2025年新高考數(shù)學復習突破講義：圓錐曲線基礎過關小題（含解析）

專題36圓錐曲線基礎過關小題

【考點預測】

一.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)2a(2a>|[4])的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做

橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示為：

{pII"1+\PF2E2a圖>優(yōu)心E2c>0)}

注明：當2a=2c時，點的軌跡是線段；

當2a<2c時，點的軌跡不存在.

二.橢圓的方程、圖形與性質

橢圓的方程、圖形與性質

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

區(qū)2

A

圖形

4HloF//

標準方程（a>6〉0）A(a〉6〉0)

a2b2

統(tǒng)一方程mA2/=l（jn>0,n>0,/n。刀）

|x"=…acosf。f’。為,參,數(shù)（2'2/“x=a癡cos。6'°為參數(shù)以叱》

參數(shù)方程

第一定義到兩定點的距離之和等于常數(shù)2a,即2a(2a>|[g|)

范圍-a<x<a^-b<y<b-b<x<b<y<a

A】（—a,0）、A?（a,0）A】（0,-a）A2（0,a）

頂點

B]（0,孫B（O,6）Bj-6,0〉

2B2（A0）

軸長長軸長=2a短軸長=2b長軸長=2a短軸長=2b

對稱性關于X軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

焦點小。)、"，。)々（o「c）、g（o,,0

焦距產(chǎn)闖=2。(e2=a2-b2)

cf(0<e<1)

離心率――

r>l'外>1外

點和橢圓

---1---=10點(4,/)在橢圓<上=1O點（為幾）在橢圓V上

的關系a2加a2甘

<1內(nèi)<1、內(nèi)

過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=2無（最短的過焦點的弦）

通徑

a

設直線與橢圓的兩個交點為/優(yōu)由），B^2,y^,kAB=k,

則弦長卜引=Jl+*X]_巧卜Jl+k2—巧丫—肛巧

弦長公式2

=+億_/）_4yly2=J1+*乎

（其中a是消y后關于X的一元二次方程的*的系數(shù)，A是判別式）

三、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點勺,g的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于pci）的點的軌跡叫做雙曲線（這

兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為

I〃川=3（。<看<t￡|）｝.

注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當2a=時，點的軌跡是以[和心為端點的兩條射線；當2a=0時，點的軌跡是線段尸占的

垂直平分線.

（3）2a>憶闋時，點的軌跡不存在.

在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：

①條件"歸g|>2a”是否成立；②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定a?,毋的值），注意

。2+萬=02的應用.

四、雙曲線的方程、圖形及性質

雙曲線的方程、圖形及性質.

y2V2,、4_,=1(3>0,6>0)

標準方程==14>0,6>0)

ab/b

y=

l'Ay=—xW"

圖形

y=---J

a

焦點坐標1（-GO），g（G。）^(0,-c),F2(0,C)

對稱性關于x,y軸成軸對稱，關于原點成中心對稱

頂點坐標4(-20),423,0)A1(0,a),A2(0,—a)

范圍

實軸、

實軸長為2a,虛軸長為2b

虛軸

1+與(e>1)

離心率

漸近線方令=0=>y=+—x,

a2A2b

程

焦點到漸近線的距離為6焦點到漸近線的距離為6

點和雙曲>1,點，，幾）在雙曲線內(nèi)

>1,點G。,幾）在雙曲線內(nèi)

（含焦點部分）

線（含焦點部分）

a2b1=1,點在雙曲線上-------

的位置關a2F=1,點匕,4）在雙曲線上

<L點七，4）在雙曲線外

<1,點.,4）在雙曲線外

系

共漸近線

^-―=2U*0)

的雙曲線—=0)

a2廿a2If

方程

設直線與雙曲線兩交點為/優(yōu)書），8%跖)，=4?

1+/卜-"21GHe)),

則弦長相=Jl+M.卜］一/=.

弦長公式

h+xj-直為=杵，其中“a”是消“y”后關于“x”的一

=）

rl

元二次方程的“小”系數(shù).

