2025屆廣東省廣州市天河區(qū)高三1月模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三1月模擬數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】直線的斜率為，所以，解得.故選：C.2.已知曲線，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足（若在軸上，即為），則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，因在曲線上，故即，故選：A.3.已知直線與垂直，則的值是（）A.或 B. C. D.或【答案】C【解析】由題意得.故選C.4.對于常數(shù)、，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】由題意，方程，可化為，則對于常數(shù)、，“”，可得“方程表示的曲線是雙曲線”是成立的；反之對于常數(shù)、，“方程表示的曲線是雙曲線”，則“”是成立的，所以“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的充要條件故選C.5.過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的焦點的坐標(biāo)為，若直線的斜率為，則直線與拋物線只有一個交點，不滿足條件，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，由已知，設(shè)的中點為，則，，所以線段的垂直平分線方程為，因為在線段的垂直平分線上，所以，故，所以，.故選：B.6.設(shè)分別為圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為圓的圓心為，半徑為，則兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑，設(shè)，則，故，，所以圓心到橢圓的最大距離，因為開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以兩點間的最大距離是．故選：B.7.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是坐標(biāo)原點，若,則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點為，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去，得，設(shè)，則，由對稱性不妨令點在第一象限，即，由拋物線的定義，得，解得，，則所以的面積．故選：B.8.如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過F的直線l與C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點若，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，直線，聯(lián)立，解得，即，將代入直線，得，因為，所以，化簡得，代入，得，則，解得或（舍去）．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則下列選項中正確的有（）A.直線的傾斜角為B.直線的斜率為C.直線不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn).直線的一個方向向量為【答案】CD【解析】因為，可以表示為，所以，傾斜角為，故選項A和B錯誤；因為直線，故斜率，縱截距，所以直線不經(jīng)過第三象限，故選項C正確；取直線上兩點,，所以得到方向向量，得到直線的一個方向向量為，故選項D正確.故選：CD.10.若圓的圓心到直線的距離為，則實數(shù)的值為（）A2 B. C. D.0【答案】AD【解析】因為圓的圓心為，所以圓心到直線的距離為，所以或.故選：AD11.已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（）A.面積為B若，則C.若，則的取值范圍為D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】設(shè)，，，不妨設(shè)點是，在第一象限內(nèi)的交點，則，，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，一方面，所以，此時面積為；另一方面，，所以，此時面積為，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為且，所以，所以，所以，所以，又，所以，故B正確；當(dāng)時，由得，即，所以，所以，，對于C，令，則，所以，，故C錯誤；對于D，，記，則，函數(shù)是對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與直線平行，則這兩平行線間距離為_____【答案】或【解析】由題意直線與直線平行，所以，解得，所以兩平行線、之間的距離為.故答案為：.13.若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則________.【答案】【解析】可化為，焦點坐標(biāo)為由題意可得：，故．故答案為：.14.已知橢圓的左?右焦點分別為為上一點，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率__________．【答案】【解析】根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：，又，所以，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，因為為橢圓上一點，則，又，以的三邊為底，內(nèi)切圓半徑為高的三個三角形面積和等于面積，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，即，所以，即，即，兩邊同除以，得，又，解得.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.平面直角坐標(biāo)系中，已知三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.解：（1）因為，，所以BC所在的直線方程為，即.（2）B，C兩點間的距離為，點A到直線BC的距離，所以的面積為.16.已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．（1）求雙曲線的方程；（2）若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數(shù)的值．解：（1）由條件可知，，且，解得：，，所以雙曲線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，，時，，得；當(dāng)時，時，，得，滿足條件，綜上可知，或.17.著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓：．（1）求的面積；（2）若直線交于兩點，求．解：（1）橢圓的方程為，所以，，則，，所以橢圓的面積；（2）聯(lián)立，得，，，，.18.圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由．解：解方程組得，（一）當(dāng)時以上方程組的只有一個解，此時解得，則圓與橢圓有兩個公共點.（二）當(dāng)時方程組的有兩個不同的解或.當(dāng)時，.（1）若或，圓與橢圓沒有公共點；（2）若，圓與橢圓恰有一個公共點；（3）若，圓與橢圓恰有二個公共點．當(dāng)時，，（1）若或，圓與橢圓沒有公共點；（2）若，圓與橢圓恰有一個公共點；（3）若，圓與橢圓恰有二個公共點．綜上所述，圓與橢圓，當(dāng)或時沒有公共點；當(dāng)時恰有一個公共點；當(dāng)或或時恰有二個公共點；當(dāng)時恰有三個公共點；當(dāng)或時恰有四個公共點．19.已知橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合．（1）求拋物線的方程；（2）已知為拋物線上一個動點，直線，，求點到直線的距離之和的最小值；（3）若點是拋物線上一點（不同于坐標(biāo)原點），是的內(nèi)心，求面積的取值范圍．