2025年九年級中考數學壓軸題專練：新定義（含答案）

專題19二次函數與新定義

（2024秋?諸暨市校級月考）

1.定義：把二次函數y=a（x+〃?y+〃與＞=-a（x-加y（awO,加、”是常數）稱作互

為“旋轉函數"，如果二次函數必=/+Zzx+2與%=-X2-0.5CX-C（6、c是常數）互為“旋

轉函數”，則下列選項中正確的是（）

A.c=-2B.b=—

2

C.當％=，時，%+%=-2，D.不論工取何值，%+%=0

（2023秋?潁東區(qū)期中）

2.定義：,,6,c］為二次函數＞=^2+云+4。*0）的特征數.下面給出特征數為

［1,m-2,2加+1］的二次函數的一些結論:①當刃=2時，函數圖象的對稱軸是y軸;②當機=2

時，函數圖象過原點；③當加＜0且x＜l時，y隨x的增大而減??；④當機=2時，若

”（-1,%），3（3,%）,則%＜%.其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

（2023秋?南崗區(qū)期中）

3.定義：二次函數了="2+6x+c（a/0）滿足q+6+c=0,那么我們稱這個函數為“和諧”函

數；如果二次函數y=ox2+6x+c（aw0）滿足。-6+。=0,那么我們稱這個函數為“美好”函

數；如果一個二次函數既是“和諧”函數又是“美好”函數，則此二次函數的圖象與x軸兩個交

點間的距離為.

（2024秋?信陽期中）

4.定義：由0,6構造的二次函數了="2+（。-6）工-6叫作一次函數＞=的“滋生函

數”，一次函數＞=依-6叫作二次函數"2+（。-6）x-6的“本源函數”（a,6為常數，且

。#0）.若一次函數＞=的“滋生函數”是尸辦2-4x+a+2,則二次函數

y^ax2-4x+a+2的“本源函數”是.

（2024秋?大連月考）

試卷第1頁，共30頁

5.定義：在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標是這個點的橫坐標的2倍，我們稱這

個點為“友好點”，例如就是“友好點”；若二次函數圖象的頂點為“友好點”，則我們

稱這個二次函數為“友好二次函數”，例如二次函數y=（x-iy+2就是“友好二次函數”.

⑴直線y=4x-1上的“友好點”坐標為；

（2）若“友好二次函數"y=-/+6x+c的圖像與y軸的交點是“友好點”,求這個“友好二次函數”

的表達式；

（3）若“友好二次函數"y=^x2+bx+c的圖像過點（-2,8）,且頂點在第一象限

①當機-14x4加時，這個“友好二次函數''的最小值為6,求機的值；

②已知點新（5,4）,N（l,n）,當線段MN與這個“友好二次函數”的圖像有且只有一個公共點

時，直接寫出”的取值范圍.

（2024?錦江區(qū)校級模擬）

6.在平面直角坐標系中給出以下定義：點/（%,〃），點,m'=3m,n'=-6n,則我

們稱B是A的“跳躍點”.若二次函數V=ax?-5ax-64無20）的圖象上恰有兩個點的“跳躍點”

在直線》=-2x+36上，則°的取值范圍為.

（2023?鹽城）

7.定義：若一次函數的圖象與二次函數的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次

函數為一次函數的軸點函數.

【初步理解】

（1）現有以下兩個函數：①/=/-1；@y=x2-x,其中，為函數＞=x-l的軸

點函數.（填序號）

【嘗試應用】

（2）函數）=X+C（c為常數，c＞0）的圖象與x軸交于點A,其軸點函數＞=a無2+6x+c

與x軸的另一交點為點8.若求6的值.

4

【拓展延伸】

（3）如圖，函數＞a為常數，t＞o）的圖象與x軸、y軸分別交于c兩點,

2

在X軸的正半軸上取一點N,使得ON=OC.以線段"N的長度為長、線段的長度為寬,

試卷第2頁，共30頁

在X軸的上方作矩形AGVDE.若函數>=；x+/(/為常數，t>0)的軸點函數了=加/+3+/

的頂點P在矩形跖VDE的邊上，求”的值.

8.我們約定：若關于x的二次函數必=辦2+云+<?與％=cx2-6x+a,則稱函數,與函數必

互為“共贏”函數.根據該約定，解答下列問題：

⑴若關于x的二次函數必=-3/+h+2與%=心/+工+”互為“共贏”函數，則后=_；m=_；

n=.

(2)對于任意非零實數八s,點尸(小)與點。(sj)(rws)始終在關于x的函數必=/+2rx+s

的圖像上運動，函數％與％互為“共贏”函數.

①求函數處的圖像的對稱軸；

②函數”的圖像與直線>=f+；交于/、8兩點，且長為求％的函數表達式；

⑶在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數弘=a/+6x+c與它的“共贏”函數%的圖

像頂點分別為點/、點用若函數必，力的圖像交于不同兩點。D,且四邊形為菱

形，ACAD=60°,請求出該菱形面積的取值范圍.

