2025年江蘇省常州市高考數(shù)學(xué)押題試卷（附答案解析）

2025年江蘇省常州市高考數(shù)學(xué)押題試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.(5分)已知集合/={xCZ||x|W2},若NC3中只有1個(gè)元素，則。的取值范圍是()

A.[-2,-1]B.[-2,-1)C.(-1,0)D.[-1,0]

2.(5分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+7)4(1-z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.(5分)在△4BC中是“sirb4>電”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.(5分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{斯}滿足。4，。10=208,則log2(。1。2…aioau)等于()

A.210B.211C.11D.9

5.(5分)函數(shù)/'(X)=cos?x+，)(3>0)的圖象在區(qū)間(0,1)上恰有一個(gè)對(duì)稱中心，則3的取值范圍為

()

6.（5分）若（2久一1）4=久2++劭，貝!J00+42+04=（）

A.-40B.40C.41D.82

7.(5分)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y=孫，且存在這樣的x,力使不等式x+%V加2+3%有解，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是()

A.-l<m<4B.-4<m<lC."?<-4或加>1D.正<-3或加>0

8.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，/(2+x)+/(-x)=0,對(duì)任意xi,x2e[l,+°°)(xi<

X2),均有/1G2)-f(xi)>0,已知a,b(a=6)為關(guān)于x的方程/-2x+P-3=0的兩個(gè)解，則關(guān)于

t的不等式/(a)+f(b)+f(?)>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

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（多選）9.（6分）下列說法中，正確的是（）

A.某組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=b%+。一定過點(diǎn)叵，y）

B.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位數(shù)是17

C.甲、乙、丙三種個(gè)體按1：2：3的比例分層抽樣，如果抽取的乙個(gè)體數(shù)為6,則樣本容量為18

D.若一組數(shù)據(jù)2xi,2x2,…，2物的方差為16,則另一組數(shù)據(jù)xi,12,…，物的方差為4

（多選）10.（6分）已知△45。內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,A=2B,則（）

A.a2=c（b+c）

ba2

B.一+港的最小值為3

cb乙

c

C.若△A3C為銳角三角形，則工6（1,2）

b

D.若a=2b，b=3,則c=5

（多選）11.（6分）已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S”滿足斯S,=9（?=1,2,???）,則

下面正確的有（）

A.｛即｝的第2項(xiàng)小于3

B.｛斯｝為等比數(shù)列

C.｛斯｝為遞減數(shù)列

1

D.｛如｝中存在小于麗的項(xiàng)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收

2名同學(xué).若同學(xué)/確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有種.

13.（5分）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，M,N分別為BC,8的中點(diǎn)，AM-AB=5,則

—>—>

AM.AN=.

14.（10分）定義在R上的函數(shù)g（x）滿足歹=g（2x+l）-2是奇函數(shù)，則g（x）的對(duì)稱中心為；

若％=g（Vy）++9（，了）+…+9（呼#）56N*）,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

9a2

15.在△NBC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosB=七，b=5,-=

(1)求a；

第2頁（共15頁）

(2)求sirU；

(3)求cos(B-2A)的值.

3+2+

16.已知｛斯｝是正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列，且。2a6=64,。。5=20.數(shù)列｛加｝是等差數(shù)列,且(幾+l)bn=2九

n+C.

(1)分別求數(shù)列｛劭｝和數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)設(shè)C”=(一1尸期+一，求數(shù)列｛5｝前〃項(xiàng)和S”.

0nOn+l

17.如圖，三棱柱4BC-AiBiCi中，側(cè)面/班底面ABC,LBiBA是邊長(zhǎng)為2舊的正三角形，AC=V6,

&C與平面/2C所成角為45°.

(1)證明：NC_L平面N881/1；

rp

(2)若點(diǎn)E為8c中點(diǎn)，點(diǎn)尸為棱CCi上一點(diǎn)，且滿足4=沃，是否存在入使得平面N5尸與平面AEBi

V6

夾角余弦為廣,若存在求出入值，存不存在請(qǐng)說明理由.

18.已知函數(shù)/'(x)—X2-2x+alnx,(a￡R).

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線；

(2)若對(duì)任意的XI,X2C(0,+8),X1WX2,有01_X2),('S,l)_)>0恒成立,求實(shí)數(shù)。的取

X1x2

值范圍.

