2025年北師大版八年級數(shù)學(xué)寒假專練：實數(shù)（12大題型）含答案

專題02實數(shù)

,內(nèi)容早知道

》第一層鞏固提升練（12大題型）

題型一平方根及其相關(guān)運用

題型二立方根及其相關(guān)運用

題型三平方根和立方根的實際應(yīng)用

題型四無理數(shù)的大小估算

題型五實數(shù)的相關(guān)概念與運算

題型六二次根式相關(guān)概念與性質(zhì)

題型七最簡二次根式與同類二次根式

題型八二次根式的大小比較

題型九二次根式的混合運算

題型十分母（分子）有理化的運用

題型十一復(fù)合二次根式的化簡

題型十二二次根式的應(yīng)用

"第二層能力培優(yōu)練

0=第三層拓展突破練

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

題型一平方根及其相關(guān)運用

☆技巧積累與運用

1.算術(shù)平方根：如果工2="（x>0）,那么這個數(shù)x叫做。的算術(shù)平方根，即：x=6。

2.平方根：如果/=a,那么x叫做a的平方根，即：x=±〃\

3.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：土日和山i。

聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方

試卷第1頁，共20頁

根均為0。

（24-25八年級上?福建漳州?期中）

1.下列說法錯誤的是（）

A.J話的平方根為±4B.±3是9的平方根C.25的平方根為±5

D.負數(shù)沒有平方根

（24-25八年級上?安徽宿州?階段練習(xí)）

2.-+2024的平方根分別是。，b,則的值為（）

a

A.0B.1C.-1D.2

（24-25八年級上?河北石家莊?期中）

3.已知有是整數(shù)，則正整數(shù)”的最小值是（）

A.4B.5C.6D.2

題型二立方根及其相關(guān)運用

☆技巧積累與運用

1.一個數(shù)。的立方根，用妙表示，其中。是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運

算。

2.任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相

同。

兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù)。

3.立方根的性質(zhì)：而（V^）3=aM=-五

4.被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移

動1位。

（23-24八年級上?遼寧錦州?階段練習(xí)）

4."的立方根是.

（23-24七年級下?安徽池州?期末）

5.若址）.3670=0.7160,#3.670=1.542,W-0.003670=.

（23-24七年級下?云南昭通?期末）

6.已知5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術(shù)平方根是4,求（。+26）2必的值為：.

試卷第2頁，共20頁

（24-25八年級上?成都市?期中）

7.解方程:

（1）4（X-1）2-49=0；

（2）27（2x-l）3=64.

題型三平方根和立方根的實際應(yīng)用

☆技巧積累與運用

①與普通應(yīng)用題列寫方程的過程相似，再按照算術(shù)平方根的特性解方程。

②按照正常方程思路，首先設(shè)未知數(shù)，列等式方程；再求解未知數(shù)；最后回答題干問題。

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

125

8.邊長為。的正方形面積為256,棱長為6的正方體體積為X，則油的值為.

64

（24-25八年級上?山西運城?期中）

9.某飾品店老板想用一塊邊長為20cm的正方形包裝紙裁剪一塊面積為360cm2的長方形包

裝紙（裁痕平行于正方形邊長），且長方形包裝紙的長、寬之比為4:3,請你用所學(xué)的知識

判斷是否可以裁剪出來？并說明理由.

（24-25八年級上?河北石家莊?期中）

10.【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4

個直角三角形拼在一起，就可以得到一個大正方形，所得到的大正方形的面積為

大正方形的邊長為.

【知識遷移】（2）愛鉆研的小思同學(xué)受到啟發(fā)，嘗試用兩個同樣大小的長方形拼出一個正方

形.如圖2,將兩個長和寬分別為3和2的長方形沿對角線剪開，將所得到的4個直角三角

試卷第3頁，共20頁

形拼出了一個中間有一個鏤空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFG”的邊長為

;大正方形的面積為；邊長為.

【拓展延伸】（3）小明想用一塊面積為900cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積

為740cm2的長方形紙片，使它的長與寬之比為5：4.請通過計算說明是否可行.

