數(shù)值課件第章非線性方程求根

第4章非線性方程求根4.1實(shí)根的對分法4.2迭代法及其收斂性4.3牛頓法4.4弦截法4.5解非線性方程組的牛頓迭代法本章主要討論單變量非線性方程

f(x)=0(1.1)的求根問題，這里x∈R,f(x)∈C[a,b].例如代數(shù)方程

x5-x3+24x+1=0,

超越方程sin(5x2)+e-x=0.對于不高于4次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于4次的代數(shù)方程則無精確的求根公式，至于超越方程就更無法求出其精確的解，因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似根也就成為迫切需要解決的問題，為此，我們介紹幾種常見的非線性方程的近似求根方法.先介紹幾個(gè)和非線性方程有關(guān)的定義：方程f(x)=0的根x*，又稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，它使得f(x*)=0，若f(x)可分解為f(x)=(x-x*)mg(x)，其中m為正整數(shù)，且g(x*)≠0.當(dāng)m=1時(shí)，則稱x*為單根，若m>1稱x*為(1.1)的m重根，或x*為函數(shù)f(x)的m重零點(diǎn).若x*是f(x)的m重零點(diǎn)，且g(x)充分光滑，則4.1實(shí)根的對分法對分法也稱為二分法，是求方程近似解的一種簡單直觀的方法。應(yīng)用對分法的前提條件是：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),f(a)·f(b)<0,

則在[a,b]內(nèi)有方程的根.計(jì)算中通過對分區(qū)間縮小區(qū)間范圍，搜索零點(diǎn)的位置。算法簡述：取[a,b]中點(diǎn)將區(qū)間一分為二.若f(x0)=0,則x0就是方程的根,否則判別根x*在x0

的左側(cè)還是右側(cè).若f(a)·f(x0)<0,則x*∈(a,x0),令a1=a,b1=x0;若f(x0)·f(b)<0,則x*∈(x0

,b),令a1=x0,b1=b.不論出現(xiàn)哪種情況,(a1,b1)均為新的有根區(qū)間,它的長度只有原有根區(qū)間長度的一半,達(dá)到了壓縮有根區(qū)間的目的.對壓縮了的有根區(qū)間,又可實(shí)行同樣的步驟,再壓縮.如此反復(fù)進(jìn)行,即可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間[an,bn]的長度為若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過程將無限進(jìn)行下去.當(dāng)

n→∞

時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一點(diǎn)x*

，顯然x*就是所求的根.abx1x2ab什么時(shí)候停止？或x*

例1用二分法求在(1,2)內(nèi)的根，要求絕對誤差不超過

解：f(1)=-5<0有根區(qū)間中點(diǎn)f(2)=14>0-(1,2)+f(1.25)<0(1.25,1.5)f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)f(1.5)>0(1,1.5)二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡單，且總是收斂的，缺點(diǎn)是收斂的太慢，故一般不單獨(dú)將其用于求根，只是用其為根求得一個(gè)較好的近似值.

二分法的計(jì)算步驟:

步驟1準(zhǔn)備計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的值f(a),

f(b).若f(a)·f((a+b)/2)<0,則以(a+b)/2代替b，否則以(a+b)/2代替a.

步驟2二分計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間中點(diǎn)(a+b)/2處的值f((a+b)/2).

步驟3判斷若f((a+b)/2)=0，則(a+b)/2即是根，計(jì)算過程結(jié)束，否則檢驗(yàn).反復(fù)執(zhí)行步驟2和步驟3，直到區(qū)間[a,b]長度小于允許誤差ε，此時(shí)中點(diǎn)(a+b)/2即為所求近似根.4.2迭代法f(x)=0x=g(x)等價(jià)變換f(x)的根g(x)的不動點(diǎn)從一個(gè)初值x0出發(fā)，計(jì)算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收斂，即存在x*使得

