河南省安陽市文源高級中學2024-2025學年高三下學期3月檢測數(shù)學試題（原卷版+解析版）

文源高中2024-2025學年（下）高三3月檢測數(shù)學科目考生注意：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．本試卷主要命題范圍：高考范圍．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知集合，，且，則（）A.0 B.1 C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.已知兩個非零向量和，若，，則（）A. B.0 C. D.4.已知的內角的對邊分別是，且，，則（）A.5 B.4 C.3 D.15.已知，，則（）A. B. C.1 D.6.已知橢圓的左、右焦點分別為線段上有一點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于B,C兩點，且則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)恰有一個零點，則（）A0 B.1 C.2 D.38.設等差數(shù)列的前項和為，已知，，設，則數(shù)列的前n項和為（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最大值為，當變化時，下列結論可能成立的是（）A， B.，C.， D.，10.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為的中點，則（）A.平面 B.平面C.三棱錐的體積為 D.與所成角的余弦值為11.已知圓，點為直線與軸的交點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，直線與交于點，則（）A.若直線與圓相切，則 B.時，四邊形的面積為C.的取值范圍為 D.已知點，則為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若則的值為__________.13.已知函數(shù)的圖像與直線相切，且與直線僅有一個交點，則______．14.如圖所示的迷宮共有9個格子，相鄰格子有門相通，9號格子就是迷宮出口，整個迷宮將會在4分鐘后坍塌，若1號格子有一只老鼠，這只老鼠以每分鐘一格的速度在迷宮里亂竄它通過各扇門的機會相等，則此老鼠在迷宮坍塌之前逃生的概率是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在直五棱柱中，，，，，，是的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．16.記數(shù)列前n項和為，已知，（1）求通項公式;（2）是否存在m和k，使得是和的等差中項?若存在，求出m和k的值;若不存在，請說明理由.17.已知雙曲線的實軸長為，直線為雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的標準方程；（2）設直線與雙曲線交于不同的兩點為坐標原點，且，過作，垂足為，問是否存在點使得為定值?若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.18.已知函數(shù)，．（1）比較與的大??；（2）證明：．19.甲、乙兩個不透明的袋中各有個材質、大小相同的小球，甲袋中的小球分別編號為，乙袋中的小球分別編號為．從甲袋中任取兩個小球，編號記為，從乙袋中任取兩個小球，編號記為．（1）若，設，求的分布列和數(shù)學期望．（2）設，，事件“”發(fā)生的概率記為．（?。┯煤M合數(shù)表示；（ⅱ）證明：當時，．附：．

文源高中2024-2025學年（下）高三3月檢測數(shù)學科目考生注意：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．本試卷主要命題范圍：高考范圍．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知集合，，且，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合相等結合集合的互異性可得的值，即可得結果.【詳解】，，若，則，或，解得，或，或，經驗證，當時，不滿足集合中元素的互異性，舍去，所以當時，；當時，，故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用共軛復數(shù)的定義及復數(shù)的運算，即可求解.【詳解】因為，則，所以，故選：C.3.已知兩個非零向量和，若，，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直數(shù)量積為零結合向量夾角的運算求解即可.【詳解】由已知得，即，所以，得故選：D.4.已知的內角的對邊分別是，且，，則（）A.5 B.4 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，，于是，結合，于是.故選：A5.已知，，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先由同角的三角函數(shù)結合兩角和的余弦展開式解方程得到，，再由兩角差的余弦展開式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以故選：6.已知橢圓的左、右焦點分別為線段上有一點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于B,C兩點，且則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的對稱性以及橢圓定義即可求解.【詳解】連接由橢圓對稱性知故選：D7.已知函數(shù)恰有一個零點，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】通過特殊值判斷出唯一零點為，同時存在極小值點，令恰為極小值點，即可求解.【詳解】通過代入特殊值可得，所以必然是的唯一零點；，令，，故有兩個不相等的實數(shù)根，令，根據(jù)韋達定理，可以判斷出；所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故是的極小值點；當時，，當時，，故如果恰有一個零點，必然是在極小值點取到零點，故；，此時恰有一個零點.故選：C.8.設等差數(shù)列的前項和為，已知，，設，則數(shù)列的前n項和為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算得出通項公式，再結合兩角和差正弦及余弦公式，最后結合裂項相消計算即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，，則，則，則數(shù)列的前n項和為：故選：二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最大值為，當變化時，下列結論可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABC【解析】【分析】通過選取不同的值，確定相應的區(qū)間，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質來找出每個區(qū)間上的最大值，進而分析選項.【詳解】對于選項A，當取時，考慮函數(shù).對于區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，在這個區(qū)間內，時取得最大值，所以該區(qū)間上的最大值.對于區(qū)間，同樣根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，時取得最大值，最大值.所以選項A可能成立.對于選項B，當取時，考慮函數(shù).對于區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，在這個區(qū)間內，時取得最大值，所以該區(qū)間上的最大值.