2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：直線與圓對(duì)稱問題八大題型（原卷版）

專題2-1直線與圓對(duì)稱問題八大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..............................................................2

題型2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱............................................................3

題型3直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱............................................................5

題型4直線關(guān)于直線對(duì)稱..........................................................5

題型5圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱..............................................................7

題型6圓關(guān)于直線的對(duì)稱..........................................................8

題型7圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱........................................................9

題型8反射光線問題.............................................................11

但知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.軸對(duì)稱

1.兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱設(shè)Pl,P2,關(guān)于直線?對(duì)稱，則直線P1P2，與I垂直，目P1P2的中

點(diǎn)在I上。這類問題的關(guān)鍵就是根據(jù)"垂直"和"平分”構(gòu)造方程組。

特別的，A(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為A1(x,-y)

A(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A1(-x,y),

A(x,y)關(guān)于x=a對(duì)稱的點(diǎn)為A(2a-x,y),

A(x,y)關(guān)于y=b對(duì)稱的點(diǎn)為A1(x,2b-y),

A(x,y)關(guān)于y=x+b對(duì)稱的點(diǎn)為A1(y-b,x+b),

A(x,y)關(guān)于y=-x+b對(duì)稱的點(diǎn)為A1(b-y,b-x)0、、//

2.兩直線關(guān)于直線對(duì)稱：設(shè)k,12關(guān)于直線I對(duì)稱。

(1)當(dāng)三條直線11,12,1共點(diǎn)時(shí),I上任一點(diǎn)到11,12,的距離相等，且k上的

任意一點(diǎn)關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線12上。

(2)當(dāng)11//12//1時(shí),11到I的距離等于L至！11的距離。

知識(shí)點(diǎn)二.中心對(duì)稱

1、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：設(shè)匕f,yiJ,P(a,b),貝!IP】(xr,yr)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱

的點(diǎn)為P2(2a-%1,2b-yi)，即P為線段PF2P的中點(diǎn)。

特別的，A(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A1(-x,-y)

2、兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：設(shè)直線li,b關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，這時(shí)k上的任意一點(diǎn)關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)

在b上.且k〃b

但題型分類

題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

【方法總結(jié)】

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱實(shí)質(zhì)：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)

方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式

說明：平面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于P(a㈤對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2。-%,26-2))平面內(nèi)點(diǎn)

AG,%),A'(X2,乃)關(guān)于點(diǎn)五產(chǎn),歸比]對(duì)稱；

I227

【例題U2023?全國?高二課堂例題)已知不同的兩點(diǎn)P(a,-b)與Q(b+1,。-1)關(guān)于點(diǎn)(3,4)

對(duì)稱，則防=()

A.—5B.14C.—14D.5

【變式1-1]1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知直線2x—y+r=。與圓C：(x+l)2+

(y—3/=產(chǎn)(r>o)交于A,B兩點(diǎn)，且線段4B關(guān)于圓心對(duì)稱，則r=()

A.1B.2C.4D.5

【變式1-1】2..(2023?全國?高二專題練習(xí))點(diǎn)4(-3,l),C(l,y)關(guān)于點(diǎn)8(-1,-3)對(duì)稱，則

【變式1-U3.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知不同的兩點(diǎn)P(a,-b),Q(b+l,a-1)關(guān)于點(diǎn)

（3,4）又寸稱，貝!Jab=.

【變式1-U4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知A,B兩點(diǎn)是圓C:/+（y-I）2=4上的兩

點(diǎn)，若A,B關(guān)于直線x+ay-3=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a=_；若點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)（1,2）對(duì)

稱，則直線AB的方程為.

