2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：圓錐曲線章末重點題型十九大題型（原卷版）

專題2-13圓錐曲線章末重點題型十九大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1圓錐曲線的定義...............................................................7

題型2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程...........................................................8

題型3圓錐曲線定義的應(yīng)用...........................................................9

題型4圓錐曲線的離心率............................................................11

題型5和差最值.....................................................................12

題型6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系...................................................13

題型7中點弦問題..................................................................15

題型8弦長問題.....................................................................16

題型9面積問題.....................................................................17

題型10定點問題...................................................................19

題型11定值問題...................................................................20

題型12定直線問題.................................................................22

題型13角度問題...................................................................23

題型14點共線問題.................................................................25

題型15取值范圍問題...............................................................26

題型16最值問題...................................................................28

題型17向量問題...................................................................29

題型18存在性問題.................................................................31

題型19解答題綜合.................................................................33

口知識梳理

知識點一.橢圓的定義

1.定義：平面內(nèi)與兩個定點R,￡的距離的和等于賞數(shù)（大于［6￡|）的點的軌跡.

2.焦點：兩個定點R,￡.

3.焦距：兩焦點間的距離內(nèi)向.

4、半焦距：焦距的一半.

知識點二.橢圓的幾何性質(zhì)匯總

焦點的位置焦點在X軸上焦點在P軸上

圖形Jh

必解

標(biāo)準(zhǔn)方程-+-=l(a>d>0)-+-=l(a>d>0)

范圍-a<x<aS.-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

4(-a,0),，2(a,0),員(0,-Z?),&(0,

頂點4(0a),4(0,a),&(-b,0)B(b,0)

b)

軸長長軸長=2a,短軸長=26

焦點6(-CO),￡(c0)6(0,-0,￡(0,0

焦距五句=2c

對稱性對稱軸X軸和y軸,對稱中心(0,0)

c

離心率e="(0<e<1)

知識點三.點與橢圓的位置關(guān)系

*y

點F[x,用與橢圓三+&=l(a>6>0)的位置關(guān)系：

0CTL/

___兄M

1點唯橢圓上。]+/1；

2點唯橢圓內(nèi)部—+廠；

_此必

3.點。在橢圓外部QQ+R>L

a2-?

知識點四直線與橢圓的位置關(guān)系

直線y=取+m與橢圓￡+<=1(?。>0)的位置關(guān)系，判斷方法：

［y-kx+m,

1.聯(lián)立＜解爐消y得一元二次方程.

［一尹+--勿=1’

2.當(dāng)/＞0時，方程有兩解,直線與橢圓相交；

3.當(dāng)/=0時，方程有一解,直線與橢圓相切；

4.當(dāng)/＜0時，方程無解,直線與橢圓相離.

知識點五.求橢圓中焦點三角形面積的方法：

1根據(jù)橢圓的定義求出|防|+所|=2a;

2.利用余弦定理表示出|所|,|陰|,|后￡|之間滿足的關(guān)系式；

11

3利用公式=5、|防|.但￡回11/6所求得面積.利用公式儲=5義|月￡岡族］(^

為2點的縱坐標(biāo))求得面積

4.結(jié)論：S^pprp2-b^tcin—

知識點六.求解直線被橢圓截得弦長的方法：

1.當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.

2.當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線I與橢圓C相交于A(xi,yi),B(X2,y2)兩個不同

2221+

的點，則弦長|AB|=yj(xi-x2)+(yi-y2)=^/l+k-|xi-x2|='

y2|(k/0).

知識點七.雙曲線的定義

1.定義：在平面內(nèi)，到兩個定點耳、尸2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a(〃大于0且

2a＜閨鳥|)的動點P的軌跡叫作雙曲線.

2.焦距：這兩個定點片、F2叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.