題型四無理數(shù)的大小估算

☆技巧積累與運用

估算法：（1）若則如<G<阮;（2）若則M<&<眄;

根據(jù)這兩個重要的關(guān)系，我們通常找距離。最近的兩個平方數(shù)和立方數(shù)，來估算G和媯

的大小。

例如：9<a<16,則3<G<4;8<a<27,則2c五'<3。

常見實數(shù)的估算值：血。1.414，百。1.732,百22.236。

（23-24七年級下?貴州遵義?期中）

11.“廣州塔”以其獨特的幾何美學(xué)吸引了全世界的關(guān)注，其設(shè)計充滿了曲線與幾何的融合,

展現(xiàn)了建筑美學(xué)理念.建筑設(shè)計師在創(chuàng)作過程中，運用了黃金分割比例，使建筑在視覺上更

具協(xié)調(diào)性和美感.黃金分割的比值約為且二，這個比值范圍正確的是（

2

J5-1J5-1

A.0.60<-——<0.61B.0.61<-——<0.62

22

V5-1V5-1

C.0.62<-——<0.63D.0.63<-——<0.64

22

（24-25八年級上?陜西咸陽?期中）

12.已知〃，6是兩個連續(xù)整數(shù)，+5<b,則6的值為（)

A.5B.6C.7D.8

（24-25八年級上?河北石家莊?期中）

13.如圖，數(shù)軸上A,3兩點表示的數(shù)分別為血和疝，則A,8兩點之間表示整數(shù)的點

試卷第4頁，共20頁

共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

（24-25八年級上?山東荷澤?期中）

14.【閱讀與思考】我們知道不是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部

分我們不可能全部的寫出來，而因為即2＜不＜3,于是近的整數(shù)部分是

2,將一個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，故可用近-2來表示近的小數(shù)部分.結(jié)合

以上材料，回答下列問題：

（1）”7的小數(shù)部分是,八-1的整數(shù)部分是;

（2）如果石的小數(shù)部分為。，后的整數(shù)部分為人，求a+6-君的值；

題型五實數(shù)的相關(guān)概念與運算

☆技巧積累與運用

1.無理數(shù)常見類型：（1）開不盡的方根；（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)；（3）含有7T的絕

大部分數(shù)。

2.每個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示：反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù),

即實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。因此，數(shù)軸正好可以被實數(shù)填滿。

3.在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全相同。

4.實數(shù)和有理數(shù)一樣，可進行加、減、乘、除乘方運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律

對實數(shù)仍然適用。

（23-24七年級下?湖南長沙?期末）

15.公元6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派認為“萬物皆數(shù)”，即一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)的比（分

數(shù)）表示，后來，這一學(xué)派中的希帕索斯發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整

數(shù)或整數(shù)的比表示，從而發(fā)現(xiàn)了無理數(shù).下列各數(shù)中不是無理數(shù)的有（）

7

A.—B.V9C.72D."

（23-24八年級上?山東濟南?開學(xué)考試）

16.下列說法正確的個數(shù)為（）

試卷第5頁，共20頁

①有理數(shù)與無理數(shù)的差都是有理數(shù)；

②無限小數(shù)都是無理數(shù)；

③無理數(shù)都是無限小數(shù)；

④兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)；

⑤無理數(shù)分為正無理數(shù)、零、負無理數(shù).

A.2個B.3個C.4個D.5個

（24-25八年級上?吉林長春?階段練習(xí)）

17.如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)據(jù)向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點

。，點。'對應(yīng)的數(shù)是兀，這說明無理數(shù)兀可以用數(shù)軸上的點表示出來.則下列說法正確的

A.數(shù)軸上只能表示有理數(shù)B.數(shù)軸上只能表示無理數(shù)

C.有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)D.實數(shù)與數(shù)軸上的點——對應(yīng)

（24-25八年級上?江西吉安?期中）

18.-64的立方根的相反數(shù)為,J正的平方根的絕對值為,的倒數(shù)

為.

（2024?北京?模擬預(yù)測）

19.從下列三個問題任選一題，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行分析說理.你只需要“說明”這些問

題即可，無需給出嚴格的“證明”.

問題一：圓周長與直徑的比值與4哪個更大?

問題二：也是有理數(shù)還是無理數(shù)？

—1）???（??加+1）

問題三：〃，加均為正整數(shù)，且加是正整數(shù)嗎？

問題四：無理數(shù)比有理數(shù)“多”嗎？（提示：請給出你的哆”的定義）

題型六二次根式相關(guān)概念與性質(zhì)

