2025年奧數(shù)滿分試題及答案

奧數(shù)滿分試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[20]分）

1.若一個(gè)正方體的邊長為3，則其表面積為：

A.27

B.36

C.45

D.54

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，則BC的長度為：

A.8

B.12

C.14

D.16

3.一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2、5、8，則該數(shù)列的公差為：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列哪個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)？

A.91

B.101

C.109

D.117

5.若一個(gè)正方體的體積為64，則其邊長為：

A.4

B.8

C.10

D.12

二、填空題（每題[5]分，共[20]分）

1.已知等差數(shù)列的第一項(xiàng)為3，公差為2，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為____。

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，則AC的長度為____。

3.一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2、6、18，則該數(shù)列的公比為____。

4.下列哪個(gè)數(shù)是合數(shù)？

A.91

B.101

C.109

D.117

5.若一個(gè)正方體的邊長為4，則其表面積為____。

四、應(yīng)用題（每題[10]分，共[20]分）

6.小明有若干個(gè)相同的球，將這些球排成一行，排成3行時(shí)，還剩2個(gè)球；排成4行時(shí)，還剩1個(gè)球；排成5行時(shí)，正好排完。問小明最少有多少個(gè)球？

7.小華有一塊正方形的地毯，邊長為12米?，F(xiàn)在要將其裁剪成若干個(gè)相同大小的正方形地毯，使得剩余的面積最小。請(qǐng)問剩余的面積是多少平方米？

五、證明題（每題[10]分，共[20]分）

8.證明：在任意三角形ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C。

9.證明：在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)之和等于它們中間項(xiàng)的兩倍。

六、綜合題（每題[10]分，共[20]分）

10.小紅和小明進(jìn)行拔河比賽，他們的力量比為5:4。比賽過程中，小明先贏了10個(gè)回合，然后小紅贏了5個(gè)回合。此時(shí)，兩人力量比為7:6。請(qǐng)問，如果兩人繼續(xù)比賽，最終誰會(huì)獲勝？請(qǐng)說明理由。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B。正方體的表面積計(jì)算公式為6a2，其中a為邊長，代入a=3，得到表面積為6*32=54。

2.A。根據(jù)勾股定理，直角三角形的斜邊平方等于兩直角邊的平方和，即c2=a2+b2。代入a=6，b=8，得到c2=62+82=36+64=100，所以c=10。

3.B。等差數(shù)列的公差是相鄰兩項(xiàng)之差，即d=a?-a?。代入a?=2，a?=5，得到d=5-2=3。

4.B。質(zhì)數(shù)是只能被1和它本身整除的數(shù)，101只能被1和101整除，所以是質(zhì)數(shù)。

5.B。正方體的體積計(jì)算公式為a3，其中a為邊長，代入a=4，得到體積為43=64，所以邊長為8。

二、填空題答案及解析：

1.2×(10-1)+3=21。等差數(shù)列的第n項(xiàng)公式為a?+(n-1)d，代入a?=3，d=2，n=10，得到第10項(xiàng)為21。

2.152-92=225-81=144，所以AC=√144=12。

3.6/2=3。等比數(shù)列的公比是相鄰兩項(xiàng)之比，即q=a?/a?。代入a?=2，a?=6，得到公比為3。

4.A。91可以被7和13整除，所以是合數(shù)。

5.6×42=6×16=96。正方體的表面積計(jì)算公式為6a2，代入a=4，得到表面積為96。

四、應(yīng)用題答案及解析：

6.小明最少有52個(gè)球。因?yàn)榍虻臄?shù)量必須是3、4、5的公倍數(shù)，且比3、4、5的最小公倍數(shù)少1，所以是60-1=59，但題目要求最少，所以是52。

7.剩余面積為36平方米。將地毯裁剪成邊長為3米的正方形，剩余面積為12×12-3×3=144-9=135平方米。

五、證明題答案及解析：

8.證明：在三角形ABC中，由等腰三角形的性質(zhì)知，AB=AC，所以∠B=∠C。

9.證明：設(shè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)為a?，公差為d，任意兩項(xiàng)為a?+(n-1)d和a?+(n+1-1)d，則它們的和為2a?+2nd，而中間項(xiàng)為a?+nd，所以2a?+2nd=2(a