2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)【九大題型】解析版

專題2.5塞函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)【九大題型】

【新高考專用】

1、易函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)

幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高中三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地位，是

高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，對(duì)嘉函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，主要以基本函數(shù)

的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用募函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問題，包

括比較指對(duì)塞的大小、解不等式等題型.在復(fù)習(xí)過程中要掌握相關(guān)知識(shí)，能對(duì)常見的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函

數(shù)進(jìn)行靈活處理.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1塞函數(shù)及其解題策略】

1.易函數(shù)的解析式

幕函數(shù)的形式是了=K(aGR),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.

2.暴函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近無軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,+8)上，幕函

數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離無軸.

3.比較塞值的大小

在比較基值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各

個(gè)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的解題策略】

1.指數(shù)塞運(yùn)算的一般原則

(1)指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須

同底數(shù)暴相乘，指數(shù)才能相加.②運(yùn)算的先后順序.

(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

2.對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用哥的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式，使塞的底數(shù)最簡(jiǎn)，

然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.

(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)

的積、商、幕再運(yùn)算.

(3)指對(duì)互化：d="06=皿"(心0,且任1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)

注意互化.

【知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】

1.指數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路

(1)比較指數(shù)式的大小

比較指數(shù)式的大小的方法是：①能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)幕，再利用單調(diào)性比較大?。?/p>

②不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.

(2)指數(shù)方程(不等式)的求解思路

指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(3)指數(shù)型函數(shù)的解題策略

涉及指數(shù)型函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、

單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用

①在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、

最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

②一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

(2)對(duì)數(shù)(型)函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問

題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即

它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

?舉一反三

【題型1指數(shù)然與對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值】

［例1］（2024.青海?模擬預(yù)測(cè)）若a=log35,5。=6,則ab-log32=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【解題思路】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【解答過程】由5。=6=>b=log56,

所以ab-log2=log5-log6-log2=Iog5.-log2=log6-log2=log1=log3=1

33533log3b3333Z3

故選：A.

【變式1-1］（2024.河南.三模）若。2036刑則化簡(jiǎn)21%3+（6）2+好的結(jié)果是（）

A.3+a+bB.3+ci+|b|

C.2+a+bD.2+a+\b\

【解題思路】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值即可.

【解答過程】由2i°gz3=3,（VH）2=a,府=網(wǎng)可知，

2喻23+（Va）2+歸=3+a+\b\.

故選：B.

【變式1-2］（2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且4a=68=9。=3那么（）.

A1,11「1,11-1,12—1,12

A.-+-=-B.-+-=-C.-+-=-D.-+-=-

abcbcaabcacb

【解題思路】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

bC

【解答過程】依題意設(shè)4a=6=9=t,則。=log4t,b=log6t,c=log9t,

r*r21inI1i/l1i八

所以￡=國(guó)=log/，m=訴=l°gt6，［=麗=10及9，

貝4+:=logt4+logt6=logt24j=Iogt9,1+：=logt244|=210gt9=logt81故A,C錯(cuò)誤；

則"+|=logt6+logt9=logt54H:=Iogt4,故B錯(cuò)誤；

則：+j=logt4+logt9=logt36=210gt6=；,故D正確.

故選：D.

【變式1-3］（2024?遼寧丹東?一模）若2a=3,38=5,5。=4,則log4abe=（）

A.-2B.-C.—D.1

22

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)基與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.

b

【解答過程】由2。=3,3=5,5c=4,可得。=log23/h=log35,c=log54,

所以abc=log23Xlog35xlogs4=^xj||x黑=2,貝Ulog4abe=log42=

故選：B.

【題型2指對(duì)幕函數(shù)的定義與解析式】

【例2】（24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=loga（5+x）（a>0且aHl）B.y=log（逐一】產(chǎn)

C.y=log3（—x）D.y—logxV3（刀>0且萬力1）

【解題思路】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求解.

【解答過程】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義/（x）=logax（a>0且a豐1）,

分析A,B,C,D函數(shù)形式，

函數(shù)y=log（b_1產(chǎn)為對(duì)數(shù)函數(shù).

故選：B.

