2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)：平面向量的概念（解析版）

第01講平面向量的概念

模塊導(dǎo)航素養(yǎng)目標(biāo)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結(jié)合物理中的力、位

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三與聯(lián)系；

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)2.認(rèn)真閱讀課本，在讀書過程中學(xué)會(huì)用有向線段、字母

表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別；

3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，理解零向量、單位向量、平行

向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)

圖形中這些相關(guān)的概念.學(xué)會(huì)向量的表示方法；

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)1向量的概念

（1）向量

在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我們所學(xué)的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.

②向量與向量之間不能比較大小.

（2）數(shù)量

只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量，如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積體積、質(zhì)量等

（3）向量與數(shù)量的區(qū)別

①向量與數(shù)量的區(qū)別：向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能

比較大小

②向量與矢量:數(shù)學(xué)中的向量是從物理中的矢量（如位移、力、加速度、速度等）中抽象出來的，但在這里我

們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時(shí)具備大小和方向這兩個(gè)屬性,還具有其他屬性（如“力”

就是由大小方向、作用點(diǎn)所決定的）.

知識(shí)點(diǎn)2（1）有向線段

具有方向的線段叫做有向線段

①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點(diǎn)指向終點(diǎn).以A為起點(diǎn)、3為終點(diǎn)的有向線段

記作A8（如圖所示），線段A3的長(zhǎng)度也叫做有向線段的長(zhǎng)度，記作表示有向線段時(shí),起點(diǎn)一定要寫

在終點(diǎn)的前面,上面標(biāo)上箭頭.

終點(diǎn)）

4（起點(diǎn)）

②有向線段的三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定了.

（2）向量的表示

①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.

②字母表示：向量可以用字母°,…表示

（3）向量的模

向量AB的大小稱為向量AB的長(zhǎng)度（或稱模），記作|].

（4）兩種特殊的向量

零向量:長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記作0.

單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向量

①若用有向線段表示零向量,則其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合.

②要注意0與0的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量,且有101;書寫時(shí)0表示零向量,一定不能漏掉

0上的箭頭.

③單位向量有無數(shù)個(gè),它們大小相等，但方向不一定相同.

④在平面內(nèi),將表示所有單位向量的有向線段的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.

知識(shí)點(diǎn)3相等向量與共線向量

（1）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量4與b平行,記作ab.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對(duì)

于任意向量a,都有0a.

（2）相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a與。相等,記作a=b-兩個(gè)向量相等必須具備的條件是長(zhǎng)度相等,方向相同因?yàn)橄蛄客耆伤姆较?/p>

和模確定,故任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).

（3）共線向量

任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.

共線向量所在直線平行或重合,如果兩個(gè)向量所在的直線平行或重合,則這兩個(gè)向量是共線向量.

?＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：向量的有關(guān)概念

1.（23-24高一下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）給出下列物理量:

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度;⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示

【分析】根據(jù)向量的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】速度、位移、力、加速度既有大小,又有方向，故它們?yōu)橄蛄?

余下皆不為向量,

故選：D.

【變式1-1］（23-24高一下?黑龍江綏化?階段練習(xí)）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A,向量可以比較大小B.向量的模可以比較大小

C.速度是向量，位移是數(shù)量D.零向量是沒有方向的

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、向量的模

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念直接判斷即可.

【詳解】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯(cuò)誤，B正確；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯(cuò)誤；

零向量方向任意，D錯(cuò)誤.

故選:B

【變式1-2］（多選）（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）（多選）下列說法正確的是（）

A.加速度是向量B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同

C.零向量的方向是任意的D.向量就是有向線段

【答案】AC

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、相等向量

【分析】根據(jù)向量的有關(guān)定義即可判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】A.由向量的定義知，加速度是向量，故正確；

B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，方向不一定相同，所以它們的終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤；

C.由零向量的定義知，零向量的方向是任意的，故正確；

D.向量可以用有向線段表示，但兩者不同，故錯(cuò)誤.

故選：AC.

⑴找出與EE相等的向量；

⑵找出幾組相反向量.

【答案】⑴BC=FE

（2）04與FE，0A與8C,0C與DE

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、相反向量

【分析】（1）根據(jù)相等向量定義判斷選擇即可；

（2）根據(jù)相反向量定義判斷選擇即可.

【詳解】（D8C與EE方向相同且長(zhǎng)度相等，故BC=FE.