19.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)

(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值；

(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布。2),其中日為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，。-14.初

試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；

(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng)；答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)；答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng)；

全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為。，第三道題答對(duì)的概

第3頁(共15頁)

率為6.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為之設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為尸，求尸的最小值.

O

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（山。2）,則0cxWn+。）20.6827,尸（R-2O<XWR+2

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2025年江蘇省常州市高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.(5分)已知集合/={xCZ|x|W2},3={x|xWa},若/C3中只有1個(gè)元素，則a的取值范圍是()

A.[-2,-1]B.[-2,-1)C.(-1,0)D.[-1,0]

【解答】解：|x|W2,得-2&W2,且xCZ,所以/={-2,-1,0,1,2},

因?yàn)?={x|xWa},且中只有1個(gè)元素，

所以-2Wa＜-1.

故選：B.

2.(5分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1+i)4(1-z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：(1+z)4(I-z)=[(1+z)2]2(1-z)=-4(1-z)=-4+43

所以復(fù)數(shù)(1+/)4(1-/)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-4,4)在第二象限.

故選：B.

3.(5分)在△48。中，“/＞常是"sitL4＞瞪”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：取4=竽,則siM=字,

.?.”/＞甘是"siib4＞亭”的必要不充分條件.

故選：B.

4.(5分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{即}滿足04?。10=2°8,則log2(ai02…aioau)等于()

A.210B.211C.11D.9

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{斯}的公比為q,

4

若〃4?。10=208，則有＜24。10=2a4q,變形可得—a6=2

第5頁(共15頁)

故，。。2（。1。2…aioaii）=2a10…Q5a7a6）=2。92ali=，。g？"二H?

故選：C.

5.（5分）函數(shù)/（%）=郎（3%+卷）（3〉0）的圖象在區(qū)間（0,1）上恰有一個(gè)對(duì)稱中心，則3的取值范圍為

（）

Azn27rl「zTi47rl八,TC47rl門zu77rl

A-（百'B-（石'手］c-（m'可］D-（m‘T!

7171TC

【解答】解：由XE（0,1）,得:<3%+:<3+:，

666

7T7137r

由/（%）的圖象在區(qū)間（0,1）上恰有一個(gè)對(duì)稱中心，得77V3+;477，

Z62

一-，兀47r

所以E<0）<—.

故選：C.

4432

6.（5分）若（2%—I）=a4%+a3x+a2x+arx+劭，則碗+42+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

4432

【解答】解：根據(jù)（2%-I）=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

令x=l,故（2-1）4=1=44+43+42+41+40,

令X=-l,故34=1=44-。3+。2-。1+。0，

34+1

所以QO+Q2+〃4=-2-=41.

故選：C.

7.（5分）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)X,>滿足4x+y=xy,且存在這樣的X,丹使不等式x+看v加2+3冽有解，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

A.-l<m<4B.-4<m<1C.冽V-4或加>1D.加〈一3或加>0

【解答】解：?.?正實(shí)數(shù)%,y滿足4x+y=xy,即一+-=1,

xy

'-x+4=（x+分（：+；）=2+m+套22+2欄.看=4,

4%v14

當(dāng)且僅當(dāng)一二丁且一+-=1,即x=2,y=8時(shí)取等號(hào)，

y4xxy

二?存在x,>使不等式x+看V/+3加有解，

.*.4<m2+3m,解可得加>1或加V-4.

故選：C.

8.（5分）已知函數(shù)/（%）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，/（2+x）4/（-%）=0,對(duì)任意xi,%2G［b+°°）（xi<

第6頁（共15頁）

X2),均有/1(X2)-f(xi)>0,已知a,b為關(guān)于x的方程--2x+P-3=0的兩個(gè)解，則關(guān)于

t的不等式/(a)+f(b)+f(?)>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【解答】解：由/(2+x)+fC-x)=0,得/(I)=0且函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，

由對(duì)任意XI,X26[l,+°°)(xi<%2),均有/'(X2)-f(XI)>0,

可知函數(shù)/Xx)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)镽,

所以函數(shù)/'(X)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閍,b(aW6)為關(guān)于x的方程x2-2x+P-3=0的兩個(gè)解，

所以A=4-4(?-3)>0,解得

J!La+b=2,BPb=2-a,

又/(2+x)+f(-x)—0,

令x=-a,則/(a)+f(b)=0,

則由/'(a)+f(b)+f(?)>0,得/⑺>0=/(1),

所以t>l,

綜上，/的取值范圍是(1,2).