☆技巧積累與運用

1）二次根式：形如G（a20）叫做二次根式

試卷第6頁，共20頁

2）二次根式標有意義的條件：被開方數(shù)（式）為非負數(shù)（?>0）

注：①。僅是一個表示式，可為常數(shù)、單項式、多項式等整式

②二不一定無意義。當(dāng)好0時，則-起0,有意義。關(guān)鍵是看被開方數(shù)這個整體是否非負。

a（a>0）

3）平方根的性質(zhì)77=14=0（。=0）（五）、。（a>0）

-a（a<0）

（24-25九年級上?福建泉州?期中）

20.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.y/a2—2B.yja2+3C.3D.J-2a

（24-25九年級上?四川內(nèi)江?期中）

21.已知無-2>0,則下列二次根式一定有意義的是（）

A.-xB.y/x—3C.y/x—1D.Jx-4

（24-25八年級上?成都?期中）

22.已知實數(shù)。滿足|2024-4+&-2025=a,則0-20242的值為（）

A.2024B.2025C.20242D.20252

（24-25九年級上?四川內(nèi)江?期中）

23.實數(shù)X、y、z滿足條件五+Jy-l+Jz-2=w（x+y+z+9）,則初-z的值是

題型七最簡二次根式與同類二次根式

☆技巧積累與運用

最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個

二次根式叫同類二次根式，同類二次根式可以合并.

（24-25八年級上?廣東茂名?期中）

24.下列式子中，為最簡二次根式的是（）

A.B.J30C.-y/sD.77

（24-25八年級上?江蘇蘇州?期中）

試卷第7頁，共20頁

25.下列二次根式中，能與迎合并的是（）

A.^8B.C.s/12D.Jo.2

（23-24八年級下?吉林四平?期中）

26.若g與最簡二次根式標工I可以合并，則加=.

題型二次根式的大小比較

☆技巧積累與運用

對于二次根式的大小比較，常用以下幾種方法：平方法、作差法、作商法、分子有理化法、

分母有理化法、倒數(shù)法、特殊值法及定義法等。

平方法：主要針對一些二次根式的和或者差，不能通過觀察，常常先需要平方，將其化為整

數(shù)再比較大小。

作差法：若大數(shù)減去小數(shù)，則差大于0,若小數(shù)減去大數(shù)，則差小于0。

作商法：若被除數(shù)小于除數(shù)，則商小于1,若被除數(shù)大于除數(shù)，則商大于1。

（24-25八年級上?山西晉中?期中）

27.利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以比較實數(shù)的大小.若在方格紙中構(gòu)造如圖所示的圖形（方格

紙中每個小方格的邊長為1）,結(jié)合圖形可得6―1+V2.（填或“=”）

［，］

（23-24八年級上?湖南衡陽?期中）

28.比較大?。毫⒇?（填“>,<或=”）

2

（24-25八年級上?內(nèi)蒙古包頭?期中）

29.比較大?。篤3__2；y/15____3.85；1二1

28

題型九二次根式的混合運算

☆技巧積累與運用

在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除,

最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行。另外，有

理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵。

（24-25九年級上?河北邢臺?期中）

試卷第8頁，共20頁

30.如下所示可將》=也二轉(zhuǎn)化為方程x2+x-l=0,我們規(guī)定：方程Y+x-l=0稱為

2

X=避二1的還原方程.

2

x=^，■去分母,2x=V5-l

移項，2x+l=6

兩邊平方，4x2+4x+1=5

整理，x2+x-l=0

則的還原方程是.

2

(22?23八年級上?四川成都?階段練習(xí))

乙1-1

31.已知苫=-，"行5

⑴①求代數(shù)式/+xy+/的值;

②先化簡，再求值：《+*.

(2)若-x的小數(shù)部分為生一了的整數(shù)部分為6.化簡求值:

-a)-2y+yj-b3-(x+4)202'(a+3戶”.

(24-25八年級上?陜西咸陽?期中)

32.計算

(芯義廂2

⑴^^一2；

⑵(6+2)(1-@；

(3)|V7-3|-3V2xV14；

⑷(2+6『-(3-2@(3+2后)；

(5)^2712-2^1+727^273.

題型十分母(分子)有理化的運用

☆技巧積累與運用

試卷第9頁，共20頁

分子有理化與分母有理化：在對分子或分母變形時，主要用到平方差公式來進行的。

1）首先，將分子和分母各自簡化為最簡二次根式，確保沒有多余的根式因子。

2）然后，關(guān)鍵步驟是找到分母的有理化因式。所謂有理化因式，指的是兩個含有二次根式

的代數(shù)式，它們相乘后的結(jié)果中不含有二次根式。

3）接下來，將分子乘以分母的有理化因式，目的是消去分母中的根式部分，使得最終結(jié)果

只有有理數(shù)或最簡二次根式的形式。

（24-25八年級上?四川成都?期中）

33.閱讀下列解題過程：

]M而"）娓-小%R

瓜+小一（加+司（后-石廠（何、（百

請回答下列問題：

（1）觀察上面的解答過程，請寫出+;

3333

⑵利用上面的解法’請化簡：年方+正二萬+后石+,….,血024+也025

⑶g-JiE和耳-屈的值哪個較大，請說明理由.