（2）OA與FE，。4與8C,0C與QE方向相反且長(zhǎng)度相等分別互為相反向量.

考點(diǎn)二：向量的表示

例2.（23-24高一?全國(guó)?隨堂練習(xí)）畫圖表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：

⑴由A地向東北方向航行15km到達(dá)B地；

⑵由A地向北偏西30。方向航行20km到達(dá)C地；

⑶由C地向正南方向航行20km到達(dá)。地.

【答案】(1)答案見詳解

(2)答案見詳解

(3)答案見詳解

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示

【分析】先畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，北偏東45。的角，并取出相應(yīng)的長(zhǎng)度確定5點(diǎn)；接下來再以點(diǎn)4為頂點(diǎn)畫

出北偏西30。的角，并取出相應(yīng)的長(zhǎng)度確定C點(diǎn)，再以點(diǎn)C為頂點(diǎn)正南方向，并取出相應(yīng)的長(zhǎng)度確定。點(diǎn)

即可.

【詳解】(1)根據(jù)1：500000的比例尺，15km即圖上3cm,作圖如下，

(2)根據(jù)1:500000的比例尺，20km即圖上4cm,作圖如下,

(3)根據(jù)1:500000的比例尺，20km即圖上4cm,作圖如下,

【變式2-1](23-24高一?上海?課堂例題)在平面直角坐標(biāo)系中，作出表示下列向量的有向線段:

⑴向量a的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正方向的夾角為120。且|?|=3；

⑵向量6的模為4,方向與y軸的正方向反向;

（3）向量c的方向與y軸的正方向同向，模為2.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析

（3）答案見解析

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示

【分析】（D由向量的相關(guān)定義作圖即可;

（2）由向量的相關(guān)定義作圖即可;

（3）由向量的相關(guān)定義作圖即可.

由題意與=3cos12。=-1^=3sml20=孚故04即為所求，其中“一卻；

(2)

Ox

4~b

(0,-4)'為

由題意XB=4cos(-90)=0,%=4sin(-90)=-4,故?即為所求，其中*0,7);

(3)

斗

yo,2)

-c2

---------------------->

OX

由題意.%=2COS90=0,Jc=2sin90=2,故OC即為所求，其中C(0,2).

【變式2-2］（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）在方格紙（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1）中，畫出下列向量.

(1)|OA|=2,點(diǎn)A在點(diǎn)0的正東方向；

⑵口q=2近，點(diǎn)8在點(diǎn)。的北偏東45。方向；

(3)求出,目的值.

【答案】⑴答案見解析

(2)答案見解析

(3)網(wǎng)=2.

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示、向量的模

【分析】(1)根據(jù)要求畫出點(diǎn)A的位置即可；

(2)根據(jù)要求畫出點(diǎn)8的位置即可；

(3)向量鉆由點(diǎn)A指向點(diǎn)B,畫出圖形即可求出卜百

【詳解】(1)所求向量如圖所示：

東

(2)所求。8向量如圖所示:

東

(3)由圖知，VA03是等腰直角三角形，所以網(wǎng)=2.

【變式2-3](23-24高一下?安徽淮北?階段練習(xí))在如圖的方格紙中，畫出下列向量.

(1)|OA|=3,點(diǎn)A在點(diǎn)0的正西方向；

(2)|<9B|=3A/2,點(diǎn)B在點(diǎn)0的北偏西45方向；

⑶求出網(wǎng)的值.

【答案】⑴答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)3

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示、向量的模

【分析】(1)根據(jù)向量的大小和方向，作向量0A，

(2)根據(jù)向量的大小和方向，作向量08,

(3)根據(jù)向量的模的定義求網(wǎng).

【詳解】(1)因?yàn)閨。小=3,點(diǎn)A在點(diǎn)。的正西方向,故向量的圖示如下:

(2)因?yàn)閨。q=3&,點(diǎn)B在點(diǎn)。的北偏西45方向,故向量08的圖示如下:

一?東

(3)

東

考點(diǎn)三：向量的模

'例3.（23-24高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，以長(zhǎng)方體ABC。-A瓦CQ的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)

和終點(diǎn)的向量中，

⑴試寫出與AC模長(zhǎng)相等的所有向量；

UUU

（2）若4B=AD=2,A4,=l.求向量AC1的模.