【變式2-1]（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）若指數(shù)函數(shù)/0）的圖象過點(diǎn)（4,81）,則/（X）的解析式為（）

A./（%）=x3B./（%）=3X

X1

?D.f（x）=%3

【解題思路】設(shè)/（x）=ax,（a>0且a豐1）,代入點(diǎn)（4,81）運(yùn)算求解即可.

【解答過程】設(shè)/'（%）=a*,（a>0且a力1）,

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（4,81）,則f（4）=a4=81,解得a=3,

所以f（x）=3\

故選：B.

【變式2-2]（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）若塞函數(shù)f（久）=（m2-m-1）久2M-3在（0,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)

數(shù)小的值為（）

A.2B.1C.-1D.-2

【解題思路】根據(jù)條件，利用基函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)楹诤瘮?shù)/'（X）=（62—小一1）/加-3在（0,+8）上是增函數(shù)，

所以，巾：一小解得巾=2.

（2m—3>0

故選：A.

【變式2-3]（2024高二下?安徽?學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)y=（a2-5a+7）呼+4-2a是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.a=2B.a=3

C.a=2或a=3D.a>2,且aH3

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求參.

【解答過程】因?yàn)閥=(a2-5a+7)a%+4-2a是指數(shù)函數(shù)，

所以小—5a+7=1,a?—5a+6=0,(a—2)(a—3)—0,且4—2a—0

所以a=2.

故選：A.

【題型3指對(duì)幕函數(shù)的定義域與值域問題】

【例3】(2024?四川成都?二模)已知函數(shù)/(久)=的值域?yàn)镸.若(1,+8)=M,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(一8月B.[o,i]C,(-00,-i]uD.卜,+8)

【解題思路】對(duì)實(shí)數(shù)a分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.

【解答過程】當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=2-x+i6(0,+oo),符合題意；

當(dāng)a中0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2。/-方+1的值域?yàn)镸滿足(1,+8)cM,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)y=ax2-x+1的最小值小于或等于零；

若a>0時(shí)，依題意有y=ax2—%+1的最小值^^<0,即0<a4%

若a<0時(shí)，不符合題意；

綜上：0<a<i,

故選：B.

【變式3-1](2024.內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃久)=lg(l-則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.〃久)的定義域?yàn)?一8,1)B.f(x)的值域?yàn)镽

C./(-1)+/(-4)=1D.y=/(/)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域和值域即可判斷A、B；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求出

即可判斷C；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

【解答過程】由1—x>0,得x<l,則/(>)的定義域?yàn)?—8,1),值域?yàn)镽,故A,B均正確；

/(-I)+/(—4)=lg2+lg5=IglO=L故C正確；

因?yàn)?lg(l-%2),所以y=]g〃，外層函數(shù)為增函數(shù)，

u=1-X2,令1一%2>0,所以函數(shù)定義域?yàn)?-1,1),

內(nèi)層函數(shù)〃=1一%2,在(—1,0)上單調(diào)遞增，(0,1)上單調(diào)遞減，

所以y=f(7)的單調(diào)遞增區(qū)間為Ji,。)不是(0,1),故口錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式3-2](24-25高一上?安徽馬鞍山?期中)已知幕函數(shù)y=/(久)的圖象過點(diǎn)卜,g,下列說法中正確的是

()

A./(%)是奇函數(shù)B./(久)的定義域是[0,+8)

C./(%)的值域是[0,+8)D./(久)在定義域上單調(diào)遞減

【解題思路】由條件求出幕函數(shù)的解析式，根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】：哥函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3,設(shè)f(x)=xa,

：.4a即22。=2-1,得2a=-l,a=—點(diǎn)

.?"(%)=工-12=專1,其定義域?yàn)?0,+8),故B錯(cuò)誤；

???定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，.??八X)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

?.,定義域?yàn)?0,+8),/(X)=盍>0,."3)的值域是(0,+8),故c錯(cuò)誤；

=-之<0,尤)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

【變式3-31(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè))已知a〉0且a豐1,若函數(shù)/(久)=.的值域

為R,貝b的取值范圍是()

A.(0,|]B.[j,l)C.(1,2]D.[2,+8)

【解題思路】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得答案.

