湖南省衡陽縣某中學2024年高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

湖南省衡陽縣第五中學2024年高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知底面為正方形的四棱錐，其一條側棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）

正校醫(yī)弱權醫(yī)

N

2)—丁工<oI

二一，則/(/(-))=()

{Inx,x>0e

C.-1D.0

3.某學校調(diào)查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范

圍是17.5,30J,樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根據(jù)直方圖，這200名學

生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）

頻率4

組距1

0.161----------

o

oe10

a08

o

?04

O002

?

17.52022.52527.5自習時間/小時

A.56B.60C.140D.120

4.已知四棱錐。一A3C。中，PA_L平面43c。，底面43co是邊長為2的正方形，PA=&,￡為PC的中點,

則異面直線BE與PD所成角的余弦值為()

393955

5.設函數(shù)/(x)(X￡R)滿足/(—x)=/(x)JQ+2)=/(x),則>=/(x)的圖像可能是

A.、-廣B.

C.D.

6.已知直線利，〃和平面a,若mJLcr,貝卜m_L〃”是“〃〃a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D,不充分不必要

7.一小商販準備用50元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價4元，乙每件進價7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

8.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

9.在AABC中，“sinA〉sin3”是"lanA>tan8”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知函數(shù)若關于X的方程/（x）-〃?+1=0恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃7的取值范

圍為（）

A.（容/）B.（0,容）C.（1,^+1）D.（1,今+1）

11.設i是虛數(shù)單位，asR,生絲=3-2"則〃=（）

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

12.過拋物線f=2p），（〃>0）的焦點且傾斜角為。的直線交拋物線于兩點4B.\AF\=2\BF\f且A在第一象

限，則cos2o=（）

37

A石nrn2y[3

5595

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。

2o

13.己知耳（—3,0）,8（3,0）為雙曲線。：二-三=1（。>0力>0）的左、右焦點，雙曲線C的漸近線上存在點P滿足

ab~

If|二2|PKI,則〃的最大值為.

27

14.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列a｝的前幾項積為7.，％4=4,10gz,4=彳（〃>0且〃工1）,則/?=.

15.將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落.小球在下落的過程中，將3次遇到

黑色障礙物，最后落入4袋或4袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是1,則小球落入

2

A袋中的概率為.

16.在三棱錐S-A3C中，SA,SB,SC兩兩垂直且S4=S8=SC=2,點M為S-A5C的外接球上任意一點,

則MA?MB的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

8

x=-------

17.（12分）在平面直角坐標系xQy中，直線/的參數(shù)方程為2：’（1為參數(shù)）.以坐標原點。為極點，工軸的正

4：

y=---

2+，

半軸為極軸建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為夕=2sin9.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標方程；

（2）若射線2>0）與/和。分別交于點求|AB|.

18.（12分）已知/（x）=f+2卜一1卜

（D解關于x的不等式：/"）>回；

.1

212222r2

(2)若/(x)的最小值為M,且a+h+c=M(〃,"c￡R+),求證：土二竺+±_!二+三■吆122.

cba

19.（12分）已知=棱錐A-RCD中側面與底面BCO都是邊長為2的等邊二角形,且面面AC。，M、N

分別為線段A。、A8的中點.尸為線段BC上的點，且MN1NP.

（1）證明；夕為線段區(qū)。的中點；

（2）求二面角A—NP—M的余弦值.

20.（12分）己知函數(shù)、f（x）=sin①x-（0>0）的圖象向左平移千后與函數(shù)g（A）=cos（2x+°“M<圖象

重合.

（1）求。和。的值;

（2）若函數(shù)〃（燈=/1+?

,求力（司的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.

21.（12分）橢圓W：1+￡=1（。>方>0）的左、右焦點分別是耳，K,離心率為立，左、右頂點分別為A,

crb-'2

B.過耳且垂直于x軸的直線被橢圓W截得的線段長為1.

（1）求橢圓W的標準方程；

（2）經(jīng)過點P（l,o）的直線與橢圓W相交于不同的兩點C、D（不與點A、4重合），直線C8與直線x=4相交于

點M,求證；A、。、"三點共線.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=（x+a）ln（x+a）+，’+x.

（1）當〃=1時，求函數(shù)/（x）的圖象在1=0處的切線方程；

（2）討論函數(shù)〃。）=/（幻一/一工的單調(diào)性；

（3）當〃=0時，若方程〃*）=/（另一=m有兩個不相等的實數(shù)根.毛，求證：ln（R+X2）>ln2-1.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求的.

考點：三視圖

2、A

【解析】

2*_工③x<0111

由函數(shù)/。）二,一'八一，求得/（一）=11］一=一1,進而求得了（/（與）的值，得到答案.