【答案】⑴AG，CA,C^,BD,DB,BR,D￡

（2）3

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、向量的模

【分析】（1）根據(jù)向量模長(zhǎng)相等判斷求解；

（2）應(yīng)用立體圖形結(jié)合定義求出模長(zhǎng).

【詳解】（1）在長(zhǎng)方體ABCO-A4G2中，與AC相等的所有向量（除本身外）有

A,Cl,CA,ClAi,BD,DB,BlDl,DlBl,共3個(gè).

（2）在長(zhǎng)方體ABCD-A再G2中，連接AC,AG，如圖,

AB2+BC2,AC；=AC2+CC：,

uuuuuir?--------------------------------------

所以向量的模IAG|=^AB-+BC1+CC1=^22+22+l2=3.

【變式3-1］（23-24高一下?北京?期中）已知向量“力共線，且同=小|=2,貝電+*

【答案】1或3

【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)乘的有關(guān)計(jì)算、平行向量（共線向量）、向量的模

【分析】借助向量共線，分向量同向與反向計(jì)算即可得.

【詳解】由向量a,。共線，故向量6可能同向、可能反向，

當(dāng)向量。力同向時(shí)，由同=2忖=2,則卜+6卜忸+可=3,

當(dāng)向量a,6反向時(shí)，由悶=2網(wǎng)=2,貝（］卜+6卜卜26+.=1.

即卜+,可能為1或3.

故答案為：1或3.

【變式3-2］（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）（1）如圖，在2x4的矩形中，起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格頂點(diǎn)且

模與|A8|相等的向量共有多少個(gè)？（除AB夕卜）

（2）如果擴(kuò)展到3義4的矩形呢？（除鉆外）

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模

【分析】數(shù)出與|AB|所占同樣大小的矩形個(gè)數(shù)，再根據(jù)向量和向量模的定義求解即可.

【詳解】（1）每個(gè)1x2的矩形中有4個(gè)符合要求的向量，這樣的矩形共有10個(gè)，則共有40個(gè)向量的模與|A8|

相等，但|AB|本身除外，故共有39個(gè);

（2）每個(gè)1x3的矩形中有4個(gè)符合要求的向量，這樣的矩形共有10個(gè)，則共有40個(gè)向量的模與|AB|相等,

但|AB|本身除外，故共有39個(gè).

【變式3-3］（23-24高一下?福建泉州?期中）已知邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC,求8C邊上的中線向量短的

模|叫

【答案】史瑟

22

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模

【詳解】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，求得BC邊上的中線長(zhǎng)，即可求解.

【解答】如圖所示，因?yàn)閂ABC是正三角形，所以BC邊上的中線向量仞的模就是三角形的高,

考點(diǎn)四：零向量與單位向量

“、例4.（多選）（23-24高一下?吉林四平?階段練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等

【答案】ACD

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、平行向量（共線向量）、零向量與單位向量

【分析】根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)共線向量與相等向量的定義，判斷出B、D

兩項(xiàng)的正誤；根據(jù)單位向量的定義，判斷出C項(xiàng)的正誤.

【詳解】解：對(duì)于A,零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B,根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)單位向量的定義，可知C項(xiàng)正確；

對(duì)于D,方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等，因此方向相反的兩個(gè)非零向量一定不相等，D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【變式4-1］（2024高三?北京?專題練習(xí)）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動(dòng)，零向量的長(zhǎng)度

為零，方向是任意的；②若“，匕都是單位向量，貝。=6;③向量與朋相等.其中正確命題的序號(hào)為（）

A.①B.③C.①③D.①②

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、相等向量

【分析】由向量的有關(guān)概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)橥较蚯夷Ｏ嗟鹊南蛄肯嗟龋c位置無關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，

且零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的，故①正確；

根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，

故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；

向量AB與區(qū)4互為相反向量，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式4-2］（23-24高一下?湖北?期中）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.零向量與任一向量共線

B.零向量與任一向量的數(shù)量積為0

C.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量

D.模長(zhǎng)等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量稱為單位向量

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算律、零向量與單位向量、相反向量

【分析】根據(jù)零向量的概念、向量的數(shù)量積、相反向量的概念和單位向量的概念依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：零向量與任意向量共線，故A正確；

B：零向量與任意向量的數(shù)量積都等于0,故B正確；

C：相反向量的概念是方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量，故C錯(cuò)誤；

D：?jiǎn)挝幌蛄康母拍钍悄?個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，故D正確.