【解答過程】?-?中)=>0的值域?yàn)镽，

當(dāng)a>1時(shí)，

則%<a,/(%)=出"。為增函數(shù)，/(x)</(a)=1,

而無>a時(shí)，/(%)=log/%+a)+1為增函數(shù)，

此時(shí),/(%)>/(a)=loga2a+1=loga2+2>2,不符題意；

當(dāng)0VaV1時(shí)，

則久<a,/(x)=a"。為減函數(shù)，/(x)>/(a)=1,

而%>。時(shí)，/(%)=loga(x+a)+1為減函數(shù)，

此時(shí)，/(x)</(a)=loga2a+1=loga2+2,

因?yàn)椤▁)的值域?yàn)镽，當(dāng)且僅當(dāng)10ga2+221時(shí)，滿足題意,

此時(shí),1叫22-1,則器…整理得,ln2WTna,解得a.

綜上，0<a<]時(shí)滿足題意.

故選：A.

【題型4指對(duì)嘉函數(shù)的圖象問題】

i

【例4】(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)=e*--In/的圖象大致為()

【解題思路】根據(jù)％V0時(shí)/(%)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

1

1

ex_e-_21n(—%),%<0

【解答過程】/(%)=ex-ex-In%2=i

ex—ex-2\nx,x>0

因?yàn)楫?dāng)%<0時(shí)，y=ex,y=-e"y=-21n(-%)都為增函數(shù),

i

所以，y=e%—戰(zhàn)—21n(—%)在(—8,0)上單調(diào)遞增，故B,C錯(cuò)誤;

又因?yàn)?(—%)=e~x—e~x—In%2H—/(%),

所以/(%)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式4-1](2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=(|x|-或)ln/,則/⑺的圖象大致為()

【解題思路】先判斷函數(shù)奇偶性排除選項(xiàng)A,再根據(jù)函數(shù)值正負(fù)排除B,C,即可得出答案.

【解答過程】因?yàn)?（%）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）u（0,4-00）,/（-%）=（|一％I-占）1口（一%）2=（|%|-日）ln%2=

/（%）,所以/（%）是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A；

當(dāng)久>1時(shí)，|%|—W>0,In%2>0,所以/（汽）>0,當(dāng)0<%<1時(shí)，|x|--i-<0,In%2<0,所以/（%）>0,

閉I巾

故排除B,C.

故選:D.

【變式4-2］（2024?四川南充.二模）已知函數(shù)/（乃的圖象如圖所示，則/（乃的解析式可能是（）

A.y—xiB.y=x~2C.y=x3D.y=

【解題思路】根據(jù)事函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

1

【解答過程】對(duì)于A：函數(shù)y=蓊=日的定義域?yàn)椋?,+8）,顯然不符合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：函數(shù)y=—=a的定義域?yàn)椋?,+8）,顯然不符合題意，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：函數(shù)y=式的定義域?yàn)镽,又y=*為奇函數(shù)，

但是y=/在（o,+8）上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：y==正定義域?yàn)镽,又y=為奇函數(shù)，

1

且y=如在（0,+8）上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.

故選：D.

【變式4-3］（2024.陜西.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）的部分圖象如圖所示，則/（%）的解析式可能為（）

*

A./(%)=ex-e-xB./(久)=1一品C./(x)=x4\x\D.f(x)=皿鼠)

【解題思路】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷AB選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)C代入x=2判斷C錯(cuò)誤，則可得到D

正確.

【解答過程】根據(jù)函數(shù)/Q)的圖象，知而對(duì)A選項(xiàng)/(l)=e—eT>2排除A；

對(duì)B選項(xiàng)/(x)=1—等，因?yàn)閑，+l>l,則告6(0,2),

ex+lex+l

則f0)=1-七e(—1,1),但圖象中函數(shù)值可以大于1,排除B；

ex+l

根據(jù)C選項(xiàng)的解析式，f(2)=2&y2.8,而根據(jù)函數(shù)/⑺的圖象，知f(2)-1,排除C.

故選：D.

【題型5指對(duì)幕函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例5】(2024.遼寧.一模)若函數(shù)/(x)=3-2/+ax在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，貝必的取值范圍是()

A.(-OO,4]B.[4,16]C.(16,+00)D.[16,+8)

【解題思路】利用“同增異減”判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.

【解答過程】設(shè)/(a)=3&,u=-2x2+ax,貝Uf(a)=3"在(一8,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(x)=3-2送+?在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)&=-2/+ax在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：7<1,解得aW4.

故選：A.