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.(6分)下列說法中，正確的是()

A.某組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a一定過點(diǎn)。，歹)

B.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位數(shù)是17

C.甲、乙、丙三種個(gè)體按1：2：3的比例分層抽樣，如果抽取的乙個(gè)體數(shù)為6,則樣本容量為18

D.若一組數(shù)據(jù)2xi，2x2,…，的方差為16,則另一組數(shù)據(jù)xi,m，…，初的方差為4

【解答】解：對(duì)于/,經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=取+a必過樣本中心點(diǎn)(元y),故/正確；

對(duì)于2,將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為12,14,15,17,19,23,27,30,

因?yàn)?X50%=4,

[7+19

所以50%分位數(shù)是一^—=18,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,甲、乙、丙三種個(gè)體按1：2：3的比例分層抽樣，

第7頁(共15頁)

如果抽取的乙個(gè)體數(shù)為6,

則樣本容量為6+*騎=18,故C正確；

對(duì)于若一組數(shù)據(jù)2x1,2x2,…，2初的方差為16,

則另一組數(shù)據(jù)XI,X2,…，X”的方差為4)2x16=4,故。正確.

故選：ACD.

(多選)10.(6分)已知△ZBC內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別是4、b、c,A=2B,則()

A.a2=c(6+c)

b在

B.一+點(diǎn)的最小值為3

c

c

C.若△48。為銳角三角形，則工6(1,2)

b

D.若Q=2遍，b=3,貝！Jc=5

【解答】解：由/=25,得siiL4=sin25=2siriScosH,

.b2

由正弦定理得a=2bcosB,由余弦定理得a=2b-----荻——,

貝！J(c-b)Ca2-b2-be)=0,當(dāng)bWc時(shí)，a2-b2-bc=0,即(b+c),

當(dāng)b=c時(shí)，B=C,又4=25,所以4=90°,B=C=45°,

222

所以a=V2bf所以次—b—bc=(V2b)—b—b-b=0,

所以q2=b(6+c),故選項(xiàng)Z錯(cuò)誤;

ba?by+bcbe

由a2=b(b+c),則一+77=-+—r?—=一+：+1>3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)B正確;

cb'cb'cb

csinCs譏(2B+B)sinZBcosB+coslBsinB

在△ABC中，sin^W0,由正弦定理

bsinBsinBsinB

2sinBcos2B+(2cos2B-l>)sinB

=4cos2B—1,

sinB

若△43C為銳角三角形，又A=2B,則B€(0,?C=TT-3B<J,故親

所以Be(『今)，所以cosBe(孝，^)>則COS2Be>'),

所以4cos23-le(1,2),故選項(xiàng)C正確；

abc「

在△45C中，由正弦定理一-=--=-又A=2B,a=2逐，b=3,

sinAsinBsinC

ZD32V62V6…J6

得------=---------=---------------，貝！JcosB=-y,

sinBsinZBIsinBeosB3

由余弦定理，b1=a1+c1-2accosB,得9=24+c?-2x246x卓c，

第8頁(共15頁)

整理得c?-8c+15=0,解得c=5,或c=3,

當(dāng)c=3時(shí)，宿C=B,又A=2B,所以3=C=45°,/=90°,

因?yàn)閥+c??/,則c=3不成立，故選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

（多選）11.（6分）已知數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前"項(xiàng)和為8,滿足aaSa=9（〃=1,2,■■■）,則

下面正確的有（）

A.｛斯｝的第2項(xiàng)小于3

B.｛斯｝為等比數(shù)列

C.｛斯｝為遞減數(shù)列

D.｛斯｝中存在小于擊的項(xiàng)

【解答】解：由題意可知，V/?￡N*,an>0,

當(dāng)"=1時(shí)，謚=9,可得ai=3；

當(dāng)“22時(shí)，由5?=：可得Sn_i=/一，兩式作差可得即=/一片，

999

所以，----=——冊(cè)，則——叼=3,整理可得華+3a2—9=0,

。九一1。九。2

因?yàn)椤?>0,解得做=§今一.<3,/對(duì)；

假設(shè)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,則成=%。3,即舄）2=翡，

所以，s\=可得出（1+q）2=域（1+q+q2）,解得夕=o,不合乎題意，

故數(shù)列｛斯｝不是等比數(shù)列，5錯(cuò)；

當(dāng)”22時(shí)，冊(cè)=總-白=°熏;丁）〉0,可得斯〈斯一1，所以，數(shù)列｛即｝為遞減數(shù)列，C對(duì)；

11

假設(shè)對(duì)任意的neN*,an2高，則Siooooo210000。x高=1000,

QQ1

所以，aiooooo=S]000O0<]000〈TUU，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，。對(duì).

