三維空間中的點(diǎn)A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，并求出向量AB、向量BC、向量AC。

七、案例分析題（每題5分，共10分）

1.已知向量組(a,b,c)線性無關(guān)，向量d可以由向量組(a,b,c)線性表示，求證：向量組(a,b,c,d)線性相關(guān)。

2.某向量空間的基為{e1,e2,e3}，向量f在該空間中，求證：向量f可以唯一地表示為向量組{e1,e2,e3}的線性組合。

練習(xí)題

八、案例設(shè)計(jì)題（每題2分，共10分）

1.設(shè)計(jì)一個(gè)三維空間中的向量組，使其線性相關(guān)，并給出具體的線性關(guān)系式。

2.給定向量組{v1,v2,v3}，設(shè)計(jì)一個(gè)向量v4，使得向量組{v1,v2,v3,v4}線性相關(guān)。

3.在二維平面上，設(shè)計(jì)兩個(gè)不共線的向量，并說明這兩個(gè)向量可以作為二維向量空間的基。

4.設(shè)計(jì)一個(gè)矩陣，其行列式不為零，并解釋該矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的性質(zhì)。

5.設(shè)計(jì)一個(gè)向量組和一個(gè)線性變換，使得變換后的向量組與原向量組線性相關(guān)。

九、應(yīng)用題（每題2分，共10分）

1.一個(gè)力的分解可以用向量的線性組合表示，給定一個(gè)力F和一個(gè)方向，求該力的分解向量。

2.在平面幾何中，給定一個(gè)點(diǎn)P和兩個(gè)不共線的向量a、b，求通過點(diǎn)P且在向量a、b張成的平面上的所有向量。

3.給定一個(gè)三角形的三邊長度，使用向量方法驗(yàn)證勾股定理。

4.使用向量表示兩個(gè)城市的相對(duì)位置，如果知道其中一個(gè)城市到第三個(gè)城市的向量，求另一個(gè)城市到第三個(gè)城市的向量。

5.給定一個(gè)線性變換矩陣，求變換后向量空間的基。

十、思考題（每題2分，共10分）

1.如果一個(gè)向量組線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組中的向量是否都可以被其它向量線性表示？

2.在三維空間中，四個(gè)點(diǎn)是否總是能構(gòu)成一個(gè)四面體？如果可以，請(qǐng)給出證明；如果不可以，請(qǐng)給出反例。

3.一個(gè)線性變換是否總是能將線性無關(guān)的向量組變換為線性相關(guān)的向量組？

4.如果兩個(gè)向量組的秩相等，它們是否能互相線性表示？請(qǐng)給出理由。

5.向量空間中的基變換是否總是可逆的？如果可逆，為什么；如果不可逆，請(qǐng)給出條件。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.D

2.B

3.B

4.D

5.D

二、判斷題答案

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空題答案

1.√(1^2+2^2+3^2)=√14

2.11

3.2

4.向量個(gè)數(shù)

5.維數(shù)

四、簡答題答案

1.向量線性組合：多個(gè)向量的加權(quán)相加，權(quán)重為實(shí)數(shù)。

2.線性相關(guān)：向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示；線性無關(guān)：向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示。

3.基：張成向量空間的最小線性無關(guān)向量組；維度：基中向量的個(gè)數(shù)。

4.行列式：矩陣的行列式表示了該矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換對(duì)空間的拉伸或壓縮程度；在向量空間中的應(yīng)用：判斷線性變換的可逆性、求解線性方程組等。

5.正交向量：兩個(gè)向量的點(diǎn)積為零；性質(zhì)：相互正交的向量線性無關(guān)，構(gòu)成的空間基可以進(jìn)行正交分解。

五、計(jì)算題答案

1.√(1^2+2^2+3^2)=√14

2.cosθ=(13+24)/(√(1^2+2^2)√(3^2+4^2))=11/√29

3.|A|=1423=2

4.線性相關(guān)，因?yàn)榈谌齻€(gè)向量是前兩個(gè)向量的線性組合。

5.線性無關(guān)，因?yàn)閍+b,b+c,c+a可以表示為a,b,c的線性組合。

六、作圖題答案

1.略

2.略

七、案例分析題答案

1.因?yàn)閐可以由a,b,c線性表示，所以d不提供新的線性無關(guān)的信息，因此(a,b,c,d)線性相關(guān)。

2.向量f在向量空間中，意味著f可以由基{e1,e2,e3}線性表示，且唯一性由線性無關(guān)性保證。

八、案例設(shè)計(jì)題答案

1.略

2.v4=v1+v2+v3

3.v1=(1,0),v2=(0,1)

4.略

5.略

九、應(yīng)用題答案

1.略

2.略

3.略

4.略

5.略

十、思考題答案

1.是的，線性相關(guān)的向量組中的向量都可以被其它向量線性表示。

2.不是，四個(gè)共面的點(diǎn)不能構(gòu)成四面體。

3.不一定，線性變換不總是能將線性無關(guān)的向量組變換為線性相關(guān)的向量組。

4.不一定，秩相等并不意味著它們能互相線性表示，還需要考慮具體的向量組。

5.基變換通常是可逆的，條件是變換矩陣是可逆的。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及各題型考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解：

1.向量的基本概念：長度、點(diǎn)積、向量組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)。

選擇題、判斷題、填空題、簡答題、計(jì)算題、案例設(shè)計(jì)題、應(yīng)用題、思考題

2.向量空間與基：向量空間的定義、基的概念、維度的確定。

選擇題、判斷題、填空題、簡答題、思考題

3.矩陣與行列式：矩陣的基本運(yùn)算、行列式的計(jì)算、矩陣與行列式的關(guān)系。

選