(2023?長沙)

9.我們約定：若關于x的二次函數必=%/+4x+q與％=吁2+與(^2同時滿足

+(4+4)2+履-%I=°，3-打產;0,則稱函數必與函數為互為“美美與共”函

數.根據該約定，解答下列問題：

⑴若關于X的二次函數必=2/+履+3與%="?x2+x+”互為“美美與共”函數，求k,m,n

的值；

⑵對于任意非零實數r,s,點尸(，，。與點。(s,f)(Ts)始終在關于x的函數為=/+2rx+s

試卷第3頁，共30頁

的圖像上運動，函數必與為互為“美美與共”函數.

①求函數%的圖像的對稱軸；

②函數%的圖像是否經過某兩個定點？若經過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則,

請說明理由；

(3)在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數必=+6x+c與它的“美美與共”函數%

的圖像頂點分別為點點8,函數必的圖像與x軸交于不同兩點C,D,函數為的圖像與

x軸交于不同兩點E,F.當=時，以4,B,C,。為頂點的四邊形能否為正方形？

若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由.

(2024?張店區(qū)二模)

10.我們定義：二次函數了="+%無+c(a*0)與丁=-辦2+&-0("0)關于原點?；椤鞍?/p>

隨函數

⑴請直接寫出二次函數尸，-2*-3關于原點。的“伴隨函數”的函數表達式；

⑵若點尸(〃?,")在二次函數產--2x-3的圖象上，請證明點)在該二次函數關于

原點。的“伴隨函數''的函數圖象上.

(2024?鐵東區(qū)二模)

11.定義：若二次函數圖象與一次函數圖象交于兩點，且其中一個交點是二次函數的頂點,

則稱這兩點間的線段為此二次函數與一次函數的“頂點截線段”.

在數學活動課上，老師展示圖1,在平面直角坐標系工帆中，拋物線y=-/+6x+c與直線

3

了=-4無+4交于尸，/兩點，與夕軸交于點8,且點尸是拋物線v=-/+6x+c的頂點(點

3

尸與點C,點。不重合)，直線了=-^》+4分別與x軸，＞軸交于。，C兩點.老師要求同

學們探究此情境下頂點截線段的長是否存在規(guī)律？

【形成猜想】

智慧小組同學分別畫出點尸的橫坐標為1,2,3時的圖象，并量出相應的“頂點截線段”長,

發(fā)現它們的長度相等，進而形成猜想“頂點截線段”產區(qū)的長是定值.

【進行驗證】

智慧小組同學通過計算求得點P的橫坐標為1,2,3時“頂點截線段”力的值，驗證了他們

試卷第4頁，共30頁

的猜想.

（1）當點尸的橫坐標為2時，請你求出拋物線的解析式（化為一般式）及“頂點截線段”尸N

的長度.

【推理證明】

3

（2）智慧小組同學得到的猜想：二次函數>=-/+加+。與一次函數y=-1x+4的“頂點截

線段”力的長度為定值，是否正確？請你判斷，并說明理由.

【拓展延伸】

老師在同學們分析、探究后，提出下面問題：

（3）點0為射線CD上一點（點0與點C,點。不重合），且點0為二次函數

22

4:y=aAx+6]X+q與二次函數4：y=a2x+b2x+c2的頂點，二次函數4和乙與一次函數

>=-；工+4的“頂點截線段”分別為線段。67,線段二次函數右的圖象與x軸另一交點

12.定義：二次項系數之和為1,對稱軸相同，且圖象與了軸交點也相同的兩個二次函數互

為友好同軸二次函數.例如：>=2/+4x-5的友好同軸二次函數為y=f2-2x-5.

（1）函數y=-3x2+3x+l的對稱軸為,其友好同軸二次函數為,兩

個函數表達式的二次項系數的關系是.

（2）已知二次函數G:y=a無2+4ax+4（其中。片0且awl且其友好同軸二次函數記為

G.

①若函數G的圖象與函數G的圖象交于48兩點（點A的橫坐標小于點&的橫坐標），求線

段42的長；

②當-3<x<0時，函數C2的最大值與最小值的差為8,求。的值.

試卷第5頁，共30頁

（2020秋?景德鎮(zhèn)期末）

13.定義：若二次函數y=左的圖象記為。，其頂點為4瓦k）,二次函數

了=勺（無-左）,+%的圖象記為G，其頂點為3（后，h）,我們稱這樣的兩個二次函數互為“反頂

二次函數

分類一：若二次函數G：y=%（x-〃y+左經過G的頂點3,且。2：＞=。2（X-左丫+人經過G

的頂點4我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數”.

（1）所有二次函數都有“反頂伴侶二次函數”是命題.（填“真”或“假”）

（2）試求出了=/-4x+5的“反頂伴侶二次函數

⑶若二次函數G與G互為“反頂伴侶二次函數”，試探究6與電的關系，并說明理由.