注意：1.若去掉定義中的“絕對值"，常數(shù)”滿足約束條件：戶國-歸聞=2。＜閨閭

(a>Q),則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點F2的一支；若忸閭-歸周=2a<閨閭

(a>0),則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點工的一支；

2.若常數(shù)a滿足約束條件：歸用-歸司=2a=|片閭，則動點軌跡是以臼、F2為端點的

兩條射線(包括端點)；

3.若常數(shù)a滿足約束條件：歸用-歸q=2a>閨閭,則動點軌跡不存在；

4.若常數(shù)。=0,則動點軌跡為線段FF2的垂直平分線。

知識點八.雙曲線的幾何性質(zhì)

A2/yA2

標(biāo)準(zhǔn)方程---=1(5>0,Z7>0)---=l(a>0,Z?>0)

圖形K

性質(zhì)

焦點F1(-c0),￡(q0)月(0,-。，￡(0,。

焦距\FI/=2\=2C

范圍x<-a或x>a,yeRy<-8或y>a,xeR

對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原

對稱性

點

頂點4(-a,O),力2(切0)4(0,-a),4(0,a)

性質(zhì)

實軸：線段44，長：2a;虛軸：線段B退，長：2b;半實軸長：

軸

a,半虛軸長：b

C

離心率e=_e(l,+00)

a

知識點九.直線與雙曲線的位置關(guān)系

22

將直線的方程y=-+爪與雙曲線的方程京-a=1,a>0,6>。聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化

為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為△.

若〃-/無2=0,即k=±2,直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；

a

若。2-4A/0,即人片±2,

a

①A>0o直線和雙曲線相交o直線和雙曲線相交，有兩個交點；

②A=0o直線和雙曲線相切o直線和雙曲線相切，有一個公共點；

③AvOo直線和雙曲線相離o直線和雙曲線相離，無公共點

知識點十.雙曲線中焦點三角形面積的方法：

1根據(jù)雙曲線的定義求出||M|-1所||=2a;

2利用余弦定理表示出|M|,|陰|,歷書之間滿足的關(guān)系式；

11

3利用公式g=]x|所HM|sinN&M求得面積.利用公式=于|后向、|同3戶

為2點的縱坐標(biāo)）求得面積

4.結(jié)論：S^ppF=-^—g

1ztan-

2

知識點十一.雙曲線的弦長公式

22

已知直線y=丘+爪與雙曲線E+=l（a>0,b>0）交于4（久“i）,B（X2，y2）兩點，則

2

\AB\=Vl+k\x1—x2\

知識點十二.拋物線的定義

定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線”不經(jīng)過點月距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

點尸叫做拋物線的焦點，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

注意：1.定點廠不在定直線/上，否則動點例的軌跡不是拋物線，而是過點尸垂直于直線/

的一條直線.

2.拋物線的定義用集合語言表示為：。=｛例||雨=亦4為例到直線/的距離）.

3.定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定"：一個動點，設(shè)為M點；一個定點片拋物線的焦點）；

一條定直線［拋物線的準(zhǔn)線）；一個定值（即點例到點尸的距離與它到定直線/的距離之比等

于1）.

4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點至憔點的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價性，故二者可相

互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實質(zhì).

知識點十三.拋物線的幾何性質(zhì)

y^=2pxy=-2px*=2pyM二-2py

類型

(夕>0)(P>0)(P>0)(P>0)

y

圖象UL療Ni

rp){°-

焦點F

Pppp

準(zhǔn)線

X=2片wy=2

性

范圍x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0XGR,y<0

質(zhì)

對稱軸X軸，軸

頂點Q0,0)

離心率e=1

開口方向向右向左向上向下

知識點十四.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法

1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的

關(guān)系.

2.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可

直接使用公式M同=|刈+%|+夕，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

4.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用"設(shè)而不

求""整體代入”等解法.