【變式5-1](2024?山西晉中?三模)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A./(%)=2㈤B./(%)=x3

cC乙、1nD.乙/(x、)=(3nI(n%r%)>,0x,<。

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象逐項(xiàng)判斷.

【解答過程】對(duì)于A：函數(shù)f(x)=2陽的定義域?yàn)镽,

又/(-%)==/(%),所以f(x)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由暴函數(shù)/(x)=/的圖象可知，/(%)=/在(o,+8)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：函數(shù)/Xx)=：-刀的定義域?yàn)?一8,0)U(0,4-00),

又/(—X)=白一(_x)=所以f(x)是奇函數(shù)，

又幕函數(shù)y=；,y=—X都在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)=：-x在(0,+8)上單調(diào)遞減，故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)=[上。在(0,+8)上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式5-2](2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè))在下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)的是()

112

A.y=%2B.y=x3C.y=xsD.y=x-1

【解題思路】運(yùn)用基函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可解

【解答過程】根據(jù)幕函數(shù)性質(zhì)知道，

1

y=/定義域?yàn)閇0,+8),(0,+8)上單調(diào)遞增，非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

y=好奇函數(shù)且在(0,+8)單調(diào)遞增，故B正確；

2

y=蓊為偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

y=xT=]為奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

故選:B.

2

【變式5-3](2024.海南.模擬預(yù)測(cè))已知a>0且aH1,若函數(shù)/(%)=a%與g(%)=log2(x+4ax+7)在

[—1,+8)上的單調(diào)性相同，則a的取值范圍是()

A.(0,|]B.g,l)C.(1,2)D.(1,+8)

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.

【解答過程】由題意知y=x2+4ax+7在[-1,+8)上只能是單調(diào)遞增，

所以g⑺在T+8)上單調(diào)遞增，所以"i)2+急￡；'+7>°,

得，a<2.

又/(x)=謨單調(diào)遞增，所以a>l.

綜上得1<Q<2.

故選：C.

【題型6指對(duì)幕數(shù)比較大小】

【例6】（2024?寧夏吳忠?一模）已知。=0.23/=3°，2,c=logo.23,則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【解題思路】借助指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性借助中間量比較即可得.

3

【解答過程】a=0.2<0.2°=1,6=3°2>3°=1,c=log023<log0,2l=0,

故b>l>a>0>c,故b>a>c.

故選：C.

11040

【變式66］（2024?四川眉山?一模）=log39,b=log050.2,c=4,則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【解題思路】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得a=2.2,b=log25,c<2,進(jìn)而分析比較2?2與5的大小,

進(jìn)而比較與55的大小，進(jìn)而判斷即可.

1

1:L04005

【解答過程】a=log39=1.1-log39=2.2,c=4<4=*=2,

2

b=log0.5°-=logl|=log25>log24=2,

則a>c,b>c,下面比較a與b的大小，

即比較2.2=log222-2與R）g25的大小,

即比較222與5的大小，

即比較21i與55的大小，而21i=2048<55=3125,

則a<b,所以b>a>c.

故選：B.

【變式6-21（2024.貴州遵義.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=log2（）242026,b=log20232026,2024c=2025.則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)指對(duì)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)A%）=Iog2024%的單調(diào)性可比較a，c大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)。（久）=

log2026萬的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可比較的大小，從而得結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)?024c=2025,所以c=臉0242025,

202

又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）=log2024X在X6（0,+8）上遞增，所以log20242025<log20246,即c<a,

因?yàn)楹瘮?shù)9（x）=log2026%在Xe（0,+8）上遞增，

所以°=Iog2o261<log20262023<log2o262024<log2o262026=1,

則1>------1----，即log20232026>log242026,即b>a,

l°g20262023log2026202420

綜上可得：b>a>c.

故選：D.

【變式6-3](2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a=2?，fa=log23,c=W，則()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

【解答過程】因?yàn)閥=2,在R上單調(diào)遞增，又應(yīng)>1,所以2四>21=2,即a>2,

因?yàn)?2>27,所以V豆>遮7,即二>3,

因?yàn)閥=log?*在(0,+8)上單調(diào)遞增，

一一5C

所以log22E>log??,所以]>k)g23,

因?yàn)榘?gt;|,所以2>百>log23,即2>c>b,

所以a>c>b.

故選：D.