，且g連續(xù)，則由可知x*=g(x*)，即x*是g的不動點(diǎn)，也就是f的根。迭代法的基本步驟如下：1、給出方程的局部等價(jià)形式2、取合適的初值，產(chǎn)生迭代序列3、求極限易知，該值為方程的根.一定收斂嗎？分別按以上三種形式建立迭代公式，并取x0=1進(jìn)行迭代計(jì)算，結(jié)果如下：解對方程進(jìn)行如下三種變形：先看下面的例子：用迭代法求方程x4+2x2-x-3=0在區(qū)間[1,1.2]內(nèi)的實(shí)根.準(zhǔn)確根x*

=1.124123029。由此可見，將f(x)=0化為等價(jià)方程x=φ(x)的方式是不唯一的。迭代公式不同,收斂情況也不同.第二種公式比第一種公式收斂快得多,而第三種公式不收斂.為此我們首先要研究(x)的不定點(diǎn)的存在性及迭代法的收斂性.首先蕉考察(x)在[a,b]上不商動點(diǎn)墨的存染在唯衛(wèi)一性.定理1設(shè)(x)∈C兄[a,b]滿足朽以下壩兩個(gè)符條件挎：1o對任氧意x∈[a,b]有a≤(x)≤b.2o存在冠正數(shù)L<1，使對株任意x,y∈[a,b]都有則(x)在[a,b]上存瘋在唯發(fā)一的孟不動叔點(diǎn)x*.證明先證航不動繳點(diǎn)的存在貞性.若(a)=a或(b)=b，顯然(x)在[a,b]上存竭在不酷動點(diǎn).因?yàn)閍≤(x)≤b，以下韻設(shè)(a)>a及(b)<b定義幣函數(shù)顯然f(x)∈C弱[a,b],且滿蘿足f(a)=(a)-a>0,f(b)=(b)-b<0,由連擊續(xù)函撐數(shù)性掘質(zhì)可抵知存瓣在x*∈(a,b)使f(x*)=0，即x*=(x*)，x*即為(x)的不偽動點(diǎn).再證犧不動認(rèn)點(diǎn)的唯一選性.設(shè)x1*,x2*∈[a,b]都是(x)的不碌動點(diǎn)目，則釘由(2嗓.4豪)得引出領(lǐng)矛盾鍬，故(x)的不漆動點(diǎn)小只能南是唯娘一的.證畢.在(x)的不雙動點(diǎn)中存在絲式唯一詞的情磚況下思，可租得到偽迭代蒸法(2撇.2搬)收斂涌的一友個(gè)充分嘆條件.定理2設(shè)(x)∈C待[a,b]滿足園定理1中的滲兩個(gè)陶條件塞，則鞭對任速意x0∈[a,b]，由(2鍵.2聯(lián))得到雄的迭賴代序斗列{xk}收斂路到的烤不動揭點(diǎn)x*，并有誤差雷估計(jì)蠟式證明設(shè)x*∈[a,b]是(x)在[a,b]上的列唯一欲不動環(huán)點(diǎn),由條膏件1o，可敵知{xk}∈[a,b]，再由(2妹.4奇)得因0<L<1，故當(dāng)k→∞時(shí)序以列{xk}收斂析到x*.下面把證明盤估計(jì)厭式(2匪.5裝)，由(2罩.4塘)有于是斥對任脊意正霧整數(shù)p有上述市令p→∞,注意消到li如mxk+p=x*(p→∞)即得(2激.5念)式.又由歸于對憲任意柴正整漢數(shù)p有上述尺令p→∞,及l(fā)i蔬mxk+p=x*(p→∞)即得(2個(gè).6鹿)式.證畢.迭代卵過程雙是個(gè)杠極限嗓過程.在用獸迭代停法進(jìn)相行時(shí)叫，必興須按色精度設(shè)要求鎖控制肥迭代糞次數(shù).誤差圾估計(jì)巴式(2戶.5控)原則嗚上確霜定迭困代次我數(shù)，遲但它堡由于披含有清信息L而不便于村實(shí)際衡應(yīng)用.而誤團(tuán)差估冒計(jì)式(2懸.6攜)是實(shí)腐用的壩，只碗要相鄰董兩次虹計(jì)算啄結(jié)果料的偏震差足夠竿小即呈可?？底C近敗似值xk具有吧足夠?yàn)E精度.對定違理1和定賤理2中的細(xì)條件2o可以竊改為絨導(dǎo)數(shù)暢，即育在使決用時(shí)化如果(x)∈C略[a,b]且對遼任意x∈[a,b]有則由片微分撲中值忘定理不可知日對任掀意x,y∈[a,b]有故定學(xué)理中誓的條趁件2o是成懷立的.例如站，在騎前面醬例3中采個(gè)用的祥三種峰迭代涌公式忽，在鄙隔根敘區(qū)間(1前,天1.享2)內(nèi)，刮有故前注兩個(gè)煌迭代善公式逢收斂汽，第兔三個(gè)往迭代返公式擱不收宴斂.局部秧收斂段性與孝收斂扛階上面澡給出今了迭秋代序雅列{xk}在區(qū)等間[a,b]上的電收斂稱性,通常刪稱為全局婆收斂爽性.有時(shí)狼不易義檢驗(yàn)騾定理乏的條痕件，客實(shí)際狡應(yīng)用劉時(shí)通鋪常只聰在不灶動點(diǎn)x*的鄰范近考四察其意收斂仰性，起即局部泳收斂謠性.定義1設(shè)(x)有不茫動點(diǎn)x*，如果冶存在x*的某個(gè)私鄰域R:恩|x-x*|≤δ，對任蒸意x0∈R，迭代縫公式(2咱.2神)產(chǎn)生夏的序急列{xk}∈R，且收海斂到x*，則稱裂迭代俱法(2止.2洲)局部戶收斂.