知識點十四.拋物線的弦長公式

1.已知直線y=fcr+zn與拋物線y2=2px（p>0）交于4（%1，丫1）,8（久2，、2）兩點，則=

2

V1+fcki-x2\；

2.若直線1過拋物線必=2Px（p>0）的焦點且與拋物線交于401，%）,8（久2/2）兩點，則

\AB\=xr+x2+p=（。為直線的傾斜角）.

u題型分類

題型1圓錐曲線的定義

【例題D2122?全國專題練習(xí)）已知動點P（x,y）滿足2j（x—3尸+（y+2尸=田+y-5|,

則點P的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【變式1-1】1.（2L22?全國專題練習(xí)）點M與定點F（4,0）的距離和它到定直線x=與的距

離之比是常數(shù)g,則M的軌跡方程為（）

A.^+”=iB.^+”=l

4993

C.^+^=lD.狂+加=1

2592516

【變式1-1]2.（1516?成都?期中）已知動點P到點M（-2,0）和到直線x=-2的距離相等，

則動點P的軌跡是

A.拋物線B.雙曲線左支

C.一條直線D.圓

【變式1-1]3.（22-23下?黔西?一模）在正方體AG中，點M為平面ABB14內(nèi)的一動點，四

是點M到平面4DD1&的距離，弓2是點M到直線BC的距離，且慮=Ad2（2>0）（2為常數(shù)）,

則點M的軌跡不可能是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【變式1-1]4.（多選）（21-22上浙江?期末）若橢圓的焦點為6（-c,0）,490）（O0）,

長軸長為2a,則橢圓上的點（x,y）滿足（）

__________________________________22

A.y/（x+c）2+y2+J（%—c）2+y2=2。B.黃八=^—1

c.=（D.飛（x-c）2+y2=a-^x

|--x|

【變式1-1]5.（2L22?全國?課時練習(xí)）已知PQ,y）滿足J（l+x）2+y2=仁+y一川，則

點P的軌跡為

【變式1-1]6.（2122?全國專題練習(xí)）確定曲線|x+訓(xùn)=21（%—3尸+（y+6尸的類型.

題型2圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例題2]（22-23上淄博?階段練習(xí)）已知雙曲線C：*5=l（a>0/>0）的一條漸近

線方程是y=-y%,且焦點到漸近線的距離為1,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.-——y2=1B.-——y2=1

3/2）

C.￡_乃=1D.E—乃=1

3223

【變式2-1]1.（23-24上?洛陽?期中）已知橢圓C過點（3,0）,且離心率為手,則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【變式2-1]2.（23-24上長沙?期中）雙曲線C與橢圓9+9=1有相同的焦點，一條漸

近線的方程為x-2y=0,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【變式2-1]3.（23-24上?邢臺?期中）已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點。，對稱軸為坐標(biāo)

軸，且C的準(zhǔn)線與圓0:/+f=6相切，請寫出C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程：

【變式2-1】4.（浙江省衢州、麗水、湖州三地市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月教學(xué)

質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C:捺-2=1的左右焦點分別為6,F2,。為坐標(biāo)原點,A,

B為C上位于左軸上方的兩點，且40〃3尸2,N4F/2=60°.記AF2，BFI交點為P,過點P作

PQ//AF.,交久軸于點Q.若|OQ|=2|PQ|,則雙曲線C的離心率是

22

【變式2-1】5.（2324上開封期中）已知雙曲線前:云―左=IS>0,b>0）的焦距為10,

G上一點P與兩焦點的距離差的絕對值等于6.

（1）求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

22

⑵若雙曲線。2：%-a=1（爪>0，幾>。）與雙曲線C1有共同的漸近線，且經(jīng)過點

M（3,4V2）,求C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

題型3圓錐曲線定義的應(yīng)用

【例題3]（21-22上?沈陽?期中）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線

的共性,并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了

500年，到了3世紀，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)

于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進行了證明.他指出，到定點的距離與到定直線的距

離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡

為拋物線；當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程+必+2y+1）=（2%-2y+3y表

示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（）

A.（0,8）B,（8,+00）C.（0,5）D.（5,+00）

【變式3-1]1.（14-15上?湖北?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若方程次尤2+y2+2y+1）=

（x-2y+3）2表示的曲線為橢圓，則小的取值范圍是

A.（0,1）B.（1,+oo）C.（0,5）D,（5,+oo）

【變式3-1]2.（2223?云南?三模）在3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯

編》中完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義.他指出，到定點的距離與到定直線的距離

的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1是地，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時，軌跡

為拋物線；當(dāng)e>1時，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程k（x+2y+l）2=尤2+/_+4表示的曲