通徑（過焦點且垂直于1%的弦）是同支中的最短弦，其長為空

通徑

a

五、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/夕任》的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點尸叫拋物線的焦點,

定直線，叫做拋物線的準線.

注若在定義中有尸e/,則動點的軌跡為/的垂線，垂足為點尸.

六、拋物線的方程、圖形及性質

拋物線的標準方程有4種形式：/=2px,/=-2px,式=2勿*=-2"⑦>0）,其中一次項與對稱軸一

致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向

標準方程y2-2px(p>0)/=-2px(p>0)V=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

y

圖形77---2----'

IT

對稱軸X軸y軸

頂點原點(0,0)

焦點坐標(-,0)(--,0)%）

22

7=-y=

準線方程x=_RX=Rff

22

三、拋物線中常用的結論

1、點一恁,4）與拋物線「=2pxS>0）的關系

（1）戶在拋物線內(nèi)（含焦點）o片<2px0.

（2）尸在拋物線上o%=2px0.

（3）戶在拋物線外o片>2px。.

2、焦半徑

拋物線上的點尸&,幾）與焦點尸的距離稱為焦半徑，若/=2后⑦>0）,則焦半徑，用=%+￡,

IImax2

3、p^>0）的幾何意義

P為焦點廠到準線/的距離，即焦準距，P越大，拋物線開口越大.

4、焦點弦

若力6為拋物線/=2pxS>0）的焦點弦，/優(yōu)書），8￡，4），則有以下結論：

2

⑴玉玉=：?

（2）巨得=-p2.

（3）焦點弦長公式1：,,=Xj+巧+P，X[+.22dxix2=p,當為=/時，焦點弦取最小值2p,

即所有焦點弦中通徑最短，其長度為2，

焦點弦長公式2：\AB\=^—（a為直線/8與對稱軸的夾角）.

11sin2a

2

（4）A/04的面積公式：—（a為直線48與對稱軸的夾角）.

M0B2sina

【典型例題】

例1.（2024?吉林長春?模擬預測）已知點尸（1,2）在拋物線C：j?=2/上，尸是拋物線C的焦點，過點尸的

直線與拋物線C交于M（X“J,N（X2，%）兩點，若不+4=4,則|AW|=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】由題意可得4=2。，即。=2,

由焦點弦公式可得：\MN\=Xl+x2+p=4+2=6.

故選：D.

例2.（2024?寧夏固原一模）已知拋物線C:x2=12y的焦點為尸，頂點為。，C上一點P位于第二象限，若

|。四+|尸川=18,則直線p廠的斜率為（）

-443

A.2B.—C.—D.—

334

【答案】D

【解析】設尸（xj）,則有柄=12歹,尸（0,3）,

貝!]有尸|+|尸尸|=3+y+:=18,即y=12,

_____12-33

故x=—J12xl2=—12，故左尸尸=7^~=_'.

故選：D.

y/

Q

例3.（2024?高三?河南?階段練習）古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓

的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓。的中心為原點，焦點耳鳥均在％軸上，橢圓。的面積為岳，且

橢圓。的離心率為交，則橢圓。的標準方程為

()

2

丫2

A.—+y2=lB.

22

C.—+^=1D.

42

【答案】A

22

【解析】設橢圓C的標準方程為鼻+與=1（。＞6＞0）,焦距為2c,

ab

c_V2

丁丁

a=yp2.丫2

則ab=0解得＜橢圓c的標準方程為二+v=1.

b=L2

a1=b2+c2,

故選：A.