（24-25九年級上?山西?階段練習(xí)）

34.閱讀與思考

下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報告的部分內(nèi)容.請認真閱讀，然后完成后面的任務(wù).

關(guān)于“分母有理化”的研究報告

博學(xué)小組研究對象：利用分母有理化求二次根式的值

研究思路：利用分母有理化的概念將二次根式進行化簡，再求值.

研究方法：利用概念一法則的方式進行研究

研究內(nèi)容：【兩個概念】

（1）在二次根式中，將兩個含有根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，則稱

這兩個代數(shù)式互為有理化因式，如血的有理化因式為0+1，g+后的有理化因式是

V3-V2.

（2）在解決分母含有二次根式的問題時，我們可以給分子、分母同乘以分母的有理化因式,

這樣把分母中的根號化去，這種方式稱為分母有理化，如：

試卷第10頁，共20頁

41+\~(V2+1)(V2-1)-

【概念理解】

(1)血+石的有理化因式是.

(2)5后分母有理化的結(jié)果為.

任務(wù)：

⑴直接寫出研究報告中“_____”處空缺的部分分別是、.

(2)利用分母有理化比較￡_戈與圭的大小.

⑶計算：/需+/萬+正條+…+懸6

(24-25八年級上?陜西咸陽?期中)

35.認識概念：

一、兩個含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)

式互為有理化因式；

如：V3xV3=3；(V2+1)X(V2-1)=2-1=1,我們稱為的一個有理化因式為百，四+1的

一個有理化因式是應(yīng)-1；

二、如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式,

使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.

,11x(2-拘

如：iwr=2-^/3；

(2+V3).(2-V3)

理解應(yīng)用：

L2

(1)填空：百-2的有理化因式是；將■萬分母有理化得:

335

⑵化簡：/k京iF

拓展應(yīng)用：

(3)利用以上解題方法比較3-2也與5-2"的大小，并說明理由.

題型H■一復(fù)合二次根式的化簡

☆技巧積累與運用

試卷第11頁，共20頁

化簡二次根式，關(guān)鍵是要化簡出平方（偶次）項來，我們八年級上冊學(xué)習(xí)的完全平方公式能

夠很好的完成這個任務(wù)。因此，在化簡二次根式時，我們常用到乘法公式。

（24-25八年級上?貴州貴陽?期中）

36.貴陽市第十九中學(xué)數(shù)學(xué)社團的同學(xué)，在社團活動中遇到了化簡二次根式正不后的難

題.

【問題解決】

⑴小慧同學(xué)的解決思路是將3-20轉(zhuǎn)化為（。-可2的形式，根據(jù)J（a-6）2=a-b.因為

（V2）2+l2=3,2xV2xl=2V2，所以，b=,則可得到化簡；

【問題探究】（2）請仿照小慧的解題思路，化簡二次根式45+2卡;

【問題遷移】（3）若1WXW2,解方程Jx+2J無一1+Jx-2y/x-l=5（尤+3）.

（23-24八年級下?貴州黔東南?期中）

37.先閱讀下列解答過程：

材料一：形如的式子的化簡,只要我們找到兩個正數(shù)使。+6=加,。6=〃，

即（G）+（筋）=m,y[axy/b=y[n,那么便有y]m±14n=+y[b'）2=y[a±y[b（a>b）-

例如：化簡47+4省?

解：首先把g+4被化為j7+2g，這里機=7,?=12,

由于4+3=7,4x3=12,即（"『+（道『=7,74x73=712,

所以《7+46=V7+2V12=’（4+6）2=2+V3.

材料科二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化

因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.例如：

11x73V38873x738（指+碼、幅、、國

TTTrqr5'不正一（反一碼（指+@一一4—……

請根據(jù)材料解答下列問題：

（_____3

（1）填空：①“—2方=:②忑7=-

⑵化簡：719-4715（諸寫出計算過程）；

試卷第12頁，共20頁

111

⑶化簡：7^運+忘市+后變.

題型十二二次根式的應(yīng)用

☆技巧積累與運用

注意題目中的隱含條件：在解決二次根式實際應(yīng)用問題時，還需要特別注意題目中的隱含條

件。這些隱含條件可能是對被開方數(shù)的限制、對根的個數(shù)的限制等。在解題時，要認真審題,

充分挖掘這些隱含條件，以免造成解題錯誤。

(24-25九年級上?河南洛陽?階段練習(xí))

38.有一塊矩形木板N2C。，木工甲采用如圖的方式，將木板的長4D增加2V§cm,寬48

增加7AQcin，得到一個面積為192cm2的正方形/EFG.