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實(shí)習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收

2名同學(xué).若同學(xué)工確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有30種.

【解答】解：若除同學(xué)/外還有一名同學(xué)去甲學(xué)校，則有4C2度=12X2=24種可能，

第9頁（共15頁）

若只有同學(xué)/到甲學(xué)校，則有才?用=6種可能，

故共有6+24=30種可能.

故答案為：30.

TT->T13

13.（5分）在邊長(zhǎng)為2的菱形48a）中，M,N分別為3C,CD的中點(diǎn)，AM-4B=5,貝?AN=——

【解答】解：因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的菱形/BCD中，M,N分別為BC,CD的中點(diǎn)，

—?T—>T1T_>1T

所以AM=AB+BM=AB+^BC=AB+^AD,

AN=AD+DN=AD+^DC=AD+j-AB,

—>—>

因?yàn)榱B=5,

所以(4B+>D)-AB=AB2+^AB-力。=5,所以力AD=2,

TTT[TT[T[T[TT1T1K11O

因?yàn)榱N=(AB+yAD)■(AD+^AB)=^AB2AB-AD+^AD2=yX4+^x2+yX4^^.

乙乙乙L乙乙X乙乙

13

故答案為：—.

14.(10分)定義在R上的函數(shù)g(x)滿足y=g(2x+l)-2是奇函數(shù)，則g(x)的對(duì)稱中心為(1,

19Q

2);若%=g(后萬)+9(汨萬)+9(汨a)+…+g(完斗-)(?1eN*),則數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為_an

=4w+2.

【解答】解：；y=g(2x+l)-2是奇函數(shù)，

：.y=g(2x+l)-2關(guān)于(0,0)對(duì)稱，貝Ug(-2x+l)-2+g(2x+l)-2=0,

：.g(1-2x)+g(l+2x)=4,則g(x)關(guān)于(1,2)對(duì)稱；

由％=9(E)+9(中)+9(申)+…+9(^TT)(nGN*),

得％=9(^^)+9(系)+…+。(磊),

1Qvi1Q-yj_1_11

?.?2冊(cè)=[9(高)+9(爺*)]+...+[9(需')+9(島;)]=4(2〃+1)，則斯=4"+2.

=

故答案為：(1,2)；an4n+2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

Qa2

15.在△45。中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為Q,b,c,已知COSB=G>6=5,-=

10c3

(1)求Q；

(2)求sinN；

第10頁（共15頁）

(3)求cos(B-2A)的值.

【解答】解：(1)設(shè)。=2bc=3t,t>0,則根據(jù)余弦定理得廬=02+°2_2a0cosB,

即25=4t2+9/—2x2tx3tx不/解得t=2(負(fù)舍)，

16

貝!Ja=4,c=6；

(2)因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以sMB=7\—COS2B=Jl一(磊)2=梁,

cib45/7

再根據(jù)正弦定理得一二=——,即一；=三方，解得sim4=丁；

sinAsinBsinA5V74

16

(3)因?yàn)閏osB=^>0,且5c(0,7i),所以86(0,J),

由(2)知siziB=

lo

因?yàn)閝Vb,則Z<5,所以cosZ=Jl—(1)2=*,

貝!Jsi/i2Z—21siTiAcosA=2xx4=-,cos2A—^cos^A—1=2x(4)2—1—豆，

Q1rInQ/y17

cos(B—2Z)—cosBcos2.A+sinBSITI2,A—X-5-H—X-5-=~E~A*

、Jloo16o64

16.已知｛斯｝是正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列，且42a6=64,的+〃5=20.數(shù)列｛仇｝是等差數(shù)列，且(九+1)4=2回+

71+C.

(1)分別求數(shù)列｛斯｝和數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式；

1

(2)設(shè)0=(-1)*九+---，求數(shù)列｛cn｝前幾項(xiàng)和S?.