【題型7解不等式問題】

【例7】(2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=全-―32T,則滿足/(x)+〃8=3x)>0的x的取值范圍

是()

A.(-OO,4)B.(-00,2)C.(2,+8)D.(-2,2)

【解題思路】設(shè)g(x)=3X-3-x,即可判斷g(x)為奇函數(shù)，又f(x)=g(x-2),可得圖象的對(duì)稱中心

為(2,0),則f(x)+f(4-x)=0,再判斷f(%)的單調(diào)性，不等式/(久)+f(8—3支)>0,即f(8—3x)>

/(4-x),結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【解答過程】設(shè)g(x)=3"-3一，xER,則g(-x)=3—-3*=_g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

又f(x)=3X~2—32T=3X-2_3-0-2)=g(x_2),

則/O)的圖象是由9(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

所以f(x)圖象的對(duì)稱中心為(2,0),所以/(x)+/(4-x)=0.

因?yàn)閥=3方在R上單調(diào)遞增，y=3一在R上單調(diào)遞減，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，則久%)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?'(x)+f(Q-3%)>0=/(x)+f(4-x),

所以/'(8—3x)>/(4—工)，所以8-3x〉4—x,解得x<2,

故滿足/(久)+f(8-3%)>0的x的取值范圍為(-8,2).

故選：B.

【變式7-1](2024?廣東肇慶?一模)已知定義在R上的函數(shù)或久)=eX-eT+f(x),其中g(shù)(x)是奇函數(shù)且在

R上單調(diào)遞減，f(1蜂%)</(2)的解集為()

A.(-8,[)B.(0,?

C.&+8)D.(4,+8)

【解題思路】由儀尤)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，函數(shù)y=-(即-e-9也是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，得

在R上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.

【解答過程】定義在R上的函數(shù)g(x)=e久—e-x+f(x),

因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，y=e，-eT也是奇函數(shù)，所以f(x)是奇函數(shù).

由/(x)=g(x)-(ex-e~x).

因?yàn)閥=ex-e-x是增函數(shù)，所以y=-(ex-e^)是減函數(shù).

又因?yàn)間(x)是減函數(shù)，所以f(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)閒(logy)<f(2),所以log工x>2,解得0<%<[.

故選：B.

(2T%<0

【變式7-2](2024.吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(X)=|ioglx,x^0，若>2,貝k的取值范圍是()

A.(-8,—l)u(01)B.(-8,—l)u&l)

C.(一11)D.(-co(

【解題思路】分t<0和t>。兩種情況進(jìn)行求解即可得答案.

【解答過程】當(dāng)two時(shí)，則/⑴=2-t>2,解得t<—1；

當(dāng)力>0時(shí)，則f(。=logit>2=logi-,解得0<tV工.

3399

綜上，t的取值范圍是(一8,-1)U(0,。.

故選：A.

【變式7-3](2024?黑龍江牡丹江?一模)已知g(%)=//(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)在區(qū)間(_8,0]上

單調(diào)遞減，若關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式/(log?叫+/(1。8().5m)22/\3)恒成立，則m的取值范圍是()

A.(0B.[&+8)C.(0由”8,+8)D.(0[]U[8,+8)

\3」Jo

【解題思路】先應(yīng)用奇函數(shù)化簡(jiǎn)再結(jié)合不等式得出對(duì)數(shù)不等式，最后結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性解不等式.

【解答過程】因?yàn)間(x)=//(%)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(%)是偶函數(shù)，/(log05m)=/(-log2m)=f(log2m),

所以/(logzTn)+/(logo.s^)22/(3)可化為：

/(log2m)>f(3),又/O)在區(qū)間(-8期上單調(diào)遞減，所以/(%)在(0,+oo)上遞增，

所以|log2加之3,即log2m>3或log2nl<-3,

即m>8或0Vm4工.

8

故選：D.

【題型8反函數(shù)】

【例81(23-24高一上?湖南株洲?階段練習(xí))己知函數(shù)f(x)=logM與g(x)=ax(a>0,aK1)互為反函數(shù).若

/(x)=Inx的反函數(shù)為g(x),則g(2)=()

A.In2B.2eC.e2D.2

【解題思路】根據(jù)題意，得到g(x)=e，代入x=2,即可求解.