B'-----------'C；

II

II

II

II

II

II

II

II

G---------------F

(1)求矩形木板45CD的面積；

(2)木工乙想從矩形木板中裁出一個面積為12cm"寬為逅cm的矩形木料，則該矩

2

形木料的長為cm；

(3)木工丙想從矩形木板N5C。中截出長為2.0cm、寬為1.5cm的矩形木條，最多能截出

根這樣的木條.

(24-25八年級上?山東青島?期中)

39.已知Z=G+B=yla+b(<a>0,>0).

(1)計算：當(dāng)。=0,6=1時，A-,B=；

當(dāng)Q=1,b=l時，A=,B=；

當(dāng)a=4,6=12時，A=,B=；

(2)猜想：無論〃，b為任何非負數(shù)時，A8始終成立(填“>”，“<”，">"，

或“二”)；

⑶請說明(2)中猜想的合理性.

試卷第13頁，共20頁

（24-25九年級上?湖南衡陽?階段練習(xí)）

40.“二次根式”與“乘法公式”的碰撞往往很精妙，例如：①借助完全平方公式求3-2&的

算術(shù)平方根，???3-2后=2-2亞+1=（拒『一2行+「=（百一1『，.?.,3-2亞=拒-1；②

利用完全平方公式求x+J（x>0）的最小值，當(dāng)。>0,6>0時，有振了之0,...

a-2y[ab+6>0,即a+b2。，x+工22/了」=2,，x+一的最小值為2.

x\xx

根據(jù)以上信息解決以下問題：

D

（1）化簡76+2-75的值為;當(dāng)x<0時，-尤-*的最小值為;

⑵在RtZX/BC中，ZC=90°,AB=4-也,AC=6,那么2C邊的長為多少？（結(jié)果化

成最簡）.

（3）如圖，四邊形/BCD的對角線/C,2。相交于點O,"OB、△C。。的面積分別為12

和27,求四邊形4BCD面積的最小值.

--------G^2HD-O-?--------

（24-25八年級上?四川成都?期中）

41.下列各式中運算正確的是（）

A.正=-2B.廊=±7

C.玳-4）3=4D.^27=3

（24-25八年級上?山西運城?期中）

42.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)估計環(huán)的十分位上的數(shù)字是（）

n262.44265.69268.96272.25

16.216.316.416.5

A.2B.3C.4D.5

（24-25八年級上?福建泉州?期中）

試卷第14頁，共20頁

43.下列關(guān)于后的敘述中，錯誤的是（）.

A.面積為5的正方形的邊長為6B.火是無理數(shù)

C.在數(shù)軸上存在表示石的一個點D.右的小數(shù)部分是：2-6

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

44.下列說法正確的個數(shù)是（）

①最小的負整數(shù)是-1;②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；

③當(dāng)。20時，14=-a成立；④兩個無理數(shù)的和仍為無理數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

（24-25八年級上?陜西咸陽?期中）

45.下列計算中正確的是（）

A.375x372=3710B.26+3亞=5石

C..9-=3-D.員百=也

V42

（24-25八年級上?重慶?期中）

46.已知實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡J（a+b）2+J（a+l）2的結(jié)果為.

-------1-------.-----------------1--------->-----------------1——>

-1a0b1

（23-24九年級上?重慶北暗?期中）

47.最簡二次根式+6與。弋36-.是同類二次根式,則a+6=.

（23-24八年級上?江西撫州?階段練習(xí)）

48.運用分類討論的方法，請你解答下列問題：

（1）當(dāng)3WaV7時，化簡：J（叱3）2+J（7_a）2=；

（2）若等式J（a-5）2_J（a+9『=14成立,則a的取值范圍是；

⑶若J（a+1）2+=8,求a的值.

（24-25八年級上?河北唐山?期中）

49.數(shù)學(xué)課上，老師講解實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系，要求學(xué)生在數(shù)軸上描點.

Miijtu:uj即gI9鬻

頗n急14

（1）點A表示的數(shù)是面積為2的正方形邊長，點A表示的數(shù)是；在數(shù)軸（如圖）上標出

試卷第15頁，共20頁

點A；

（2）把一枚直徑是1的硬幣邊緣上的一點3與數(shù)軸原點重合，讓硬幣沿數(shù)軸負方向無滑動滾動

一周，此時點8處表示的數(shù)字是，并在數(shù)軸（如圖）上標出點8.

（3）比較點8處表示的數(shù)字與一所的大小，直接寫出結(jié)果.