故選：C

【變式4-31（多選）（23-24高一下?遼寧撫順?開學(xué)考試）設(shè)a#0,則與其平行的單位向量有（）.

【答案】AB

【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、零向量與單位向量

【分析】

由向量平行的定義以及單位向量的定義直接判斷即可.

【詳解】解：顯然ABCD四個(gè)選項(xiàng)都與向量a平行，

百。=1為單位向量，且與向量°平行，故A正確；

1

一時(shí)。模長(zhǎng)也為1,且與向量a平行，故B正確；

CD選項(xiàng)與向量°平行，但模長(zhǎng)不一定為1,故CD不正確.

故選：AB

考點(diǎn)五：相等向量

|'j例5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在正ABC中，D,E,歹均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向

量和FC相等的是（）

C.DFD.ED

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量

【分析】由相等向量的定義求解即可.

【詳解】,?,EP，F(xiàn)B，。產(chǎn)與PC方向不同，

EF>FB>。尸與PC均不相等；

???西與尸c方向相同，長(zhǎng)度相等，??.a）=■7.

故選：D.

【變式5-1］（23-24高一下?江蘇連云港?階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.\CD\=\DC\B.%、e?是單位向量，則同=聞

C.兩個(gè)相同的向量的模相等D.單位向量均相等

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】零向量與單位向量、相等向量、向量的模

【分析】根據(jù)相等向量、單位向量的定義判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镃L>=-DC，又互為相反向量的兩個(gè)向量的模相等，所以故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)?、e?是單位向量，所以囿=同=1,故B正確；

對(duì)于C：兩個(gè)相同的向量的模相等，故C正確；

對(duì)于D：?jiǎn)挝幌蛄康哪Ｏ嗟染鶠?,由于無法確定方向是否相同，故單位向量不一定相等，故D錯(cuò)誤.

故選：D

【變式5-21（多選）（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在菱形ASCD中，/B4D=120。，則以下說法

正確的是（）

H

A.與AB相等的向量只有1個(gè)（不含AS）

B.與AB的模相等的向量有9個(gè)（不含鉆）

C.8。的模恰為D4的模的招倍

D.C8與0A不相等

【答案】ABC

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、向量的模

【分析】根據(jù)相等向量以及模長(zhǎng)定義，結(jié)合結(jié)合圖形求解ABD,根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解C.

【詳解】由于A3=DC,因此與AB相等的向量只有。C，而與AB的模相等的向量有D4，DCfAC?CB，

AD，CD,CA，BC,BA,，故A,B正確；

而在RtAC?中，ZADO=30°,.-.|r）o|=^|oA|,故,q=后歸小，故C正確；

由于CB=￡>A,因此CB與D4是相等的，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【變式5-3］（23-24高一下?安徽六安?期末）如圖，四邊形是平行四邊形，四邊形A30E是矩形.

⑴找出與45相等的向量；

⑵找出與共線的向量.

一———UIM1UUU1

【答案】⑴DCED

LlUUUUUULIUULIUUULlUUUUU

（2）DC,ED.EC,BA.CD,DE,CE

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、平行向量（共線向量）

【分析】（D根據(jù)相等向量的定義寫出即可;

（2）根據(jù)共線向量的定義直接寫出.

【詳解】（D由四邊形45。是平行四邊形，四邊形A3OE是矩形知，

送，筋與AB的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以與AB相等的向量為DC,筋.

（2）由題干圖可知，DC,ED,EC與方向相同，BA,CD,DE,CE與方向相反,

.ULIUULIU1ULU1ULIUUU1UUIUUUU

所以與AB共線的向量有DC,ED,EC,BA,CD,DE,CE.

考點(diǎn)六：共線向量

■'例5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在VABC中，AB=AC,。、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，貝！|（）

A.AB與AC共線B.與C2共線

C.CD與AE相等D.仞與8。相等

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、平行向量（共線向量）

【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題意可知，與AC不共線，A錯(cuò)；

因?yàn)?。、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，所以，DE//BC,故OE與CB共線，B對(duì)；

因?yàn)镃D與AE不平行，所以CD與AE不相等，C錯(cuò)；

因?yàn)锳￡）=￡）3=-B。，D錯(cuò).

故選:B.

