2025屆河南省濮陽市高三下學期一模數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽市2025屆高三下學期一模數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，得，得，由，得或，得，所以.故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，所以，，故選：D.3.已知圓與拋物線的準線相切，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，圓是圓心為原點，半徑為的圓，拋物線的準線方程為，由于拋物線的準線方程與圓相切，則，解得.故選：B.4.我國古代《洛書》中記載著一種三階幻方：將九個數(shù)字填入一個的正方形方格，滿足每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)字之和相同（如圖）．已知數(shù)列的通項公式為，現(xiàn)將該數(shù)列的前項填入一個的正方形方格，使其滿足四階幻方，則此四階幻方中每一行的數(shù)字之和為（）A.60 B.72 C.76 D.80【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質得，四階幻方所有數(shù)字之和為，由于每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和都相等，所以每行的數(shù)字之和為.故選：C.5.在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設中角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因為，所以，故選：D.6.已知橢圓的左頂點、上頂點分別為，右焦點為，過且與軸垂直的直線與直線交于點，若直線的斜率小于為坐標原點，則直線的斜率與直線的斜率之比值的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，直線的方程為，設橢圓的焦距為，由題意設點，則，即，所以，又，所以，即，設直線的斜率與直線的斜率之比值為，則，又，所以．故選:D.7.截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫法幾何研究的內容之一.當空間形體表面是曲面時，截交線是一條平面曲線；當空間形體表面由若干個平面組成時，截交線是一個多邊形.已知正三棱錐，滿足，點在內部（含邊界）運動，且，則點的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，正三棱錐，滿足，可得平面，得底面正的邊長為，設正的中心為，由，即，得，又，點在內部（含邊界）運動，且，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與內部（含邊界）包含的平面相交所得的弧，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在內部（含邊界）的弧，如圖，作于，圓與交點為，則，，所以，則，所以，則點的軌跡在內部（含邊界）的弧所對的圓心角為，則弧長為，即點的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為.故選：A.8.表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對有，則的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】由得在上單調遞減，當時，，當時，要遞減，且，對于A，當時，，不合題意，故A錯誤；對于B，當時，，不合題意，故B錯誤；對于C，當時，，符合題意，故C正確；對于D，當時，，不合題意，故D錯誤；故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.若隨機變量滿足，則B.若隨機變量，且，則C.若樣本數(shù)據(jù)線性相關，則用最小二乘估計得到的經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】BCD【解析】對A，由方差的性質可知，若隨機變量滿足，則，故A錯誤；對B，根據(jù)正態(tài)分布的圖象對稱性可得，故B正確；對C，根據(jù)回歸直線過樣本中心點可知C正確；對D，由可知判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05，故D正確故選：BCD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】因為，設對A，知，易知.選項A正確.對C，因為，，，所以，，，于是，選項C正確.對D，若，則，即，則.由知.選項D正確.對B，取，則，由知，知，所以，即，，此時，選項B錯誤.故選：ACD.11.若函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且存在常數(shù)，使得對于任意實數(shù)恒成立，則稱為“學步”函數(shù)．下列命題正確的是（）A.是“學步”函數(shù)B.（為非零常數(shù)）為“學步”函數(shù)的充要條件是C.若是“學步”函數(shù)，且時，，則時，D.