（24-25八年級上?廣東茂名?開學(xué)考試）

50.任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)7：機<7<〃，（其中加為滿

足不等式的最大整數(shù)，〃為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)T的“麓外區(qū)間”為（見“）,

如1<也<2,所以血的麓外區(qū)間為（1,2）.

（1）無理數(shù)M的“麓外區(qū)間”是；

（2）若6=Ja-2+j2-4-V7,求6的“麓外區(qū)間”.

（24-25八年級上?浙江杭州?期中）

51.閱讀材料，完成下列任務(wù)：

材料一；材料二：

我們可以用以下方法

表示無理數(shù)近的小數(shù)我們可以用以下方法求無理數(shù)斌的近似值（保留兩位小數(shù)）.

部分.

4<7<9,

???面積為107的正方形的邊長是&而，且10<Vi而<11..??設(shè)

???V4<V7<V9,即

V107=10+x,其中0<x<l,畫出邊長為10+x的正方形，如圖

2<77<3,

1：根據(jù)圖中面積，W102+2X10X+XZ=107,當(dāng)一較小時，忽略

,近的整數(shù)部分為2,

%2,得100+20x=107.解得x=0.35.

.??療的小數(shù)部分為

.-.VW7=10+x=10.35.

VY-2.

試卷第16頁，共20頁

(1)利用材料一中的方法，厲的小數(shù)部分是二

(2)x是屏-2的小數(shù)部分，y是5-后的小數(shù)部分，則x+y的值是多少？

(3)利用材料二中的方法，探究而7的近似值(保留兩位小數(shù)，并寫出求解過程)

(24-25八年級上?遼寧沈陽?期中)

52.閱讀材料：像心+2)(病-2)=1,G?6=小20)…這種兩個含二次根式的代數(shù)式

相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.在進行二次根式運算時，利

I6+1n:,

==V

用有理化因式可以化去分母中的根號.例如：(72-i)(V2+i)

請你根據(jù)上述材料，解決如下問題：

(1)旗-石的有理化因式是，￡加=；

⑵比較大?。篔2025-J2024______J2024-J2023(填>,<,2或4中的一種)

(3)計算：[遭+]+逐+道+77+7?+…+V2025+V2023)^2025+0

(4)已知J2025+X+V2023+X=2,求J2025+X-J2023+X的值.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(24-25七年級上?浙江寧波?期中)

53.對于實數(shù)。、b,定義min{a,6}的含義為：當(dāng)qVb時，mm{a,b}=a；當(dāng)時，

min{a,6}=6,如：min{l,-2}=-2.已知min=a,minl-V40,Z,|=-740,且a

試卷第17頁，共20頁

和6為兩個連續(xù)整數(shù)，則4a+66的立方根值為（）

A.3B.-2C.-3D.-4

（24-25八年級上?重慶南岸?期中）

54.對依次排列的兩個二次根式近，Q進行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：

夜，y/3,V3-V2；第2次操作，得到二次根式串：O,拒,V3-V2,-亞；第3次

操作，得到二次根式串：也，V3-V2,-V2，-百；…，每次操作增加的項，都是

用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，某數(shù)學(xué)興趣小組對操作后得到的二次根式串

展開研究，得到下面3個結(jié)論：

①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0.

②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9個.

③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是26-血.

以上結(jié)論正確的個數(shù)有（）

A.3B.2C.1D.0

（23-24八年級上?遼寧錦州?階段練習(xí)）

55.類比平方根和立方根，我們定義〃次方根為：一般地，如果x"=a,那么x叫。的"次

方根，其中〃>1,且〃是正整數(shù).例如：因為（±3）4=81,所以±3叫81的四次方根，記作:

土購=±3,下列結(jié)論中正確的是（）

A.負數(shù)。有偶數(shù)次方根B.32的5次方根是±2

C.20K聲D.當(dāng)”為奇數(shù)時，2的〃次方根隨〃的增大而

減小

（24-25八年級上?重慶?期中）

56.任意一個四位正整數(shù)m=abed,如果它的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零，千位與十位上

的數(shù)字之和是10,百位與個位上的數(shù)字之和是9,則這個數(shù)稱為“十拿九穩(wěn)數(shù)”.將僅的千位

與十位對調(diào)、百位與個位對調(diào)后的四位數(shù)記為“，其中尸（〃?）=蹤￡，則/。871）=；

若^廠（加）+4a+106+l為整數(shù),則滿足條件的“十拿九穩(wěn)數(shù)”機的最大值為.