定理3設(shè)x*為(x)的不動點(diǎn)，在x*的某個(gè)鄰域連續(xù)，且，則迭代法(2.2)局部收斂.

證明由連續(xù)上函數(shù)蜜的性田質(zhì)，盞存在汗不動舊點(diǎn)x*的某第個(gè)鄰兆域R:替|x-x*|≤δ，使對革于任霸意x∈R成立此外哭，對來于任穴意x∈R，總有(x)∈R，這時(shí)炕因?yàn)橛谑菫┮罁?jù)鞠定理2可以納斷定鞠迭代莖過程xk+1=(xk)對于捉任意腸初值x0∈R均收暗斂.證畢.

例4用不同迭代法求方程x2-3=0的根.解這里f(x)=

x2-3，可以改寫為各種不同的等價(jià)形式x=(x)，其不動點(diǎn)為，由此構(gòu)造不同的迭代法.取x0=2,對上些式4種迭拼代法,計(jì)算與三步盡所得結(jié)果入下秩表.kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123┆

x0x1x2x3┆23987┆21.521.5┆21.751.734751.732361┆21.751.7321431.732051┆

注意，從計(jì)算結(jié)果看到迭代法(1)及(2)均不收斂，且它們均不滿足定理3中的局部收斂條件，迭代法(3)和(4)均滿足局部收斂條件，且迭代法(4)比(3)收斂快，因在迭代法(4)中(x*)=0.為了衡量迭代法(2.2)收斂速度的快慢可給出以下定義.定義2設(shè)迭代堅(jiān)過程xk+1=(xk)收斂走于方逐程x=(x)的根x*，如果茶迭代栗誤差ek=xk-x*當(dāng)k→∞時(shí)成業(yè)立下山列漸近只關(guān)系較式則稱洪該迭桶代法蔑是p階收梯斂的.特別應(yīng)地，p=1時(shí)稱線性予收斂，p>1時(shí)稱超線刃性收珠斂，p=2時(shí)稱平方環(huán)收斂.定理4對于纖迭代旬過程xk+1=(xk)，如果(p)(x)在所狗求根x*的鄰侵近連貪續(xù)，刪并且則該幅迭代寧過程姻在x*的鄰臉近是p階收耐斂的.證明由于(x*)=努0，根據(jù)鄰定理3立即傘可以饅斷定掙迭代革過程xk+1=(xk)具有壘局部裙收斂棟性.再將(xk)在根x*處做眨泰勒杜展開,利用阻條件(2許.4犬),則有注意船到(xk)=xk+1，(x*)=x*，由上顏式得因此責(zé)對迭金代誤討差，術(shù)令k→∞時(shí)有這表歉明迭雁代過殼程xk+1=(xk)確實(shí)檔為p階收年斂.證畢.上述呈定理駕告訴蜜我們雪，迭祝代過伴程的惠收斂頸速度馬依賴墻于迭轟代函鍛數(shù)(x)的選謀取.如果x∈[a,b]但(x)≠0時(shí)，憶則該減迭代等過程色只可孩能是倚線性乏收斂.的三中階方問法.假設(shè)x0充分餐靠近x*,求證明首先惹由泰萄勒展撓式可伸得例子證明歐迭代貢公式xk+1=xk(xk2+3a)/帳(3xk2+a)是求而1/喬4a≠0，故此迭代聾公式自是三稱階方渣法.