若是的“學步”函數(shù)，則在上至少有1012個零點【答案】BCD【解析】對于A，是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，不存在，使得，故A錯誤；對于B，函數(shù)（為非零常數(shù)）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，當時，對于任意的實數(shù)x恒成立，若對任意實數(shù)x恒成立，則，解得：，故函數(shù)（為非零常數(shù)）為“學步”函數(shù)的充要條件是，故B正確；對于C，若是的“學步”函數(shù)，則，即，因為時，，當，，，又因為，即，即，所以，故C正確；對于D，由題意得：，令得：，所以與異號，即，由零點存在性定理得：在上至少存在一個零點，同理可得：在區(qū)間上均至少有一個零點，所以在上至少有1012個零點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.【答案】3【解析】根據(jù)題意，將兩個向量平移至相同的起點，以起點為原點建立坐標系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.13.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會聚的作用，它經(jīng)常被用來制作精密的光學儀器的部件．橢球面鏡是以橢圓的長軸為旋轉軸，把橢圓轉動形成的立體圖形，其內表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個焦點發(fā)出的光線全部反射到另一個焦點處．從橢球面鏡的焦點射出的兩條光線，經(jīng)橢球面鏡上的兩點反射后匯聚于焦點，若，且，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離心率為______．【答案】或【解析】設橢圓的長軸長為，焦距為，短軸長為，則，由橢圓的定義得，所以，因為，所以，又，所以為橢圓的短軸端點．設為橢圓的中心，因為，所以，又在Rt中，，所以，所以，故答案為：.14.用一張紙圍繞半徑為的石膏圓柱體包裹若干圈，然后用裁紙刀將圓柱體切為兩段，如圖①所示設圓柱體母線與截面的夾角為，如圖②將其中一段圓柱體外包裹的紙展開鋪平，如果忽略紙的厚度造成的誤差，我們會發(fā)現(xiàn)剪裁邊緣形成的曲線是正弦型曲線，如圖③建立適當?shù)淖鴺讼岛?，這條曲線的解析式可設為若的最小正周期為，則__________此時，若再有，則__________．【答案】1【解析】因為的最小正周期為，所以，若，則的最大值是，最小值是，則切口的最高點和最低點的豎直方向的距離為，所以，是銳角，所以．故答案為；.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.在如圖所示的“曲池”中，平面，延長，相交于點，，，為弧的中點.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，，因為為弧的中點，則，為正三角形，于是，因為平面，，則有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．16.假設在數(shù)字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機干擾，當傳送信號0時，接收到信號為0的概率為0.8，當傳送信號1時，接收到信號為1的概率為0.9.求：（1）當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率；（2）在信息傳送過程中，當?shù)谝粋€人接收到信息后，將信息發(fā)送給第二個人，這樣依次傳遞下去，在n次傳遞中，0出現(xiàn)的次數(shù)為，求.解：（1）記“傳送信號0”，“傳送信號1”，“接收信號0”.可知，，，，由貝葉斯公式得所求的概率為：，即當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率為.（2）在一次傳送中，接收到0的概率為，每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有，所以.17.已知橢圓C：離心率為，橢圓C的動弦過橢圓C的右焦點F，當垂直x軸時，橢圓C在A，B處的兩條切線的交點為M．（1）求點M的坐標．（2）若直線的斜率為，過點M作x軸的垂線l，點N為l上一點，且點N的縱坐標為，直線與橢圓C交于P，Q兩點，證明：為定值．（1）解：，解得，所以橢圓方程，又，所以右焦點，當垂直x軸時，不妨設，根據(jù)對稱性可知點在軸上，且直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，消去得：，則，化簡得，解得，所以直線的方程為，令，解得，故點的坐標為.（2）證明：如圖，由題意可得直線的方程為，即，設，由題可知，所以，故直線與垂直，聯(lián)立，消去得：，則，，所以.同理，，所以，故為定值.18.隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關注，國際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長度也不同，其中RSA的密鑰長度較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學領域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應用就是在RSA加密算法中的應用.設p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素.對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為.（1）試求，的值；（2）設p，q是兩個不同的素數(shù)，試用p，k表示（），并探究與和的關系；（3）設數(shù)列的通項公式為（），求該數(shù)列的前m項的和.