題型2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

【方法總結(jié)】

實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線

1.當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用"垂直"和"平分"這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，

一般地：設(shè)點(diǎn)（府,yo）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)（乂，y'）,則

-1；

<x-%IBJ

A』+3^±A+C=0

[22I

2.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)（%,%）關(guān)于x=加的對(duì)稱點(diǎn)為（2m-x.,凡）

【例題2]（2022秋?四川瀘州?高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)（0,0）與點(diǎn)（-2,2）關(guān)于直線I對(duì)稱，則I的方

程是（）

A.x+y+2=0B.x—y+2—0C.x+y—2=0D.x—y—2=0

【變式2-1]L（2023?全國?高二課堂例題）已知直線=3x+3,則點(diǎn)P（4,5）關(guān)于I的

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【變式2-1】2.（多選）（2023秋?江西宜春?高二江西省宜豐中學(xué)校考開學(xué)考試）下列說法

正確的是（）

A.過(久】，乃),(切，火)兩點(diǎn)的直線方程為上江=工

y2~yi%2Tl

B.直線％-y-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8

C.點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為(-1,1)

D.直線7nx+y+m=0(mGR)必過定點(diǎn)

【變式2-1]3.(多選)(2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學(xué)校考期末)下列結(jié)論正確

的是()

A.若直線a尤+y+l=0與直線4x+ay+2=。平行，則它們的距離為?

B.點(diǎn)(5,0)關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,4)

C.原點(diǎn)到直線々％+(2k+l)y-3k-1=0的距離的最大值為世

D.直線土+產(chǎn)匕=1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為租2+m

m2m+2

【變式2-1]4.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于

直線x-y+l=0對(duì)稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+I)2+(y—l)2=9B.(x—l)2+(y—l)2=81

C.x2+(y+l)2=9D.x2+y2-9

【變式2-l]5.(2023,全國偏二專題練習(xí)居點(diǎn)4(a+2,b+2),B(b—4,a—6)關(guān)于直線4x+

3y—11=0又寸稱，貝！Ja=；b=.

【變式2-1]6.(2023?全國?高二專題練習(xí))設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線久+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為Q,

則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為過點(diǎn)Q且與直線x+y-3=0垂直的直線方程

為.

【變式2-1]7.(2023秋?河北保定?高二河北省唐縣第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線，的

方程為3x-4y+2=0.

⑴求圓心為(1,0)且與直線而切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求直線X-y-l=。與2%+y-2=0的交點(diǎn)力坐標(biāo)，并求點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱的點(diǎn)的坐

標(biāo).

題型3直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

【方法總結(jié)】

直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱實(shí)質(zhì)：兩直線平行

法一：轉(zhuǎn)化為"點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問題（在/上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），

求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）

法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)出平行直線系，利用點(diǎn)到直線

距離相等）

【例題3]（2023?全國?高二專題練習(xí)）直線2%-y+3=0關(guān)于點(diǎn)P（3,2）對(duì)稱的直線的一般

式方程為—.

【變式3-1]1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線/：2%-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)4（-1,-2）對(duì)稱的

直線，'的方程為.

【變式3-1]2.（2023?全國?高二課堂例題）求直線3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)（2,-1）對(duì)稱的直

線I的方程.

題型4直線關(guān)于直線對(duì)稱

【方法總結(jié)】

1：當(dāng)卜與/相交時(shí)方法：此問題可轉(zhuǎn)化為"點(diǎn)關(guān)于直線"的對(duì)稱問題

2：當(dāng)11與/平行時(shí)方法：對(duì)稱直線與已知直線平行

【例題4】（2023秋?山西大同?高二大同一中?？茧A段練習(xí)）已知直線■.l1-.y=ax+3與關(guān)

于直線y=X對(duì)稱，，2與，3：X+2y-1=。平行，貝！ja=（）

A.-iB.iC.-2D.2

22

【變式4-1]1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若直線、：y-2=（k-1）久和直線％關(guān)于直線

y=x+1對(duì)稱,則直線%恒過定點(diǎn)（）

A.（2,0）B,（1,-1）C.（1,1）D.（-2,0）

【變式4-1J2.（2023?全國?高二專題練習(xí)股直線％-2y-2=。與%關(guān)于直線刀2%-y-

4=。對(duì)稱，則直線12的方程是（）

A.llx+2y—22=0B.llx+y+22—0

C.5x+y—ll=0D.10x+y-22=0

【變式4-1]3.（多選X2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線%:ax-y+1=0,l2-.x+ay+

