福建省寧德市2024-2025學年高一上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題 含解析

寧德市2024-2025學年度第一學期期末高一質(zhì)量檢測數(shù)學試題本試卷共19題.考試時間120分鐘，滿分150分.注意事項：1.答題前考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號，姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；填空題和解答題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.3.考試結束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的.1.已知命題，則命題的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得答案.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題可得命題的否定是：.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，利用集合間的關系確定選項.【詳解】由得，解得.記集合，，∵?，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則在定義域內(nèi)為（）A.減函數(shù) B.增函數(shù) C.偶函數(shù) D.奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求出函數(shù)的解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.【詳解】設，則，解得，∴，定義域為，為非奇非偶函數(shù)，∵，∴在上為增函數(shù).故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例可說明選項A、B、C錯誤；作差法可證明選項D正確.【詳解】對于選項A、B、C，令，，，，滿足.，選項A錯誤.，，選項B錯誤.，選項C錯誤.D.，∵，∴，∴，∴，∴，即，選項D正確故選：D.5.記，設，則函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)題意寫出分段函數(shù)的解析式，進而確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最小值.【詳解】由題可得，函數(shù)的解析式為，令，解得或x=-1,當或時，；當時，，∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴fx的最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)的零點為a，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，確定零點的取值范圍，即可得到的大小關系.【詳解】∵在R上為減函數(shù)，在R上為減函數(shù)，∴函數(shù)在R上為減函數(shù)，∵，，∴，∴，，∴.故選：C.7.已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可以排除選項A,B；利用函數(shù)的單調(diào)性可排除選項C.【詳解】根據(jù)圖像可得函數(shù)關于原點對稱，為奇函數(shù)，對于選項A：為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于選項D：為奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D8.定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）A. B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】令得，令可得選項A錯誤；令得，可得選項B正確；根據(jù)可得選項C錯誤；令，由可得選項D錯誤.【詳解】令得，，即，∵，∴不恒為0，∴，即.A.令，則，∴，即，∵，∴，選項A錯誤.B.令，則，∴，令，則的定義域為，且，∴是奇函數(shù)，選項B正確.C.令，則，由得，，令，則，即，故，由得，，∴不是偶函數(shù)，選項C錯誤.D.令，則，，由得不是減函數(shù)，選項D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：解決問題的關鍵是通過賦值求函數(shù)值，根據(jù)奇偶性及單調(diào)性的定義判斷選項.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知函數(shù)y=fx用列表法表示如下，則下列說法正確的是（123321A.的定義域與值域相同B.C.若，則D.是減函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由表格得選項A正確；根據(jù)函數(shù)定義域可得選項B錯誤；由條件得，解出可得選項C正確；根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得選項D正確.【詳解】A.函數(shù)y=fx的定義域為，值域為，A正確.B.由函數(shù)y=fx的定義域為可得選項B錯誤.C.由得，，故，C正確.D.由表格得，隨的增大而減小，故在定義域上是減函數(shù)，D正確.故選：ACD.10.已知二次函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.若恒成立，則D.若在內(nèi)有零點，則【答案】ACD【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，根的判別式和開口方向，零點存在定理及結合解不等式依次對每個選項進行分析求解．【詳解】A．當時，，選項正確；B．當時，，則，當時，，選項錯誤；C．若恒成立，則，解得：，選項正確；D．，要使得在內(nèi)有零點，則，即，解得：，選項正確；故選：ACD．11.已知桌面上有一個周長為2的由鐵絲圍成的封閉圖形，則（）A.當封閉曲線為半圓時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋B.當封閉曲線為正六邊形時，用直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋C.當封閉曲線為平行四邊形時，用直徑1的圓形紙片不可以完全覆蓋D.