解：（1）易得，不超過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，不超過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則，不超過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則，所以，.（2）在不大于的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不與互素，而p的倍數(shù)有個，因此.由p，q是兩個不同的素數(shù)，得，，在不超過的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有個，q的倍數(shù)有個，于是，所以.（3）根據(jù)（2）得，所以，，兩式相減，得，所以，故.19.已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖象關于對稱，求的解析式；（2）在定義域內恒成立，求的值；（3）求證：，.（1）解：依題意，設圖象上任意一點坐標，則其關于對稱的點在圖象上，則，則，故；（2）解：令，，則在恒成立，又，且在上是連續(xù)函數(shù)，則為的一個極大值點，，，下證當時，在恒成立，令，，當，，在上單調遞增，當，，在上單調遞減，故，在上恒成立，又，則時，恒成立，綜上，；（3）證明：由（2）可知：，則，即，則.又由（2）可知：在上恒成立，則上恒成立且當且僅當時取等，令，，則，即，則，綜上，，得證.河南省濮陽市2025屆高三下學期一模數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，得，得，由，得或，得，所以.故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，所以，，故選：D.3.已知圓與拋物線的準線相切，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，圓是圓心為原點，半徑為的圓，拋物線的準線方程為，由于拋物線的準線方程與圓相切，則，解得.故選：B.4.我國古代《洛書》中記載著一種三階幻方：將九個數(shù)字填入一個的正方形方格，滿足每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)字之和相同（如圖）．已知數(shù)列的通項公式為，現(xiàn)將該數(shù)列的前項填入一個的正方形方格，使其滿足四階幻方，則此四階幻方中每一行的數(shù)字之和為（）A.60 B.72 C.76 D.80【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質得，四階幻方所有數(shù)字之和為，由于每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和都相等，所以每行的數(shù)字之和為.故選：C.5.在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設中角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因為，所以，故選：D.6.已知橢圓的左頂點、上頂點分別為，右焦點為，過且與軸垂直的直線與直線交于點，若直線的斜率小于為坐標原點，則直線的斜率與直線的斜率之比值的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，直線的方程為，設橢圓的焦距為，由題意設點，則，即，所以，又，所以，即，設直線的斜率與直線的斜率之比值為，則，又，所以．故選:D.7.截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫法幾何研究的內容之一.當空間形體表面是曲面時，截交線是一條平面曲線；當空間形體表面由若干個平面組成時，截交線是一個多邊形.已知正三棱錐，滿足，點在內部（含邊界）運動，且，則點的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，正三棱錐，滿足，可得平面，得底面正的邊長為，設正的中心為，由，即，得，又，點在內部（含邊界）運動，且，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與內部（含邊界）包含的平面相交所得的弧，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在內部（含邊界）的弧，如圖，作于，圓與交點為，則，，所以，則，所以，則點的軌跡在內部（含邊界）的弧所對的圓心角為，則弧長為，即點的軌跡與這個正三棱錐的截交線長度為.故選：A.8.表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對有，則的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】由得在上單調遞減，當時，，當時，要遞減，且，對于A，當時，，不合題意，故A錯誤；對于B，當時，，不合題意，故B錯誤；對于C，當時，，符合題意，故C正確；對于D，當時，，不合題意，故D錯誤；故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的有（）A.若隨機變量滿足，則B.若隨機變量，且，則C.若樣本數(shù)據(jù)線性相關，則用最小二乘估計得到的經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到．