1=0,aeR,以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.無論a為何值，I1與％都互相平行

B.當(dāng)a變化時(shí)，。與%分別經(jīng)過定點(diǎn)4（0,1）和以-1,0）

C.無論a為何值，4與%都關(guān)于直線％+y=。對(duì)稱

D.若11與0交于點(diǎn)M,則|MO|的最大值是世

【變式4-1]4.（2022秋?湖北黃岡?高二統(tǒng)考期中）過直線y=x+l上的點(diǎn)P作圓

2

C：（x-I）+（y-6尸=2的兩條切線4,12,當(dāng)直線k，I2關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱時(shí)，兩切

點(diǎn)間的距離為（）

A.1B.2C.V3D.V6

【變式4-1]5.（多選）（2023秋?河北唐山?高二唐山一中?？计谀┤鐖D所示，邊長為2的

等邊△04B從起始位置（。&與y軸重合）繞著。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至。B與x軸重合得到△OA2B2,

在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（）

A.線段4B的中點(diǎn)在圓/+y2=3上運(yùn)動(dòng)

B.直線4遇2與直線8/2關(guān)于直線比-y=0對(duì)稱

C.邊&&與邊Bi/所在直線的交點(diǎn)為(3-舊,3-g)

D.4WB的角平分線所在直線方程是y=^-x,直線。4的方程為y=乎比

Z4

【變式4-1】6(2023秋?湖南邵陽?高二?？茧A段練習(xí)直線53x-y-3=。關(guān)于直線S%+

y-l=。的對(duì)稱直線方程為.

題型5圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

【方法總結(jié)】

轉(zhuǎn)化為圓心關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題

【例題5](2021秋?江蘇南通?高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí))圓(x+2)2+外=6關(guān)于點(diǎn)

P(l,l)對(duì)稱的圓的方程為()

A.(x—4)2+(y—2)2=6B./+(y—4)2=6

C.(x+2)2+(y+2產(chǎn)=6D./+(y+4)2=6

【變式5-1】1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓C:。+y2=25，則圓C關(guān)于點(diǎn)(-3,4)對(duì)

稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)2=25

【變式5-1]2.(2023?全國?高二課堂例題)已知P是圓C：(x-5)2+(y-5)2=r2(r>0)

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)力（9,0）的對(duì)稱點(diǎn)為Q,O為原點(diǎn)，線段OP繞原點(diǎn)。逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)90。后，所得線段為OR,求|QR|的最小值與最大值.

題型6圓關(guān)于直線的對(duì)稱

【方法總結(jié)】

轉(zhuǎn)化為直線過圓心問題

【例題6]（2023?全國?高二課堂例題）若圓C:/+/+2%-4y+3=。關(guān)于直線2ax+

by+6=。對(duì)稱，則由點(diǎn)（a,6）向圓所作的切線長的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

【變式6-1]1.（2023秋?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）公元前3世紀(jì)，古

希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第

七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定

值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)

2（-1,0）和B（2,l）且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足|P4|=V2|PB|若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線山久+ny-

2=0（m,n>0）對(duì)稱，則。+:的最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【變式6-1]2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知圓0-1）2+（y—2）2=4關(guān)于直線ax+

by-2=。對(duì)稱，則-a?+爐的最小值為（）

A.B.謔C.-D.1

555

【變式6-1】3.（2023?全國?高二專題練習(xí)）點(diǎn)M、N在圓C：/+y2+2"+2my—4=0

上，目M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y+l=0對(duì)稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為了B.最小值為'C.最小值為學(xué)D.最大值為瞥

【變式6-1]4.（多選）（2023秋?全國?高二隨堂練習(xí)）（多選）若圓上的點(diǎn)（2,1）關(guān)于直線

x+y=。的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓的半徑為一,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()