（4）分類二：若二次函數G:y=%（X-+k可以繞點M旋轉180。得到二次函數G;

2

y=a2（x-k）+h,我們就稱它們互為“反頂旋轉二次函數”.

①任意二次函數都有“反頂旋轉二次函數”是命題.（填“真”或“假”）

②互為“反頂旋轉二次函數”的對稱中心點〃有什么特點？

③如圖，G，互為“反頂旋轉二次函數”，點E,尸的對稱點分別是點Q,G,且跖〃GQ〃X

軸，當四邊形EF0G為矩形時，試探究二次函數C-C?的頂點有什么關系.并說明理由.

（2021秋?山西月考）

14.閱讀以下材料，并解決相應問題.

小聰在課外學習時遇到這樣一個問題:

定義：如果二次函數〉="1尤2+3（：+＜?］（%*0,q,61,q是常數）與＞=。2尤2+4工+。2

試卷第6頁，共30頁

(a2A0,a2,b2,。2是常數)滿足％+%=0，4=仇，c1+c2=0,則這兩個函數互為“旋

轉函數”.

求函數y=2x2-3尤+1的旋轉函數.小聰是這樣思考的，由函數一3x+l可知，％=2,

4=-3,G=l,根據％+%=0,bx=b2,q+c2=0,求出出，瓦,c2就能確定這個函數的

旋轉函數.

請思考小聰的方法解決下面問題：

(1)寫出函數V=/-4x+3的旋轉函數；

⑵已知函數V=2(x-l)(x+3)的圖象與x軸交于48兩點，與y軸交于點C,點/、B、C

關于原點的對稱點分別是4、4、G，試求證：經過點4、耳、￡的二次函數與

y=2(x-l)(x+3)互為“旋轉函數”.

(2024秋?昆山市期中)

15.定義：若一個函數圖像上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則稱該點為這個函數圖像的“2

倍點例如，點⑵4)是函數y=x+2的圖像的“2倍點”.

(1)一次函數了=3無+1的圖像的“2倍點”的坐標是,二次函數＞=/-3的圖像的“2

倍點”的坐標是；

⑵若關于x的二次函數y=x2+3x+2-c(c為常數)的圖像在上存在兩個“2倍點”，求c的

取值范圍；

(3)設關于x的函數y=x?+機的圖像上有且只有一個“2倍點”為點力,關于x的函數

y=x2-2nx-x+4n+2(〃為常數且的圖像上有兩個“2倍點”分別為點2,點C(點

8在點C的左側)，且BC=3/8,求％,〃的值.

(2024秋?長沙期中)

16.在平面直角坐標系中，對“縱橫值”給出如下定義：點”(XJ)是函數圖象上任意一點，

縱坐標y與橫坐標X的差y-x稱為點A的“縱橫值”.函數圖象上所有點的“縱橫值”中的最大

值稱為函數的“最優(yōu)縱橫值”.例如：點4(1,3)在函數》=2x+l圖象上，點A的“縱橫值”為

3-1=2,函數y=2x+l圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為y-x=2x+l-x=x+l,當

試卷第7頁，共30頁

3WxW6時，x+1的最大值為6+1=7,所以函數N=2x+l（3VxV6）的“最優(yōu)縱橫直，為7.

根據定義，解答下列問題：

⑴①點以-5,1）的“縱橫值”為；

②函數＞=；+x（-34龍W-1）的“最優(yōu)縱橫值”為；

⑵若二次函數y=-x2+6x+c圖象的頂點在直線x=：上，且“最優(yōu)縱橫值”為3,求。的值；

（3）若二次函數y=-（x-7z）2+左圖象的頂點在直線y=X+9上，當-14x44時，二次函數

的“最優(yōu)縱橫值”為7,求力的值.

（2024秋?思明區(qū)校級月考）

17.【定義與性質】

如圖，記二次函數＞=a（x-6），c和"-"工-獷+以力。）的圖象分別為拋物線C和G.

定義：若拋物線C1的頂點。儲國）在拋物線C上，則稱G是C的伴隨拋物線.

性質：①一條拋物線有無數條伴隨拋物線；

②若。是C的伴隨拋物線，則C也是G的伴隨拋物線，即C的頂點P（仇。）在。上.

【理解與運用】

191911

（1）若二次函數N=-/（x-2）~+加和y=+1的圖象者B是拋物線y=］工2的伴隨

拋物線，則優(yōu)=,"=.

【思考與探究】

（2）設函數＞=/-2代+4左+5的圖象為拋物線C2.

①若函數＞=--+公+0的圖象為拋物線品，且J始終是品的伴隨拋物線，求d,e的值;

②若拋物線G與x軸有兩個不同的交點（占⑼，（與0）（再＜%）,請直接寫出為的取值范圍.