線是雙曲線，貝心的取值范圍為（）

A.（0,|）B.&+8）C.（5,+8）D.（0,5）

22

【變式3-1]3.（多選）（23-24上浙江期中）已知曲線C的方程為三+七=1,則下列

m+5m+1

說法正確的是（）

A.VmeR,曲線C都不表示圓

B.3meR,曲線C表示焦點在y軸上的橢圓

C.VmeR,曲線C都不表示焦點在y軸上的雙曲線

D.當(dāng)me（-5,-1）時,曲線C的焦距為定值

【變式3-1]4.（多選）（2324上?鹽城?期中）已知方程三+3=1表示的曲線為。，則

5—LU—1

下列四個結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)1<t<5且t豐3時,曲線C是橢圓；

B.當(dāng)t>5或土<1時,曲線C是雙曲線；

C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則3Vt<5；

D.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則1<1.

【變式3-1]5.（多選）（23-24上河南期中）若關(guān)于的方程/+Ay2+（1-A2）xy+x-

y-2=0表示的曲線為C，則（）

A.當(dāng)4=—1時，C表示雙曲線

B.當(dāng)2=0時，C表示兩條直線

C.當(dāng)4=1時，C表示圓

D.當(dāng)2=2時，C表示關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的橢圓

題型4圓錐曲線的離心率

2222

【例題4]（23-24上.沙坪壩.期中）橢圓6邑+-=1@>2）與雙曲線。2邑--=

44

l（a2>2）有相同的焦點6、尸2，記橢圓G的離心率為e1,雙曲線C2的離心率為02,則下列關(guān)