A.x2+y2=5B.(x—l)2+y2—5C.x2+(y+l)2=5D.(x—l)2+(y+I)2=5

【變式6-1]5.(多選)(2023秋?廣東廣州?高二廣州市天河中學(xué)?？计谀?已知圓

M-.(X一1)2+(y-2)2=1,則()

A.mM關(guān)于直線x-y+l=0對(duì)稱

B.圓M關(guān)于直線x+y+l=。對(duì)稱的圓為(％+3)2+(y+2尸=1

C.直線/過點(diǎn)(2,0)且與圓M相切，則直線/的方程為3x+4y-6=0

D.若點(diǎn)P(a,6)在圓M上,則J(a+3Q+(6—2尸的最小值為3

【變式6-1]6.(2023?全國?高二課堂例題)圓。：/+(y—2)2=16關(guān)于直線a久+by-12=

。對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)S在直線y+b=0上，過點(diǎn)S弓|圓C的兩條切線S4sB,切點(diǎn)分別為4B,則直線

48必過定點(diǎn)，那么定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【變式6-1]7.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓C經(jīng)過點(diǎn)4(1,2)和8(5,-2),且圓C關(guān)于

直線2x+y=。對(duì)稱.

(1)求圓C的方程；

⑵過點(diǎn)。(-3,1)作直線1與圓C相切，求直線]的方程.

題型7圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱

【方法總結(jié)】

轉(zhuǎn)化為圓心關(guān)于直線對(duì)稱問題

【例題7](2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓C1：%2+y2=4與圓。2關(guān)于直線2久+y+5=0

對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(%+4)2+(y+2)2=4B.(%—4)2+(y—2)2=4

C.(%+2)2+(y+4)2=4D.(%—2)2+(y—4)2=4

【變式7-1]1.(2023秋,高二課時(shí)練習(xí))若圓％2+y2-ax+2y+1=。與圓％2+y2=1

關(guān)于直線y=%-1對(duì)稱，且過點(diǎn)C(-a,a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為

()

A.y2—2%+2y+8=0

B.y2+2%—2y+8=0

C.y?+4%—4y+8=0

D.y2—4%+4y+8=0

【變式7-1]2.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓Ci：/+y2+2%_2y+1=0,圓C?與

圓Ci關(guān)于直線％-y-l=0對(duì)稱，則圓的方程為()

A.%2+y2—4%+4y+7=0B.%2+y2-4%—4y+7=0

C.%2+y2+4%4-4y+7=0D.%2+y2+4%—4y+7=0

【變式7-1]3.(2022秋?浙江?高二浙江省余姚市第五中學(xué)校聯(lián)考期中)在平面直角坐標(biāo)

2

系%。y中，若圓Ci：(%+4/+(y-1/=r(r>0)上存在點(diǎn)P,且點(diǎn)尸關(guān)于直線y=久+1的

對(duì)稱點(diǎn)Q在圓。2：(%-4)2+*=4上，貝什的取值范圍是()

A.(3,7)B.[3,7]

C.(3,+00)D.[3,+oo)

【變式7-1]4.(多選)(2023?全國?高二專題練習(xí))已知圓％2+y2+2x-4y+l=0關(guān)于

直線2a%-by+2=0(a,beR)對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是()

A.圓％2+y2+2%_4y+1=0的圓心是(一1,2)

B.圓％2+y2+2%-4y+1=。的半徑是2

C.a+b=1

D.ab的取值范圍是（-82

【變式7-1]5.（多選）（2023秋?全國?高二階段練習(xí)）已知直線I:3久+2y+m=0,圓C:

/+*+4久一）/+：=0,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若m=5+g或5-g,則直線I與圓C相切

B.若爪=5,則圓C關(guān)于直線I對(duì)稱

C.若圓E：/+*+1久一2y-*=0與圓C相交，且兩個(gè)交點(diǎn)所在直線恰為I,則巾=2

D.若m>5,圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到I的距離為1,則5+V13<m<5+3舊

【變式7-1]6.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知圓C[:Q+3）2+（y-2）2