試卷第8頁，共30頁

備用圖

（2024秋?獻縣月考）

18.定義:如果二次函數4：y=%/+4X+GbvC］為常數）與4：y=&/+%x+C2

（出成0,%,b2,。2為常數）滿足%+%=。，且過相同的兩個點，那么這兩個函數4,。稱

為“可對稱函數

圖1圖2

（1）求。的函數表達式；

⑵設二次函數4,4的頂點分別為。，E,在（1）的條件下.

①如圖1,將拋物線4向右平移，當點E落在拋物線6上時，設交點為G,連接。G,求DG

的長度；

②如圖2,連接4D,過點E作斯〃交圖象4于點尸，直接寫出點尸的坐標.

（2024秋?西湖區(qū)校級月考）

19.新定義：如果二次函數夕=。/+云+°（。*0）的圖象經過點（-2,0）,那么稱此二次函數

試卷第9頁，共30頁

的圖象為“定點拋物線”.

（1）試判斷二次函數y=-3/-3》+6的圖象是否為“定點拋物線”；

（2）若定點拋物線y=x?+（加+l）x+2-A：與直線＞=x只有一個公共點，求m的值；

⑶若一次函數＞=（2-"）x+4-2〃的圖象與定點拋物線y=-x2-x+2的交點的橫坐標分別

為X1和且占＜3＜%,求"的取值范圍.

（2024秋?諸暨市校級月考）

20.定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標的-2倍的點，則稱該點為這個函數圖象

的“逆倍點”.

⑴若點-2a）是二次函數y=/+2x的圖象上的“逆倍點，，，貝心=一

（2）若點P（，2）是二次函數y=x2+6x+c的圖象上唯一的“逆倍點”，求這個二次函數的表達

式；

（3）若二次函數了="2+云+。Q,6是常數，a＞0）的圖象過點（0,2）,且圖象上存在兩個

不同的"逆倍點5（X2,—2X2）,且滿足上-々|=2,如果

z=b2+4b+\,請求出z的取值范圍.

（2024秋?番禺區(qū)校級月考）

21.我們定義：把/=ax叫做函數y=ax2的伴隨函數.比如：/=x就是了=r2的伴隨函

數.數形結合是學習函數的一種重要方法，對于二次函數歹="2（。*0的常數），若點（加,”）

在函數y=的圖象上，則點（一私”）也在其圖象上，即從數的角度可以知道它的圖象關于了

軸對稱.解答下列問題：

試卷第10頁，共30頁

(1)=X的圖象關于一軸對稱;

(2)①直接寫出函數v=4/的伴隨函數的表達式」

②在如圖①所示的平面直角坐標系中畫出y=4/的伴隨函數的大致圖象；

(3)若直線丁=b-3左(左片0)與了=4/的伴隨函數圖象交于A、B兩點(點A在點B的上方),

連接。/、0B,且A4B。的面積為12,求上的值；

(2023秋?洪澤區(qū)校級期中)

22.小明在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數>=4x2+6]X+q(%20,%,4，J是常數)與>=電丫2+62》+。2

(“220,%，方2，。2是常數)滿足%+。2=0，b\=b],Cj+c2=0,則稱這兩個函數互為“旋

轉函數求y=-x?+3x-2函數的“旋轉函數

小明是這樣思考的：由y=-x?+3x-2函數可知q=-1,4=3,%=-2,根據％+和=0,

4=打，6+02=0求出。2，%,c2,就能確定這個函數的“旋轉函數”.

請參考小明的方法解決下面的問題：

⑴寫出函數了=*+3x-2的“旋轉函數”；

⑵若函數乂=X?-m+"與%=-X?+-3互為“旋轉函數”，求(機+〃產3的值；

(3)已知函數了=g(x-l)(x+4)的圖象與x軸交于A、8兩點，與了軸交于點C,點A、B、C

關于原點的對稱點分別是4、星、G.試證明經過點4、星、G的二次函數與函數

試卷第11頁，共30頁

y=；(x-l)(x+4)互為“旋轉函數”.

(2023秋?天寧區(qū)校級月考)

23.定義：在平面直角坐標系xOy中，函數圖象上到一條坐標軸的距離等于到另

一條坐標軸的距離不大于。的點叫做該函數圖象的級方點”.

例如，點(2,3)為雙曲線＞=@的“3級方點”，點(二,口為直線＞=1'+］的“；級方點”.

x332

(1)下列函數中，其圖象的“1級方點”恰有兩個的是(只填序號)；

&y=x；②尸一土③＞=*+"

x2

(2)已知y關于x的二次函數y=—(無一a+l)~+3(a—1)—3(°—1)+2,

①當。=2時，該函數圖象的“2級方點”的坐標是；

②當該函數圖象的“。級方點”恰有三個時，求。的值.