【變式6-1］（23-24高一下?黑龍江大慶?階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若卜卜忖，則a=bB.若W>W，則a>6

C.若a=b,則°。D.若0〃氏萬〃c,則a〃c

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A：若同=仰，則”,6只是大小相同，并不能說方向相同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：向量不能比較大小，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若a=b,貝!Ja,6方向相同，C正確;

對(duì)于D：若a〃4匕〃c，如果6為零向量，則不能推出a,c平行，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式6-2］（多選）（24-25高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí)）關(guān)于非零向量.，b,下列命題中，正確

的是（）

A.若同=網(wǎng)，則q=bB.若a=，則&〃b

C.若0//b,bll。,則?！–D.若同>|“，則

【答案】BC

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、相等向量

【分析】根據(jù)向量的模、向量共線等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，向量的模相等，可能方向不相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，兩個(gè)向量互為相反向量，則這兩個(gè)向量平行，所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，非零向量。，b,若allb，b//c，則a〃e成立，所以C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，向量不能比較大小，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

6模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（）

A.功B.距離C.拉力D.質(zhì)量

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的概念與表示

【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷.

【詳解】功，距離，質(zhì)量只有大小沒有方向，不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.

故選：C.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下面命題中，正確的是（）

A.若=貝!|q=bB.若同>W，貝!|q>bC.若a=-b，則a//〃D.若

|4|=。，貝！la=O

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、零向量與單位向量

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷

【詳解】對(duì)于A,若同=忖，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,向量無法比較大小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a=-b,則兩向量反向，因此a//6,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,若同=。，則〃=0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）給出下列命題：

①若空間向量滿足Ia1=1切，則

②在正方體ABCD-ABiQD,中，必有AC=AG；

③若空間向量a,6,c滿足a=b,b=c,則。=心

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的有關(guān)概念、相等向量

【分析】根據(jù)相等向量的定義易判斷①為假命題；對(duì)于②借助于正方體圖形推理易得；對(duì)于③由空間向量

的相等定義易得.

【詳解】對(duì)于①，向量相等即模相等和方向相同，故①為假命題；

對(duì)于②，如圖正方體ABC。-A4G2中，的//3瓦//"1，且441=8瓦=（70,則得ACQA,,

ULUUUULIU

故有AC//AG,AC=AG,且AC,4G方向一致，所以AC=AG，故②為真命題；

對(duì)于③，根據(jù)向量相等的定義可知成立，故③為真命題.

故選：B.

4.（23-24高一下?陜西咸陽?期中）已知四邊形ABC?中，AB=DC,并且,@=卜耳，則四邊形ABC。是

（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.長(zhǎng)方形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量

【分析】由A3=￡>C,得到四邊形ABCD為平行四邊形，再由網(wǎng)=,4，得到％=,得出四邊形ABCD

為菱形.

【詳解】由題意，四邊形A2CD中，

因?yàn)锳8=Z）C,可得|Aq=k4且AB〃CD,所以四邊形ABC。為平行四邊形，

又因?yàn)?可得=

所以四邊形A3CD為菱形.

故選:A.

5.（24-25高二上?河南商丘?階段練習(xí)）給出下列命題：

①將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；

②在正方體ABCD-aqGR中，必有AC=AG；

③若空間向量〃也C滿足a="》=c,則。=°;

④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的有關(guān)概念、零向量與單位向量、判斷命題的真假

【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個(gè)命題進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)

成一個(gè)球面，故①為假命題；

對(duì)于②，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對(duì)角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以AC=AG，故②為真命

題；

對(duì)于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；

對(duì)于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個(gè)單位向量必相等是假命題，故④為假命題.

故選：B

6.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）下述四個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

①零向量沒有方向；②向量的線性運(yùn)算結(jié)果可以是實(shí)數(shù)；

③相等向量的方向相同；④與向量。方向相反的向量，叫做"的相反向量.

A.①②B.②③C.③D.③④

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】零向量與單位向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、相等向量

【分析】運(yùn)用向量有關(guān)概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】零向量長(zhǎng)度為0,有方向，①錯(cuò)誤；

②向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍然是向量，②錯(cuò)誤；

相等向量的方向相同，模相等，③正確；

④與向量“長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做向量”的相反向量，④錯(cuò)誤.

故選：C.

7.（23-24高一下?福建福州?期中）下列說法正確的是（）

A.若兩個(gè)非零向量A2,。共線，則必在同一直線上

B.若。與b共線，。與c共線，則。與c也共線

C.若同=忖則.=6

D.若非零向量AB與CD是共線向量，則它們的夾角是0或180

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量

【分析】根據(jù)共線向量的概念即可判斷A,B,D;根據(jù)相等向量的概念可以判斷C.