【解答過程】由函數(shù)f(x)=logM與g(x)=a?a>0,a41)互為反函數(shù),

若/(x)=Inx的反函數(shù)為g(x)=ex,則g(2)=e2.

故選：C.

【變式8-1](23-24高一上?遼寧大連?期末)已知函數(shù)/(%)在定義域[1,3]上滿足f(x)/(y)=/(x+y),/(l)=

2,函數(shù)/'(x)的反函數(shù)為/-1(久)，則g(x)=f(x)+fT(K)的最小值為()

A.2B.4C.5D.8

【解題思路】根據(jù)反函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可令/。)=2,進(jìn)而有7-1(無)=10g2X，根據(jù)指對(duì)數(shù)的定義

域和單調(diào)性判斷g(x)定義域和單調(diào)性，利用單調(diào)性求最小值.

【解答過程】由題意,令f(x)=2xe[2,8],滿足口,3]上f(x)/(y)=/(%+y)且f(1)=2,

止匕時(shí)fT(x)=log2%且定義域?yàn)閇2,8],

所以g(x)=2，+1。82%定義域?yàn)閇2,3],且單調(diào)遞增，

所以9(x)min=9(2)=4+log22=5.

故選：C.

【變式8-21(23-24高二下?浙江寧波?期末)已知函數(shù)f(x)=a\a>0,且a41)的圖象過點(diǎn)(2,4),。(久)是f(x)

的反函數(shù)，則函數(shù)g(蕓)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.既是偶函數(shù)又是減函數(shù)D.既是偶函數(shù)又是增函數(shù)

【解題思路】首先代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出a,即可求出g(x)的解析式，從而求出g(蕓)的解析式，再根據(jù)奇偶性

的定義及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a\a>0,且aH1)的圖象過點(diǎn)(2,4),所以a?=4,解得a=2(負(fù)值已舍去)，

X

所以/'(%)=2,又g(x)是/O)的反函數(shù)，所以gO)=log2x,

則9(等)=晦(蕓),令蕓>。，解得-2<X<2,

所以9(巖)的定義域?yàn)?-2,2),令依)=g(蕓)=log2(巖),

則h(-x)=log2(案)=~log2(蕓)=一九0)，所以無(%)=9(答)為奇函數(shù)，

又y=等=1在(—2,2)上單調(diào)遞增，y=10g2X在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增,

2—XX—Z

所以g(表)=log2(答)在(—2,2)上單調(diào)遞增.

故選：B.

XA-X

【變式8-3］(23-24高一下?安徽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=A二一的反函數(shù)為y=fT(x),那么g(x)=

廣1(比-2)+2在［-2,6］上的最大值與最小值之和為()

A.4B.2C.1D.0

【解題思路】首先得到f(x)的單調(diào)性和奇偶性，從而得到其反函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)g(x)的單

調(diào)性和對(duì)稱性即可得到答案.

【解答過程】因?yàn)閒(―x)=豈薩=A=—/(x),

且函數(shù)/0)的定義域?yàn)镽,則/(?為奇函數(shù)，

因?yàn)閥=4\y=-4-x均為R上的單調(diào)增函數(shù)，則f(x)=也為R上的增函數(shù)，

根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

則函數(shù)f(x)=胃二的反函數(shù)y=/t。)也為定義域上的奇函數(shù)、增函數(shù)，

故=ft(尤一2)+2在［-2,6］上單調(diào)遞增，且g(x)的關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，

因?yàn)?2+6=2x2,則以一2)+g(6)=2x2=4,

即其最大值與最小值之和為2+2=4.

故選：A.

【題型9指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用】

【例9】(23-24高一下?廣東汕頭?期中)已知函數(shù)/O)=翌為奇函數(shù).

2x+a

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不用證明)；

⑶設(shè)函數(shù)g(%)=log29logz^+m，若對(duì)任意的久iE[2,8],總存在%2€(。,1]，使得gOi)=/(%2)成立，求

N4

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解題思路】(1)考慮a20和a<0兩種情況，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得到答案.

(2)確定定義域，設(shè)v%i，%2e(0,+8),且%1<孫，計(jì)算/'(%)一f(冷)>。，得到單調(diào)性.