(2023秋?鯉城區(qū)校級月考)

24.在平面直角坐標系中，如果一個點的縱坐標恰好是橫坐標的百倍，那么我們就把這個

點定義為“萌點”.

(1)若一次函數〉=履+2左-1的圖象上有一個“萌點”的橫坐標是-3,求左值；

(2)若二次函數y=曰/+k的圖象上沒有“萌點”，求后的取值范圍.

(2023秋?姑蘇區(qū)校級月考)

25.定義：將函數C的圖像繞點尸(0,〃)旋轉180。，得到新的函數G的圖像，我們稱函數G

是函數C關于點P的相關函數.例如：當〃=1時，函數y=g(x-6)2+3關于點尸(0,1)的相

關函數為7=-；(x+6)2-l.

⑴當力=0時，

①二次函數j=/關于點P的相關函數為；

②點4(2,3)在二次函數y=ax2-2ax+a(a+0)關于點P的相關函數的圖像上，求a的值；

⑵函數＞=也關于點P的相關函數是'=啦，貝；

(3)當-14x42時，二次函數y=-2尤2+4〃X-"2的相關函數的最小值為-1,求力的值.

(2023秋?石峰區(qū)月考)

試卷第12頁，共30頁

26.定義：已知y是x的函數，若函數圖象上存在一點尸(。,"+2),則稱點尸為函數圖象上

的“沉毅點”.例如：直線P=3x-2上存在的“沉毅點，，是尸(2,4).

(1)判斷直線夕=-x+4上是否有“沉毅點”？若有，直接寫出其坐標；若沒有，請說明理由；

(2)若拋物線y=x2+3x+2-k上存在兩個“沉毅點”/(項,如和8(3，刃且卜一司=存求左

的值；

(3)若二次函數y=：/+(機-+l)x+2〃+2/-2的圖象上存在唯一的“沉毅點”，且當

O

-24機43時，〃的最小值為/+4,求t的值.

(2022?荔城區(qū)校級開學)

27.定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值

點”.

(1)若二次函數y=/+6x+2的圖象上存在唯一的“等值點”，求6的值；

(2)若將函數了=-/+2的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，翻折后的部分與圖象其余部分

組成新的圖象，求該圖象上的所有“等值點”的坐標；

(3)若將函數.y=-/+2的圖象在直線》=加下方的部分沿直線了=加翻折，翻折后的部分與

圖象的其余部分組成新的圖象，當該圖象上恰好有三個“等值點”時，請直接寫出的加值.

(2024?岳麓區(qū)校級三模)

28.若定義縱坐標與橫坐標平方的差為常數的點為“晨點”

(1)當這個常數為1時，下列函數存在“晨點”的請劃“T”，不存在的請劃“x”.

①y=x-3()

③y=-x?()

⑵若二次函數y=-x2+4辦+a有且只有一個“晨點”，且點(2,5)關于該二次函數的“晨點”的

對稱點恰好也是“晨點”，求這個二次函數的解析式；

(3)已知N(a,0),B(b,0),其中。<0<6,“晨點”C在了軸上，直線NC和直線2c上的另一

個“晨點”分別為。，E,若四邊形/灰)￡能組成平行四邊形，且有四邊形N8DE面積不超過

4,則四邊形周長是否存在最大值，如果存在，請求出最大值，如果不存在請說明理由.

試卷第13頁，共30頁

29.二次函數＞=。"-〃)2+后(。*0)的圖像是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關于

原點對稱的拋物線了，再將得到的對稱拋物線V向上平移狀(機＞。)個單位，得到新的拋物

線”，我們稱％,叫做二次函數＞=a(x-〃)2+左(°w0)的〃?階變換.

(1)二次函數y=2(x+3)2-2的頂點關于原點的對稱點為,這個拋物線的2階變換的

解析式為;

⑵若二次函數M的5階變換的關系式為％Ex+爐+4.

①二次函數M的解析式為；

②若二次函數M的頂點為點A,與x軸相交的兩個交點中右側交點為8,尸是了軸上的一

個動點，請求出使周長最小時，點尸的坐標.

(2023秋?秦淮區(qū)校級月考)

30.【定義】在平面直角坐標系中，有一條直線'=加，對于任意一個函數圖象，把該圖象在

直線x=加上的點以及直線x=m右邊的部分向上平移n個單位長度(〃＞0),再把直線x=m

左邊的部分向下平移"個單位長度，得到一個新的函數圖象，則這個新函數叫做原函數關于

fx+l(x＞0)

直線X=加的“〃分移函數”.例如：函數〉=%關于直線x=0的力分移函數”為〉=J二.

[x-l(x＜0)

【概念理解】

⑴已知點4(3,3)、6(3,4)、乙(0,-4),其中在函數y=x-2關于直線x=2的“2分移函數”圖

象上的點有」

【拓展探究】

(2)若二次函數y=-/+2》+6關于直線尤=3的“〃分移函數”與x軸有三個公共點，是否存在

n,使得這三個公共點的橫坐標之和為3+2g,若存在請求出"的值，若不存在，請說明理

由.