對于區(qū)間，同樣根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，時取得最大值，最大值.所以選項B可能成立.對于選項C，當取時，對于區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，在這個區(qū)間內，和時取得最大值，所以該區(qū)間上的最大值.對于區(qū)間，同樣根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，時取得最大值，最大值.所以選項C可能成立.對于選項D，當時，區(qū)間和至少含有半個周期，則；當時，函數(shù)在區(qū)間上的存在使，即.故D不成立.故選：ABC.10.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為的中點，則（）A.平面 B.平面C.三棱錐的體積為 D.與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定方法判斷A的真假；判斷直線與的位置關系，判斷B的真假；求三棱錐的體積判斷的真假；構造異面直線所成的角并求其余弦，判斷的真假.【詳解】對選項A：因為，平面，平面，所以平面，故A正確；對B：如圖：取中點，連接，.因為，所以.又平面平面，平面平面，平面.所以平面.平面，所以.在直角中：，，所以.又，所以，又為中點，所以與不垂直.所以平面是錯誤的，故B錯誤；對C：因為，所以，故C正確；對D：取中點，連接，.因為，所以即為異面直線與所成的角.在中，，，所以.在中，，，所以，故D錯誤.故選：AC11.已知圓，點為直線與軸的交點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，直線與交于點，則（）A.若直線與圓相切，則 B.時，四邊形的面積為C.的取值范圍為 D.已知點，則為定值【答案】ACD【解析】【分析】選項A：利用圓心到直線的距離等于半徑，計算可得；選項B：利用求出長，根據(jù)相切得到的四邊形面積，等于兩個全等的直角三角形面積和，計算可得；選項C：利用求出長，在直角中，表示出，進而利用倍角公式求出，最后利用數(shù)量積公式計算可得；選項D：利用四點共圓，且為此圓直徑，求出此圓方程，再利用作差，求出相交弦所在直線方程，判斷出過定點，利用判斷出在以為圓心的圓上；選項D也可以利用圓極點極線性質，通過坐標，直接寫出方程，進而求解.【詳解】解：圓轉化為標準方程為，,在直角中，；對于A:若直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，所以A正確;對于B:當時，，，，四邊形的面積，所以B錯誤;對于C:，因為，所以，由對勾函數(shù)在上單調遞增，所以，所以C正確;對于D:方法一：當時，存在與軸的交點，，，所以四點共圓，且為此圓直徑，圓心為，半徑為，此圓方程為：，因為是此圓與圓的相交弦，故直線方程為兩圓方程作差，即，化簡得：，所以直線AB經過定點,因為，所以，因為在直線AB上，所以，即點在以為直徑的圓上，因為，，所以圓心恰為點，半徑為，因為點在該圓上，所以為定值，所以D正確.方法二：利用圓的極點極線性質，當時，存在與軸的交點，切點所在直線AB的方程為，化簡得，所以直線AB經過定點,因為，所以，因為在直線AB上，所以，即點在以為直徑圓上，因為，，所以圓心恰為點，半徑為，因為點在該圓上，所以為定值，所以D正確.故選：ACD.【點睛】此題考查的是圓切線相關問題：（1）直線與圓相切的判斷方法：圓心到直線距離等于半徑；（2）通過勾股定理，求切線長；（3）通過直角三角形和余弦的倍角公式，利用表示張角的余弦值；（4）利用四點共圓或極點極線性質，求切點弦所在直線方程；（5）極點極線性質：當在圓外時，過作圓的兩條切線，兩個切點所在直線方程為：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若則的值為__________.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法則與指對數(shù)互化求得，進而得到的值，從而得解.【詳解】故答案為：.13.已知函數(shù)的圖像與直線相切，且與直線僅有一個交點，則______．【答案】6【解析】【分析】寫出函數(shù)的導數(shù)，由題意分析得且存在唯一零點，且函數(shù)單調遞增，由判別式求得的關系，代回求得對應橫坐標，由圖像與直線相切得到，求得的值，從而得到結果.詳解】，由題意知函數(shù)單調遞增，且且存在唯一零點，∴，即，∴，，則，則，∴，∴.故答案為：6.14.如圖所示的迷宮共有9個格子，相鄰格子有門相通，9號格子就是迷宮出口，整個迷宮將會在4分鐘后坍塌，若1號格子有一只老鼠，這只老鼠以每分鐘一格的速度在迷宮里亂竄它通過各扇門的機會相等，則此老鼠在迷宮坍塌之前逃生的概率是__________.【答案】【解析】【分析】求得小鼠逃生路線有六種情況：利用獨立事件的概率公式求得每種情況的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】小鼠逃生路線有以下六種情況：；.概率分別為所以小老鼠逃生概率為故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在直五棱柱中，，，，，，是的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別取的中點，連接，先證四邊形為平行四邊形，再證四邊形為平行四邊形，進而得，最后應用線面平行的判定證明結論；（2）構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，分別取中點，連接，則．因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，．同理，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，故，又，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，可得，，，，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．16.記數(shù)列的前n項和為，已知，（1）求的通項公式;（2）是否存在m和k，使得是和的等差中項?若存在，求出m和k的值;若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在且或【解析】【分析】（1）利用與的關系式，由等差數(shù)列定義即可判斷數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，可得其通項公式；（2）由等差中項性質可得，即求出，再根據(jù)整除性質可得存在且或滿足題意.【小問1詳解】因為，①，所以，②，①-②，得，化簡，得由，，得，仍適合，所以數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】假設是和等差中項，則，即，化簡得，當時，，則，顯然不成立;當時，由，解得當時，，則是和的等差中項；當時，，則是和的等差中項；當時，，則，不適合題意.綜上，存在且或，使得是和的等差中項.17.已知雙曲線的實軸長為，直線為雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的標準方程；（2）設直線與雙曲線交于不同的兩點為坐標原點，且，過作，垂足為，問是否存在點使得為定值?若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到，由韋達定理得，結合條件，得到，從而可得直線過定點，再由直角三角形的性質，即可求解.【小問1詳解】由雙曲線實軸長為，得，因為雙曲線的漸近線方程為，又直線為雙曲線的一條漸近線，得，則，所以雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】直線，設，由，消得，則，所以，因為，又，所以，所以，得到，化簡得，又，得到，所以直線l恒過定點，又，則為直角三角形，所以當點為中點時，，所以存在點，使得為定值.18.已知函數(shù)，．