例4.（2024?陜西榆林?二模）已知片，此為雙曲線C的兩個焦點，尸為C上一點，若|尸團：|尸囚=5:3,且△尸片工

為等腰三角形，則C的離心率為（）

535

A.-B.2C.—或一D.2或3

222

【答案】C

【解析】因為|尸耳|：|尸居|=5:3,所以可設|尸耳|=5人（無＞0）,明|=3人,

2cIFFI3

依題意可得：|P用=5月尸月=忻聞=3左，則C的離心率e=2=向二嬴廣§；

2c\FFI5

或|尸月|=3左,|助|=|月耳|=5左，則。的離心率，=匯=尚扁=一

故選：C

例5.（2024?高三?四川綿陽?階段練習）過雙曲線C：Y—手=i左焦點為/和點/（o,2行）直線/與雙曲線。

的交點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由題意得雙曲線C：X。-亡=1左焦點為尸(-2,0),

3

則直線I的斜率為k=冬8a=。,

0-(-2)

故直線I的方程為y=氐+，而雙曲線的漸近線方程為y=土瓜,

故直線/與了=后平行，且/過雙曲線的左焦點，

故直線/與雙曲線C的交點個數(shù)是1,

故選：B

例6.(2024?高三?湖北?開學考試)已知拋物線C的頂點在原點，焦點廠在坐標軸上，點尸關于其準線的對

稱點為(6,0),則C的方程為()

A.y2=-8xB.y1--4xC.y2-8xD.y2=4x

【答案】A

【解析】由題意，設拋物線的方程為/=-2?(p>0),

可得焦點坐標尸(-5,0),準線方程為/：x=光,

設焦點廠關于準線/的對稱點為P(%,0),可得/+(-5)=2/與，解得/=當，

因為點尸關于其準線的對稱點為(6,0),可得曰=6,解得。=4,

所以拋物線的方程為丁=-8-

故選：A.

例7.(2024?四川瀘州二模)已知點尸在橢圓C：白+導=1上，。的左焦點為尸，若線段尸尸的中點在以原

9o

點。為圓心，I?？蔀榘霃降膱A上，則忸司的值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】因為橢圓C：1+q=1

9o

所以該橢圓。=3,b=2亞,貝Uc=l，

設橢圓的右焦點為尸'，連接P。，記線段尸產(chǎn)的中點為。，連接。。,

因為Q川=c=l,所以=

因為。,0分別為印',尸尸的中點，所以\PF'\^2\OQ\=2,

又|尸川+|尸尸|=2a=6,所以|尸產(chǎn)|=6臼尸尸1=4.

故選：B.

例8.（2024?陜西商洛?三模）已知點W在拋物線C:r=4x上，拋物線C的準線與x軸交于點K,線段

的中點N也在拋物線C上，拋物線C的焦點為尸，則線段兒田的長為（）

如圖，不妨設點”在第一象限，依題知ON是九田的中位線，可知|A"|=2|CW|,過向準線做垂

線，垂足分別為

同理是△及0％的中位線，由拋物線定義知1跖％1=1板UMVJ=|NF|，故得

|ON|=|S，

乂廠（1,0）,則N點橫坐標是/代入必=4x可得其縱坐標為行，故3|=出）2+（無）2=看叱上3.

故選：C.

22

例9.（2024?四川綿陽?一模）已知雙曲線5章=1（。＞0,6＞0）的左頂點與拋物線r=2/（？＞0）的焦點的

距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2,-1）,則雙曲線的焦距為（）

A.V5B.25/5C.2V2D.273

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-

即點在拋物線的準線上，又由拋物線/=2px（p>0）的準線方程為x=-5=-2,則p=4,則拋物

線的焦點為（2,0）,

則雙曲線的左頂點為（2,0）,即a=2

點（-2,-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=土;x,由雙曲線的性質，可得6=1,

貝卜=石，則焦距為2c=2退，

故選：B

?2歷

例10.（2024?高二?山西太原?階段練習）已知橢圓C：L+廿=1,則=2”是“橢圓C的離心率為絲”的（）

m2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由加=2可得橢圓C:1+y2=l,此時離心率為e=￡=與

2izV22

此時充分性成立；

若橢圓c的離心率為交，當加<1時，可得離心率為e=g=""=e,解得加=1,

2a122

即必要性不成立；

綜上可知，“機=2”是“橢圓C的離心率為變”的充分不必要條件.

