(同濟(jì)大學(xué))高等數(shù)學(xué)D1-10連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

第十節(jié)一、最值定理二、介值定理*三、一致連續(xù)性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)第一章第1頁注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上一定有最大(證實(shí)略)點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁比如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁推論.

由定理1可知有證:設(shè)上有界.二、介值定理定理2.

(零點(diǎn)定理)最少有一點(diǎn)且使機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(證實(shí)略)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界.第4頁定理3.(介值定理)設(shè)且則對(duì)A與B之間任一數(shù)C,一點(diǎn)證:作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知,最少有一點(diǎn)使即推論:使最少有在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間任何值.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁例1.證實(shí)方程一個(gè)根.證:顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理,最少存在一點(diǎn)使即說明:內(nèi)必有方程根;取中點(diǎn)內(nèi)必有方程根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內(nèi)最少有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則則第6頁上連續(xù),且恒為正,例2.

設(shè)在對(duì)任意必存在一點(diǎn)證:使令,則使故由零點(diǎn)定理知,存在即當(dāng)時(shí),取或,則有證實(shí):小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁*三.一致連續(xù)性已知函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),即:普通情形,就引出了一致連續(xù)概念.定義:對(duì)任意都有在I上一致連續(xù).顯然:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁比如,但不一致連續(xù).因?yàn)槿↑c(diǎn)則能夠任意小但這說明在(0,1]上不一致連續(xù).定理.上一致連續(xù).(證實(shí)略)思索:P73題6提醒:設(shè)存在,作輔助函數(shù)顯然機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁內(nèi)容小結(jié)在上到達(dá)最大值與最小值;上可取最大與最小值之間任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在上有界;在在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁1.任給一張面積為A紙片(如圖),證實(shí)必可將它思索與練習(xí)一刀剪為面積相等兩片.提醒:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁則證實(shí)最少存在使提醒:令則易證2.

設(shè)作業(yè)P73題2;3;4一點(diǎn)習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁備用題

最少有一個(gè)不超出4證：證實(shí)令且