當封閉曲線為三角形時，用直徑為1的圓形紙片不可以完全覆蓋【答案】AB【解析】【分析】逐項分析各圖形的外接圓半徑或直徑，與圓形紙片的直徑比較即可確定正確選項.【詳解】A.設半圓半徑為，則，解得，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋半圓，選項A正確.B.當封閉曲線為正六邊形時，正六邊形的邊長為，正六邊形外接圓的直徑為，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正六邊形，選項B正確.C.當封閉曲線為正方形時，正方形邊長為，正方形的外接圓直徑為，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正方形，由正方形為平行四邊形可得選項C錯誤.D.當封閉曲線為正三角形時，正三角形邊長為，正三角形的外接圓半徑為，故直徑為1的圓形紙片可以完全覆蓋正三角形，選項D錯誤.故選：AB.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應位置.12.一個扇形的弧長和面積都是，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長及面積公式求解可得結果.【詳解】設扇形的半徑為，圓心角的弧度數(shù)為，則，兩式相除得，.故答案為：.13.______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)及對數(shù)運算法則可得結果.【詳解】故答案為：.14.已知過原點O的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點（A點位于B點的左側），過A點作x軸的垂線交的圖象于點C，若BC與x軸平行，則A點的坐標為______.【答案】【解析】【分析】設，則，根據(jù)BC與x軸平行得，利用求出，即可得到A點的坐標.【詳解】設，m>0，則，由BC與x軸平行得，，由得，，故，由三點共線得，，∴，即，解得，，∴A點的坐標為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合.（1）當時，求；（2）若，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式，化簡集合，根據(jù)集合的基本運算可得結果.（2）化簡集合，利用集合間的關系可求的取值范圍.【小問1詳解】由得，，解得，∴，當時，，∴.【小問2詳解】當時，∵，∴，∴的取值范圍為.16.近幾年，直播平臺作為一種新型的學習渠道，正逐漸獲得越來越多人的關注和喜愛.某平臺從2024年初建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關注，會員人數(shù)逐月增加，如下表所示：建立平臺第x個月12345會員人數(shù)y（萬）256.788.9為了描述從第1個月開始會員人數(shù)隨時間變化的關系.現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③.（1）選出最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；（2）請選取表格中的兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預測第幾個月會員人數(shù)達到14萬.【答案】（1）①，理由見解析（2），第16個月【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義域以及指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性特征分析判斷；（2）根據(jù)點，，求，即可得函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)解析式運算求解【小問1詳解】最符合實際的函數(shù)模型為①，根據(jù)表格知函數(shù)解析式需滿足在上有定義，所以②不滿足，又隨著月份增加，會員人數(shù)增加速度又會減慢，所以③不符合，只有①同時滿足上述兩個特征，故最符合.【小問2詳解】可選取表格中的兩組數(shù)據(jù)為：，，代入得解得，即，當時，，解得，，所以，可預測第16個月，會員人數(shù)達到14萬人.17.在單位圓中，已知銳角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊繞原點按照逆時針方向旋轉，交單位圓于點，點關于x軸的對稱點為.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式可得結果.（2）利用誘導公式及對稱表示，根據(jù)齊次式或同角三角函數(shù)的基本關系可求的值.【小問1詳解】由三角函數(shù)定義得，.∵，為銳角，∴，∴，，，，∴.【小問2詳解】解法一：由題意得，，，，，∴，，∵為銳角，∴，即，∴，即，∴，故，∴，即，解得或.解法二：由題意得，，，，，∴，，∵銳角，∴，即，∵，∴或，∴或.18.已知函數(shù)（1）證明：為奇函數(shù)；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3），，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義域為R且可得為奇函數(shù).（2）利用定義法可得函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得，分析范圍，利用集合間的關系可求參數(shù)的范圍.【小問1詳解】∵的定義域為R，且∴為奇函數(shù).【小問2詳解】，且，則，∵，∴，當時，，故，即，∴在上是增函數(shù)，當時，，故，即，∴在上是減函數(shù).綜上，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).【小問3詳解】解法一：∵，∴，，，∴，.由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).∵，∴，∴，∵，，使得，∴，∴，解得，∴.解法二：∵，∴，，，由（2）知，函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，即，故，∵，∴，∴，即，∵，，使得，∴，∴，解得，∴.19.定義：函數(shù)的定義域為，若對上的任意不同的兩個數(shù)和任意的，都有，則稱在上是凸函數(shù).（1）判斷是否為凸函數(shù)，并說明理由；（2）已知偶函數(shù)在上是凸函數(shù)，證明：在上也是凸函數(shù)；（3）若在上是凸函數(shù)，對于定義域內(nèi)任意不同的三個數(shù)和任意的，證明：當時，都有成立.【答案】（1）是凸函數(shù)，理由見解析（