浙江省普通高中強(qiáng)基聯(lián)盟2022屆高三下學(xué)期3月統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題 附解析

2022年浙江省普通高中強(qiáng)基聯(lián)盟統(tǒng)測高三年級數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】C【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義解出集合M，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解出集合N，結(jié)合集合之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】由，得M={y|y≤0}，由，得N={y|y＞0}，所以，所以故選：C．2.雙曲線的離心率等于（）A. B. C.3 D.【2題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程，利用離心率的定義求解.【詳解】由雙曲線得，則，所以，故選：B3.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）A. B. C. D.【3題答案】【答案】A【解析】【分析】利用三視圖還原幾何體，通過錐體體積公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】由圖可知還原后為三棱錐，高為2，底面為等腰三角形，故故選：A4.已知平面，，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【4題答案】【答案】D【解析】【分析】利用線面平行垂直的判定定理及性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】由題，若，則m與平面，可以平行，相交或者m在平面內(nèi)，故充分性不滿足；若，則m可以平行，也可包含于，故必要性不滿足.故選：D5.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A. B. C.4 D.5【5題答案】【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域,令，由直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的斜率最小求解.【詳解】由，滿足約束條件，作出可行域如圖所示：令，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的斜率最小，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為4，故選：C6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【6題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；【詳解】，函數(shù)為偶函數(shù)，排除A,C，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：B7.在中，為邊上一點(diǎn)，，，，則的值為（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得，繼而求出，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，求得答案.【詳解】如圖示：在中，由正弦定理得：,故,而,故只能是銳角，故，所以，故選：C8.已知函數(shù)，若函數(shù)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B.或 C. D.或【8題答案】【答案】D【解析】【分析】由題意可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，所以只要函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為，，在上兩函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，而，即，所以兩函數(shù)再不能有交點(diǎn)，然后分和討論即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得或（舍去），所以函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，，則，所以在上兩函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由于，所以由圖象可知，當(dāng)兩曲線在處有公共切線時(shí)，兩曲線在上有唯一的交點(diǎn)，此時(shí)，則，解得綜上，或故選：D9.有5個(gè)人去并排的5個(gè)不同場館鍛煉，假定每人可以選擇去任意一個(gè)場館，則恰有2個(gè)場館無人選擇，且這2個(gè)場館不相鄰的選擇方式共有（）A.800種 B.900種 C.1200種 D.1500種【9題答案】【答案】B【解析】【分析】先將5個(gè)人分成三組（1，1，3或1，2，3兩種形式），再將這三組人安排到三個(gè)不同的場館，然后將2個(gè)空場館插入3個(gè)有人的場館即可.【詳解】解：先將5個(gè)人分成三組（1，1，3或1，2，2兩種形式），再將這三組人安排到三個(gè)不同的場館，然后將2個(gè)空場館插入3個(gè)有人的場館即可，所以安排方式共有種.故選：B.10.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點(diǎn).過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】A【解析】【分析】先判斷為的重心，再利用重心得到，求出，進(jìn)而得到，借助基本不等式求出最小值即可.【詳解】過作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過的截面.由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)椋?，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，即的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由為的重心得到這一結(jié)論，再用表示出要求的體積，最后借助基本不等式得到最值.二?填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知為虛數(shù)單位，且，則的虛部是___________，___________.【11題答案】【答案】①.##-0.4②.【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)，再進(jìn)行求模；【詳解】，的虛部是，，故答案為：，12.已知隨機(jī)變量的分布列如下：則當(dāng)時(shí)，___________；當(dāng)時(shí)，的最大值為___________.【12題答案】【答案】①.②.##【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，利用期望公式可求得值；求得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】由期望公式可得，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為.