系式一定正確的是（）

A.e1e2=1B.e2=2etC.餐—e1=1D.黃+多=2e￡多

【變式4-1J1.（23-24上?浙江?階段練習(xí)）已知橢圓盤+2=1的左頂點為A，右焦點為尸2,

過右焦點作x軸垂線交橢圓于B、C兩點，連結(jié)B0并延長交AC于點M,若M為AC的

中點，則橢圓的離心率為（）

A.iB.遮C.-D.3

2232

【變式4-1]2.（23-24上臺州?期中）如圖，已知6,尸2是雙曲線C：《-《=1的左、右

焦點，P,Q為雙曲線C上兩點，滿足F1P//F2Q,且嗎<?|=2|F2Pl=5|6P|,則雙曲線C

的離心率為（）

【變式4-1】3.（2324上?嘉興期中）已知橢圓《+《=l（a>b>0）的右焦點為F（c,O）,

點P,Q在直線久=手上，F(xiàn)P1FQ,。為坐標(biāo)原點，若而-0Q=3OF2,則該橢圓的離心率

為（）

A.-B.漁C.-D.恒

3322

【變式4-1]4.（多選）（23-24上衡水?階段練習(xí)）已知雙曲線M：g-g=l（a>b>0）的

焦距為4,兩條漸近線的夾角為60。，則下列說法正確的是（）

A.M的離心率為言B.M的標(biāo)準(zhǔn)方程為9-*=1

C.M的漸近線方程為y=±V3xD.直線x+y-2=。經(jīng)過M的一個焦點

22

【變式4-1】5.（多選）（2324上河北期中）已知雙曲線C*―尢=1（口>0,6>0）的

右焦點為尸，過點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為4，該垂線與另一條漸近線的交點為B,

若|FB|=川F4|（4>1）,則C的離心率可能為（）

A.忌B.忌C.招D.后

題型5和差最值

【例題5]（23-24上?無錫期中）設(shè)F是橢圓f+[=1上的右焦點小是橢圓上的動點，4是

43

直線x+Ey-12=。上的動點，則|P川-IPFI的最小值為（）

A.-B.3C.-D.-

522

【變式5-1]1.（22.23上鎮(zhèn)江期中）已知F是橢圓9+9=1的左焦點，P是橢圓上一動

點，若4（1,1）,則IP川+|PF|的最小值為（）

A.6—V3B.6—V5C.6—V2D.6—V6

【變式5-1]2.（23-24上株洲?階段練習(xí)）設(shè)實數(shù)”滿足卷+?=l，V%2+y2-2y+l+

+y2-2、+1的最小值為（）

A.2V5-V2B.1+V5C.V2D.前三個答案都不對

2

【變式5-1]3.（2223?南通?三模）已知F為橢圓C:亍+必=1的右焦點，P為C上一點,

4

Q為圓M：x2+（y-3）2=1上一點,則|PQ|+|PF|的最大值為（）

A.5B.6C.4+2V3D.5+2舊

【變式5-1]4.（23-24上大慶?開學(xué)考試）已知定點4（-2,8），點心為橢圓+3=1的

右焦點，點M在橢圓上移動，求|AM|+IMF21的最大值和最小值為（）

A.12,2V7B.10+V5,10-V5

C.12,8D.9,2V7

【變式5-1]5.（多選）（2324上衡水?階段練習(xí)）已知橢圓C：?+9=1的左、右焦點分

別為6,4，上頂點為B,直線Z:y=kx（k*0）與橢圓C交于M,N兩點，點7（4,4）,則（）

A.四邊形M&NF2的周長為8B.焉+高的最小值為9

C.直線BM,BN的斜率之積為-1D.若點P為橢圓C上的一個動點，則|PT|-IPF1I的最

小值為1

題型6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

【例題6]（23-24上溫州?期中）已知直線Z：y=x+爪與橢圓C：=+?=1有公共點，則小

的取值范圍是（）

A.[-V7,V7]B.[-V6）V7]

C.[-V6,V6]D.[-2A/2,2V2]

【變式多選）（2324上?淮安?階段練習(xí)）已知直線/的方程為ax-y+l=0,aGR,

則下列說法正確的是（）

A.I一定經(jīng)過（0,1）

B.1與橢圓三+y2=i一定有兩個交點

C./與圓0-1）2+y2=4一定有兩個交點

D.（3,4）到/的距離可能為5

22

【變式6-1]2.（多選）（2324上?連云港?期中）已知雙曲線E:亍-卷=1,貝M）

A.E的焦距為6

B.E的虛軸長為有

C.E上任意一點到E的兩條漸近線的距離之積為定值

D.過點（2,1）與E有且只有一個公共點的直線共有3條

【變式6-1]3.（多選X22-23上?省直轄縣級單位?階段練習(xí)）直線y=x—2與拋物線C"=

2x相交于4B兩點，下列說法正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-|B.拋物線C的焦點為C，0）

C.若。為原點，則乙4OB=90°D.若a（Xi，yi）,B（%2，y2），則|AB|=/+右+1

【變式6-1]4.（多選）（23-24上?廣州?階段練習(xí)）已知過點網(wǎng)0,1）,傾斜角為60。的直線，與

拋物線C：/=4y相交于4B兩點（點4在第一象限）.過線段AB的中點P作平行于y軸的直

線，分別與拋物線C和其準(zhǔn)線相交于點M、N.則下列說法正確的是（）

A.\PM\=\MN\B.WF-AB=0

C.\FA\=3|FB|D.直線AN與拋物線C相切

【變式6-1】5（多選I2324上長沙階段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點點4（1,1）在拋物線C：/=

2py（p>0）±,過點8（0,-1）的直線交C于P,Q兩個不同的點，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-JB.直線4B與C相交

C.\OP\-\OQ\>\OA\2D.\BP\■\BQ\>\BA\2

【變式6-1]6.（2324上楊浦開學(xué)考試）已知曲線C:加|—4y|y|=4.

①曲線C的圖像不經(jīng)過第二象限；

②若PQo,Vo）為曲線。上一點，則比o-2y（）>。；

③存在mGR,x-2y+m=0與曲線C有四個交點；

④直線x-2y+m=0與曲線C無公共點當(dāng)且僅當(dāng)znG（-oo,-V2）U[0,+co）.

其中所有正確結(jié)論的序號是

【變式6-1]7.（23-24上?南昌?階段練習(xí)）已知直線y=依-1與雙曲線/-f=4,若

直線與雙曲線左支交于兩點，求實數(shù)k的取值范圍.