。破九+1

【解答】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛劭｝的公比為夕，且有即＞0,夕＞1,

o

由。2。6=64,〃3+。5=20,可得成=64,即44=8,8^+-=20,

q

解得q=2,

所以劭=。的"4=8X2"4=2獷1；

由于｛兒｝是等差數(shù)列，設(shè)瓦=4〃+5,

22

則有(九+l)hn=(n+l)(i4n+8)=An+(A+B)n+B=2n+九+C,

；A=2(A=2

所以4+B=l,解得加=一1,

B=CVC=-l

所以數(shù)列步〃｝的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.

1111

(2)由(1)知，金=-(-2尸+3-+1)=一(一2尸+2(布-亞),

第11頁(共15頁)

c11111

1n-1

所以=。1+。2+***+cn=—[(—2)°+(—2)H---F(—2)]+2[(1--3)+(可―耳)---(2n-l-

-2n-+—l)J1J

l-(-2)n+11

4n+2'

17.如圖，三棱柱ABC-AxBiCi中，側(cè)面45514,底面ABC,ABiBA是邊長(zhǎng)為的正三角形，AC=V6,

8C與平面/5C所成角為45°.

(1)證明：4CJ_平面455141；

rp

(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)P為棱CCi上一點(diǎn)，且滿足4=法，是否存在人使得平面4BP與平面4班1

V6

夾角余弦為二，若存在求出入值，存不存在請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)證明：取中點(diǎn)。，連結(jié)BbD,CD,

：△4821為正三角形，：.B]D±AB,

:側(cè)面ABB1/1I?底面NBC,BLDU平面AftBi/i,平面ABBi/iC平面ABC=A8,

.?.囪。_1_面48。，

?.?歷C與平面4BC所成角為45",

.../BiCD即為21c與平面4BC所成角，即乙BiCD=45°,

?/BiD=3：.CD=3,：.CD2=AD1+AC2BPACLAD,

:側(cè)面4RBE_L底面4BC,/Cu平面4BC,平面483聞D平面4BC=4B,

，/C_L平面ABBiAi.

(2)由(1)可得8iD_L/C、AC±ABS.AC±BiD,

連接?！?則由題DE〃/C,所以?！阓L/8,BiDLDE,

所以DE,DA,兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

第12頁(共15頁)

C

則2(0,V3,0),B(0,-V3,0),Bi(0,0,3),C(佩<3,0),E(孚，0,0),

設(shè)CP=4CC1，貝|CP=4CC1=4B81=(0,迎入,32)(0<A<1),DC=(V6,遮,0),

—>—>-*rz.7

DP=(V6,V3(A+1),34),￡M=(0,遮,0),4E=(號(hào)，-V3,0),力=(0,一百，3),

設(shè)平面4D尸法向量江=(“為，zi),平面4班1法向量信=3,丫2,Z2),

/TTrI—

則%1號(hào),則i=￥=°,即慢1=°

元1DP(nrDP=0W6%i+34zi=0

令zi=2,解得打=一乃人

艮口)11=(—0,2),

貝亞1包則伊?皿=。，即住久2-何2=。，

2-L2?

(九(九=01—V3y2+3Z2=0

令丫2=百，解得六2=廣，

3二1

即九2=(遍，V3/1),

.I—Tt_|6A-2|_屈

1121710-V6P+410

即81A2-60a+4=0,

解得4=方■或4=可，

22V6

???存在4=或「使得平面4BP與平面AEBi夾角余弦為二.

乙/310

18.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+alnx,(tzGR).

(1)若。=1,求函數(shù)/(%)在點(diǎn)(L/(D)處的切線；

(2)若對(duì)任意的xiE(0,+8),%iWx2,有(%i-％2),(坐口一堂Q)〉。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取

X1x2

第13頁（共15頁）

值范圍.

【解答】解：⑴『8=2x-2+p

當(dāng)4=1時(shí)，f（1）=-1,f（X）=1,

故切線方程為：y+l=x-1,即y=x-2；

（2）不妨設(shè)0Vxi〈X2,則眼f（xi）-x\f（X2）<0,

閂R仝I、]汨f（%l）「八'2）

I可除以X1X2倚-----<-----，

%1%2

所以6（%）=寫=》一2+哈在（0,+8）單調(diào)遞增，

所以GQ）=1+