【深度思考】

⑶已知《-川，5(0,2),C(4,0),0(0,-2),若函數yi—法仙＞0)關于直線工=0的

“3分移函數”圖象與四邊形N8CD的邊恰好有4個公共點，請直接寫出b的取值范圍.

(2023?同安區(qū)二模)

試卷第14頁，共30頁

ax2+bx+c(x20)

31.定義：對于給定的二次函數了=#+加+。(。*0),把形如>=2,'/一人的函

-ax+6x+c(x<0)

數稱為二次函數."="2+8+。伍/0)的對聯(lián)函數.如圖，已知矩形/BCD的頂點坐標分別

為/(1,1),取1,3),C(-3,3),D(-3,1).

(1)已知二次函數y=/-2x+c,若點。(0,4)在這個二次函數圖象上，求該二次函數的對聯(lián)

函數；

(2)在(1)的條件下，求出這個二次函數的對聯(lián)函數圖象與矩形/BCD的邊的交點坐標；

(3)當二次函數y=x2-bx(b>0)的對聯(lián)函數的圖象與矩形/BCD只有2個交點時，求6的

取值范圍.

32.定義：如果二次函數了=%/+6]X+C](qwO、%、々、q是常數)與y=出爐+&》+。2

(出片0、/、&、。2是常數)滿足％+出=。，4=仇，Cj+c2=0,則這兩個函數互為“旋

轉函數”.

⑴寫出函數y=/-4x+3的旋轉函數.

(2)若函數了=5/+(加-1h+〃與了=-5/-〃尤-3互為旋轉函數，求(2加+”產s的值.

⑶已知函數V=2(x-l)(x+3)的圖象與x軸交于/,8兩點，與y軸交于點C,點N,B,C

關于原點的對稱點分別是4、4、G，試求證：經過點4、4、。的二次函數與

y=2(x-l)(x+3)互為“旋轉函數”.

(2024?長沙模擬)

試卷第15頁，共30頁

33.定義：如果實數機，力滿足機2-2〃=t,ri1-2m=t,且心力”，/為常數，那么稱點尸(加,〃)

為“改革創(chuàng)新點”，例如點(-2,0)是“改革創(chuàng)新點”.

(1)(1,1),(5,-3),(-3,1)三個點中，點—是“改革創(chuàng)新點”；

⑵設函數了=-：(x＜0),y=x-6僅＞0)的圖象的“改革創(chuàng)新點”分別為點A,B,過點&作

BCLx軸，垂足為C.當△4BC的面積為3時，求b的值；

⑶若點。(。力)是“改革創(chuàng)新點”，用含t的表達式表示必，并求二次函數＞=尸-3"3的函數

值了的取值范圍.

(2024?龍崗區(qū)校級模擬)

34.【定義】在平面直角坐標系中，對“縱橫值”給出如下定義：點/(x,y)是函數圖象上任意

一點，縱坐標y與橫坐標x的差“N-x”稱為點/的“縱橫值”.函數圖象上所有點的“縱橫值”

中的最大值稱為函數的“最優(yōu)縱橫值”.

【舉例】已知點/。,3)在函數y=2x+l圖象上?點/(1,3)的“縱橫直，為y-x=3-l=2；函

數y=2x+l圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為y-x=2x+l-x=x+l,當3VxW6時，x+1

的最大值為6+1=7,所以函數y=2x+l(3VxW6)的“最優(yōu)縱橫值”為7.

【問題】根據定義，解答下列問題：

⑴①點8(-6,2)的“縱橫直，為」

4

②求出函數了=(+無(24尤44)的“最優(yōu)縱橫值”；

(2)若二次函數y=-x2+6x+c的頂點在直線x上，且最優(yōu)縱橫值為5,求c的值；

⑶若二次函數＞=-，+(26+1)》-/+3,當-14x44時，二次函數的最優(yōu)縱橫值為2,直

接寫出6的值.

(2024春?雨花區(qū)期末)

35.定義：若一個函數圖象與直線＞=一》有交點，該函數就稱為“零和函數”，兩個函數圖象

的交點稱為“零和點”，例如：V=x+2圖象與＞=T的交點是則昨龍+2是“零和函

數”，交點(T1)是“零和點”.

(1)以下兩個函數：@y=2x-l,@y=x2+x+4,是“零和函數”的是(填寫序

試卷第16頁，共30頁

號）；

⑵一個“零和函數”了=/+〃氏+力（加，〃均為常數）圖象與X軸有交點（2,0）,頂點恰好是“零

和點”，求該二次函數的解析式；

（3）若二次函數y=辦2+樂+。"，b,c均為常數，且avO）的圖象上有兩個不同的“零和

點”/（%,“）和2伉必），且x；+x；=5,該二次函數的圖象與y軸交點的縱坐標是-?，若

1224

已知V="丁2-《6+y,求〃■的取值范圍.