故答案為：；.13.已知，為常數(shù)，若，則___________，___________.【13題答案】【答案】①②.【解析】【分析】第一空直接通過求解即可；第二空通過賦值法，先令，再令進(jìn)行求解.【詳解】，由，可得，；令，得，令，得，故.故答案為：；.14.若正項(xiàng)數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，有，則___________，___________.【14題答案】【答案】①.6②.2024【解析】【分析】第一空按照條件直接計(jì)算即可，第二空按照條件遞推得到，進(jìn)而得到，只要求出即可.【詳解】由可得，；①，②，①②兩式相加得，即③，可得④，④-③得，，故，又，故.故答案為：6；2024.15.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________.【15題答案】【答案】##【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，可求得，當(dāng)時(shí)，令，則由已知條件結(jié)合基本不等式可求出，再將化為，化簡根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果【詳解】當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，令，由，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上，的最小值為，故答案為：16.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為___________.【16題答案】【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓，設(shè)，運(yùn)用橢圓的定義，可得，，即有，取的中點(diǎn)，連接，則，由勾股定理可得a,c的另一關(guān)系式，聯(lián)立解得，，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】設(shè)橢圓，，，，如圖示：設(shè)，則，由橢圓的定義可得，，即有，即，①取的中點(diǎn)，連接，則，由,則，由勾股定理可得，即為，②由①②解得，，則離心率，故答案為：17.已知向量，，滿足，，，則的最大值是___________.【17題答案】【答案】##【解析】【分析】先構(gòu)造出，利用題目條件求出，再借助中線定理求出，利用基本不等式求出的最大值，即可求解.【詳解】設(shè)，，，∵，∴點(diǎn)是的重心，又∵，∴.∴是直角三角形，又∵，即，則，，，.在中，，兩邊同時(shí)平方得，又，可得，即，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號；∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)一在于利用條件構(gòu)造出，進(jìn)而求出，關(guān)鍵點(diǎn)二在于借助中線定理求出，進(jìn)而利用基本不等式求解，中線定理的證明及應(yīng)用注意積累掌握.三?解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和值域；（2）在銳角中，，求的值.【18~19題答案】【答案】（1）最小正周期，值域?yàn)椋?）【解析】【分析】（1）利用降冪公式化簡后，直接寫出周期及值域即可；（2）先利用求出，然后借助和角正弦公式求解.【小問1詳解】，則最小正周期，值域?yàn)?【小問2詳解】由，得，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，解得.故.19.如圖，在矩形中，，是中點(diǎn)，沿直線將翻折成，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【19~20題答案】【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，而，由線面垂直的判定可得平面，從而可得，（2）方法一：設(shè)到平面的距離為，直線與平面所成角為，由求出，從而可求得，方法二：取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，利用空間向量求解即可小問1詳解】證明：由題可知，，由余弦定理得，∴，∴.∵，和是平面內(nèi)兩條相交直線，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】解：（方法一）設(shè)到平面的距離為，直線與平面所成角為.依題意可知，，∴，∴，的面積為.由（1）知，∴的面積為，由（1）知平面，根據(jù)，得，解得，∴.（方法二）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量，則，且，令，得平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線與平面所成角為，則.20.正項(xiàng)遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【20~21題答案】【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先計(jì)算出，再通過退位相減計(jì)算的通項(xiàng)公式；（2）先求出，進(jìn)而得到，借助進(jìn)行放縮，最后裂項(xiàng)求和即可得證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或.當(dāng)時(shí)，，即，解得或，∴.當(dāng)時(shí)，，即，解得.由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，∴或.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，.，則.∴.∴.21.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，且為的中點(diǎn).（1）若為的重心，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)面積最小時(shí)，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo).【21~22題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，，，，根據(jù)題意可得，，再根據(jù)為的重心，可得，從而可得出答案；（2），從而，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出答案.【小問1詳解】解：，設(shè)，，，，由題意，，，∴，，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：，∴恒過，，設(shè)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所有函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí).22.已知函數(shù)（且）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，證明：方程有兩根且.【22~23題答案】【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)得，再