【詳解】方向相同或相反的兩個(gè)非零向量是共線向量，因此D正確；

若非零向量AB,CD是共線向量，則ABC,。未必在同一直線上，A錯(cuò)；

若6=0,則4與6共線，6與c共線，但是。與c未必共線，B錯(cuò)；

由卜卜網(wǎng)可以得到d6的大小相等，但方向不一定相同，C錯(cuò).

故選：D.

8.（23-24高一下?吉林?期末）下列說法正確的是（）

A.平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；

B.若卜卜W，則a與6的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；

C.若M=W，且“與匕的方向相同，則a=%

D.若a〃b,則a與b方向相同或相反

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行向量（共線向量）、相等向量、零向量與單位向量、向量的模

【分析】考慮向量的起點(diǎn)位置可判斷A；利用向量相等的定義可判斷BC；考慮特殊向量可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,只有平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)才會(huì)在同一個(gè)圓上，故A錯(cuò)誤:

對(duì)于B,由同=忖只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)橥?忖，且°與。同向，由兩向量相等的條件，可得a=故C正確；

對(duì)于D,依據(jù)規(guī)定：。與任意向量平行，故當(dāng)a=0時(shí)，a與。的方向不一定相同或相反，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、多選題

9.（24-25高二上?云南昭通?期中）如圖，在菱形ABCZ）中，若ND4B=120。，則以下說法中正確的是（）

A.8。與。8不平行

B.8。的模恰為D4模的百倍

C.與筋的模相等的向量有9個(gè)（不含河）

D.與筋相等的向量只有一個(gè)（不含145）

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、平行向量（共線向量）、向量的模

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：向量2。與。8的方向是相反的，是平行向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?0=gcO,則3D==君4。，

所以8D的模恰為D4模的石倍，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合=120。，可知對(duì)角線AC與菱形的邊長(zhǎng)相等，

故與AB的模相等的向量有明，AD，DA，DC，CD,BC,CB?AC，CA,共9個(gè)向量，故C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：與鉆相等的向量需要方向相同，模相等，只有。C,故D正確；

故選：BCD.

10.（24-25高一下?全國(guó)?課堂例題）（多選）下列命題中，正確的是（）

A.若a與b同向，且|a|>|b|,則

B.若|a|=|b|,貝人與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反

C.對(duì)于任意|〃|=出1,且。與。的方向相同，則a=b

D.所有的零向量都相等

【答案】CD

【知識(shí)點(diǎn)】零向量與單位向量、相等向量、向量的模

【分析】根據(jù)向量的概念判斷A；根據(jù)向量模的概念判斷B；根據(jù)向量相等的概念判斷C；根據(jù)向量相等

的概念判斷D.

【詳解】A不正確，因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量，它由兩個(gè)因素來確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向

量不能比較大??；

B不正確，由|〃|=|加只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，并不能判斷方向；

C正確，|.|=出|,且a與b同向，由兩向量相等的條件可得a=6；

D正確，符合相等向量的定義.

故選：CD.

三、填空題

11.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）給出下列命題：

①Ial=gI是向量a=6的必要不充分條件；

\a\=\b\

②向量〃，b相等的充要條件是?11,；

al1b

③若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則A3=DC是四邊形A3。為平行四邊形的充要條件.

其中正確的是.（填序號(hào)）

【答案】①③

【知識(shí)點(diǎn)】相等向量、判斷命題的必要不充分條件、充要條件的證明

【分析】對(duì)每個(gè)命題分別判斷即可得到答案.

【詳解】對(duì)于①，由a=b|=|匕|,而顯然|a|=|6a=6.

從而I。|=屹|(zhì)是向量。=6的必要不充分條件，故①正確.

對(duì)于②，向量&=。,0）,6=（-1,0）不相等，但滿足同=忖且；//力，故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，因?yàn)锳B=DC,貝！1148|=|。（7|且48//。。，

又A,民C,￡>不共線，所以四邊形ABCZ）是平行四邊形.

反之，在平行四邊形ABC。中，由于平行四邊形對(duì)邊平行且長(zhǎng)度相等，故有A8=OC.

所以A8=OC是四邊形為平行四邊形的充要條件，故③正確.

故答案為：①③.

12.（23-24高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，。是正三角形A5C的中心，四邊形AOC。和四邊形A03E

均為平行四邊形，

則：