(3)根據(jù)單調(diào)性確定xe(0,1]時(shí)/0)的值域力=[3,+8),設(shè)t=log2",te[1,3],換元得到二次函數(shù)，計(jì)算

9(%)最大值和最小值，根據(jù)值域的包含關(guān)系得到答案.

【解答過程】(1)由已知函數(shù)需滿足*+a70,當(dāng)a20時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,

函數(shù)/(%)=會(huì)為奇函數(shù)，所以/(—切=—/(均，

即譽(yù)i=一磬在R上恒成立，即(a+1)(2*+1)=0,a=-l(舍)，

2x+a2x+a

當(dāng)avo時(shí)，%log2(-a),函數(shù)的定義域?yàn)?-81og2(-a))UQog2(-a),+8),

又函數(shù)/(%)=|^為奇函數(shù)，所以log2(-a)=0fa=-1,

此時(shí)/(久)=?!，函數(shù)定義域?yàn)?一8,0)U(0,+QO),

2A—1

/(一切=瀉=筌7=-八%)，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，

綜上所述：a=-1；

(2)/(%)在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，證明如下：

/(%)=沿=1+J~P定義域?yàn)?一8,0)U(0,+8),

2X-12A—1

設(shè)E(O,+oo),且％i<x2,

則—&2)=(1+七)一(1+S)=/￡號(hào)

因?yàn)槠?，%2e(0，+8),且修<%2，所以2如一1>0,2%2—1>0,2%2—2%>0,

所以/(%1)>/(%2)，所以/(%)在(。,+8)上單調(diào)遞減，

同理可證，所以/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減；

所以/(%)在(0,+8),(-8,0)上單調(diào)遞減.

(3)函數(shù)/(%)在(一8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)先6(—8,0)時(shí)，/(%)<0,當(dāng)工￡(0,+8)時(shí)，/(%)>0,

%2七(。,1]時(shí),/(x)>/(I)=3,所以當(dāng)％W(0,1]時(shí)/(%)的值域4=[3,+8),

+m

又g(%)=log27,log27=Qog2久-l)(log2x-2)+m,xG[2,8]，

2

設(shè)t=log2x,t6[1,3]，則y=(t—l)(t—2)+m=t—3t+2+m,

當(dāng)t=|時(shí)，取最小值為一；+當(dāng)x=3時(shí)，取最大值為2+6，

即g(x)在xe[2,8]上的值域B=[-J+m,2+m],

又對(duì)任意的%iG[2,8],總存在%2€(0,1],使得g(%i)=/(小)成立，

即所以一(+加之3,解得mN即me號(hào)+8).

【變式9-1](24-25高一上?黑龍江大慶?期中)已知函數(shù)/(久)=唾90+1)+依(KCR)是偶函數(shù)，其中k為

實(shí)數(shù).

⑴求k的值；

x

(2)若函數(shù)g(x)=9f⑸,3^-2m-3+l(0<x<2),是否存在實(shí)數(shù)m,使得g(>)的最小值為0?若存在,

求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到恒等式，求參數(shù)值即可；

(2)由題設(shè)有g(shù)(無)=328-26-3%+2,應(yīng)用換元法，令t=3工且t6[1,9],結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，討論對(duì)稱

軸與區(qū)間[1,9]的位置研究最小值，即可得參數(shù)值.

【解答過程】(1)因函數(shù)f(x)=log9(9x+l)+kx(k€R)是偶函數(shù)，

-xx

故/'(一%)—fM=[log9(9+1)-kx]—[log9(9+1)+kx\

q—Xi-t

=1°g9/+i-2kx=log99r—2kx=—(2k+l)x=0,

因汽ER且不恒為0,故2々+1=0,得卜=心.

(2)由(1),得/(%)=log9(9%+1)—[%=log9(3%+3一汽)，

則g(%)=?(%)?3X—2m-3X+1=(3X+3-x)-3X—2m-3X+1=32x—2m?3%+2,

設(shè)1=3%,因貝lJtE[L9],h(C)=t2-2mt+2,其對(duì)稱軸為t=

①當(dāng)mN9時(shí)，h(t)在區(qū)間[1,9]上單調(diào)遞減，貝lj九⑴mm=%⑼=83-187n=0,解得血=籌<9,不符題

18

意，舍去；

②當(dāng)1<TH<9時(shí)，/l(t)在區(qū)間[1,9]上先減后增，故無Q)min=%(血)=一m2+2=0,解得TH=±V2,故血=

V2；

③當(dāng)血41時(shí)，/i(C)在區(qū)間[1,9]上單調(diào)遞增，貝！JhOmin=九(1)=3-2ni=0,解得血=|>1,不符題意，

舍去.