由上捆述討屬論可醫(yī)知，徒構(gòu)造臟滿足君收斂千定理注條件煉的等礎(chǔ)價(jià)形式一譽(yù)般難頸于做咸到。塊要構(gòu)霞造收唇斂迭趁代格緊式有銅兩個(gè)找要素墓：1.等價(jià)服形式2.初值乖選取下面循我們吳開始慢介紹撓若干貢種迭墳代法春的構(gòu)兵造方報(bào)法4.步3倒Ne攜wt鄉(xiāng)豐on法對于互方程f(x)=序0，可木以構(gòu)星造多懸種迭倡代格逢式。根牛頓結(jié)法其爽基本掌思想叉是將潮非線魂性方嫌程f(x)=百0做Ta鮮yl扒or展開帥，取兵其線弦性部莖分構(gòu)寄造的播一種父迭代票格式批。實(shí)泰質(zhì)上聾是一蹤蝶種線途性化經(jīng)方法歡，Ne奪wt減on法迭旦代公奮式設(shè)已飯知方駐程f(x)=鐘0有近璃似根x0，且在x0附近f(x)可用限一階但泰勒夕多項(xiàng)康式近撕似，溉表示位為當(dāng)f(x0)≠費(fèi)0時(shí)，碗方程f(x)=皆0可用錢線性唯方程(切線)近似薄代替喬，即f(x0)+f(x0)(x-x0)=唱0.(4較.1教)解此盤線性饒方程睡得得迭去代公適式此式墾稱為牛頓(N伙ew蜘to豪n)迭代盛公式.牛頓吩法有誤顯然岔的幾何回意義，方樓程f(x)=福0的根x*可解正釋為吊曲線y=f(x)與x軸交移點(diǎn)的萌橫坐信標(biāo).設(shè)xk是根x*的某俗個(gè)近揪似值頓，過皂曲線y=f(x)上橫碗坐標(biāo)醒為xk的點(diǎn)Pk引切線獎(jiǎng)，并攀將該矩切線儲與x軸交宏點(diǎn)的列橫坐皆標(biāo)xk+1作為x*的新鑼的近帆似值.注意王到切胞線方航程為這樣跡求得淋的值xk+1必滿足(4例.1濁),從而敬就是樂牛頓類公式(4糞.2賢)的計(jì)傳算結(jié)收果.由于胳這種科幾何境背景財(cái)，所哨以牛薪頓迭槳代法嘗也稱切線檔法.xyx*xky=f(x)xk+1PkPk+1xk+22.牛頓柜迭代帖法的疊收斂斬性設(shè)x*是f(x)的一族個(gè)單跡根，址即f(x*)=曬0，f(x*)≠筆0,有牛頓哭迭代發(fā)法的兵迭代尚函數(shù)昌為由定網(wǎng)理4的(2限.9遭)式可縱得(4朽.3胃)式由此搞得到集，當(dāng)x*為單根時(shí)，肚牛頓青迭代棟法在綠根x*的鄰摩近是二階(平方)收斂的.關(guān)于x*為重根時(shí)，撇牛頓好迭代蛾法在攝根x*的鄰阻近的臟收斂綁性在危后面飛討論.定理(局部畏收斂旦性)設(shè)fC2[a,b],若x*為f(x)在[a,b]上的限根，追且f(x*)0，則存肺在x*的鄰須域U,使得絨任取傭初值x0U，牛頓旨法產(chǎn)朗生的欣序列{xk}收斂宮到x*，且滿裳足即有尖下面弟的局狂部收凝斂性撒定理.(1陶)選定州初值x0,計(jì)算f(x0)仗,f(x0)計(jì)算然步驟(2)按公式迭代得新的近似值xk+1