（24-25八年級上?山西臨汾?期中）

57.對于實數(shù)P,我們規(guī)定：用｛四｝表示不小于V?的最小整數(shù).例如：｛〃｝=2,

試卷第18頁，共20頁

｛百｝=2.現(xiàn)在對72進行如下操作：

72第一次＞｛阮｝=9第二次＞｛碼=3第三次＞｛g=2,即對72只需進行3次操作后變?yōu)?/p>

2.類似地，要想讓2024變?yōu)?,需進行的操作次數(shù)為.

(24-25八年級上?遼寧沈陽?階段練習(xí))

58.【觀察發(fā)現(xiàn)】

???函+病2=(倔2+(⑹2+276^5=11+2730.

???711+2730=7(76+V5)2="+療；

???(2+V3)2=22+(V3)2+2x2x73=7+473,

???77+4&=J(2+V3)2=2+V3.

【初步探索】

(1)化簡：710+2721=；

(2)形如yjm-2-\[n可以化簡為\[a—y[b,即sjm—=s[a—~Jb，且。，b,"I，"均為

正整數(shù)，用含。，6的式子分別表示加，“，得加=,〃=;

(3)若\+4幻=1+八后且x,V均為正整數(shù)，求x的值；

【解決問題】

(4)某飾品店鋪要將甲、乙兩個飾品盒放在一個包裝紙箱中寄出.甲、乙兩個飾品盒都是

正方體，底面積分別為80cm2和(14+6指)cn?.快遞公司現(xiàn)有三款包裝紙箱，紙箱內(nèi)部規(guī)

格如下表(紙箱厚度不計)：

型號長寬高

A型10cm8cm12cm

B型12cm10cm15cm

C型16cm10cm10cm

請你通過計算說明符合條件的包裝紙箱型號有幾種？若從節(jié)約空間的角度考慮，應(yīng)選擇哪種

型號的紙箱？

(2024?廣東?模擬預(yù)測)

試卷第19頁，共20頁

59.【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運算法則、等式的

性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計算時發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個連續(xù)的正整數(shù)加、"，它們的乘積q(q=m*

與較大數(shù)的和一定為較大數(shù)的平方.

(1)舉例驗證：當(dāng)加=4,〃=5,則q+〃=4x5+5=25=52

(2)推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：

設(shè)加＜〃，"八〃是連續(xù)的正整數(shù)，

n=m+l；q=mn,,-.q+n=mn+n=n(wz+1)=7z2.

.??4+〃一定是正數(shù)〃的平方數(shù).

【類比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方.

請你舉例驗證及推理證明；

【深入思考】若p=dq+2n+1q-2m(加，〃為兩個連續(xù)奇數(shù)，0＜加＜%?="7"),求證:

p一定是偶數(shù).

(23-24八年級下?江西贛州?期中)

60.定義：我們將(6+新)與(夕-6)稱為一對“對偶式”.因為

(&+振)(&-痛)=(五『_(揚『=°一6,可以有效的去掉根號，所以有一些問題可以通

過構(gòu)造“對偶式”來解決.

例如：已知,求J18-X+Jll-x的值,可以這樣解答：

因為(J18-X-Jll-x)x(J18-X+Jll-x)=(718-x)2-(Vll-x)2=18-x_ll+x=7,

所以J18-X+Jll-x=7.

(1)已知：J20-X+J4-尤=8,求J20-X-J4-X的值;

(2)結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：720^7+74^=8;

⑶計算：3V1+V3+573+375+775+577+十202342021+2021J2023.

試卷第20頁，共20頁

1.A

【分析】本題主要考查了平方根，算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的定義，

正數(shù)有兩個平方根互為相反數(shù)，負數(shù)沒有平方根.根據(jù)平方根的定義，逐個進行判斷即可.

【詳解】解：A、&%=4的平方根為±2,故不正確，故本選項符合題意；

B、士3是9的平方根，正確，故本選項不符合題意；

C、25的平方根為±5,正確，故本選項不符合題意；

D、負數(shù)沒有平方根，正確，故本選項不符合題意.

故選：A.

2.B

【分析】此題考查了平方根的意義.正數(shù)的平方根有兩個，一個正的平方根和一個負的平方

根，且互為相反數(shù)，據(jù)此進行解答即可.

【詳解】解：:/+202422024〉0,/+2024的平方根分別是。，b,

6互為相反數(shù)且都不為0,

,.b,

：.a+b=0,—=-1,

a

.-.a+b——=0—(—1)=1,

故選：B

3.C

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)題意可得2?x6”是一個完全平方數(shù),

再結(jié)合〃為正整數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：?.?聲=后應(yīng)是整數(shù)，

.??22*6〃是一個完全平方數(shù)，

???正整數(shù)〃的最小值為6,

故選：C.