題型7中點弦問題

【例題7123.24上?常州?期中圮知橢圓/+?=i過點P&1）的直線叫橢圓相交于4B

兩點，且P是線段的中點，則直線4B的斜率k為（）

A.-1B.—工C.1D.4

4

【變式7-1]1.（23-24上?廣州?期中）在橢圓C:1+1=1內(nèi)，通過點,且被這

164

點平分的弦所在直線的方程為（）

A.x+4y—5=0B.x—4y+3=0C.4%+y—5=0D.4x—y—3=0

【變式7-1]2.（24.25上?寶雞一模）設(shè)4,8為雙曲線久2一卷=1上兩點，下列四個點中，

可為線段力B中點的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）

C.（1,4）D.（1,3）

【變式7-1]3.（2223?成都?二模）已知直線/：y=kx（k>0）與雙曲線C：《—5=l（a>

0,b>0）相交于A,B兩點，點4在第一象限，經(jīng)過點4且與直線]垂直的直線與雙曲線C的另

外一個交點為M，點N在y軸上，BN//NM，點。為坐標(biāo)原點，且赤？=7次?而，則雙曲線

C的漸近線方程為（）

A.y=±A/3XB.y=+V5xC.y—+V6xD.y=±V7x

【變式7-1J4.（23-24上?全國?課時練習(xí)）直線y=kx-2交拋物線y2=式于A,B兩點,

若AB中點的橫坐標(biāo)為2,則k=（）

A.2或-28.2或-1

C.2D.3

【變式7-1]5.（23-24上?石家莊?階段練習(xí)）已知橢圓條+g=l（a>fo>0）的一條弦所

在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點坐標(biāo)是M（-4,1）,則橢圓的離心率是.

【變式7-1]6.（22-23下?長寧?期中）已知拋物線y2=4久與過焦點的一條直線相交于A,

B兩點，若弦的中點M的橫坐標(biāo)為弓，則弦的長|2B|=

題型8弦長問題

【例題8]（23-24上?南京?階段練習(xí)）已知橢圓C：《+《=l（a>0,6>0）,C的上頂點為4,

兩個焦點為&,尸2，離心率為也過后目垂直于人?2的直線與C交于2E兩點,\DE\=6JIJAXDE

的周長是（）

A.11B.12C.13D.14

2

【變式8-1]1.（22-23下?遂寧?階段練習(xí)）已知雙曲線E:氤-*=1,若拋物線f=

2PMp>0）的焦點到雙曲線E的漸近線的距離為次,過焦點傾斜角為;的直線與拋物線交于

A,B兩點，則|4引的值為（）

A.16V3B.8A/3C.8D.4百

【變式8-1]2.（22-23上?唐山?期末）已知拋物線C：/=4y的焦點為F,直線/與拋物線C

交于4B兩點，連接AF并延長，交拋物線C于點。，若2B中點的縱坐標(biāo)為|48|-1，則當(dāng)乙4F8

最大時,\AD\=

【變式8-1]3.（2223?全國專題練習(xí)）已知雙曲線C的焦點在y軸上,對稱中心。為坐

標(biāo)原點，焦距為2遍，且過點4（5,乃）,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若斜率

為2的直線I與C交于P,Q兩點.且灰?麗=-晶，則|PQ|=.

【變式8-l】4.（2324上紅橋?期中）已知橢圓的長軸長為2a，焦點是&（-百,0）、尸2（百，。），

點a到直線％=-得的距離為白，過點尸2且傾斜角為45。的直線（與橢圓交于4B兩點.

Q）求橢圓的方程；

⑵求線段48的長.

【變式8-1]5.（23-24上?石家莊?階段練習(xí)）給定橢圓E：9+5=l（a>b>0）,我們稱

圓/+/=口2+爐為橢圓E的"伴隨圓".已知橢圓E中b=1,離心率為手.

（1）求橢圓E的方程；

⑵若直線2：y=kx+爪與橢圓E交于A、B兩點，與其"伴隨圓"交于C、D兩點，|CD|=

V13.求弦長0的最大值.

【變式8-1]6.（23-24上?南京?階段練習(xí)）已知雙曲線C：/—5=l（a>0,b>0）,焦點

到漸近線的距離為百，且離心率為，.