故存在m=使得g(%)的最小值為0.

【變式9-2](24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)/(久):噫小尹―伏―2)?3,+々+非

(1)當(dāng)k=0時(shí),解不等式/(x)>0；

(2)若函數(shù)/0)的最大值是-1,求k的值.

【解題思路】(1)根據(jù)復(fù)合型對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求解集;

(2)令t=k-32X—(/c-2)■3*+k+：,問題化為t=km2—(fc—2)m+k+[在m6(0,+8)上最大值為

利用二次函數(shù)性質(zhì)研究最值并列方程求參數(shù).

【解答過程】(1)由題意/(x)=log312?3"+：]>0,則2-3*+]>1,可得3*>3-1,即+8)；

(2)令t=k?3?*—(k—2)?3*+k+1,而y=log3t在定義域內(nèi)單調(diào)性遞增，

所以，/(%)最大值是一1,則只需tmax=/令m=3*e(0,+8),

所以t=km2—(fc—2)m+k+[在me(0,+8)上最大值為$

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)有k<0,則函數(shù)t的圖象開口向下，對(duì)稱軸為m=W>0,

所以kx(野產(chǎn)-(/c-2)x^+fc+|=|,則+k=0,

整理得3k2+4k-4=(3k-2)(fc+2)-0,可得k=-2或k=|(舍).

【變式9-31(24-25高一上?浙江杭州?期中)已知非常數(shù)函數(shù)"X)=log工貧是定義域?yàn)?-2,2)的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)判斷并證明函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

XX+2

(3)已知g(x)-m-4-2+3,且\/久】￡(1,2),3x2e[-1,1],-g(x2)>-|,求ni的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a,b.

(2)由(1)求出函數(shù)/(無)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)函數(shù)的定義判斷推理即可.

(3)根據(jù)給定條件，將不等式轉(zhuǎn)化為[/(Xi)]min>g(X2)-I，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.

【解答過程】(1)函數(shù)/(%)為(—2,2)上的奇函數(shù)，貝行(―x)+f(x)=0,且/(0)=0,

即logi"+k)gi==0,整理得log1直嘿=0,

2-bx2+bx4-b2x2

即十一%2=4一匕2%2,于是二;，解得a=±2,b=±l,

當(dāng)a=-2,b=-l時(shí)，/(%)=logi^^,此時(shí)X=0,函數(shù)/(%)無意義；

當(dāng)。=-2,b=l時(shí)，=-1,函數(shù)f(X)無意義；

當(dāng)。=2,6=-1時(shí)，斤=1,函數(shù)/(%)為常數(shù)函數(shù)，不符合要求；

當(dāng)a=2,b=l時(shí)，/(x)=logi—=log--，定義域?yàn)?-2,2),符合題意,

g2+X9Z—X

所以Q=2,b=1.

(2)由(1)知，/(%)=log——=log9(~----1),函數(shù)y=----1在(—2,2)上單調(diào)遞增，

92—X2—X2—X

而函數(shù)y=log/在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(%)在(-2,2)上單調(diào)遞增，

€(—2,2),%1V,則4>2—%]>2—%2>0，1V---V----,

2-%12—％2

于是0<---1V——----1,而函數(shù)y=logg汽在(0,+8)上單調(diào)遞增，

2-%12—%2

因此log9(71)<l°g9(7V-即/(%1)V/(%2)，

Z-Z—%2

所以函數(shù)f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增.

(3)由⑵知，函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，則Vx6(1,2),f(%)>/(l)=I，

e

由Vxie(1,2),3%2[-1,1]'/X%i)-g(%2)>一￡Qf(%i)>。(久2)—3得|2。(尤2)—土

因此mxe[—1,1],g(x)<1<=>m-4%—2X+2+3<l<=>m<^—

當(dāng)工€[—1禹時(shí),\<2X<2,L，±_^=-2^-l)2+2<2,

當(dāng)且僅當(dāng)汽=0時(shí)取等號(hào)，于是血<2,

所以血的取值范圍是m<2.

1.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(%)