(3)對于給定的允許精度，如果

則終止迭代，取;否則k=k+1，再轉(zhuǎn)步驟(2)計(jì)算允許層精度最大澆迭代全次數(shù)迭代采信息解將原攻方程等化為x–e–x=鏡0，則牛頓擠迭代風(fēng)公式午為取x0=0歌.5，迭代任得x1=0止.5定66駝31撫1,x2=0連.5掏67女14臣31冤,x3=0莖.5涂67貞14炮33.f(x)=x–e–x，f(x)=室1+e–x，例1用牛波頓迭社代法筆求方蹦程x=e–x在x=0.幼5附近倡的根.例題2：用Ne騾wt長on法求節(jié)方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,計(jì)算如下：對迭隔代格晃式一:太th廁e未it竹er和at幻玉iv閉e沸nu準(zhǔn)mb漫er醫(yī)i攏s床27覺,精th君e尾nu答me露ri興ca多l(xiāng)講so帖lu敞ti安on放i涌s慌0犁.4昨42弱85土27困06對迭稈代格顧式二:粥th斬e弓it卸er歌at昂iv化e牧nu濤mb狂er泄i辜s司3貫,所th定e車nu嘩me梨ri拼ca蒙l嫩so惕lu喇ti梢on濫i縣s余0亞.4愚42劣85鋤44概01例3.求函晴數(shù)蜘的正焰實(shí)根雜。精沸度要求灑：從圖形中我們可以看出：在x=7和x=8之間有一單根；在x=1和x=2之間有一重根。用Matlab畫圖，查看根的分布情形初值x0＝8.辮0時(shí),計(jì)算搶的是苗單根,臥Th愚e往it英er肥at燥iv暫e贈nu緒mb挽er福i唯s歷28災(zāi),T僻he刻n釘um舍er勺ic殼al妙s呢ol貫ut環(huán)io塔n插is崖7.擔(dān)60灑00別01跪48研1初值x0＝1.援0,計(jì)算親的是狹重根,貝Th錢e鼻it登er暴at頂iv應(yīng)e爽nu浴mb幼er幅i愛s請13均56樣,T煮he療n鋤um啊er竊ic聰al住s登ol珍ut疾io日n碎is區(qū)1.俯19刺86播31唇98蹲1取初值x0＝8.0,用牛頓迭代公式計(jì)算如下：取初值x0＝1.0,用牛頓迭代公式計(jì)算如下：重根炒情形當(dāng)x*為f(x)的m(m>0約)重根時(shí)，庭則f(x)可表丟為f(x)=豎(x-x*)mg(x).其中g(shù)(x*)≠搏0，此時(shí)寶用牛費(fèi)頓迭泄代法(4手.2猶)求x*仍然班收斂死，只吃是收斂痛速度巨將大壞大減搭慢.事實(shí)送上，頌因?yàn)槔鄣晒搅頴k=xk–x*，則可見死用牛徐頓法瀉求方純程的順重根希時(shí)僅軌為線性困收斂.從而濾有兩種提高阿求重惹根的檢收斂傷速度的方法：1)取如您下迭位代函綱數(shù)得到讀迭代擠公式下面搭介紹冷一個(gè)求重怒數(shù)m的方搶法，令則求m重根拉具有2階收籃斂.但要折知道x*的重?cái)?shù)m.由式得因此弦得估使計(jì)m的式銹子為對f(x)=釘(x-x*)mg(x),g(x*)≠0，令函彈數(shù)則為寇求μ(x)=防0的單倘根x*的問壞題，張對它違用牛允頓法調(diào)是二涌階(平方)收斂蜜的.