依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】BCD【解析】對A，由方差的性質可知，若隨機變量滿足，則，故A錯誤；對B，根據(jù)正態(tài)分布的圖象對稱性可得，故B正確；對C，根據(jù)回歸直線過樣本中心點可知C正確；對D，由可知判斷X與Y有關且犯錯誤的概率不超過0.05，故D正確故選：BCD.10.已知，且，則（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】因為，設對A，知，易知.選項A正確.對C，因為，，，所以，，，于是，選項C正確.對D，若，則，即，則.由知.選項D正確.對B，取，則，由知，知，所以，即，，此時，選項B錯誤.故選：ACD.11.若函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且存在常數(shù)，使得對于任意實數(shù)恒成立，則稱為“學步”函數(shù)．下列命題正確的是（）A.是“學步”函數(shù)B.（為非零常數(shù)）為“學步”函數(shù)的充要條件是C.若是“學步”函數(shù)，且時，，則時，D.若是的“學步”函數(shù)，則在上至少有1012個零點【答案】BCD【解析】對于A，是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，不存在，使得，故A錯誤；對于B，函數(shù)（為非零常數(shù)）是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且，當時，對于任意的實數(shù)x恒成立，若對任意實數(shù)x恒成立，則，解得：，故函數(shù)（為非零常數(shù)）為“學步”函數(shù)的充要條件是，故B正確；對于C，若是的“學步”函數(shù)，則，即，因為時，，當，，，又因為，即，即，所以，故C正確；對于D，由題意得：，令得：，所以與異號，即，由零點存在性定理得：在上至少存在一個零點，同理可得：在區(qū)間上均至少有一個零點，所以在上至少有1012個零點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.【答案】3【解析】根據(jù)題意，將兩個向量平移至相同的起點，以起點為原點建立坐標系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.13.橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會聚的作用，它經(jīng)常被用來制作精密的光學儀器的部件．橢球面鏡是以橢圓的長軸為旋轉軸，把橢圓轉動形成的立體圖形，其內表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個焦點發(fā)出的光線全部反射到另一個焦點處．從橢球面鏡的焦點射出的兩條光線，經(jīng)橢球面鏡上的兩點反射后匯聚于焦點，若，且，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離心率為______．【答案】或【解析】設橢圓的長軸長為，焦距為，短軸長為，則，由橢圓的定義得，所以，因為，所以，又，所以為橢圓的短軸端點．設為橢圓的中心，因為，所以，又在Rt中，，所以，所以，故答案為：.14.用一張紙圍繞半徑為的石膏圓柱體包裹若干圈，然后用裁紙刀將圓柱體切為兩段，如圖①所示設圓柱體母線與截面的夾角為，如圖②將其中一段圓柱體外包裹的紙展開鋪平，如果忽略紙的厚度造成的誤差，我們會發(fā)現(xiàn)剪裁邊緣形成的曲線是正弦型曲線，如圖③建立適當?shù)淖鴺讼岛?，這條曲線的解析式可設為若的最小正周期為，則__________此時，若再有，則__________．【答案】1【解析】因為的最小正周期為，所以，若，則的最大值是，最小值是，則切口的最高點和最低點的豎直方向的距離為，所以，是銳角，所以．故答案為；.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體.該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.在如圖所示的“曲池”中，平面，延長，相交于點，，，為弧的中點.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，，因為為弧的中點，則，為正三角形，于是，因為平面，，則有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）解：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．16.假設在數(shù)字通信中傳送信號0與1的概率為0.8和0.2.由于隨機干擾，當傳送信號0時，接收到信號為0的概率為0.8，當傳送信號1時，接收到信號為1的概率為0.9.求：（1）當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率；（2）在信息傳送過程中，當?shù)谝粋€人接收到信息后，將信息發(fā)送給第二個人，這樣依次傳遞下去，在n次傳遞中，0出現(xiàn)的次數(shù)為，求.解：（1）記“傳送信號0”，“傳送信號1”，“接收信號0”.可知，，，，由貝葉斯公式得所求的概率為：，即當接收到信號0時，傳送的信號是0的概率為.（2）在一次傳送中，接收到0的概率為，每次傳送都有相同的傳送概率和接收概率，則有，所以.17.已知橢圓C：離心率為，橢圓C的動弦過橢圓C的右焦點F，當垂直x軸時，橢圓C在A，B處的兩條切線的交點為M．（1）求點M的坐標．（2）若直線的斜率為，過點M作x軸的垂線l，點N為l上一點，且點N的縱坐標為，直線與橢圓C交于P，Q兩點，證明：為定值．（1）解：，解得，所以