2

故選：A

22

例11.（2024?北京房山?一模）雙曲線上-匕=1的離心率是

22

【答案】V2

【解析】由雙曲線三-三二1可得：a=b=母,°=，廿+廿=2,

22C2

所以雙曲線土-匕=1的離心率是e=—=F=3.

22aV2

故答案為：41-

2222

例12.（2024?湖南?二模）已知橢圓］+方=1（。>6>0）與雙曲線1-方=1,橢圓的短軸長與長軸長之比

大于：，則雙曲線離心率的取值范圍為.

【答案】洋①

【解析】依題意，對于橢圓方程，《〈學=2<i,對于雙曲線方程，e=￡=

22aaa

不妨設則，尺,1),于是/(，)="齊心(；,1),由復合函數(shù)的單調性可得函數(shù)阿在區(qū)間(g,l)上單調

遞增，

故，即,<e<JL故雙曲線離心率的取值范圍為(告，偽.

故答案為：(手,后).

例13.(2024全國?模擬預測)已知拋物線C:y2=20x(p>0)的焦點為尸，點尸。,加)是C在第一象限內(nèi)的一

點，且歸產(chǎn)|=2,過點尸作直線尸4RB交C于42兩點(異于點尸).若直線尸4依關于直線尤=1對稱，則

直線AB的斜率為.

【答案】-1

【解析】拋物線。：r=2川5>0)的準線方程為尤=-§；』依|=5+1=2,解得。=2,

所以拋物線C：必=4x,尸(1,2),

設直線尸/：了=勺(x-1)+2,代入拋物線方程y2=4x,

2

消去V并整理得左+(4及一2Al2—4卜+(耳—46+4)=0

xA=^~:”4,代入y=《(x-l)+2,得”=4,

/"—4左+44—2左八

設直線PB的斜率為左2,直線P4,尸8關于直線X=1對稱，，勺+左2=0,

（4+4匕+4—4一24）

直線尸B：V=-%(x-l)+2,同理可得8

則直線AB的斜率3&="二以=-1.

XB-XA

故答案為：-L

22

例14.（2024?全國?模擬預測）關于雙曲線C:與-2=1（“>0,"0）,四位同學給出了四個說法：

ab

小明：雙曲線。的實軸長為8；

小紅：雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3；

小強：雙曲線c的離心率為:；

小同：雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為1；

若這4位同學中只有1位同學的說法錯誤，則說法錯誤的是.（橫線上填“小明”、“小紅”、“小強”或，小

同”）

【答案】小強

【解析】假設小明說法正確，則2a=8,即〃=4,

又小紅說法正確，則雙曲線C的焦點到漸近線的距離為6=3,

則此時雙曲線為C:二-且=1,則c=壽=5,雙曲線的離心率為。，

1694

雙曲線。上的點到焦點距離的最小值為c-a=5-4=1,

綜上，小明、小紅、小同的說法正確的，小強的說法錯誤.

故答案為：小強.

例15.（2024?安徽池州?二模）造紙術是中國四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時期

折紙藝術開始流行，19世紀折紙與數(shù)學研究相結合，發(fā)展成為折紙幾何學.在一次數(shù)學探究課上，學生們研

究了圓錐曲線的包絡線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點尸，記矩形一邊所在直線為/，將點P折疊到/上

（即P）,不斷重復這個操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡線.

在拋物線C=4〉的所有包絡線中，恰好過點/（2,1）的包絡線所在的直線方程為.