其迭衣代函跪數(shù)為2)將求殊重根滔問題稅化為坐求單演根問攪題.從而沾構(gòu)造喇出迭坦代方乒法為例8用牛楚頓迭銹代法狗求函津數(shù)f(x)=表(x-1)衡[s牙in萌(x-1)擁+3x]-x3+1煌=0在0.妹95附近放之根.解取x0=餃0.歌95用牛怖頓迭貼代法亡求得講的xk見右筍表.可見xk收斂容很慢.kxkkm01234560.950.97442790.98705830.99348780.99673280.99835760.99919010.50900.50470.50070.51252.03692.01902.00282.0511由重鋤根數(shù)m=2,用(4站.1拉3)式加冶速法康，作求得x0=0爺.9廟5,x1=0葉.9足98雨85兔59構(gòu),x2=x3=1魯.收斂雹速度蛛大大懶加快鼻于直尊接用恥牛頓惠迭代腐公式.4.布4弦截丙法將Ne沖wt醒on迭代蠻中的惹導(dǎo)數(shù)蓄，用借差商算代替蔽，有閉格式是2步格絮式。織收斂早速度仿比Ne舅wt畝on迭代棵慢x0x1切線割線課外蹲：姨拋物評線法設(shè)已逮知方末程f(x)=勿0的三率個(gè)近渾似根xk,xk-1,xk-2，我們昌以這室三點(diǎn)免為節(jié)薯點(diǎn)構(gòu)織造二我次插仿值多織項(xiàng)式p2(x)，并適喇當(dāng)選動取p2(x)的一密個(gè)零政點(diǎn)xk+1作為躲新的盈近似貍根，炕這樣刷確定略的迭充代過敬程稱溫為拋物督線法，亦巾稱為密勒(Müll頸er)法.在幾蓋何圖霉形上,這種燥方法介的基銷本思凈想是悅用拋順物線y=p2(x)與x軸的凍交點(diǎn)xk+1作為萄所求閱根x*的近灘似位侮置.Ox*xk+1xky=P2(x)xk-2yxy=f(x)xk-1拋物馳線法驢的幾何攝意義見下毫面圖食形.現(xiàn)在滑推導(dǎo)素拋物漢線法層的計(jì)紛算公傘式.插值要多項(xiàng)畢式有兩活個(gè)零茶點(diǎn)式中因了僻在(5賄.3懼)式定伴出一像個(gè)值xk+1，我們幼需要燥討論部根式恰前正貫負(fù)號點(diǎn)的取夜舍問舟題.在xk,xk-1,xk-2三個(gè)膛近似務(wù)值中犯，自姥然假普定xk更接近吹所求鉛的根x*，這時(shí)耳，為嫁了保嘆證精粗度，婦我們漠選(5特.3路)式中愈接近xk的一個(gè)有值作初為新肚的近罰似根xk+1.為此寶，只塊要取玩根式嬸前的辦符號基與ω的符背號相貌同.例11用拋害物線俗法求奧解方地程f(x)=xex-1=述0.解取x0=0奴.5,x1=0皺.6,x2=0船.5役65肺32開始豪，計(jì)尖算得f(x0)=-0.扁17察56癥39,f(x1)=漢0.備09府32突71,f(x2)=-0.盤00丸50渡31.f[x1,x0]=端2.約68痰91杠0,f[x2,x1]=緩2.惕83申37填3,f[x2,x1,x0]=籮2.暮21腥41繼8.故代入(5挽.3玩)式求啊得以上非計(jì)算閘表明慘，拋叢物線踏法比梳弦截太法收瞞斂更享快.