（2024春?長沙期末）

36.對某一個函數給出如下定義：對于函數了，若當aWxWb,函數值J的取值范圍是

m<y<n,且滿足"-m=則稱此函數為"/系郡園函數”

⑴已知正比例函數7=ax（lVxV4）為"1系郡園函數”，則“的值為多少？

⑵己知二次函數>=--+2^+。2,當14xW3時，了是“/系郡園函數”，求/的取值范圍；

（3）已知一次函數了=&+1（aWx46且左>0）為“2系郡園函數”，尸（x,y）是函數y=履+1

上的一點，若不論於取何值二次函數了=加/+（加-2）x-2〃7+l的圖象都不經過點尸，求滿

足要求的點P的坐標.

（2024?焦作模擬）

37.在平面直角坐標系中，正方形0/3C的邊長為〃（〃為正整數），點A在x軸正半軸

上，點C在了軸正半軸上.若點"（xj）在正方形043c的邊上，且x,了均為整數，定義點

M為正方形。/3C的“ZS點”.

若某函數的圖象與正方形048c只有兩個交點，且交點均是正方形O/8C的“LS點”，定義

該函數為正方形。/8C的“ZS函數”.

例如：如圖1,當"=2時，某函數的圖象G經過點（0,1）和（2,2）,則該函數是正方形0/8C

的'US函數

試卷第17頁，共30頁

⑴當〃=1時，若一次函數夕=履+/（左片。）是正方形。48。的“￡5函數”，則一次函數的表達

式是（寫出一個即可）；

TV]

（2）如圖2,當〃=3時，正方形0/8C的“整點函數y=—（x>0）的圖象經過5c邊上的點。,

x

與邊相交于點E,請直接寫出加的值

⑶當〃=4時，二次函數y=，+6x+4的圖象經過點B.若該函數是正方形。的“ZS函

數”，求。的取值范圍；

（2024?本溪二模）

38.定義：

在平面直角坐標系中，圖象上任意一點PQ,y）的縱坐標V與橫坐標x的差即>-x的值稱為點

P的“坐標差”；例如：點43,7）的“坐標差，，為7-3=4,而圖象上所有點的“坐標差”中的最

（1）求二次函數y=-X2+7X+1的圖象的“特征值”；

運用：

（2）若二次函數了=-/-法+。（0/0）的“特征值”為一1,點B與點C分別是此二次函數的圖

象與x軸，了軸的交點，且點3與點。的“坐標差”相等，求此二次函數解析式；

拓展：

（3）如圖，矩形。D斯，點E的坐標為（7,4）,點。在x軸上，點尸在V軸上，二次函數

試卷第18頁，共30頁

>=-/+"+4的圖象的頂點在“坐標差，，為3的函數圖象/上.

①當二次函數）=-/+"+4的圖象與矩形的邊只有三個交點時，求此二次函數的解析式;

②當二次函數>=-/+.+4的圖象與矩形的邊有四個交點時，請直接寫出。的取值范圍.

(b|24ac-b2

參考公式：〉=6+&r+c（cw0）=Q|XH---------?+4q

(2a

（2024?丹東二模）

39.定義：在平面直角坐標系中，函數R的圖象經過的兩個頂點，則函數R是

的“勾股函數”，函數R經過直角三角形的兩個頂點的坐標分別為（久1,%）,（町,72），

且王<%,當自變量X滿足占WXW%時，此時函數E的最大值記為Vmax，最小值記為歹加〃，

h_Vmax歹min，則h是RtA^SC的“DX”值.

2

已知：在平面直角坐標系中，RtA^BC,NACB=90°,BC//

（1）如圖，若點C坐標為（1/），AC=BC=4.

①一次函數％=-x+6是RtZ\48C的“勾股函數”嗎？若是，說明理由并求出RtAlBC的

“DX”值，若不是，請說明理由;

②是否存在反比例函數為=￡（左/0）是RtA48C的“勾股函數”，若存在，求出左值，不存

在，說明理由.

⑵若點N的坐標為（2,2）,點8的坐標為（1,加）,二次函數%=/+6x+c是RtZ\4BC的“勾

股函數

①若二次函數%=/+加+<?經過/,C兩點，貝URtZ\48C的“DX”值〃=_；

②若二次函數%=x?+6x+c經過，，8兩點，且與RtZkZBC的邊有第三個交點，求加的取

值范圍;

③若二次函數為+bx+c經過4,8兩點，且的“DX”值〃加2,求機的值.

16

試卷第19頁，共30頁

(2024春?海門區(qū)校級月考)

40.對某一個函數給出如下定義；當自變量x滿足加(a,〃為實數，"?<〃)時，

函數y有最大值，且最大值為2〃-2加，則稱該函數為理想函數.