（1）求雙曲線C的方程；

⑵直線l：y-kx+3與雙曲線交于M,N兩點，若|MN|=16V3,求k的值.

題型9面積問題

【例題9]（21-22上?深圳?期中）若橢圓9+?=1（小〉1>0）與雙曲線9—9=

有相同的焦點是兩曲線的一個交點，則的面積是（）

l（n>0,t>0）6,F2,P46PF2

A.-B.tC.2tD.4t

2

22

【變式9-1]1.（23-24上?全國?課時練習(xí)）如圖所示，已知橢圓的方程為亍+5=1,若

4D

點P為橢圓上的點，且NP&B=120°,則4PF/2的面積是

【變式9-1]2.(23.24上?南京?階段練習(xí))已知橢圓C:《+《=1的離心率為當(dāng),上頂點

為M,下頂點為N,\MN\=2,設(shè)點7(t,2)(t中0)在直線y=2上，過點T的直線TM,TN分別

交橢圓C于點E和點F,直線EF與y軸的交點為P.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若△NFP的面積為4MEP的面積的2倍，求t的值

22

【變式9-1]3.(23-24上廣東?階段練習(xí))已知雙曲線會—左=1,(a>0,6>0)的離心率

為2,右焦點F到漸近線的距離為舊.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點P為雙曲線右支上一動點，過點P與雙曲線相切的直線2,直線I與雙曲線的漸近線分

別交于M,N兩點，求小FMN的面積的最小值.

【變式9-1]4.(22-23上安徽期中)設(shè)拋物線C：y2=2PMp>0)的焦點為F,2是拋物

線上橫坐標(biāo)為4的點，|4F|=5.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)過點尸且斜率為1的直線/交拋物線C于M,N兩點，。為坐標(biāo)原點，求小OMN的面積.

【變式9-1]5.(22-23下?常德?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點力&0),點B在

直線Lx=-j上運動，過點B與1垂直的直線和力B的中垂線相交于點

(1)求動點M的軌跡E的方程；

⑵設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R,N在y軸上，圓C:(x-I)2+必=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN

的面積的最小值.

【變式9-1]6.（23.24上?泰安?階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動圓P過定點F（0,》,

且與定直線1：y=-[相切，記動點P的軌跡為勿.

⑴求班的方程；

（2）已知正方形4BCD有三個頂點在加上,求正方形ABCD面積的最小值.

題型10定點問題

【例題10]（多選）（2324?大理一模）過拋物線C:V=2P比上一點2（1,-4）作兩條相互

垂直的直線，與C的另外兩個交點分別為M、N,則（）

A.C的準(zhǔn)線方程是x=-4

B.過C的焦點的最短弦長為12

C.直線MN過定點（4,4）

D.當(dāng)點A到直線MN的距離最大時，直線MN的方程為2x+y-38=0

【變式10-1】1.（多選）（23-24上?長沙?階段練習(xí)）已知F是拋物線C"=久的焦點,

4（尤1，%）,8（尤2，%）是。上的兩點，。為原點，則（）

A.若BB■直C的準(zhǔn)線于點次，且由夕|=2\OF\,則四邊形OFBM的周長為竽

4

B.若MFI=J,貝UANOF的面積為:

4o

C.若直線過點F，貝您1+久2的最小值為日

D.若瓦？-0B=-\,則直線4B恒過定點（|,0）

【變式10-1]2.（多選）（23-24上長春階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）

A.直線x+2y+2=0的傾斜角是與

B.過點（1,2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線/的方程為x-y+l=0

C.圓C:/+（4-2）x+y?+2Ay+1—A=01S定點（1,0）

D.橢圓。的方程為冬+1=1,它的焦距為6,短軸長為4

Zb16

【變式10-1]3.（多選）（2324上?濟南?開學(xué)考試）已知拋物線C:*=4%,。為坐標(biāo)原

點，直線/交拋物線于4（*1，%），B（%2,%）兩點，若布,麗=一4,貝！]（）

A.=-8B.直線/過定點（2,0）

C.S?B的最小值為2&D《+灑最小值為2

【變式10-1]4.（23-24上福州?期中）已知圓E:（x+9+y2=8,F（l,0）為圓E內(nèi)一個

定點，P是圓E上任意一點，線段FP的垂直平分線/交EP于點Q,當(dāng)點P在圓E上運動時.