Inx,x>0eee

【詳解】

3

>_rr<n

由題意函數(shù)",

lnx,x>0

I1i3

則/（一）=ln—=—l,所以/（/（一））=/（—故選A.

eee2

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理

與運算能力，屬于基礎題.

3、C

【解析】

試題分析：由題意得，自習時間不少于22.5小時的頻率為（0.16+0.08+0.04）x2.5=0.7,故自習時間不少于22.5小時

的頻率為0.7x200=140,故選C.

考點：頻率分布直方圖及其應用.

4、B

【解析】

/施BEPD

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用cos伊七/。=即可得解.

'叫?PD

【詳解】

平面ABCO,底面A8CO是邊長為2的正方形，

如圖建立空間直角坐標系，由題意：

A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,0網(wǎng),D（0,2,0）,

?.￡為戶。的中點，?二E1」,弓.

\/

BE=一1』,與,PO=（0,2,一灼，

&DNBEPD-2屈

'/阿|.卜耳巫339

F；

」?異面直線BE與PD所成角的余弦值為|cos（BE,即為巫.

故選：B.

D

【點睛】

本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.

5、B

【解析】

根據(jù)題意，確定函數(shù)y=/。）的性質，再判斷哪一個圖像具有這些性質.

由/（一幻=fM得y=fM是偶函數(shù)，所以函數(shù)y=fM的圖象關于y軸對稱，可知B,D符合；由/a+2）=f（x）

得），是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4,不符合，選項B的圖像的最小正周期是2,符

合，故選B.

6、B

【解析】

由線面關系可知機_L〃，不能確定〃與平面a的關系，若川/「一定可得加_L〃，即可求出答案.

【詳解】

m±a,mJ_n,

不能確定〃ua還是

二〃2_L〃4nila>

當〃〃。時，存在aua,nilci,,

由mA.a=>mA.a,

又〃〃可得m_L〃，

所以“m_Ln”是“nl/a”的必要不充分條件，

故選：B

【點睛】

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

7、D

【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結合即可解決.

【詳解】

[4^+7y<50,

設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別丁利潤為z元，由題意Jz=x+1.8y,

x.ysN、

畫出可行域如圖所示,

顯然當尸一*聲經(jīng)過A(2,6)時，z最大.

故選：D.

【點睛】

本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷x,是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出

可行域.本題是一道基礎題.

8、A

【解析】

利用逐一驗證的方法進行求解.

【詳解】

若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙

預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙

比甲，乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意，故選A.

【點睛】

本題將數(shù)學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查.

9、D

【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為￡,至時

63

【詳解】

當A=2,8=工時，sinA>sin5,但tanAvtan4,故充分條件推不出；

36

當A=2,B=一三時，tan4>tanB,但sin4<sin8,故必要條件推不出；

63

所以“sinA>sin8”是“tan力〉tan8”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應用，屬于基礎題

10、D

【解析】

討論x>0,x=0,x<0三種情況，求導得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)羽像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

l-2x,函數(shù)在（（）,；1

當x>0時,故/'(%)=上單調(diào)遞增，在—,+co上單調(diào)遞減，且f

2

當尢=0時，/（0）=0；

/1_2V

當工<0時,f(x)=—，=<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則—=叵，故〃ZJ（1,叵十1）.

\2）2e2e

故選：0.

【點睛】

本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.

11、C

【解析】

由士衛(wèi)二3-2"可得5+出=（。+，）（3-2，）=初+2+（3-2々）"通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出。的

a+i

值.

【詳解】

解：加工=3-2".?.5+H=（a+i）（3-2i）=3a+2+（3-2〃）i

a+i

‘5=弘+2

解得：a=\.

3-2a=a

故選:C.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的運算，考查了復數(shù)相等的涵義.對于復數(shù)的運算類向題，易錯點是把i?當成1進行運算.

12、C

【解析】

Ap

作AA±/,BEJ.AA，由題意sina=一，由二倍角公式即得解.

AB

【詳解】

作A41/,BBJI；BE1AA,,

設忸尸|=|網(wǎng)|=匕

故|4回二|蝴|=2/,|AE|=f,

AE1,7

sina=—=—=>cos2a=1-2sin2a=—.

AB39

故選：C

【點睛】

本題考查了拋物線的性質綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

12

13、—

5

【解析】

設0（x,y）,由ISI=2|帆|可得（x+3）2+y2=4（.3）2+），2],整理得（X-5尸+），2=16,即點尸在以（5,0）為圓心,

4為半徑的圓上.又點心到雙曲線C的漸近線的距離為。，所以當雙曲線C的漸近線與圓@-5尸+）/=16相切時，b

取得最大值，此時《=解得〃=空.