(1)當機=_1,〃=2時，在①y=gx+3；②y=-2x+4中，是理想函數；

⑵當〃=3根+2時，反比例函數y=—是理想函數，求實數加的值；

x

⑶已知二次函數y=/-"x+zM?+2加-3是理想函數，且最大值為2加+4.將該函數圖象向左

平移近個單位長度所得圖象記為C,?,必)，值,%)是圖象C上兩個不同的點.若%+%=4,

6

求證：yl+y2>~.

(2024春?越秀區(qū)校級月考)

41.定義：平面直角坐標系xQy中，點尸(a,b),點。(c,d),若c=ka,d=-kb,其中左為

常數，且上片0,則稱點0是點P的“左級變換點”.例如，點(-4,6)是點(2,3)的“一2級變換

點”

9

(1)函數>=-'的圖象上是否存在點的“左級變換點”？若存在，求出發(fā)的值；若不存在，

說明理由；

⑵動點/(0-2)與其“左級變換點”3分別在直線人上，在4，4上分別取點(〃凡必)，

(〃/,").若左V-3,求證：yj-y2>4；

(3)關于x的二次函數y=〃/-”x-6”(尤20)的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”

都在直線N=-x+3上，求力的取值范圍.

(2024?株洲模擬)

42.定義：對于函數，當自變量無=%,函數值了=/時，則%叫做這個函數的不動點.

試卷第20頁，共30頁

⑴直接寫出反比例函數y的不動點是.

⑵如圖，若二次函數y=姓2+及有兩個不動點，分別是0與3,且該二次函數圖象的頂點尸

的坐標為（2,4）.

①求該二次函數的表達式；

②連接。尸，”是線段0P上的動點（點/不與點O,尸重合），N是該二次函數圖象上的

點，在x軸正半軸上是否存在點。（加⑼滿足==若存在，求心的

最大值；若不存在，請說明理由.

閱讀材料：在平面直角坐標系中，若點￡和點F的坐標分別為（不必）和立2,%）,則點E和

點F的距離為忸7]=J（X|-七）2+（乂-%J-

（2024春?海州區(qū)校級月考）

43.我們定義：點尸在一次函數N=^+6上，點0在反比例函數y='上，若存在尸、。兩

點關于〉軸對稱，我們稱二次函數v=a/+bx+c為一次函數和歹="+6反比例函數丁=￡

X

7

的“向光函數”，點尸稱為“幸福點”.例如：點尸在y=x-l上，點。（1,-2）在y=——

上，P、。兩點關于y軸對稱，此時二次函數y=--x-2為一次函數y=x-l和反比例函數

V=一士的，，向光函數，，，點p（-l,-2）是“幸福點”.

2

（1）判斷一次函數y=x+i和反比例函數y=-一是否存在“向光函數”，若存在,請求出“幸福點”

X

坐標；若不存在，請說明理；

（2）若一次函數y=x-左與反比例函數〉=——只有一個“幸福點”，求其“向光函數”的解析式；

X

⑶己知一次函數y=ax+b與反比例函數有兩個，幸福點”/、B（/在3左側），其“向

x

光函數"y=辦2+6X+C與軸X交于C、。兩點（C在。左側），若有以下條件：

①a+6+c=0②“向光函數”經過點（-3,4）,③a>6>0,記四邊形/C&D的面積為S,求一

a

的取值范圍.

（2024?龍崗區(qū)校級模擬）

44.【定義】若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：^（-2,-6）,

試卷第21頁，共30頁

5（010）,C（l,3）等都是“三倍點”.

【背景】己知二次函數＞=-x2-x+c（c為常數），

（1）若記“三倍點”。的橫坐標為乙則點。的坐標可表示為」

⑵若該函數經過點（1,-6）；

①求出該函數圖象上的“三倍點”坐標；

②在-34x41范圍中，記二次函數y=-x2-x+c的最大值為最小值為N,求M-N

的值；

⑶在-的范圍內，若二次函數了=-/-x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，直接

寫出c的取值范圍.

（2024?鹽城二模）

45.定義：在平面直角坐標系中有兩個函數的圖象，如果在這兩個圖象上分別取點（%必）,

（x，%）（x為自變量取值范圍內的任意數），都有點（羽必）和點（x,%）關于點（x,x）成中心

13

對稱（這三個點可以重合），那么稱這兩個函數互為“中心對稱函數”.例如：y,=-x^y2=-x

互為“中心對稱函數”.

（1）如果點（x,%）和點（無，%）關于點（x，x）成中心對稱，那么三個數x,其，為滿足的等量

關系是「

（2）已知函數：①y=-2x和＞=2x；②＞=-x+3和y=3x-3；③》=3/+4工一1和

y=-3x2-2x+l,其中互為“中心對稱函數”的是（填序號）；

⑶已知函數尸3x-4的“中心對稱函數”的圖象與反比例函數”々加＞0）