（1）求點Q的軌跡C的方程；

（2）已知圓。：/+*=|在c的內(nèi)部，4B是C上不同的兩點，且直線4B與圓。相切.求證：

以力B為直徑的圓過定點.

【變式10-1】5.（23-24上?湖南期中）已知拋物線C：*=2Px（p>0）經(jīng)過點M（2,—2a）,

直線/與拋物線相交于不同的4B兩點.

⑴求拋物線C的方程；

（2）如果-05=-4,直線/是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試

說明理由.

題型11定值問題

【例題11]（22-23上?南陽?階段練習(xí)）已知橢圓C：[+[=1的左，右焦點分別為6,尸2，

A,B兩點都在C上,且4,B關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，下列說法錯誤的是（）

A.|AB|的最大值為2遍

尸為定值

B.\AFr\+|Bi|

C.C的焦距是短軸長的2倍

.存在點，使得

DA261AF2

【變式11-1】1.（2223?鄭州?模擬預(yù)測）已知A,B分別為雙曲線9-y2=1的左、右頂

點，P為該曲線上不同于A,B的任意一點，設(shè)NPAB=a,/-PBA=￡,△P4B的面積為S,

則（）

A.tana+tan/?為定值B.tan|?tang為定值

C.S-tan（a+￡）為定值D.贏|麗為定值

【變式11-1]2.（22-23下?河南?二模）已知動點P在雙曲線C:1=1上，雙曲線C

的左、右焦點分別為6,F2,則下列結(jié)論：

①C的離心率為2;

②C的焦點弦最短為6;

③動點P到兩條漸近線的距離之積為定值；

④當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時,號的最大值為[.

其中正確的個數(shù)是（）

A.ljB.2jC.3jD.”

【變式11-1]3.（多選）（23-24上?江蘇?開學(xué)考試）已知橢圓C:9+9=1的左右焦點為

a,尸2,若P為橢圓C上一動點，記“64的內(nèi)心為/，外心為M,重心為G,且內(nèi)

切圓/的半徑為r,APF/2外接圓M的半徑為R，則（）

A.NF/%的最大值為:B.r的最大值為百

C.PI-而為定值D.您最小值為2

【變式11-1】4.（多選）（2324上浙江?階段練習(xí)）已知拋物線E"=4x上的兩個不同

的點/（%1，%）,5（%2/2）關(guān)于直線％=ky+4對稱，直線48與%軸交于點C（%（）,0）,下列說法正

確的是（）

A.E的焦點坐標(biāo)為（1,0）B.%]+g是定值

G

C./無2是定值D.x0(-2,2)

題型12定直線問題

【例題12]（22-23下?嘉定?階段練習(xí)）已知0為坐標(biāo)原點，M為拋物線C：y2=4x上一

點，直線I:久=my+3與C交于A,B兩點，過A,B作C的切線交于點P,則下列結(jié)論

中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

（l）01.0B=-3;（2）若點M（9,-6）,且直線AM與BM傾斜角互補，則爪=3;

（3）點P在定直線x=-3上;（4）設(shè)點Q（3,0）,則|MQ|的最小值為3.

A.1B.2C.3D.4

22

【變式12-1]1.（多選）（2223?滄州?模擬預(yù)測）已知雙曲線-左=l（a>0,b>0）的

左、右焦點分別為6、4，離心率為2,焦點到漸近線的距離為傷.過尸2作直線/交雙曲線C的

右支于4B兩點，若H、G分別為△4尸#2與4BF/2的內(nèi)心，則（）

A.C的漸近線方程為y=±V3x

B.點H與點G均在同一條定直線上

C.直線不可能與/平行

D.|”G|的取值范圍為12vx竽）

【變式12-1J2.（多選I2122?江蘇?單元測試在平面直角坐標(biāo)系x