355

14、2加

【解析】

利用等比數(shù)列的性質求得4,進而求得幾，再利用對數(shù)運算求得8的值.

【詳解】

-iiii2222

由于?！?gt;0,qq=延=4,所以4=2,則7；]=&=2,logZjTJj=11xlog/;2=—,logz,2=—,_2>j2,

故答案為：2及

【點睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的性質，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.

3

5>4-

【解析】

記小球落入3袋中的概率P（B）,則P（A）+P伊）=1,又小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向

右下落，小球將落入8袋，所以有P（8）=（；J+[g]=!，則尸⑷=|_p⑻=（.故本題應填

16、26+2

【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質，求出外接球的半徑，結合向量的運算，將問題轉化為求球體表面一點到.MC外心距離最

大的問題，即可求得結果.

【詳解】

因為SA,SB,SC兩兩垂直且SA=SB=SC=2,

故三棱錐S-ABC的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.

且外接球的球心為正方體的體對角線的中點0,如下圖所示：

A/

容易知外接球半徑為行.

設線段48的中點為。一

故可得MA-MB=（MQ+QA）｛MQ+。田）

二（何。］+。/（附_。14）

222

=|MO,|-|O1A|=|MO1|-2,

故當M0||取得最大值時，MA.MB取得最大值?

而當M,A,4在同一個大圓上，且

點M與線段43在球心的異側時，|加。|取得最大值，如圖所示：

此時，"0="00作1啊用、2烏（6+『一=G

故答案為：20+2.

【點睛】

本題考查球體的幾何性質，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）/：x+y-4=0（A-^0）；C:f+）,2-2）,=0.⑵|AB|=72

【解析】

Q

（1）由.v=4可得xwO,

2+t

8

x=---

由』2丁，消去參數(shù)/,可得直線/的普通方程為x+y-4=0（xo0）.

4;

y=---

U2+t

由夕=2sin0可得尸1=2psin。，將y=psin。，.f+），代入上式，可得V+）3-2y=0,

所以曲線C的直角坐標方程為V+），2—2y=0.

(2)由(1)得，/的普通方程為x+y-4=0(x是0),

將其化為極坐標方程可得夕cos。+Psin。-4=0(。W]),

當0=；(夕>0)時，幺=2近,4=丘，

所以|43|=|pA-4|=|25/2-5/21=72.

18、(1)(-oo,0)U(x/5-l,+oo)；(2)證明見解析.

【解析】

(1)分類討論求解絕對值不等式即可；

(2)由(1)中所得函數(shù)，求得最小值再利用均值不等式即可證明.

【詳解】

(1)當xvO時，〃x)>網(wǎng)等價于/+2k一1|>一2,該不等式恒成立,

當0<xVl時，/(九)〉”等價于/一2工>0,該不等式解集為。,

當x>l時，等價于/+2%-2>2，解得1>6一1,

X

綜上，x<0或逐一1,

所以不等式“X)〉國的解集為(-8,0)。(6-1,+8).

X

x2+2x-2,x>1

f(x)=x2+2|x-l|=-

x2-2x+2,x<1

易得/(x)的最小值為L即a+h+c=M=1

因為。，b,ceRS

22

mea~+c~lacb~+a^、2abc+by2bc

bbcc

>2a+2b+2c=2?

當且僅當a=b=c=；時等號成立.

【點睛】

本題考查利用分類討論求解絕對值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.

19、(1)見解析；(2)巫

5

【解析】

(1)設0為3。中點，連結OC,先證明3D_LAC,可證得假設。不為線段3c的中點，可得3O_L

平面ABC,這與NO8C=600矛盾，即得證；

(2)以。為原點，以QBOC,。4分別為原Mz軸建立空間直角坐標系，分別求解平面ANP,平面MNQ的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【詳解】

(1)設。為30中點，連結。4,OC.

；?OA工BD,0CLBD,

又OA「OC=O

3O_L平面Q4C,

ACu平面QAC,

：.BD±AC.

又M,N分別為4D中點，

MN//BD,又MN上NP,

；.BD1NP.

假設P不為線段8c的中點，

則NP與AC是平面內(nèi)ABC內(nèi)的相交直線，

從而4。_1_平面ABC,

這與NOBC=6()。矛盾，所以尸為線段8C的中點.

（2）以。為原點，由條件面/4/?￡）_1_面8。。，

，AO_LOC,以OB,OC,。4分別為第Vz軸建立空間直角坐標系,

貝！］A（0,0叫

T~2，（），

PN=0,fA//V=(1,0,0).

設平面AVP的法向量為〃7=(x，y，z)

]Gn

…公—x-----z=0

所~以<m-AN=0=>\?Z_Z2_

[〃zPN=0G6八

----y+——z=0

I2'2

取y=l,貝Uz=l,x=gn〃7=(G，l,l).