4.也

【分析】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義，能熟記算術(shù)平方根和立方根定義是解此題

的關(guān)鍵，注意：a(a>0)的算術(shù)平方根是G，。的立方根是無.

先求出〃=2，再求出2的立方根即可.

【詳解】解：:"=2’

答案第1頁，共36頁

.?.V4的立方根是蚯，

故答案為次.

5.-0.1542

【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

利用立方根的定義及負指數(shù)幕的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：,??0.003670=3.670義10一3,

???W-0.003670=3-3.670x10-3=-1.542X10-'=-0.1542,

故答案為：-0.1542.

6.92024

【分析】本題主要考查了立方根和算術(shù)平方根定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)立方根定義和算術(shù)平

方根定義求出。=5,b=2.根據(jù)立方根定義和算術(shù)平方根定義求出a=5,6=2,然后求

出結(jié)果即可.

【詳解】解：:5a+2的立方根是3,

5。+2=27,

解得：a=5,

又?:3a+b-l的算術(shù)平方根是4,

二3a+6-1=16,

X"a=5,15+6-1=16

解得6=2,

??.(a+26產(chǎn),=(5+4).=9的.

59

7.(l)Xj=--,x2=-

7

(2)^=-

6

【分析】本題主要考查了利用平方根解方程，立方根的實際應(yīng)用等知識點，熟練掌握利用平

方根解方程和立方根的實際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵：①利用平方根解方程的方法：一個正數(shù)有

兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0只有一個平方根，負數(shù)沒有平方根；在解方程時，利用平

方根的定義進行開方，從而求出未知數(shù)的值；②利用立方根的概念解方程的方法：正數(shù)的立

方根是一個正數(shù)，負數(shù)的立方根是一個負數(shù)，0的立方根是0；在解方程時，利用立方根的

定義進行開立方，從而求出未知數(shù)的值；在求立方根時，常需轉(zhuǎn)化為d=a的形式，也常常

答案第2頁，共36頁

將（x+af中的x+a看作一個整體來處理.

（1）在解方程時，利用平方根的定義進行開方，從而求出未知數(shù)的值；

（2）在解方程時，利用立方根的定義進行開立方，從而求出未知數(shù)的值.

【詳解】（1）解：4（X-1）2-49=0,

、4Q

整理，得：（x-l）-=彳，

7

開平方，得：x-l=±-,

7

x=1+—,

2

59

?F=”，

（2）解：27（2X-1）3=64,

,64

整理，得：（2x-l）3=1p

4

開立方，得：2x-l=§,

7

x=一.

6

8.20

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.先利用正方

形的面積和體積公式求出a,6的值，然后再代入式子中進行計算，即可解答.

【詳解】解：???邊長為。的正方形面積為256,

■-a2=256,

6Z>0,

6Z—16,

???棱長為b的正方體體積為12標5，

64

高U,

64

：.b=—,

4

（26=16x—=20,

4

故答案為：20.

9.不能裁剪出符合要求的長方形包裝紙，見解析

答案第3頁，共36頁

【分析】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提.

設(shè)長方形包裝紙的長、寬分別為4xcm、3xcm,根據(jù)算術(shù)平方根求解比較即可得出結(jié)果.

【詳解】解：不可以裁剪出來.

理由：設(shè)長方形包裝紙的長、寬分別為4xcm、3xcm,

貝!J：4x-3x-360.BPx2=30,

解得：x=V30（負值舍去）.

長方形的長為4A畫cm.

V4A/30>20

二不能裁剪出符合要求的長方形包裝紙.

10.（1）2,72;（2）1,13,V13；（3）不可行，理由見詳解

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和長方形的面積計算方法

以及算術(shù)平方根.

（1）根據(jù)大正方形的面積=2個小正方形的面積和，即可得解；

（2）根據(jù)大正方形的面積=4個直角三角形的面積+小正方形的面積即可解答；

（3）設(shè)截出的長方形紙片的長為5xc機，寬為4xc加，根據(jù)題意列出方程，計算即可解答.

【詳解】解：（1）由題意得：所得到的大正方形面積為1+1=2,邊長為0；

（2）由題意得：所得到的小正方形EFG8的邊長為：3-2=1；大正方形N8CD的面積為:

4X1X3X2+12=13；邊長為布；

（3）不可行，理由如下：

設(shè)截出的長方形紙片的長為,寬為4xcm,

則5x-4x=740,

x=A/37（負值舍去），

二截出的長方形紙片的