【答案】x-y-l=O

【解析】依題意，拋物線C:》2=4了的每條包絡線與該拋物線相切,

顯然過點A（2,1）的包絡線所在的直線斜率存在，設方程為y-1=k（x-2）,

fy—1=k（x-2）

2

由《2A消去》并整理得：x-4kx+8A：-4=0,

[x=4y

則A=16產(chǎn)一32左+16=0,解得左=1，

所以所求直線方程為=

故答案為：x-7-l=0

例16.（2024?遼寧?模擬預測）已知N為拋物線C：必=以上不關于x軸對稱的兩點，線段皿乂的中點

到C的準線的距離為3,則直線次W的方程可能是.（寫出滿足條件的一個方程即可）

【答案】了=無（答案不唯一）

,[x=my+n、

【解析】設直線MTV:x=即+〃，加/0,聯(lián)工＜,',y-4my-4n-Q,

\y=4x

2

A=16m+16w>0,yi+y2=4m,yly2=^n,

2

xi+x2=m(<yl+y2^+2n=4m+In,

因為線段MV的中點到C的準線的距離為3,拋物線的準線為：尤=-1,

所以上*+1=3,所以2/+〃=2.

2

令m=l,得〃=0,直線跖V的方程可能是y=￡

故答案為：了=龍（答案不唯一）

例17.（2024?北京朝陽一模）已知拋物線%2=2py（p>0）的焦點為下，準線方程為y=-1,則P=:

設。為原點，點〃（演,又）在拋物線上，若|。叫=但叫，則盟=.

【答案】2二/。-5

2

【解析】由拋物線準線方程為>=-1,故°=2,

則工2=4了，尸（0,1）,由〃（x。/。）在拋物線上，

i^\FM\=y0+^-=y0+l,

由10Ml=|四可得/+y；=（%+#,

,“1

即%=2y0+1=4y0,即為=Q.

故答案為：2；y.

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?四川南充?二模）已知，"是實數(shù)，則“〃7〃<0''是“曲線加/+⑵2=1是焦點在x軸的雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【解析】若曲線加X?+町2=1是焦點在X軸的雙曲線，則機>0,H<0,所以加〃<0,故必要性成立，

若加=-1,〃=1滿足機〃<0,但是曲線/-12=1是焦點在y軸的雙曲線，故充分性不成立，

所以“mn<0”是“曲線刃X?+ny2=1是焦點在x軸的雙曲線”的必要不充分條件.

故選：B

2.（2024?廣東?一模）雙曲線!-j?=i的頂點到其漸近線的距離為（）

A.6B.IC.—D.—

23

【答案】C

2

【解析】依題意，雙曲線<-/=1的頂點為（土G,0）,漸近線方程為x±6y=0,

丫2

所以雙曲線?-「=1的頂點到其漸近線的距離為

#+(G)22-

故選：C

22

3.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知橢圓G:—+匕=1,A,5為G的短軸端點，P為G上異于/,5的一點,

43

則直線N尸，5尸的斜率之積為（）

44

AB.-cD.——

-13-43

【答案】C

22

【解析】設尸（%,%）,則有多+￡=1,即有需_3=—3只

4

由橢圓方程不妨設短軸端點48的坐標分別為（0,6）、（0,-百）

3x；

%一yy

則k-k60+V3=0-3V_3

^AP^BP

%%4

故選：C.

22

4.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線》-%=l（a>0,6>0）的焦距為6,直線尤-y-1=0與雙曲線的一條

漸近線平行，貝匹=(

A.逑

D.3

2

【答案】A

衛(wèi)=1的漸近線方程為〉=±2苫，依題意，-=1,

【解析】雙曲線

abaa

由雙曲線焦距為6,得f，所以"手

故選：A

5.（2024?全國?模擬預測）雙曲線C：5-，=l（a>O,b〉O）的左、右焦點分別為片,0閨閭=4,且。的一條漸

近線與直線/:6x-y+l=0平行，則雙曲線C的標準方程為（)

/上//22

A.=i2c

B.—~y=lVz.---------------------1D.土-匕=1

3341234

【答案】A

2c=4a=\

【解析】由題意知，解得6=百，故雙曲線。的標準方程為一

a

c=2

a2+b2=c2

故選：A.