同法可求得平面MNP的法向量為〃=10,1,1)

/m-n2A/10

Z.cos(/w,n)x=--=

7\m\\n\石及5f

由圖知二面角A-NP-M為銳二面角，

二面角乂一NP-M的余弦值為巫.

5

【點睛】

本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學生邏輯推理,空間想象，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

k.7171

20、(1)a)=2,9=?；(2)k兀能氏+專9,X-——+—keZ.

212

【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結果.

(2)首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質的應用求出結果.

【詳解】

(1)由題意得。=2,

=sin|2x+—=cos2x+-

Jfx+-cI6l3

乙

網(wǎng)春

7"171.c71c兀

(2)g)=fx+—+gx---=sin2大斗+cos2x+——

8)I8)<12；12)

=>/2sin2x+yj

,_乃，71..kl71

由2xH—=kjvH1解得X=----1—,

32212

所以對稱軸為工二包+工，keZ.

212

由2〃萬<2x+—<2k冗4-—,

232

1212

57rr

所以單調(diào)遞增區(qū)間為左乃一不；,ksZ.,

【點睛】

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力,

屬于基礎題型.

2

21、(1)—+/=1；(2)見解析

4■

【解析】

2b2

(1)根據(jù)已知可得式-=1,結合離心率和關系，即可求出橢圓W的標準方程；

(2)CO斜率不為零，設。。的方程為1=〃少+1,與橢圓方程聯(lián)立，消去x,得到C。縱坐標關系，求出BC方

程，令x=4求出M坐標，要證A、D、M三點共線，只需證"。-心M=0,將心。一心M分子用縱坐標表示，

即可證明結論.

【詳解】

V-2V2

（1）由于一力2,將1=一《?代入橢圓方程0+2T=1,

a2b2

得y=±S,由題意知塵=1,即〃=2".

aa

又e=￡=立，所以a=2,b=\,

a2

所以橢圓卬的方程為上+V=i.

4.

（2）解法一：

依題意直線CO斜率不為0,設。。的方程為x=my+l,

x=my+1

聯(lián)立方程消去X得(m2+4)),2+2^-3=0,

廠2.

一+y=1

4-

由題意，得』＞0恒成立，設。（為，必），。（工2，）’2），

S、I2/773

所以y+%=——「■，XM=——

加“+4nr+4

直線C8的方程為）'二上;（無一2）.令1=4,得加（4,巨、）.

x1-2Xj-2

又因為力（一2,0）,D（x2,y2）,

則直線AM的斜率分別為勖=仁

所以“2去一六T*瑞產(chǎn)

上式中的分子3%(%-2)-y(x2+2)=3y2(myl-l)-yl(my2+3)

-6m+6/77

=2〃%%一3(凹+%)二=0,

m2+4

?.?仁＞一心”=。?所以A,D,M三點共線.

解法二:

當直線CD的斜率A不存在時，由題意，得C。的方程為％=1,

代入橢圓W的方程，得C（1「C）,。（1,-

直線CB的方程為），=-比2）.

則M（4,-6），人M=（6,-G）,4。=（3,-券），

所以AM=2A。，即4，D,M三點共線.

當直線CO的斜率上存在時，

設CO的方程為y=k（xT）（AwO）,C（x，y）,。（々，為），

聯(lián)立方程消去丁，得（41+1比2—8人+4公一4=0.

由題意，得4>0恒成立，故必"'內(nèi)/一而十

直線C8的方程為)2).令1=4,得M(4,2、).

又因為4-2,0),D(x2,y2)t

則直線4。，AM的斜率分別為心。=37，L=/二、，

X2+23(七一2)

-k-必X_3%(4-2)-)，仆2+2)

所以的A"X2+23(^-2)3(X,-2)(X2+2),

上式中的分子3y2(%-2)-%(x2+2)=3k(々-1)(芭一2)一-再一1)(占+2)

4公一48左2

、、攵(內(nèi)左

=2kxx-5+x',)+8Z=2kx47,2--?--1--5kx-Ai-l-.1+8=0

所以原「女■=0.

所以A,D,M三點共線.

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，要熟練掌握根與系數(shù)關系，設而不求方法解決相交弦問題，考查

計算求解能力，屬于中檔題.

|f\\I(1A

22、(l)3x-y+l=0；(2)當-4<xv-一〃時，/?(x)在一a,-a上是減函數(shù)；當x>一一〃時，力(x)在-一a,+8

eIeJe；

上是增函數(shù)；(3)證明見解析.

【解析】

(1)當〃=1時，/(x)=(x+l)ln(x+l)+er+x,求得其導函