解：（1）由題可知，橢圓右焦點坐標(biāo)為，拋物線焦點坐標(biāo)為所以,所以拋物線方程為,（2）由題可知，為拋物線準(zhǔn)線，所以點到的距離等于點到焦點的距離；聯(lián)立，顯然無實數(shù)根，故直線與拋物線相離，記點到的距離為,所以的最小值為焦點到直線的距離為.（3）設(shè)點，已知點所以的面積,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則有,所以,所以,因為點是拋物線上一點（不同于坐標(biāo)原點）,所以，所以,經(jīng)整理得：,構(gòu)造函數(shù),得,顯然單調(diào)增,令，解得,所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以,所以.廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三1月模擬數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知直線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】直線的斜率為，所以，解得.故選：C.2.已知曲線，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足（若在軸上，即為），則線段的中點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，因在曲線上，故即，故選：A.3.已知直線與垂直，則的值是（）A.或 B. C. D.或【答案】C【解析】由題意得.故選C.4.對于常數(shù)、，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】由題意，方程，可化為，則對于常數(shù)、，“”，可得“方程表示的曲線是雙曲線”是成立的；反之對于常數(shù)、，“方程表示的曲線是雙曲線”，則“”是成立的，所以“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的充要條件故選C.5.過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的焦點的坐標(biāo)為，若直線的斜率為，則直線與拋物線只有一個交點，不滿足條件，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，由已知，設(shè)的中點為，則，，所以線段的垂直平分線方程為，因為在線段的垂直平分線上，所以，故，所以，.故選：B.6.設(shè)分別為圓和橢圓上的點，則兩點間的最大距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為圓的圓心為，半徑為，則兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最大距離再加上圓的半徑，設(shè)，則，故，，所以圓心到橢圓的最大距離，因為開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，則，所以兩點間的最大距離是．故選：B.7.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是坐標(biāo)原點，若,則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點為，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去，得，設(shè)，則，由對稱性不妨令點在第一象限，即，由拋物線的定義，得，解得，，則所以的面積．故選：B.8.如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過F的直線l與C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P，Q兩點若，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，，直線，聯(lián)立，解得，即，將代入直線，得，因為，所以，化簡得，代入，得，則，解得或（舍去）．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，則下列選項中正確的有（）A.直線的傾斜角為B.直線的斜率為C.直線不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn).直線的一個方向向量為【答案】CD【解析】因為，可以表示為，所以，傾斜角為，故選項A和B錯誤；因為直線，故斜率，縱截距，所以直線不經(jīng)過第三象限，故選項C正確；取直線上兩點,，所以得到方向向量，得到直線的一個方向向量為，故選項D正確.故選：CD.10.若圓的圓心到直線的距離為，則實數(shù)的值為（）A2 B. C. D.0【答案】AD【解析】因為圓的圓心為，所以圓心到直線的距離為，所以或.故選：AD11.已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有（）A.面積為B若，則C.若，則的取值范圍為D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】設(shè)，，，不妨設(shè)點是，在第一象限內(nèi)的交點，則，，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，一方面，所以，此時面積為；另一方面，，所以，此時面積為，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為且，所以，所以，所以，所以，又，所以，故B正確；當(dāng)時，由得，即，所以，所以，，對于C，令，則，所以，，故C錯誤；對于D，，記，則，函數(shù)是對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與直線平行，則這兩平行線間距離為_____【答案】或【解析】由題意直線與直線平行，所以，解得，所以兩平行線、之間的距離為.故答案為：.13.若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則________.【答案】【解析】可化為，焦點坐標(biāo)為由題意可得：，故．故答案為：.14.已知橢圓的左?右焦點分別為為上一點，且，若，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓的離心率__________．【答案】【解析】根據(jù)已知條件有，有正弦定理面積公式有：，又，所以，設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，因為為橢圓上一點，則，又，以的三邊為底，內(nèi)切圓半徑為高的三個三角形面積和等于面積，所以，解得，由正弦定理有：，解得，又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，即，即，所以，即，即，兩邊同除以，得，又，解得.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.平面直角坐標(biāo)系中，已知三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.解：（1）因為，，所以BC所在的直線方程為，即.（2）B，C兩點間的距離為，點A到直線BC的距離，所以的面積為.16.已知點在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．（1）求雙曲線的方程；（2）若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數(shù)的值．解：（1）由條件可知，，且，解得：，，所以雙曲線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，，時，，得；當(dāng)時，時，，得，滿足條件，綜上可知，或.17.著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓：．（1）求的面積；（2）若直線交于兩點，求．解：（1）橢圓的方程為，所以，，則