6.（2024,陜西西安?一模）已知圓C:（x-2）2+（y-l）2=2,直線/:/尤-"V一i=。，若圓C上任意一點關于直

線/的對稱點仍在圓C上，則點必在（）

A.一個離心率為e的橢圓上

B.一個離心率為2的雙曲線上

2

C.一個離心率為正的橢圓上D.一個離心率為行的雙曲線上

2

【答案】D

【解析】圓。:。-2）2+（廣1）2=2的圓心為。（2,1）,

依題意可知直線/過圓C的圓心C（2,l）,貝1]2/一"=1，

匚2-1I-+1

所以點（?；ǎ┍卦陔p曲線2--j?=i即1-〉=1上，且該雙曲線的離心率e=2r=JL

212

故選：D.

7.（2024?湖南?二模）若橢圓]+!=1（°＞0）的焦距為2,則該橢圓的離心率為（）

A.—B.—C.立或;D.立或立

535235

【答案】C

【解析】當。＞2時，2=26-4,解得a=右，

則離心率為=

V55

當0＜。＜2時，2=2"-02,解得°=6，

則離心率為JO=L

V42

故選：C

222

8.（2024?山西朔州?一模）已知橢圓河：三+木=1卜＞6＞0）與雙曲線必3-了2=1有且僅有兩個交點，若

橢圓〃?的離心率為;，則橢圓M的短軸長為（）

A.2B.4C.V3D.2拒

【答案】D

【解析】因為橢圓與雙曲線有且只有兩個交點，橢圓的左右頂點與雙曲線的頂點重合，

而雙曲線的頂點為（±2,0）,故a=2,

設橢圓的半焦距為c,則￡=[=]，故。=1，故短軸長為2"斤=26，

a22

故選：D.

二、多選題

22

9.（2024?江蘇南通?二模）已知雙曲線C：3-3=l（b＞0）的右焦點為R直線/：x+如=0是C的一條漸近

線，P是/上一點，則（）

A.C的虛軸長為2亞B.C的離心率為八

D.直線尸尸的斜率不等于-正

C.|尸尸|的最小值為2

2

【答案】AD

【解析】雙曲線。:工-==1的漸近線方程為區(qū)±2y=o,依題意，_；=々,解得6=血,

4b2b2

對于A,C的虛軸長助=2拒，A正確；

對于B,C的離心率6=B錯誤；

a2

對于C,點尸（跖0）到直線/:%+岳=0的距離=6,即忸司的最小值為尬，C錯誤;

#+(拒)2

對于D,直線/:x+0y=O的斜率為_亨，而點尸不在/上，點尸在/上，則直線"'的斜率不等于-專

D正確.

故選：AD

10.（2024?湖北?一模）某數(shù)學興趣小組的同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)/=■*■的圖象是雙曲線，設其焦點為

X

M,N,若尸為其圖象上任意一點，則（）

A.>=-x是它的一條對稱軸B.它的離心率為亞

C.點（2,2）是它的一個焦點D.||尸尸訓=2血

【答案】ABD

【解析】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為血，

容易知道7=%是實軸，>=-x是虛軸，坐標原點是對稱中心，

聯(lián)立實軸方程y=x與反比例函數(shù)表達式>=:得實軸頂點

所以“=后,c=2,其中一個焦點坐標應為（也,血）而不是（2,2）,

由雙曲線定義可知||尸叫-|尸N||=2a=20.

故選：ABD.

22

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知雙曲線C:二-----匕=1,則（）

2+63-2

A.力的取值范圍是（-6,3）B.C的焦點可在x軸上也可在y軸上

C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為（1,3）

【答案】AC

22

【解析】對于A,V—-------J=i表示雙曲線,(2+6)(3-A)>0,解得—6<2<3,故A正確;

2+63-2

對于B,由A項可得-6<2<3,故彳+6>0,3-彳>0,C的焦點只能在無軸上，故B錯誤；

對于C,設C的半焦距為c(c>0),貝[]c2=X+6+3-X=9,；.C=3,即焦距為2c=6,故C正確;

,3

對于D,禺心率e=五高?.?-6<彳<3,”的取值范圍是(1,+功，故D錯誤.

故選：AC.

12.(2024?廣東深圳?模擬預測)設橢圓°：=+己=1的左、右焦點分別為￡、F2,尸是C上的動點，則下

2516

列結論正確的是()

A.|尸團+|尸￡|=5

,3

B.離心率e=《

C.△咫工面積的最大值為12

D.以線段公巴為直徑的圓與圓(XT)?+(y-3)2=4相切

【答案】BCD

【解析】因為橢圓C:4+片=1,則。=5,6=4,c=3,

2516

由橢圓的定義可知，|尸耳|+|尸閭=2。=10,故A錯誤；

c3

由橢圓離心率公式可得0=￡=3,故B正確；

a5

因為閨閭=2c=6設點p到x軸的距離為％,顯然磯*=6=4,

則△尸片工面積的最大值為S△兩弓=周,6=gx6x4=12,故C正確；

線段與巴的中點為(0,0),則以線段與與為直徑的圓的方程為x2+y=9,

其圓心為(0,0),半徑r=3,

且圓(x-4)2+(y-3)~=4的圓心為(4,3),半徑R=2,

則兩圓的圓心距為d=J(3-0y+(4-0)2=5=r+R,

即兩圓外切，故D正確；

故選：BCD

13.(2024?海南?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，己知點4(-2,0),8(2,0),尸是一個動點，則下列說法

正確的是()

A.若歸4|+阿卜4,則點尸的軌跡為橢圓

B.若|陷|-|尸邳=2,則點尸的軌跡為雙曲線

C.若*2-1尸引2=4,則點尸的軌跡為一條直線

D.若|莎+方|=|莎-麗I，則點尸的軌跡為圓

【答案】BCD

【解析】對于選項A：忸/|+忸同=4=|/同，則點P的軌跡為線段ZB,故A錯誤；

對于選項B：儼H-|尸卸=2<4=M司，則點尸的軌跡是雙曲線，故B正確；

對于選項C：設尸

由|尸/12Tp引2=4,可得*+2）2+/-（尤-2）2-/=4,

化簡得x=1,表示一條直線，故C正確；

對于選項D：由|刀+旃|=|2-而可得刀.而=0，

則點P的軌跡是以為直徑的圓，故D正確.

故選：BCD.

22

14.（2024?高三?新疆?階段練習）連接橢圓C:=+匕=l（a>兩的三個頂點所圍成的三角形面積為2道，記

a3

橢圓。的右焦點為少，則（）

A.。=4B.橢圓C的離心率為g

C.橢圓C的焦距為2eD.橢圓C上存在點P,使上用=2薪

【答案】BD

22

【解析】橢圓C*>我的左頂點為（一凡0）,右頂點為（。,0）,上頂點為（0,⑹，下頂點為（0,-@,

因為連接橢圓的三個頂點所圍成的三角形面積為26，

若為左、右頂點與上（下）頂點時，貝內(nèi)x2ax百=2百，解得。=2,符合題意；

若為上、下頂點與左（右）頂點時，貝內(nèi)x2Gx0=20，解得。=2,符合題意；

2

綜上可得。=2,故A錯誤；

則橢圓方程為蘭+亡=1,所以c=77萬=1，貝1J橢圓C的離心率0=￡=[,故B正確；

43a2

橢圓。的焦距為2c=2,故C錯誤，

因為橢圓C的右焦點為尸（1,0），所以"cW|PF|Va+c,Bpi<|PF|<3,

2023

所以在橢圓。上存在點尸，^\PF\=2--故D正確.

2024f

故選：BD

22

15.（2024?高三?云南楚雄?期末）已知橢圓C：―+^—=1,則（）

4m6-4m

A.C的長軸長為B.當〃?=1時，C的焦點在x軸上

C.C的焦距可能為4D.C的短軸長與長軸長的平方和為定值

【答案】BCD

【解析】若0<4機<6-4加，則橢圓焦點在V軸上，a2=6-4m,長軸長為：2。=2〃-4加,